Aula 1

Sinais e Sistemas Introdução a Sinais

Profª Sandra Mara Torres Müller

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O que é um sinal? Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações

sobre a natureza de um fenômeno físico.

O que é um sistema? Entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma

função, produzindo assim, novos sinais.

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Exemplos de Sistema: Sistema Digital de Reconhecimento de Voz

Filtragem: elimina ruídos e concentra o sinal na faixa de frequência desejada;

Amostragem: converte o sinal da mensagem em uma sequência de números, representado a amplitude do sinal a cada instante de tempo;

Quantização: representa cada número amostrado dentro de um número finito de níveis de amplitude discreta;

Codificação: código binário, por exemplo.

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Exemplos de Sistema: Sistemas de Controle

O objeto a ser controlado é chamado planta Piloto automático de avião, veículo de transporte coletivo, motores de

automóveis,refinarias de petróleo, fábricas de papel, usinas elétricas, robôs.

Um sistema é robusto se tem boa regulação, apesar de perturbações externas, levando ao uso de realimentação

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Exemplos de Sistema: SensoreamentoRemoto

Processo de adquirir informações sobre um objeto de interesse sem estar em contato físico com ele

Estudo de superfície planetária Sensores de radar para informações das propriedades físicas da

superfície Sensores infravermelho para propriedade térmicas da superfície Sensores visíveis e próximos do infravermelho para informação

da composição química Sensores de raio-X para informações sobre materiais radioativos

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Processamento de Sinal Analógico x Digital

Analógico: resistores, capacitores, indutores, amplificadores transistorizados e diodos.

Digital: somadores, multiplicadores, memória

Apesar que a abordagem analógica trabalhe em tempo real, a digital possui: Flexibilidade de trabalhar com várias finalidades;

Repetitividade.

Os sistemas são mistos por natureza.

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Classificação de Sinais

Considerações: Sinais unidimensionais, ou seja, para cada valor de t há um

único valor de f(t); Os sinais podem ser de valor real ou complexo mas o tempo

sempre é real.

Pode-se identificar 5 tipos de sinais: Sinais de tempo contínuo e tempo discreto Sinais pares e ímpares Sinais periódicos e não-periódicos Sinais determinísticos e sinais aleatórios Sinais de energia e de potência

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Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto

Um sinal de tempo discreto x[n] é definido somente em instantes isolados de tempo e pode ser derivado de um sinal de tempo contínuo fazendo amostragem deste a uma taxa uniforme

Um sinal x(t) é um sinal de tempo contínuo se ele for definido para todo tempo t

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Sinais Pares e Ímpares

Par: x(-t) = x(t), para todo t (Eq. 1.2) Simétricos ao eixo vertical.

Ímpar: x(-t) = -x(t), para todo t (Eq. 1.3) Antissimétricos ao eixo do tempo.

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Sinais Pares e Ímpares

O conjugado de um sinal de valor complexo, x(t) = a(t)+jb(t), édefinido por x*(t) = a(t)-jb(t).

Diz-se que um sinal é conjugado simétrico se x(-t) = x*(t), ou seja, Um sinal complexo é conjugado simétrico se sua parte real for par e

sua parte imaginária for ímpar.

Uma observação similar se aplica a um sinal de tempo discreto

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Sinais Periódicos e Não-Periódicos

Um sinal é periódico se satisfaz a condição x(t) = x(t+T), onde T é uma constante positiva.

Se esta condição valer para T=T0, então vale para T=2T0, 3T0, ..., onde T0 é o período fundamental de x(t).

Assim, a frequência fundamental será f=1/T (Hz) e a frequência angular será dada por ω=2π/T (rad/s).

Já o sinal não-periódico não satisfaz a condição acima.

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Sinais Periódicos e Não-Periódicos

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Sinais Periódicos e Não-Periódicos

Para sinais discretos temos que a condição de periodicidade é dada por: x[n] = x[n+N], para todos os números inteiros de n.

O menor valor inteiro de N para o qual a equação acima é satisfeita échamado de período fundamental, cuja frequência angular, medida em RADIANOS, é dada por: Ω=2π/N.

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Sinais Periódicos e Não-Periódicos

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Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios

Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer instante. Podem ser modelados por uma função.

Tempo contínuo:

Tempo discreto:

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Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios

Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência real.

Um sinal aleatório pertence a um grupo de sinais onde cada sinal é diferente do outro e tem sua probabilidade de ocorrência.

O conjunto de sinais aleatórios é chamado de processo aleatório Exemplos: ruído gerado em um amplificador de áudio, sinal de EEG.

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Sinais de Energia e Sinais de Potência:Definições

Como p(t) = v2(t)/R ou p(t) = Ri2(t), se R=1Ω então a potência instantânea é dada por: p(t) = x2(t). Portanto, a energia total do sinal de tempo contínuo x(t) será:

E a potência média é definida como:

Para um sinal periódico a potência média será:

A raiz quadrática de P é o valor quadrático médio ou RMS do sinal x(t).

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Sinais de Energia e Sinais de Potência:Definições

Para o caso discreto temos

Para um sinal periódico com período fundamental N

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Sinais de Energia e Sinais de Potência

Um sinal é sinal de energia se, e somente se, a energia total do sinal satisfaz: 0< E <∞.

Um sinal é sinal de potência se, e somente se, 0< P <∞.

Um sinal de energia tem potência média zero e um sinal de potência tem energia infinita.

Os sinais periódicos e aleatórios são geralmente sinais de potência, enquanto sinais determinísticos e não-periódicos são sinais de energia.

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Sinais de Energia e Sinais de Potência

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Operações Básicas em Sinais

Envolve uma combinação de algumas operações básicas Operações executadas nas variáveis dependentes, variável x(t);

Operações executadas nas variáveis independentes, variável t.

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Operações Executadas nas Variáveis Dependentes

Mudança na escala de amplitude Caso contínuo: y(t) = cx(t), onde c é o fator de mudança de escala.

Exemplo: amplificador, resistor.

Caso discreto: y[n] = cx[n].

Adição Caso contínuo: considere x1(t) e x2(t) como um par de sinais de tempo

contínuo. A soma será y(t) = x1(t)+x2(t).

Exemplo: misturador de áudio

Caso discreto: y[n] = y1[n]+y2[n]

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Operações Executadas nas Variáveis Dependentes

MultiplicaçãoCaso contínuo: y(t) = x1(t)x2(t).

Exemplo: sinal de rádio AM, onde x1(t) é o sinal de rádio e x2(t) é a portadora.

Caso discreto: y[n] = y1[n]y2[n].

DiferenciaçãoCaso contínuo, x(t):

Exemplo: indutor

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Operações Executadas nas Variáveis Dependentes

Integração Caso contínuo, x(t):

Exemplo: capacitor

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Operações Executadas na Variável Independente

Mudança de escala de tempo Caso contínuo: y(t) = x(at)

Se a >1, y(t) é uma versão comprimida de x(t)

Se a <1, y(t) é uma versão expandida de x(t)

Caso discreto: y[n] = x[kn], k >0 e inteiro Se k >1, alguns valores do sinal de tempo discreto y[n] são perdidos

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Operações Executadas nas Variável Independente

Reflexão Caso contínuo: y(t) = x(-t) é o sinal refletido do sinal x(t) em relação

ao eixo de amplitude Sinal par: um sinal par é o mesmo que sua versão refletida

Sinal ímpar: um sinal ímpar é o negativo da sua versão refletida

Caso discreto: similar

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Operações Executadas nas Variável Independente

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Operações Executadas nas Variável Independente

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Operações Executadas nas Variável Independente

Deslocamento no tempo Caso contínuo: x(t) deslocado no tempo é definido por y(t) = x(t-t0) onde t0 é o

deslocamento. Se t0 >0, x(t) é deslocado para a direita.

Se t0 <0, x(t) é deslocado para a esquerda.

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Operações Executadas nas Variável Independente

Deslocamento no tempo Caso discreto: x[n] deslocado será y[n] = x[n-m], onde m é inteiro positivo ou

negativo

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Regra de Precedência para Deslocamento no Tempo e Mudança de Escala

Suponha que y(t) seja derivado de x(t) através de uma combinação de deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo, isto é, y(t) = x(at-b). Portanto, esta relação satisfaz as condições:

y(0)=x(-b) e y(b/a)=x(0)

Para obtermos y(t) a partir de x(t) as operações de deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo devem ser executadas na ordem correta:

1. Operação de deslocamento no tempo (variável independente), gerando v(t) = x(t-b), e depois

2. Operação de mudança de escala (variável dependente), substituindo t por at: y(t) = v(at)=x(at-b)

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Regra de Precedência para Deslocamento no Tempo e Mudança de Escala

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Regra de Precedência para Deslocamento no Tempo e Mudança de Escala

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Sinais Elementares

Servem como blocos de construção para sinais mais complexos e modelam sinais físicos que ocorrem na natureza

Sinais exponenciais;

Sinais senoidais;

Sinal senoidal exponencialmente amortecido;

Função degrau;

Função impulso;

Função rampa.

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Sinais Exponenciais

Caso contínuo: x(t) = Beat, B e a são reais e B é a amplitude Se a <0: exponencialmente decrescente

Se a >0: exponencialmente crescente

Exemplos: (a) a =-6, B =5, (b) a =5, B =1

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Sinais Exponenciais

Caso contínuo, exemplo físico:

Que gera a equação diferencial:

Cuja solução é:

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Sinais Exponenciais

Caso discreto: x[n] = Brn, onde r é definido como: r=eα

Se 0< r <1: exponencial decrescente

Se r >1: exponencial crescente

Se r <0: um sinal exponencial de tempo discreto som sinais + e – alternando-se

É possível que um sinal exponencial tenha valor complexo quando B, a ou α tenham valores complexos. Exemplos: ejωt, ejΩn

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Sinais Senoidais

Caso contínuo: x(t) = Acos(ωt+φ)

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Sinais Senoidais

Caso contínuo Um sinal senoidal é periódico, pois:

Para a geração de um sinal senoidal temos o indutor e capacitor em paralelo, onde ω0 é a frequência natural de oscilação angular

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Sinais Senoidais

Caso discreto: x[n] = Acos(Ωn+φ) O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras, x[n] =

x[n+N], onde N é o período. Então, x[n+N] = Acos(Ωn+ ΩN+φ)

Para que a condição de periodicidade seja satisfeita tem-se que: ΩN=2πm ou Ω=2πm/N (radianos/ciclo), m, N inteiros

Nem todos os sistemas senoidais de tempo discreto com valores arbitrários de Ω são periódicos. Ω deve ser um múltiplo na forma de razão de 2π. Exemplo: A=1, φ=0 e N=12

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Sinais Senoidais

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Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos

Caso contínuo:

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Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos

Caso discreto:

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Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido

Resultante da multiplicação de um sinal senoidal por uma exponencial decrescente de valor real:

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Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido

Exemplo físico: resposta natural RLC

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Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido

Para o caso discreto temos que

Para que o sinal decresça com o tempo: 0< |r| <1

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Função degrau

Caso discreto:

Caso contínuo:

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Função degrau

A função degrau é um sinal simples de aplicar, como uma fonte DC aplicada em t = 0 fechando-se uma chave.

Como sinal de teste, um degrau é útil para revelar a rapidez com que o sistema responde a uma mudança abrupta no sinal de entrada.

Uma observação similar se aplica a u[n] no contexto discreto.

A função degrau também é usada de base para construção de outros sinais.

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Função degrau

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Função degrau

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Função Impulso

Caso discreto:

Caso contínuo: δ(t) é conhecido como delta de Dirac

δ(t) é a derivada do degrau u(t), e então, u(t) é a integral do impulso

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Função Impulso

Caso contínuo: δ(t) é uma função par, ou seja, δ(-t)= δ(t)

Para que um impulso matemático tenha significado matemático ele tem de aparecer como um fator no integrando de uma integral com relação ao tempo. Isso leva à propriedade de peneiramento do impulso unitário

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Função Impulso

Caso contínuo: Outra propriedade do impulso é a mudança de escala de tempo

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Função Rampa

Caso contínuo: δ(t) é a derivada de u(t). Pelo mesmo raciocínio, a integral de u(t) é

uma função rampa de inclinação unitária

Em termos mecânicos, uma rampa pode ser visualizada como um sistema que tenha como entrada o deslocamento angular de um eixocom rotação constante. Assim, a velocidade angular do eixo é a função degrau, que integrada no tempo é o deslocamento angular

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Função Rampa

Caso contínuo: Como sinal de teste, a função rampa possibilita avaliar como um

sistema de tempo contínuo reagiria a um sinal que crescesse linearmente.

Caso discreto:

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Sistema Vistos como Interconexões de Operações

Um sistema pode ser visto com uma interconexão de operações que transforma um sinal de entrada em um sinal de saída diferente da entrada.

Suponha que o operador global H denote a ação de um sistema, então

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Sistema Vistos como Interconexões de Operações

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Propriedades dos Sistemas

Descrevem as características do operador H que representam o sistema:

Estabilidade;

Memória;

Causalidade;

Invertibilidade;

Invariância no tempo;

Linearidade.

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Estabilidade

Um sistema é BIBO estável (entrada limitada-saída limitada) se, e somente se, toda entrada limitada resulta em saída limitada. Ou seja, a saída do sistema não diverge se a entrada não divergir.

O operador H é BIBO estável se o sinal de saída y(t) satisfizer

Sempre que a entrada satisfizeronde My e Mx são números positivos finitos

Para um sistema discreto a análise é semelhante

Sempre se busca um sistema estável

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Estabilidade

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Estabilidade

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Memória

Um sistema possui memória se sua saída depender de valores passados do sinal de entrada. Sistema sem memória é o caso contrário.

A extensão temporal de valores passados, define quão longe a memória do sistema se estende no passado.

Exemplos: Um resistor é sem memória, pois i(t) = v(t)/R O indutor tem memória, pois i(t) = 1/L∫t-infv(t)dt. Essa memória se

estende no passado infinito O sistema y[n] = 1/3(x[n]+x[n-1]+x[n-2]) tem memória O sistema y[n] = x2[n] é sem memória

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Memória

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Causalidade

Um sistema é causal se o valor atual do sinal de saída depender somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada.

Em contrapartida, o sinal de saída de um sistema não-causal depende dos valores futuros da entrada. Exemplos:

Média móvel 1: y[n] = 1/3(x[n]+x[n-1]+x[n-2]) é causal

Média móvel 2: y[n] = 1/3(x[n+1]+x[n]+x[n-1]) é não causal

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Memória

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Invertibilidade

Um sistema é invertível se a entrada do sistema puder ser recuperada a partir da saída do sistema.

Para que a igualdade seja verdadeira, temos que:

H-1 é o operador inverso e o sistema associado a este operador échamado de sistema inverso. H-1 não é o recíproco e é difícil de achar.

O problema da invertibilidade pode acontecer em sistemas de telecomunicação, onde um equalizador é utilizado para compensar as distorções do canal, funcionando como o inverso deste.

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Invertibilidade

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Invertibilidade

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Invariância no Tempo

Um sistema é invariante no tempo se um retardo ou avanço de tempo no sinal de entrada levar a um deslocamento de tempo idêntico na saída

Supondo y(t) = Hx(t) e que x(t) seja deslocado de t0, resultando em x(t-t0) ou x(t-t0) = St0x(t). Considere que yi(t) é a saída para x(t-t0), ou seja:

Agora suponha que yo(t) é a saída original do sistema deslocada de t0 segundos

O sistema será invariante no tempo se yi(t) = yo(t), ou seja, se HSt0 = St0H. Assim, os dois operadores devem permutar-se entre si para todo t0. O mesmo serve para o caso discreto.

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Propriedades dos Sistemas –Invariância no Tempo

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Linearidade

Diz-se que um sistema é linear se satisfizer o princípio da superposição. Supondo a entrada ponderada:

Onde xi é um conjunto de sinais de entrada e ai são os fatores de ponderação correspondentes. Então:

Se o sistema for linear, a saída y(t) pode ser expressa como:Onde e então

Ou seja, a operação de adição deve comutar-se com a operação H do sistema.

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Linearidade

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