Post on 13-Aug-2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
SECÇÕES CÔNICAS
VINÍCIUS MARINHO
4
1 – Introdução
As Secções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo da
Matemática. Suas definições, equações e gráficos são utilizados em vários conteúdos do
Cálculo Integral, além de serem muitas as aplicações das cônicas na história das sociedades.
Desde que o matemático grego Apolônio escreveu o primeiro trabalho sobre as
Secções Cônicas, diversos matemáticos de renome contribuíram de maneira significativa no
entendimento dessas curvas e suas aplicações nos mais diversos assuntos.
Este presente trabalho tem por objetivo fazer um estudo sistemático das secções
cônicas, onde serão abordadas suas definições, equações, propriedades de reflexão e
caracterizações.
5
2 – Secções Cônicas
2.1 – Definições
Inicialmente vamos abordar as definições das secções cônicas (parábola, elipse e hipérbole) como sendo lugares geométricos em um plano fixado.
2.2– Parábola
Sejam dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano α , com F ∉ d. A parábola de foco F e diretriz d é o lugar geométrico dos pontos de α eqüidistantes de F e d.
2.3– Elipse
Sejam dados dois pontos distintos F1 e F2 pertencentes a um plano α . A elipse de focos F1 e F2
é o lugar geométrico dos pontos de α , cuja a soma das distâncias a F1 e F2 é constante.
2.4 – HipérboleSejam dados dois pontos distintos F1 e F2 pertencentes a um plano α . A hipérbole de focos F1
e F2 é o lugar geométrico dos pontos de α , cuja a diferença (em valor absoluto) das distâncias a F1 e F2 é constante.
3 – Teoremas e Demonstrações
6
.F
1
P
Onde: k é constante.. F2
.
.d
P
F . .
.P
F1
F2
..
Onde: k é constante.
Uma secção cônica é uma curva de intersecção de um plano com um cone circular reto de duas folhas, e os três tipos relevantes de curvas de intersecção que ocorrem são a parábola, a elipse e a hipérbole. Uma porção de um cone circular reto de duas folhas é mostrada na figura ao lado. Uma geratriz de um cone é uma reta situada no cone, e todas as geratrizes de um cone contêm o ponto V, chamado vértice do cone.
.21FFk >
.21FFk <
3.1– Parábola
3.1.1 – Teorema
3.1.2 – Demonstração
Considere uma esfera de centro O inscrita no cone e tangente, num ponto F, ao plano γ da secção cônica. Esta esfera intercepta o cone segundo uma circunferência pertencente a um plano π . Seja d a reta de intersecção dos planos γ e π . Vamos mostrar que esta secção cônica é a parábola de reta diretriz d e foco F (ver figura A).
7
geratriz
vértice
geratrizFolha superior
Folha inferior
eixo
Consideremos um cone circular reto e um plano que intercepta apenas uma das folhas do cone, se o plano é paralelo a uma só geratriz do cone a curva obtida é a parábola.
OQ
V
. .M
.
π
F
N
γ
.Figura A
.d
P
.
Para isto vamos tomar um ponto qualquer P pertencente à secção cônica. Seja Q a intersecção da geratriz do cone que passa por P com o plano π .
Seja M o pé da perpendicular ao plano π traçada por P. Como as retas VO e PM são
paralelas, obtemos a semelhança △VOQ ~△PMQ.
Daí obtemos a relação VOVQ
PMPQ = . Esta igualdade implica que a razão
PMPQ
é uma constante
independente da posição do ponto P na secção cônica.
Seja N o pé da perpendicular a reta d traçada por P. O ângulo MNP
=α independe da posição do ponto P no plano γ , pois α é o ângulo entre os planos γ e π (Ver figura B).
8
N M
P
α
γ
π
d
Figura B
No triângulo retângulo PNM: PNPM=αsen . Como α independe de P, isto mostra que a
razão PNPM
também independe da posição de P sobre a secção cônica.
Seja PMPQk = e seja
LPMPN 1= .
Daí, Lk
PNPQ
Lk
PMPNPMPQ
PNPQ =⇒==
//
é uma constante independente de P.
Mas, PQ = PF (potência de ponto em relação a uma esfera) então:
Lk
PNPF = é uma constante independente de P.
Neste momento é interessante notar que ainda não utilizamos a hipótese do plano γ ser
paralelo a uma geratriz do cone. Portanto o fato da razão PNPF
ser independente da posição de
P sobre a secção cônica é um fato verdadeiro para qualquer secção, sendo ela uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola.
Quando o plano γ é paralelo a uma geratriz, vamos mostrar que esta razão PNPF
é igual a 1.
Para isto vamos considerar P numa posição da secção cônica, quando os pontos F, P e N estão alinhados (Ver figura C).
9
γ
.F.
G
Figura C
π
V
.O .Q
.N. P d
Seja G um dos pontos de intersecção da reta NO com o cone. (ver figura C).
Além disso, como o plano γ (da parábola) é paralelo à geratriz GV do cone, por hipótese, concluímos que a reta que contém os pontos F, P e N é paralela a reta GV.
Daí:
).vérticepeloopostos(ˆˆ.)isósceleséVQGtriângulo(ˆˆ
.)internosalternos(ˆˆ
PQNGQV
GQVQGV
QGVQNP
=
=
=
Estas igualdades implicam que PQNQNP ˆˆ = ⇒ o triângulo PNQ é isósceles ⇒ PN = PQ.
Como PQ = PF, vemos que PN = PQ = PF e assim: 1=PNPF
.
Portanto, essa secção cônica do plano γ , quando γ é paralelo à geratriz VG, é uma parábola de foco F e reta diretriz d.
3.2 – Elipse
3.2.1 – Teorema
10
3.2.2 – Demonstração
O comprimento do segmento 1P 2P não depende destes pontos pois ele é igual ao comprimento de um segmento de geratriz do cone entre os círculos 1C e 2C .
Assim, P 1F + P 2F = 1P 2P é uma constante.
11
Consideremos um cone circular reto e um plano que intercepta apenas uma das folhas do cone. Se esse plano não passa pelo vértice e não é paralelo a nenhuma geratriz do cone, a curva obtida é a elipse.
Seja P um ponto qualquer da secção cônica obtida pela intersecção de um plano secante com o cone λ e seja 1ϕ a esfera inscrita no cone e tangente ao plano secante em um ponto 1F e 2ϕ uma outra esfera também inscrita no cone e tangente a elipse no ponto 2F . Sejam 1C e 2C os círculos onde
1ϕ e 2ϕ interceptam, respectivamente, o cone. Se g é uma geratriz do cone que passa por P então chamamos de 1P o ponto de interseção da geratriz g com o círculo 1C e 2P o ponto de interseção de g com 2C .
Temos que:
P 1F = P 1P ( Potência de um ponto externo à esfera ) P 2F = P 2P ( Potência de um ponto externo à esfera ) Assim, P 1F + P 2F = P 1P + P 2P = 1P 2P .
P
3.3 – Hipérbole
3.3.1 – Teorema
3.3.2 – Demonstração
O comprimento do
O comprimento do segmento 1P 2P não depende destes pontos pois ele é igual ao comprimento de um segmento de geratriz do cone entre os círculos 1C e 2C .
Assim, 1212 PPPFPF =− é uma constante.
4 – Equações
12
Consideremos um cone circular reto e um plano que intercepta as duas folhas do cone. A curva obtida neste caso é uma hipérbole.
Seja P um ponto qualquer da secção cônica obtida pela intersecção de um plano secante com o cone λ e seja 1ϕ a esfera inscrita no cone e tangente ao plano secante em um ponto 1F e 2ϕ uma outra esfera também inscrita no cone e tangente a hipérbole no ponto 2F . Sejam
1C e 2C os círculos onde 1ϕ e 2ϕ interceptam, respectivamente, o cone. Se g é uma geratriz do cone que passa P então chamamos de 1P o ponto de interseção da geratriz g com o circulo 1C e 2P o ponto de interseção de g com 2C .
Temos que:
P 2F = P 2P ( Potência de um ponto externo à esfera )P 1F = P 1P ( Potência de um ponto externo à esfera )
Assim:
121212 PPPFPFPFPF =−=−
P
Nesta seção vamos determinar equações para parábolas, elipses e hipérboles num particular sistema de coordenadas, escolhido para que a equação seja a mais simples possível.
4.1 – Parábola
Seja dada uma parábola de reta diretriz d e foco F. Escolhemos o eixo y perpendicular à diretriz e contendo o foco. A origem é tomada como o ponto médio sobre o eixo dos y entre o foco e a diretriz. Observa-se que os eixos (não a parábola) estão sendo escolhidos de uma maneira particular.
Neste sistema de coordenadas o foco é o ponto F(0, p), e a diretriz é a reta horizontal de equação y = – p. Um ponto P(x, y) está na parábola se e somente se P for eqüidistante de F e da diretriz.
),(),( RPdFPd =
2222 )()()( pyxxpyx ++−=−+⇒
22222 22 ppyyppyyx ++=+−+⇒
pyx 42 =⇒
4.2 – Elipse
Seja dada uma elipse de focos F1 e F2 . O eixo x é a reta que passa pelos focos. A origem é tomada como o ponto médio do segmento 21FF . Observa-se que os eixos (não a elipse) estão sendo escolhidos de uma maneira particular.
Neste sistema de coordenadas os focos são os pontos F1(-c, 0) e F2 (c, 0). Um ponto P(x, y) está na elipse se e somente se a soma das distâncias de P a F1 e F2 for constante.
Temos: KFPdFPd =+ ),(),( 21 , onde k é uma constante qualquer que chamaremos de 2a.
aFPdFPd 2),(),( 21 =+
13
.
.
y
xd
. P(x, y)
F(0, p)
(0, -p) R(x, -p).o
...P(x,y)
F1(-c,0) F
2(c,0)
y
x
aycxycx 2)()( 2222 =+−+++⇒
2222 )(2)( ycxaycx +−−=++⇒
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++⇒
222222222 2)(42 yccxxycxayccxx ++−++−−=+++⇒
cxaycxa 44)(4 222 −=+−⇒
cxaycxa −=+−⇒ 222)(
22222 )(])[( cxaycxa −=+−⇒
22242222 2)2( xccxaayccxxa +−=++−⇒
22242222222 22 xccxaayacacxaxa +−=++−⇒
224222222 caayaxcxa −=+−⇒
)()( 22222222 caayacax −=+−⇒
122
2
2
2
=−
+⇒ca
yax
2121 FFPFPF >+ (desigualdade triangular)
.022 2222 >−⇒>⇒>⇒> cacacaca Logo existe um número real b > 0 tal que:
222 bca =−
12
2
2
2
=+⇒by
ax
4. 3 – Hipérbole
14
.. .
P
F1 F
2
Seja dada uma hipérbole de focos F1 e F2 . O eixo x é a reta que passa pelos focos. A origem é tomada como o ponto médio do segmento 21FF . Observa-se que os eixos (não a hipérbole) estão sendo escolhidos de uma maneira particular.
Neste sistema de coordenadas os focos são os pontos F1(-c, 0) e F2 (c, 0). Um ponto P(x, y) está na hipérbole se e somente se a diferença (em valor absoluto) das distâncias de P a F1 e F2
for constante.
Temos: KFPdFPd =− ),(),( 21 , onde k é uma constante qualquer que chamares de 2a.
aFPdFPd 2|),(),(| 21 =−
aycxycx 2)()( 2222 ±=+−−++⇒
2222 )(2)( ycxaycx +−+±=++⇒
222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−±=++⇒
222222222 2)(442 yccxxycxaayccxx ++−++−±=+++⇒
cxcxaycxa 224)(4 222 −−=+−⇒
cxaycxa 44)(4 222 +−=+−±⇒
cxaycxa +−=+−±⇒ 222)(
22222 )(])[( cxaycxa +−=+−⇒
22242222 2)2( xccxaayccxxa +−=++−⇒
22242222222 22 xccxaayacacxaxa +−=++−⇒
224222222 caayaxcxa −=+−⇒
15
. ..
y
xF
1(-c, 0) F
2(c, 0)
P(x,y)
)()( 22222222 caayacax −=+−⇒
122
2
2
2
=−
+⇒ca
yax
2121 || FFPFPF <− (desigualdade triangular)
022 2222 <−⇒<⇒<⇒< cacacacaLogo existe um número real b > 0 tal que:
222 bca −=−
12
2
2
2
=−
+⇒b
yax
12
2
2
2
=−⇒by
ax
Nas próximas duas seções serão considerados alguns aspectos geométricos do gráfico da
hipérbole de equação: 12
2
2
2
=−by
ax .
4.3.1 – O intervalo ] [aa ,−
4.3.2 - Assíntotas
Cada hipérbole tem duas retas denominadas assíntotas que se interceptam no centro da curva. Para ver isso, observe que a hipérbole é simétrica em relação aos eixos x e y. Assim será considerada somente a porção da hipérbole no 1º quadrante, ou seja, vamos considerar x > a e y > 0.
16
Se um par ordenado (x, y) está nessa hipérbole então
)( 222
22 ax
aby −= o que implica que:
axouaxaxax −≤≥⇒≥⇒≥− 2222 0 .
Isto nos mostra que não existem pontos da hipérbole
no interior de }/),{( 2 axayx <<−ℜ∈ .
.. .
P
F1 F
2
y
x- a a
Temos:
)(1 222
22
2
222222
2
222
2
2
2
2
axaby
aabxbyb
axby
ax
by −=⇒−=⇒−=⇒−=
2
2
2
22222 11
xax
aby
xax
abyax
aby −=⇒
−=⇒−=⇒
Para um x muito grande o ponto da hipérbole está próximo da reta de equação xaby = .
O gráfico da reta assíntota tende para o gráfico da reta xaby = . Além disso vamos verificar
que a reta tangente também tende a esta reta quando x vai para mais infinito.
Temos:
2
222
22
22
1''
22'
xax
xaby
axx
aby
axx
abyax
aby
−=⇒
−=⇒
−=⇒−=
17
xaby =
x x
y
+ ∞→=
xxd 0)(lim
d(x)
.
..
∞+→
∞+→
=⇒
−=⇒
−=⇒
x
x
aby
xaa
by
xaa
by
'lim
1
1'lim1
1'
2
2
2
2
O gráfico da hipérbole e suas assíntotas:
As assíntotas são um excelente orientador quando se quer esboçar o gráfico de uma hipérbole, conhecendo-se os vértices traçamos as assíntotas para posteriormente fazermos cada ramo da hipérbole de maneira apropriada.
5 – As Propriedades de Reflexão
5. 1 – A Propriedade de Reflexão das Parábolas
Seja a parábola de equação pyx 42 = , e o foco de coordenadas F(0, p). Considere um ponto qualquer da parábola, de coordenadas P(x0, y0). Sendo a parábola o gráfico de uma função derivável, pode-se afirmar que existe uma reta tangente à parábola no ponto P, reta que não é vertical. Logo existe intersecção da reta tangente à parábola com o eixo y, intersecção que será o ponto Q(0, q).
18
..
y
- a a1F 2F
xaby =x
aby −=
.. x
.α .
.
y
x
P(x0, y
0)
F(0, p)
Q(0, q).
pyx 42 = reta tangente
βα
Figura D
pxxy
pxy
pxy
pxy
2)('
2'
42'
40
0
2
=⇒=⇒=⇒=
equação da reta tangente em )(2
)(: 00
000 xxp
xyyxxmyyP −=−⇒−=− .
Na figura D, vemos que α é o ângulo formado pela reta tangente à parábola e a reta vertical que contem o ponto P. Temos também que β é o ângulo formado pela reta tangente à parábola e a reta que contem os pontos PeF1 .
Desejamos mostrar que βα = . Para isto vamos provar que o triângulo FPQ, é isósceles.
Da equação da reta tangente podemos calcular as coordenadas do ponto Q(0, q).
pxq
pxxq
px
pxq
pxyq
442
242
20
20
20
20
20
20
0−=⇒−=⇒−=⇒−=
pxpFQqpFQ4
20+=⇒−= (I)
19
220
2
42240
2
420
240
20
2
2
420
2402
0
2202
02
020
416168
1616816
)4(168
4)(
+=⇒++=⇒
+−+=⇒+−+=⇒
−+=⇒−+=
pp
xFPp
pxpxFP
ppxpxxpFP
ppxpxxFP
pp
xxFPpyxFP
pp
xFP +=⇒4
20 (II)
De (I) e (II) temos que o triângulo PQF ˆ é isósceles (Ver figura D). Logo, βα =
A propriedade geométrica de reflexão das parábolas tem muitas aplicações. É usada no desenho do espelho dos faróis (ver figura abaixo). Para construir tal espelho, giramos a parábola ao redor de seu eixo a fim de formar uma superfície de revolução; depois pintamos a parte interna com tinta prateada criando uma superfície refletora. Colocando-se uma fonte de luz no foco F, cada raio que a fonte irradia será refletido na superfície e adotará como trajetória uma reta paralela ao eixo (Simmons, 1987).
A recíproca dessa propriedade mostra que: a única curva que possui a propriedade de reflexão da parábola é a própria parábola. Esse resultado está demonstrado em [3].
5.2 – A Propriedade de Reflexão das Elipses
20
Seja a elipse equação 12
2
2
2
=+by
ax
, e os focos de coordenadas )0,()0,( 21 cFecF − .
Considere um ponto qualquer da elipse, de coordenadas P(x0, y0).
Nesta secção vamos demonstrar que o ângulo α , entre o segmento 2PF e a reta t é igual ao ângulo β entre o segmento 1PF e a reta t. Como a elipse é simétrica em relação aos eixos coordenados, vamos supor que P pertence ao primeiro quadrante, ou seja, que 0>x e .0>y
2
2
2
2
2
2
2
2
11ax
by
by
ax −=⇒=+
−=⇒
−=⇒ 2
22
2
222 11
axby
axby
2
22
02
2
1a
xabyaxby −=⇒−=⇒
22
22
22'
xax
abyxa
aby
−−=⇒−=⇒
22'
xax
aby
−−=⇒
Em resumo no ponto ),( 00 yxP , temos:
20
20 xa
aby −= e 2
02
00 '
xax
aby
−−=
21
αβ
y
x)0,(1 cF − )0,(2 cF
),( 00 yxP
t Figura E
O coeficiente angular da reta que contém os pontos PeF2 é dado por:
cxxa
ab
cx
xaab
cxy
m−−
=−
−=
−=
0
20
2
0
20
2
0
01
.
O coeficiente angular da reta que contém os pontos PeF1 é dado por:
cxxa
ab
cx
xaab
cxy
m+−
=+
−=
+=
0
20
2
0
20
2
0
02
.
Na figura E, vemos que α é o ângulo formado pela reta tangente à elipse e o segmento que contem os pontos PeF2 . Temos também que β é o ângulo formado pela reta tangente à elipse e o segmento que contem os pontos PeF1 .
Desejamos mostrar que βα = . Entretanto, para começar essa demonstração, precisamos primeiramente demonstrar que estes dois ângulos, α e β , são ângulos agudos. Para isso, vamos mostrar que a reta normal ao gráfico da elipse no ponto ),( 00 yxP = passa entre as retas PF1 e PF2. De fato, a reta normal ao gráfico da elipse no ponto ),( 00 yxP = possui equação:
)( 00
20
2
0 xxx
xabayy −
−=− .
Substituindo o valor 20
20 xa
aby −= nessa equação, após algumas simplificações, vemos
que esta reta intercepta o eixo x (y = 0) no ponto de coordenada 02
2
xacx = . Como estamos
supondo 00 >x , vemos que este valor é claramente maior do que – c. Agora precisamos mostrar que este valor é menor do que c. De fato, como ax <0 , vemos
que acx
acx
2
02
2
<= . Mas como ac < , vemos que cac <
2
. Destas desigualdades concluímos
que cxacxc <=<− 02
2
. Daqui vemos que a reta normal ao gráfico da elipse passa entre as
retas PF1 e PF2. Isto implica que os ângulos α e β são agudos.
22
Para demonstrar que βα = , vamos utilizar as seguintes expressões:
20
20
10
10
'1'
tan'1
'tan
mymye
mymy
+−
=+
−= βα
Elas expressam a tangente do ângulo entre duas retas em termos de seus coeficientes angulares. Observe que essas expressões seguem da seguinte relação trigonométrica:
)tan()tan(1)tan()tan()tan(ba
baba⋅+
−=−
•
cxxa
ab
xax
ab
cxxa
ab
xax
ab
mymytg
−−
−−
−−
−−
−
=+
−=
0
20
2
20
20
0
20
2
20
20
10
10
1'1
'α
20
20
220
2
20
20
20
02
02
02
20
20
20
200
)(][
)()()(
)()(
xaxbcaxaxacxxab
cxaxbcxa
xacxxacxx
ab
−−−−+−−=
−−−
−−−+−−
=
20
220
220
20
20
2220
20
20
22220
20
)(
xacab
xaacxc
acxab
xacacx
acxab
xacabax
acxab
−=
−−
+−=
−−
+−=
−−−
+−=
•
cxxa
ab
xax
ab
cxxa
ab
xax
ab
mymytg
+−
−−
+−
−−
−
=+
−=
0
20
2
20
20
0
20
2
20
20
20
20
1'1
'β
23
20
20
220
2
20
20
20
02
02
02
20
20
20
200
)(][
)()()(
)()(
xaxbcaxaxacxxab
cxaxbcxa
xacxxacxx
ab
−−+−++−=
+−−
−+−+−−
=
20
220
220
20
20
2220
20
20
22220
20
)(
xacab
xaacxc
acxab
xacacx
acxab
xacabax
acxab
−=
−+
+=
−+
+=
−−−
+=
Como α e β são ângulos agudos βα tgtg = ⇒ βα = .
Uma aplicação interessante sobre a propriedade refletora das elipses é o funcionamento das galerias acústicas, o som vindo de um foco é refletido e passa pelo outro foco (Simmons, 1987).
5.3 – A Propriedade de Reflexão das Hipérboles
Seja a hipérbole de equação 12
2
2
2
=−by
ax , e os focos de coordenadas )0,()0,( 21 cFecF − .
Considere um ponto qualquer da hipérbole, de coordenadas P(x0, y0).
24
P = (x0, y
0)
y
x)0,(1 cF − )0,(2 cF
α
β
t
Na figura acima vemos que α é o ângulo formado pela reta tangente à hipérbole e o segmento que contem os pontos PeF2 . Temos também que β é o ângulo formado pela reta tangente à hipérbole e o segmento que contem os pontos PeF1 .
Analogamente a demonstração feita para a elipse, temos neste caso também que βα = .
Essa propriedade das hipérboles é o princípio essencial no projeto de telescópios refletores do tipo Cassegrain (ver figura abaixo). Um foco do espelho hiperbólico está no foco do espelho parabólico e outro está no vértice do espelho parabólico, onde uma ocular ou câmera está localizada. Raios paralelos débeis de luz estelar são portanto refletidos pelo espelho parabólico em direção ao seu foco, depois são interceptados pelo espelho hiperbólico e refletidos de volta em direção à ocular ou câmara (Simmons, 1987).
6– Caracterização das Secções Cônicas
Para finalizar a monografia vamos procurar responder a seguinte pergunta:
Imagine que uma curva plana tenha a mesma propriedade de reflexão da elipse ou da hipérbole. Então o gráfico dessa curva está contido em uma elipse ou em uma hipérbole ?
A resposta dessa pergunta é afirmativa como vamos demonstrar a seguir.
6.1 – Caracterização da Elipse
Consideremos uma função derivável y=f(x) e dois pontos fixados no plano. )0,()0,( 21 cFecF =−= , conforme a figura abaixo.
25
αβ
W V
P = (x, f(x))
y
x
.
)0,(1 cF − )0,(2 cF
T
y = f(x)
Um vetor na direção da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto P=(x, f(x)) pode ser:
)).(',1( xfT = Considere também os vetores:
))(,(22 xfxcPFPFV −−=−==
))(,(11 xfxcPFPFW −−−=−==
Seja α o ângulo entre os vetores T e V e seja β o ângulo entre os vetores –T e W. Como πβπα ≤≤≤≤ 00 e vemos que βαβα coscos =⇔= . Estes cossenos podem ser
calculados do seguinte modo:
22 )()(.)(')()(
.,
cosxfxcTxfxfxc
VTVT
+−−−==α
22 )()(.)(')()(
.,
cosxfxcTxfxfxc
WTWT
++++=
−−
=β
Assim, 2222 )()()'().()(
)()()'().()(
xfxcxfxfxc
xfxcxfxfxc
++++=
+−−−⇔= βα (I)
26
Quero provar que se βα = então o gráfico está contido em uma elipse, uma maneira de se verificar isto, seria resolvendo a equação diferencial (I) e mostrar que a solução é a função que
define uma elipse 22)( xaabxf −= .
Por outro lado sabemos que a curva y = f(x) é uma elipse se, e somente se, a soma 21 PFPF + é constante.
Seja 21)( PFPFxg += 2222 )()()()()( xfcxxfcxxg +−+++=⇒
A função g(x) é constante ⇔ g’(x) = 0
⇔ 0)()(2
)(').(2)(2)()(2
)(').(2)(2)('2222
=+−
+−+++
++=xfcx
xfxfcxxfcx
xfxfcxxg
⇔ 0)()(
)(').()()()(
)(')()(2222
=+−
+−+++
++xfcx
xfxfcxxfcx
xfxfcx (II)
De (I) e (II) vemos que βα = ⇔ 21 PFPF + é constante ⇔ a curva y = f(x) está sobre uma elipse.
Conclui-se então que a única curva que possui a propriedade de reflexão da elipse é a própria elipse.
6.2 – Caracterização da Hipérbole
Consideremos uma função derivável y=f(x) e dois pontos fixados no plano. )0,()0,( 21 cFecF =−= , conforme a figura a seguir.
27
W
y
V T
x
P = (x, f(x))
)0,(1 cF − )0,(2 cF
α
β
y = f(x)
1º caso: Suponhamos x > 0, ou seja: 21 PFPF > .
Um vetor na direção da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto P=(x, f(x)) pode ser:
)).(',1( xfT = Considere também os vetores:
))(,(
))(,(
11
22
xfxcPFPFW
xfcxFPPFV
−−−=−==
−=−==
Seja α o ângulo entre os vetores T e V e seja β o ângulo entre os vetores –T e W. Como πβπα ≤≤≤≤ 00 e vemos que βαβα coscos =⇔= . Estes cossenos podem ser
calculados do seguinte modo:
22 )()(.)(')()(
.,
cosxfxcTxfxfxc
VTVT
+−−−==α
22 )()(.)(')()(
.,
cosxfxcTxfxfxc
WTWT
++++=
−−
=β
Assim, 2222 )()()(').()(
)()()(').()(
xfxcxfxfxc
xfxcxfxfxc
++++=
+−−−⇔= βα (I)
Quero provar que se βα = então o gráfico está contido em uma hipérbole, uma maneira de se verificar isto, seria resolvendo a equação diferencial (I) e mostrar que a solução é a função
que define uma hipérbole 22 axaby −= .
Por outro lado sabemos que a curva y = f(x) é uma hipérbole se, e somente se, o valor absoluto da diferença 21 PFPF − é constante.
Seja 21)( PFPFxg −= 2222 )()()()()( xfcxxfcxxg +−−++=⇒
A função g(x) é constante ⇔ g’(x) = 0
28
⇔ 0)()(
)(').()()()(
)(')()(2222
=+−
+−+++
++xfcx
xfxfcxxfcx
xfxfcx (II)
De (I) e (II) vemos que βα = , para x > 0 ⇔ 21 PFPF − é constante ⇔ a curva y = f(x) está sobre uma hipérbole.
Conclui-se então que a única curva que possui a propriedade de reflexão da hipérbole é a própria hipérbole.
Analogamente ao 1º caso, se considerarmos x < 0, ou seja 12 PFPF > , o gráfico da y = f(x) também estará sobre uma hipérbole.
7) Referências Bibliográficas
[1] – ÁVILA, Geraldo. Kepler e a órbita elíptica. Revista do Professor de Matemática, n° 15,
1989, p. 2-13,
[2] – Explorando o Ensino Médio. Ministério da Educação. Brasília, 2004.
[3] – FIGUEIREDO, Djairo Guedes, ALOÍSIO, Freiria Neves. Equações Diferenciais
Aplicadas. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2002.
[4] – Jennings, George A., Modern Geometry with Applications, Universitext, New York
29
Singer-Verlag, 1994.
[5] – LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica.São Paulo: Harbra,1982.
[6] – SILVA, Geni Schulz. Por que elipse, parábola e hipérbole?. Revista do Professor de
Matemática, n° 7, 1985, p. 43-44.
[7] – SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo:McGraw-Hill,1987.
[8] – SWOKOWISKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo:Makron
Books,1994.
30