Revisão de Matemática e Matemática Financeira para o ENADE

Prof. Milton Henrique do Couto Neto

mcouto@catolica-es.edu.br

Matemática

Conteúdo Matemática

Frações

Frações

Operações com Frações(Adição e Subtração)

Denominadores IGUAIS Neste caso somamos e subtraímos o

numerador e conservamos o denominador

3

8+

2

8=

3 + 2

8=

5

8

3

5+

4

5−

1

5=

3 + 4 − 1

5=

6

5

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Operações com Frações(Adição e Subtração)

Denominador DIFERENTES Neste caso reduzimos as frações ao mesmo

denominador e prosseguimos como o caso anterior

3

4+

1

2=

3

4+

2

4=3 + 2

4=

5

4Exemplo:

Operações com Frações(Multiplicação)

Neste caso basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores também entre si

3

4𝑥1

2=

3 𝑥 1

4 𝑥 2=

3

8Exemplo:

Operações com Frações(Divisão)

Neste caso basta inverter uma fração e depois proceder como uma multiplicação normal

3

4:1

2=3

4𝑥2

1=

3 𝑥 2

4 𝑥 1=

6

4Exemplo:

Fração Invertida

Das 30 figurinhas que tinha, Marcos deu 11 para o seu irmão. Considerando-se o total de figurinhas, a fração que representa o número de figurinhas que o irmão de Marcos ganhou é:

A) 11/30

B) 9/30

C) 30/9

D) 30/11

Da quantia que possuía, Fábio deu 1

5ao irmão e

4

20à sobrinha.

O que recebeu a quantia maior foi:

A) Fábio

B) O irmão de Fábio

C) A sobrinha de Fábio

D) O irmão e a Sobrinha de Fábio

A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 48 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nesta viagem?

a) 10 b) 15 c) 25 d) 30

Sônia coleciona papéis de carta. Sabendo que 2/7 das folhas ela ganhou de sua mãe, 3/5 ela ganhou de suas avós e outras 4 folhas restantes ela ganhou de suas amigas, determine o número de folhas da coleção de Sônia.

Os 2/5 da capacidade de um tanque correspondem a 500 litros. Qual será a capacidade de 3/8 do mesmo tanque?

De um recipiente cheio de refrigerante, tiram-se 2/3 de seu conteúdo. Em seguida, coloca-se 15 litros de refrigerante, fazendo assim com que o volume fique na metade do inicial. A capacidade do recipiente é:

a) 150litros

b) 90 litros

c) 45 litros

d) 100litros

Potências e Raízes

Potenciação

n vezes

Casos especiais que merecem destaque:

Potenciação

Radiciação

𝑛 𝑎 = 𝑎1𝑛

38 = 8

13 = 2

Radiciação

Qual o valor de (0,2)3+(0,16)2?

Qual o valor de ?

Simplifique as expressões:

5/35

26 3

2

8

Funções

A quantidade de energia elétrica que um equipamento consome depende do tempo de funcionamento, podendo ser calculada usando a relação E = P. t, em que E é a energia elétrica, em kWh (quilowatt-hora), P é a potência do equipamento, em kW (quilowatt), e t é o tempo em horas que o equipamento fica ligado. Se uma pessoa demora meia hora no banho utilizando um chuveiro de 4.000 kW de potência, qual a energia, em kWh, que ele gastará?a) 2.000 kWh.b) 4.000 kWh.c) 4.500 kWh.d) 8.000 kWh.

No Brasil, é muito comum dizer “a temperatura máxima hoje é de 25o graus Celsius”.Porém, não são todos os lugares do mundo em que se usa o grau Celsius como unidade de medida da temperatura. Por exemplo, nos Estados Unidos da América, usa-se a medida graus Fahrenheit. A transformação da temperatura de uma escala para outra pode ser feita com o auxílio da expressão:em que C é a temperatura em graus Celsius e F é a temperatura em graus Fahrenheit.Qual temperatura é a mesma nas duas escalas?a) -40o.b) -20o.c) 0o.d) 10o.

Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 17,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 32,10 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas.Sabendo que os refrigerantes possuíam o mesmo preço e as porções de batatas fritas eram idênticas e, portanto, também possuíam o mesmo preço, nesse local e dia, a diferença entre o preço de uma porção de batatas fritas e o preço de uma lata de refrigerante era de(A) R$ 6,30.(B) R$ 7,30.(C) R$ 8,30.(D) R$ 9,30.

Flávia tem 6 bolas de metal de mesmo peso . Para calcular o peso de uma dessas bolas, Flávia colocou 5 bolas em um dos pratos de uma balança, e a que restou, juntamente com um cubo pesando 100g, no outro prato, e observou que os pratos da balança ficaram equilibrados (veja figura abaixo).Responda quanto pesa três bolas de metal. a) 25g b) 50g c) 75g d) 100g

O nível N de óleo de um reservatório varia com o tempo t, contado em horas, conforme a equação: N = t2 + 5t – 24 = 0. Em quanto tempo o nível de óleo chegará a zero?

a) 3 horas

b) 4 horas

C) 5 horas

D) 8 horas

O valor pago por uma corrida de táxi em uma cidade é dado pela equação P=5+1,5K, onde R$ 5,00 é uma quantia fixa correspondente a chamada bandeirada, e R$ 1,50 por quilômetro percorrido K. Se uma pessoa ao final da corrida pagou R$ 50,00, quantos quilômetros percorreu o táxi?a) 20kmb) 30kmc) 35kmd) 40km

Porcentagens

Porcentagem

𝒙% =𝒙

𝟏𝟎𝟎Forma Percentual Forma Unitária

25% =25

100=1

4= 0,25

A porcentagem depende da referência

100 + 10% = 110

110 - 10% = 99

10% de 110 = 11

10% de 100 = 10

O gráfico abaixo mostra o resultado de uma pesquisa realizada com uma amostra de 600.000 eleitores.

Os dados acima permitem afirmar que exatamente

a) 50.000 eleitores têm preferência pelo candidato “D”.

b) 114.000 eleitores têm preferência pelo candidato “B”.

c) 180.000 eleitores têm preferência pelo candidato “D”.

d) 282.000 eleitores têm preferência pelo candidato “A”.

Um automóvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofreu desvalorização de 20% ao ano. O seu valor, em reais, após 3 anos será:

A) R$ 10.240,00

B) R$ 8.192,00

C) R$ 6.553,60

D) R$ 5.242,88

Em um concurso estão inscritos 275 candidatos dos quais 176 são homens. A taxa percentual de mulheres é de:

a) 36

b) 56

c) 64

d) 99

Um livro que custava R$ 43,00 foi vendido numa liquidação com abatimento de 15%. Qual o valor do abatimento?

Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de desconto em qualquer peça de inverno. Qual era o preço original de um casaco que, na promoção, estava sendo vendido por R$ 96,00?

O Sr. Manoel contratou um advogado para receber uma dívida cujo valor era de R$ 10.000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dívida. Supondo que o Sr. Manoel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou?

Regra de 3

Regra de 3

Grandezas Diretamente Proporcionais

• Num certo instante do dia, um poste com 12 m de altura projeta uma sombra de 3 m no chão. Qual o comprimento da sombra de uma pessoa localizada ao lado do poste, medindo 1,6 m de altura, neste mesmo instante?

3,0 m 1,6 m

12 m x m

Continuação

Grandezas Diretamente Proporcionais

• Quanto maior a altura, maior a sombra!

3,0 m 1,6 m

12 m x m

Altura do Objeto Altura da Sombra

3,0 m 12 m

1,6 m X m

3

1,6=

12

𝑥

3. 𝑥 = 1,6 . 12

𝑥 =1,6 . 12

3𝑥 = 6,4 𝑚

Regra de 3

Grandezas Inversamente Proporcionais

• Um avião voando a uma velocidade de 300 km/h faz o percurso entre duas cidades em 2 horas. Se aumentarmos a velocidade do avião, para 400 km/h, qual será o tempo necessário para fazer o mesmo percurso?

A B

Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas

Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

Continuação

• Grandezas Inversamente Proporcionais

Quanto maior a velocidade, menor será o tempo!

A B

Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas

Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

Velocidade do Avião Tempo da Viagem

300 km/h 2 horas

400 km/h X horas

Velocidade do Avião Tempo da Viagem

300 km/h x horas

400 km/h 2 horas

300

400=

𝑥

2300.2 = 400. 𝑥

𝑥 = 1,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Em 15 minutos eu consigo correr 2 km. Em uma hora conseguirei correr 8 quilômetros.

Quanto correrei em 4 horas?

A) 8 km.

B) 16 km.

C) 24 km.

D) 32 km

Márcia faz doces para vender e sua última encomenda para uma festa de aniversário de criança foi de 400 brigadeiros. Para obter essa quantidade ela usou cinco latas de leite condensado. Agora, ela recebeu uma encomenda de 720 brigadeiros. Para fazer essa quantidade, ela gastará:a) 6 latas de leite condensado.b) 7 latas de leite condensado.c) 8 latas de leite condensado.d) 9 latas de leite condensado.

Dez operários fazem certo serviço em 6 dias. Quantos operários serão necessários para fazer o mesmo serviço em 4 dias?

Com a velocidade média de 40 km/h, um trem demora 2 horas e 30 minutos para percorrer certa distância. Se a velocidade fosse reduzida de 3 km/h, em quanto tempo aumentaria o tempo necessário para igual percurso?

Se um cento de maçãs custa R$ 250,00, uma dúzia, quanto custará?

Análise de GráficosAnálise dos Gráficos

Sistema de Coordenadas Cartesianas

x

x

y

y

eixo x

eixo y

origem

0

0 𝑥

𝑦P(x,y)

Par Ordenado (x,y)Sistema de Coordenadas Cartesianas

abscissaordenada

Representação Gráfica de uma Função

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥1 → 𝑦1 = 𝑓(𝑥1)

𝑥2 → 𝑦2 = 𝑓(𝑥2)

𝑥𝑛 → 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛)x

y

x1 x2 xn

yn

y2

y1

Domínio D

O gráfico mostra duas retas no plano cartesiano, uma na cor azul e outra na cor vermelha. Analise os dados e indique qual das opções apresentadas está correta.

a) Na reta vermelha, quando x = -2, o correspondente no eixo y = 0.

b) Na reta azul, quando x = -1, o correspondente no eixo y = -1.

c) Na reta azul, quando x = 1, o correspondente no eixo y = 1.

d) Na reta vermelha, quando x = 2, o correspondente y = 0.

Na malha quadriculada desenhada abaixo, todos os quadrinhos têm o mesmo tamanho e a parte colorida de cinza representa um prédio da Construtora Real.

Nessa área, a construtora quer construir o prédio Sul, com o triplo das dimensões desse prédio. Para representar esse prédio, quantos quadradinhos ela utilizará?

A) 72

B) 144

C) 216

D) 432

Observe o quadriculado abaixo.

Podemos afirmar que a localidade exata da igreja e da escola pelas coordenadas:

A) (1,8) e (3,- 4) B) (4,3) e (-1,-2)

C) (8,1) e ( 3, -4) D) (1,2) e (-4, -3)

Matemática Financeira

Conteúdo de Matemática Financeira

Juros Simples e Composto

Taxas de Juros

Séries Uniformes de Pagamento

Sistemas de Amortização

Juros Simples e Composto

Juros Simples e Composto

Juros Simples Juros Composto

Valor Presente 𝑉𝑃 =𝑉𝐹

(1 + 𝑖. 𝑛)𝑉𝑃 =

𝑉𝐹

(1 + 𝑖)𝑛

Valor Futuro 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖. 𝑛) 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖)𝑛

Taxa𝑖 =

𝑉𝐹𝑉𝑃

− 1

𝑛𝑖 =

𝑛 𝑉𝐹

𝑉𝑃− 1

Número de Períodos 𝑛 =

𝑉𝐹𝑉𝑃

− 1

𝑖𝑛 =

ln(𝑉𝐹𝑉𝑃

)

𝑙𝑛(1 + 𝑖)

AOCP 2012 - Um produto é vendido à vista por R$ 2.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira de R$ 400,00, no ato da compra, e, a segunda, dois meses após, no valor de R$ 1.760,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

a) 3%b) 3,5%c) 4%d) 4,5%e) 5%

FCC 2012 - Uma pessoa necessita da quantia de R$ 24.120,00 daqui a 8 meses. Se aplicar hoje o capital de R$ 22.500,00 a juros simples, então a taxa anual para obter na data desejada exatamente a quantia que ela necessita é

a) 9,6%b) 10,8%c) 12%d) 13,2%e) 14,4%

CESGRANRIO 2010 - Um investidor fez uma aplicação a 2% (juros simples) ao mês por um período de 12 meses e obteve um rendimento de R$ 6.000,00. O capital que proporcionou esse resultado, em reais, foi

a) R$ 30.000,00b) R$ 28.500,00c) R$ 27.250,00d) R$ 25.000,00e) R$ 24.100,00

João havia feito uma aplicação financeira há 18 meses e resolveu agora ir ao banco resgatar o dinheiro. Sabendo que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 2,1%a.m. e que João sacou R$ 16.778.20, informe quanto havia sido aplicado pelo João, 18 meses atrás.

Qual a taxa de juros compostos responsável por dobrar o capital investido em 1 ano?

Uma dívida no cartão de crédito fez a fatura de R$ 480,00 se transformar em R$ 18.000,00 em 3 anos. Informe qual a taxa de juros praticada pela administradora do Cartão de Crédito, num regime de juros composto.

Taxas de Juros

Taxa Efetiva

• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidadereferencial de seu tempo coincide com a unidadede tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplos:

– 2% ao mês, capitalizados mensalmente;

– 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;

– 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;

– 12% ao ano, capitalizados anualmente.

Taxas Proporcionais – Juros Simples

• Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidasem unidade de tempo diferentes que, ao seremaplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montanteacumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês

Isso só vale para Juros Simples!!!

Taxas Equivalentes – Juros Compostos

• Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidasem unidades de tempo diferentes que ao seremaplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montanteacumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês

Isso só vale para Juros Compostos!!!

(1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360

Taxas EquivalentesMétodo de Cálculo

Encontre a taxa equivalente anual de 3% am.

Mês Ano

De mês para ano eu devo aumentar a taxa, pois o período aumentou

Relação entre mês e ano: 1 ano tem 12 meses

Taxas EquivalentesMétodo de Cálculo

Encontre a taxa equivalente semestral de 36% aa.

Ano Semestre

De mês para ano eu devo diminuir a taxa, pois o período diminuiu

Relação entre ano e semestre: 1 ano tem 2 semestres

Resumo

Se o período AUMENTA:

Se o período DIMINUI:

Potência AUMENTA

Raiz DIMINUI

Taxa Nominal

• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidadereferencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

• Exemplo

– 12% ao ano, capitalizados mensalmente;

– 24% ao ano, capitalizados semestralmente;

– 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;

– 18% ao ano, capitalizados diariamente.

Taxa Efetiva e Taxa Nominal

• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal

Efetiva

• 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal

Efetiva

Não se faz conta com Taxa Nominal.Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.

Exercícios

1) Calcular a taxa mensal proporcional a 120%a.a. (juros simples).

2) Qual é a taxa trimestral proporcional a 36% a.a. (juros simples)?

Exercícios

1) Qual é a taxa anual equivalente à taxa composta de 10% a.s.?

2) Calcular a taxa mensal equivalente a juros compostos de 84%a.a.

Exercícios

1) A taxa de juros nominal de 30% a.s. , capitalizada mensalmente, equivale à taxa semestral de quantos por cento?

2) Um banco paga juros composto de 30%a.a., com capitalização mensal. Qual é a taxa anual efetiva?

Séries Uniformes de Pagamentos

Fórmulas

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

VP

PMT

Séries Diferidas (com carência)

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

Período de Carência

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

VP

VPcorrigido

0 1

Fórmulas

tempo0 1 2 3 … n - 1 n

VPcorrigido

0 1

tempo0 1 … n - 1 n

Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!

Exercícios

1) Um financiamento de R$ 132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Considerando o juro efetivo de 3%a.m. calcule o valor das prestações.

2) Maria está procurando um veículo para comprar. Sabendo que a prestação máxima que ela pode pagar é de R$ 500,00, a taxa de juro praticada pelo mercado é de 1,89%a.m. e atualmente o prazo máximo é de 48 vezes, qual o valor máximo do veículo que a Maria terá que procurar?

Exercícios

1) O BNDES financia caminhões a taxa de 2% a.m. e oferece uma carência de 5 meses nos financiamentos de 60 meses. Sabendo que a empresa Fajuta S/A pode pagar até R$ 1.200,00 de prestação, qual o valor máximo do caminhão que pode ser adquirido por ela, nesta situação?

2) Eduardo está indeciso entre duas alternativas de pagamento de seu novo apartamento. Uma alternativa consiste em pagar duas prestações de 50 mil reais, uma hoje e outra dentro de um ano. A segunda alternativa consiste em 24 prestações mensais (sem entrada inicial) de cinco mil reais cada. Sabendo que ele pode efetuar aplicações financeiras à taxa de juro efetiva mensal igual a 2%, qual deverá ser a alternativa escolhida?

Sistemas de Amortização

Sistema de Amortização

Como será paga a dívida!

Sistema de Amortização Constante (SAC)Sistema PriceSistema de Amortização Mista (SAM)Sistema AmericanoSistema Alemão

Conceito Básico

AMORTIZAÇÃO JUROS

PRESTAÇÃO

Prestação = Amortização + Juros

Sistema de Amortização Constante

VP = R$ 1.000,00i = 3% amn = 4 meses

período Saldo Devedor Juros Amortização PMT 0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 250,00 R$ 280,00 2 R$ 750,00 R$ 22,50 R$ 250,00 R$ 272,50

3 R$ 500,00 R$ 15,00 R$ 250,00 R$ 265,00 4 R$ 250,00 R$ 7,50 R$ 250,00 R$ 257,50

TOTAL R$ 1.000,00

Amortização = VP / n

PMT = Juros + Amortização

Sistema PRICE

VP = R$ 1.000,00i = 3% amn = 4 meses

período Saldo Devedor Juros Amortização PMT 0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 239,03 R$ 269,03 2 R$ 760,97 R$ 22,83 R$ 246,20 R$ 269,03

3 R$ 514,78 R$ 15,44 R$ 253,58 R$ 269,03 4 R$ 261,19 R$ 7,84 R$ 261,19 R$ 269,03

TOTAL R$ 1.000,00

Cálculo do PMT como em séries uniformes

Amortização = PMT - Juros

Apresente a planilha de amortização referente a compra de uma geladeira de R$ 2.800,00 em 6 vezes com uma taxa de juros de 3% am no sistema SAC.

Se a mesma geladeira for financiada num plano semelhante, mas no sistema PRICE como ficaria a planilha de amortização?

Este e outros arquivos estão

disponíveis para download no

www.slideshare.net/miltonh