Revisao Matem˜ atica´ - Unesp...Identidades d ds (~A+ B~) = d~A ds + dB~ ds d ds (~AB~) = ~A dB~...

Revisao Matematica

Ney Lemke

Departamento de Fısica e Biofısica

Vetores Sistemas de Coordenadas

Outline

1 VetoresEscalares e VetoresOperacoes Fundamentais

2 Sistemas de CoordenadasCoordenadas CartesianasCoordenadas CilindricasCoordenadas Esfericas

Outline

Escalares e Vetores

Escalares

EscalaresSao quantidades que nao dependem do sistema decoordenadas usado para caracterizar um sistema fısico.

ExampleTemperatura TMassa m

Escalares e Vetores

Vetores

VetoresSao quantidades que dependem do sistema de coordenadasusado para caracterizar um sistema fısico. Intuitivamente elespodem ser imaginados como segmentos orientados de reta.

Example

Posicao ~r ou rVelocidade ~v ou vAceleracao~a ou aForca ~F ou F

Escalares e Vetores

Tensores

TensoresSao quantidades que dependem do sistema de coordenadasusado para caracterizar um sistema fısico. Estas quantidadessao generalizacoes de vetores, caracterizados por dois ındices.

ExampleMomento de Inercia IijSusceptibilidade Eletrica e Magnetica εij e µij

Operacoes Fundamentais

VetoresA fısica nao depende das escolhas arbitrarias que fazemos dosistema de coordenadas e nem da origem, ou orientacao denosso referencial. Tanto na Mecanica como noEletromagnetismo visamos construir teorias que utilizem anotacao vetorial e que expressem relacoes contingentes entreas quantidades de interesse.

Produto por Escalar

Soma de Vetores

Subtracao

Coordenadas de um vetor

~A = Ax ~ax + Ay ~ay

Modulo de um vetor

Modulo

O modulo de um vetor |~A| = A, e o tamanho do vetor. Notacao:Vetor unitario

~ax =~XX

Produto Escalar

~A · ~B = AB cos θ

Produto Escalar

Propriedades

|A|2 = A · A(~A + ~B) · ~C = ~A · ~C + ~B · ~C~A · ~B = ~B · ~A

Produto Vetorial

~A× ~B

Produto Vetorial

Propriedades~A× ~B = −~B × ~A(~A + ~B)× ~C = ~A× ~C + ~B × ~C~A× ~B × ~C = (~A · ~C)~B − (~A · ~B)~C

Notacao do Marion

Propriedades

~x · ~y =∑

ABik =∑

AijBjk

δij =

{1 se i = j0 se i 6= j

Notacao do Marion

Propriedades

εijk =

+1 permutacao par−1 permutacao impar0 caso contrario

(~A× ~B)i =∑

εijkAjBk

Outline

Coordenadas Cartesianas

~ax × ~ay = ~az ~ay × ~az = ~ax ~ax × ~az = − ~ay

~r = x ~ax + y ~ay + z ~az

d~r = dx ~ax + dy ~ay + dz ~az

dV = dxdydz

Coordenadas Cilindricas

x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z

~aρ × ~aθ = ~az ~aθ × ~az = ~aρ ~az × ~aρ = ~aθ

~r = ρ ~aρ + z ~az

d~r = dρ ~aρ + ρdθ ~aθ + dz ~az

dV = ρdρdθdz

Coordenadas Esfericas

x = r sin θ cosφ y = r sin θ sinφ z = r cos θ

~ar × ~aθ = ~aφ ~aθ × ~aφ = ~ar ~aφ × ~ar = ~aθ

~r = r ~ar

d~r = dr ~aρ + rdθ ~aθ + r sin θdφ ~aφ

dV = r2 sin θdrdθdφ

Observacoes Importantes

O uso de um determinado sistema de coordenados deveespalhar a simetria do problema.Os vetores unitarios ~ar , ~aθ, ~aφ, ~aρ, ~aθ dependem daposicao ~r .

Notacao

~ar = r

~aθ = θ

~aφ = φ

Diferenciacao de Vetores Operadores Vetoriais Integracao Relacoes Vetoriais Equacoes Diferencias Ordinarias Sumario

Outline3 Diferenciacao de Vetores

Vetor Velocidade e Aceleracao4 Operadores Vetoriais

GradienteDivergenteRotacionalLaplaciano

5 IntegracaoIntegral VolumetricaIntegral de SuperfıcieIntegral de LinhaTeorema de GaussTeorema de Stokes

6 Relacoes Vetoriais7 Equacoes Diferencias Ordinarias8 Sumario

Diferenciacao de Vetores

= lim∆s→0

~A(s + ∆s)− ~A(s)

Identidades

(~A + ~B) =d~Ads

+d~Bds

(~A · ~B) = ~A · d~Bds

+ ~B · d~Ads

(~A× ~B) = ~A× d~Bds

+ ~B × d~Ads

(φ~A) = φd~Ads

+dφds~A

Vetor Velocidade e Aceleracao

Velocidade e Aceleracao

~v =d~rdt

~a =d~vdt

~v =∑

~a =∑

dt2~ei

Velocidade em Polares

~v = ~r = r ~er + r θ ~eθ

Aceleracao em Polares

~a = ~v = (r − r θ2)~er + (r θ + 2r θ) ~eθ

Velocidade e Aceleracao em Cilindricas

~v = ~r = r ~er + r θ ~eθ + z ~ez

~a = ~v = (r − r θ2)~er + (r θ + 2r θ) ~eθ + z ~ez

Velocidade e Aceleracao em Esfericas

~v = ~r = r ~er + r θ ~eθ + r sin(θ)φ ~eφ

Velocidade Angular

v = Rdθdt

= r sinαω

~v = ~ω ×~r

Medindo distancias

|~r − ~r ′|

Escreva os vetores usando o sistema de coordenadas deinteresse, mas utilizando os vetores unitarios ~ax , ~ay , ~az .Usando a definicao de produto interno calcule(~r − ~r ′).(~r − ~r ′)eleve o resultado a 1/2.

Gradiente

Gradiente em diferentes sistemas de Coordenadas

Cartesianas

∇V =∂V∂x

~ax +∂V∂y

~ay +∂V∂z

Cilindricas∇V =

∂V∂ρ

~aρ +1ρ

∂V∂θ

~aθ +∂V∂z

Esfericas

∇V =∂V∂r

~ar +1r∂V∂θ

~aθ +1

r sin θ∂V∂φ

Gradiente

Propriedades do Gradiente

O vetor gradiente e senpre normal a superfıcie φ =cte.O vetor ∇φ sempre aponta na direcao de maxima variacaode φ.A derivada na direcao ~n e dada por:

~n.∇φ

Divergente

Divergente em diferentes sistemas deCoordenadas

Cartesianas

∇ · ~A =∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

Cilindricas

∇ · ~A =1ρ

∂(ρAρ)

∂ρ+

∂Aθ

∂θ+∂Az

Esfericas

∇ · ~A =1r2∂(r2Ar )

1r sin θ

∂(sin θAθ)

∂θ+

1r sin θ

∂Aφ

Rotacional

Rotacional em diferentes sistemas deCoordenadas

Cartesianas

∇×~A =

(∂Az

∂y−∂Ay

)~ax +

(∂Az

∂x− ∂Ax

)~ay +

(∂Ax

∂y−∂Ay

Rotacional

Cilindricas

∇× ~A =

∂φ−∂Aφ

)~aρ +

(∂Aρ

∂z− ∂Az

∂ρAρ

∂θ− 1ρ

∂Aρ

Rotacional

Esfericas

∇× ~A =1

r sin θ

(∂(sin θAφ)

∂θ− ∂Aθ

)~ar +

sin θ∂Ar

∂φ−∂(rAφ)

(∂(rAr )

∂r− ∂Ar

Laplaciano

Laplaciano em diferentes sistemas deCoordenadas

Cartesianas

∇2V =∂2V∂x2 +

∂2V∂y2 +

∂2V∂z2

Cilindricas

∇2V =1ρ

(ρ∂V∂ρ

1ρ2∂2V∂θ2 +

∂2V∂z2

Esfericas

∇2V =1r2

(r2∂V∂r

1r2 sin θ

(∂(sin θV )

1r2 sin2 θ

∂2V∂φ2

Integral Volumetrica

f (x , y , z)dV

Integral de Superfıcie

~A · d~S

Integral Fechada ∮S

~A · d~S

Integral de Linha

~A · d~s

Integral Fechada ∮C

~A · d~s

Integral de Linha

Exemplos

Calcule o volume de um paraboloide de revolucaoz = x2 + y2 entre z = 0 e z = 1. Use coordenadascilindricas e cartesianas.Suponha agora que o paraboloide possua uma densidadeque dependa com a altura com a expressao ρ = e−z .Determine a massa.Considere uma casca cilındrica de raio unitario localizadaao longo do eixo z. E considere o campo vetorial~F = r ~aθ + 2~ar . Calcule o fluxo atraves da superfıcie.Represente o campo vetorial.

Calcule a circulacao do fluxo ~F = 2x ~ay + y ~ax atraves daslinhas:

iniciando em (0,0) ate (2,4) atraves de uma linha reta.iniciando em (0,0) ate (2,4) atraves da parabola y = x2

Integral de Linha

Exemplos

~F = r ~aθ + 2~ar

Teorema de Gauss

~A · d~a =

∫V∇ · ~AdV

Teorema de Stokes

~A · d~l =

∫S∇× ~A · dS

Relacoes Vetoriais

∇ · (~A + ~B) = ∇ · ~A +∇ · ~B

∇ · (u~A) = ~A · ∇u + u(∇ · ~A)

∇ · (~A× ~B) = ~B · (∇× ~A)− ~A · ∇ × ~B

∇× (u~A) = ~A×∇u + u(∇× ~A)

Relacoes Vetoriais

∇× (~A× ~B) = (∇ · ~B)~A− (∇ · ~A)~B + (~B · ∇)~A− (~A · ∇)~B

∇× (∇× ~A) = ∇ · (∇ · ~A)−∇2~A

∇× (∇V ) = 0

Definicao

Formulacao do problema:

F (y (n), y (n−1), . . . , y ; x) = 0

Solucao:y = y(C1,C2, . . . ,Cn; x)

Definicao

Para determinar Ci :

y(0) = D1

y (n−1)(0) = Dn

Se F e linear este problema e equivalente a solucao de umsistema de n equacoes lineares.

Sumario

Calculo vetorial e essencial para entenderEletromagnetismo.Calculo vetorial e essencial para entender MecanicaClassica.

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Especificación Técnica DS/266GST/AST-ES Rev. C … · 2018-05-10 · Soluciones técnicas para todas las aplicaciones ... 4 DS/266GST/AST-ES Rev. B ... (2,06 x 1,07 in.) Matriz

A) · 04 Questão 07 A) B) C) D) E) Questão 08 A) B) C) D) E) Questão 09 A) B) C) D) E) Questão 10 ... 05 Questão 13 A) B) C) D) E) Questão 14 A) B) C) D) E) Questão 15 A) B)

PREFEITURA MUNICIPAL DE ANAPU CONCURSO PÚBLICO - … · 03 d 04 d 05 b 06 b ... 08 b 09 d 10 a matemÁtica 11 c 12 a 13 b 14 b 15 d 16 c 17 a 18 d 19 a 20 a . prefeitura municipal

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