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SECRETARIA DA EDUCAÇÃOCoordenadoria de Gestão da Educação Básica 1

Núcleo Pedagógico de Jacareí

Orientação Técnico-PedagógicaFormação - Escolas Prioritárias

Matemática

SECRETARIA DA EDUCAÇÃOCoordenadoria de Gestão da Educação Básica

Níveis de proficiência estabelecidos pelo SARESP

O direcionamento que daremos aqui neste tópico destinado aos níveis de Proficiência será de estabelecer uma análise das reais necessidades em que esses indicadores possam direcionar uma proposta de formação docente e posterior intervenção em sala de aula.

Nível de Proficiência

Abaixo do Básico

Classificação

Insuficiente

Descrição

“Os alunos neste nível demonstram domínio

insuficiente dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série

escolar em que se encontram.”

PROFICIÊNCIA

Básico

Classificação

Suficiente

Descrição

“Os alunos, neste nível, demonstram domínio mínimo dos conteúdos, competências e habilidades, mas possuem

as estruturas necessárias para interagir com a

proposta curricular no ano/série subsequente”

PROFICIÊNCIA

Adequado

“Os alunos, neste nível demonstram domínio perfeito dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se

encontram”.

Avançado

Classificação

Avançado

Descrição

“Os alunos, neste nível, demonstram conhecimentos e domínio dos conteúdos,

competências e habilidades acima do requerido no

ano/série escolar em que se encontram”.

PROFICIÊNCIA

Nível de ProficiênciaClassificação

Objetivos de trabalho

Insuficiente Abaixo do Básico

Suficiente

Adequado

Básico

Para o tratamento desta problemática, iniciaremos este estudo com algumas indicações de Gerard Vergnaud em seu artigo: “O longo e o curto prazo na aprendizagem da Matemática”

Base Teórica:Teoria dos Campos Conceituais

O longo prazo e o curto prazo na aprendizagem da Matemática

Vergnaud (2011) refere-se ao “longo prazo” como perspectiva de desenvolvimento, ou seja, há de se respeitar o tempo de aprendizagem do sujeito de aprendizagem e que o resultado não é instantâneo, necessita de certo período de acomodação dos conhecimentos já adquiridos.

o “curto prazo” refere-se à situação na qual o aluno está agindo em determinada situação de aprendizagem, utilizando os esquemas de ações, envolvendo as invariantes operacionais, ou seja os teoremas e os conceitos em ação, previamente estabelecidos e o professor é o ente de ligação, que lhe dá condições para facilitar e guiar o processo de aquisição.

Piaget e Vergnaud

Para Vergnaud, Piaget reduz seu estudo às estruturas lógicas gerais, independentes do conteúdo do conhecimento: “complexidade lógica geral”.

Piaget não trabalhou em contextos escolares, centro de interesse de Vergnaud.

Vergnaud retoma os princípios de Piaget, porém adota como referência o conteúdo do conhecimento.

Considerou-se um epistemólogo genético porque investigou a natureza e a gênese do conhecimento nos seus processos e estágios de desenvolvimento.

Fonte: PORTAL EDUCAÇÃO - Cursos Online : Mais de 1000 cursos online com certificado http://www.portaleducacao.com.br/psicologia/artigos/26650/principios-sobre-o-desenvolvimento-para-jean-piaget#ixzz2gZMDWmQj

Vergnaud (1994), define Campo Conceitual, da seguinte maneira:

um conjunto de situações cujo tratamento implica esquemas, conceitos e teoremas em estreita relação, assim como representações linguísticas e simbólicas que podem utilizar-se para simbolizá-los.

(VERGNAUD, 1994, p. 75)

a proposta de Vergnaud é que se identifique, valorize e estude as ações dos estudantes no momento em que eles estão resolvendo problemas, pois é nesse momento que os conceitos e conhecimentos traduzidos em formade invariantes implícitos, isto é quando aparecem os esquemas de ação do sujeito, formando assim os elementos constitutivos dos esquemas desses alunos, e que o esquema é “uma espécie de modo finalizado pela intenção do sujeito e estruturado pelos meios que este emprega para alcançar seu objetivo” Vergnaud e Laborde (1994, p. 68).

Mapa Conceitual

EsquemaConceitoInvariantes

Para Vergnaud, esquema é o conceito mais importante da psicologia cognitiva, quando se trata em teorizar sobre ação e atividade, pois a maior parte de nossas atividades cognitivas é efetuada através de esquemas.

Pensar é um gesto, sob o aspecto de produzir sequências de ações, ou operações sob certas circunstâncias, com objetivos, ou sub-objetivos, de agrupar informações e processá-las

Esquema

Vergnaud, (1998), destaca quatro características principais em um esquema:1.Objetivos e antecipações;2.Regras de ação, procura de informação e controle;3.Invariantes Operacionais (conceitos em ação e teoremas em ação), que pilotam o reconhecimento pelo sujeito dos elementos pertinentes da situação e da coleta de informações sobre a maneira da situação a tratar. 4.Possibilidades de Inferências;

Conceito

- Conjunto de esquemas postos em prática- Conjunto de invariantes utilizáveis na ação.- Neste caso não se discute a validade ou não de um conceito, mas sim o uso de palavras, enunciados e signos.- Isto leva a considerar que um conceito é uma tríade dos conjuntos: C= (S, I, R)

Tríade(S,I,R)

S: é o conjunto das situações que dão sentido ao conceito (a referência);I: é o conjunto de invariantes sobre os quais descansa a operacionalidade dos esquemas (os significados);R: é o conjunto de formas linguísticas e não linguísticas que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (os significantes).

Invariantes operatórios

I.Conceitos em ação.II.Teoremas em ação.

I.Conceitos em ação.

Conceitos em Ação são relevantes ou não ou são parcialmente relevantes para identificar e selecionar a informação, porém relevância ou irrelevância não significam: verdadeiro ou falso, não há significado em dizer que os conceitos do triângulo, ou número, ou simetria ou operação escalar, ou transformações são, elas mesmas, verdadeiras ou falsas; e ainda estes conceitos são conceitos matemáticos relevantes para caracterizar representação e ação em tarefas matemáticas.

II. Teoremas em ação

Teoremas em Ação são definidos como relações matemáticas que devem ser levados em consideração pelos alunos quando eles escolhem uma operação ou uma sequência de operações para resolver um problema. Estas relações geralmente não são expressas verbalmente pelos alunos. Assim, Teoremas em Ação não são teoremas de senso convencional porque a maioria deles não são explícitos.

II.Teoremas em ação

Portanto, teoremas em ação, são formas de analisar as estratégias intuitivas dos alunos e consequentemente ajudá-los à transformar conhecimento intuitivo em conhecimento explícito e também oferecer um caminho para diagnosticar o conhecimento do aluno e assim oferecer situações que permitirão consolidar seu conhecimento.

Campo Conceitual das Estruturas Aditivas

Aditiva: Composição de Medidas; Transformação de Medidas; Comparação de Medidas.

Multiplicativa: Multiplicação; Divisão por Partes; Divisão por Cotas.

Definição. [...] o campo conceitual das estruturas aditivas é simultaneamente o conjunto de situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, é o conjunto de conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. São elementos das estruturas aditivas, os conceitos de cardinal, medida, transformação, temporal por aumento ou diminuição, relação de comparação qualitativa, inversão. (VERGNAUD, 1990, p. 146.)

Categorias

Segundo Vergnaud (1991) as relações aditivas são relações ternárias que podem ser articuladas de diversas maneiras e oferecer uma grande variedade de estruturas aditivas. O autor identifica seis esquemas ternários básicos, elencados a seguir.

Categorias

1.Composição de duas medidas em uma terceira

Duas medidas se compõem para dar lugar à outra medida; (composição protótipo);

Tipologia: Nesta categoria estão essencialmente os problemas de reunião ou do desmembramento de coleções com valores mensuráveis. De acordo com que se pede, o todo ou uma das partes, a operação associada será uma adição ou uma subtração.

Composição de Medidas

• Ex.: Paulo tem seis bolas de vidro e oito de aço. Quantas ele tem ao todo?

Categorias

2.Relação de transformação de estados

Uma transformação opera sobre uma medida para dar lugar a uma outra medidaTipologia: Esta categoria trata de enunciados que descrevem as situações que são desenvolvidas frequentemente no tempo, em que é possível identificar um estado inicial, uma transformação (positiva ou negativa) e que opere sobre estado para chegar a um estado final. Esta estrutura define ainda outras seis categorias de problemas, segundo o tipo de transformação: positiva ou negativa e se a busca leva a um estado final ou um estado inicial.

Transformação de estados

• Paulo tinha sete bolas antes de jogar. Ele ganhou quatro. Quantas ele tem agora ?

Categorias

3.Relação de comparação aditiva

Uma relação que une duas medidas.

Tipologia: Aqui temos dois estados relativos a duas medidas mensuráveis ou localizáveis, se comparam de maneira aditiva, onde uma das medidas desempenha um papel de referente a outra referido. A relação se enuncia mediante as expressões “a mais” ou “a menos”.

Relação entre Medidas

• Paulo tem oito bolas. José tem cinco bolas a menos. Quantas bolas tem José ?

Categorias

4.Composições de transformações

duas transformações se compõem para dar lugar a uma terceira transformação.Tipologia: Duas transformações ou mais se aplicam entre si entre estados desconhecidos (pois se forem conhecidos, cairiam na família de “relações de transformações”). A transformação única, composta por estas transformações, permite transformar o estado inicial no estado final obtido após a aplicação de todas as transformações implicadas.

Composição de Transformações

• Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ?

Categorias

5.Transformação de uma relação

Uma transformação opera sobre um estado relativo (uma relação) para dar lugar a um estado relativo.

Transformação de Relações

• Paulo devia seis bolas a Henrique. Ele deu-lhe quatro. Quantas ele deve agora ?

Categorias6.Composição de duas transformações

Dois estados relativos (relações) se compõem para dar lugar a um estado relativo.

Tipologia: Estes dois últimos casos podem ser descritos de maneira análoga às duas primeiras categorias. Não existe nenhum tipo de problema, destas duas últimas categorias, que pode ser aplicado nas séries iniciais do ensino fundamental.

Composição de Transformações

• Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ?

Quadro Resumo

COMPOSIÇÃO

BParte

Protótipo

XParte

1ª Extensão

Em um jardim encontramos rosas e cravos, contaram-se 10 rosas e 12 cravos, qual é o total de rosas e cravos deste jardim?

Em um jardim foram contadas 22 flores entre cravos e rosas, destas flores 12 eram cravos, quantas rosas existiam no jardim?

Quadro Resumo

TRANSFORMAÇÃO

Protótipo

1ª Extensão

2ª Extensão

Em um dado momento de um campeonato, uma equipe possuía 20 pontos, ao vencer um jogo ela acumulou 3 pontos. Qual é a pontuação desta equipe neste momento do campeonato?

Luzia tinha 4 figurinhas, participou de um jogo de bafo e no final do jogo ficou com 10 figurinhas. O aconteceu no jogo?

Paulo comprou 10 quilos de arroz para sua casa e verificou que ficou com 40 quilos de arroz. Qual era o seu estoque inicial?

Problemas Mistos

COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES

Nesta classe de problemas existe a composição de transformações, sendo que uma medida sofre uma transformação, que resulta em uma transformação intermediária e posteriormente sofre outra transformação resultando em estado final.

Problemas Mistos

Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na segunda partida?

Problemas Mistos

PEDRO JOGOU DUAS PARTIDAS DE BOLINHAS DE GUDE. DURANTE A PRIMEIRA PARTIDA, ELE GANHOU 7 BOLINHAS. ELE JOGOU A SEGUNDA PARTIDA. FAZENDO AS CONTAS PARA AS DUAS PARTIDAS, ELE VIU QUE PERDEU AO TODO 2 BOLINHAS. O QUE OCORREU NA SEGUNDA PARTIDA?

1º Aspecto do pensamento.

Um raciocínio que pode ser utilizado aqui seria o princípio da equivalência, da seguinte maneira: se na primeira partida ele ganhou 7 bolinhas, para saber o quanto ele tinha anteriormente basta subtrair 7 bolinhas, ou seja, anulamos os resultados.

Problemas Mistos

2º Aspecto do pensamento.

Se anteriormente havíamos subtraído 7 para sabermos o quanto ele tinha de bolinhas ao iniciar a partida, então o valor relativo da primeira transformação é -7 e se na segunda partida ele perdeu 2 (-2), então a composição das medidas relativas é -9, que é o número relativo que representa o valor de x, pois (-9) + (+7) = (-2)

Problemas Mistos

Campo Conceitual das Estruturas

Multiplicativas

Definição. As relações multiplicativas básicas, segundo Vergnaud (1991), não são relações ternárias, elas são quaternárias, pois os problemas mais simples de multiplicação e divisão implicam na proporção simples de duas variáveis uma em relação a outra.As relações multiplicativas estão divididas em dois grandes grupos; o isomorfismo de medidas e o produto de medidas.

As relações quaternárias, segundo Vergnaud (1991), são as mais utilizadasna escola primária, quando se introduz a multiplicação e fazem parte da formação dagrande maioria dos problemas de tipo multiplicativo. Como o próprio diz, elas serelacionam entre si através de quatro quantidades, sendo as duas primeiras medidasde certo tipo que se relacionam com duas de outro tipo de medidas. Pertencem àclasse das relações quaternárias os problemas de isomorfismos de medidas, ou seja, os problemas de multiplicação, a divisão como partição, a divisão comoquotição e a quarta proporcional

Já as relações ternárias, consistem em relações entre três quantidades, de talforma que uma é o produto das outras duas, ou seja, o produto de medidas, tanto noplano numérico como no plano dimensional, estão inseridos neste contexto osproblemas que dizem respeito ao produto cartesiano, proporções múltiplas ecomparação multiplicativa.

Categorias1.Isomorfismo de Medidas.

RELAÇÕES QUATERNÁRIAS

Tenho 3 pacotes de bombons, com 10 bombons cada. Qual é a minha quantia total de bombons?

Multiplicação

Multiplicou por 10

Multiplicou por 3

Multiplicar por 10 (30)

Pacotes

Bombons

Pela compra de 4 carrinhos, Carlos gastou R$ 40,00. Quanto ele gastou em cada carrinho?

Divisão como partição

Multiplicou por 4

Multiplicou por 10

Carrinho

Dividir por 4 (10)

Divisão como quota

Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar alguns pacotes de bombons que custam R$ 6,00 cada pacote. Qual é a quantidade de pacotes que Pedro irá comprar?

Pacotes Valor

Multiplicou por 6

Multiplicou por 5

Dividir por 6 (5)

Tenho 3 pacotes de bombons, com 10 bombons cada. Qual é a minha quantia total de bombons?Pela compra de 4 carrinhos, Carlos gastou R$ 40,00. Quanto ele gastou em cada carrinho?

Multiplicação

Divisão como partição

Divisão como quota

Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar alguns pacotes de bombons que custam R$ 6,00 cada pacote. Qual é a quantidade de pacotes que Pedro irá comprar?

Quarta Proporcional

Para executar certo serviço em 6 horas, necessito de 4 funcionários. Quantos funcionários serão necessários para executar este mesmo serviço em 3 horas?

Tempo (h)

funcionários

Dividiu por 2

Multiplicar por por 2

“metade” de 6

“dobro” de 4 = 8

Categorias2.Produtos de medidas

RELAÇÕES TERNÁRIAS

Proporções múltiplas

Uma dada receita foi descrita da seguinte maneira: para cada copo de leite são necessários 3 ovos, e para cada ovo são necessários 2 xícaras de farinha. Pretende-se fazer esta receita com 2 copos de leite, quantas xícaras de farinha serão necessárias?Copo de leite Ovos Xícaras de farinha

Taxa: x 3

Taxa: x 2

2 6 X= 12

Produto Cartesiano - Bilinearidade

Um parque de diversão cobra 2 reais para brincar em qualquer brinquedo por 1 hora.Maria quer levar seus três filhos para brincar no parque por quatro horas. Quanto ela pagará?

Crianças

Par: (criança x horas)3 x 4 Taxa: x

Valor a pagar

Produto Cartesiano

Em uma sorveteria, o sorvete de uma bola pode ser servido em casquinha ou copinho. Existem quatro variedades de sabores: menta, baunilha, chocolate ou morango. De quantas maneiras diferentes podemos montar um sorvete de uma bola.R= {a,b}, (sendo a= casquinha e b= copinho) o

conjunto dos recipientesS= {c, d, e, f}, (c= menta, d= baunilha, e=chocolate, f=morango) o conjunto dos sabores R

S c d e fa (a,c) (a,d) (a,e) (a,f)b (b,c) (b,d) (b,e) (b,f)

Espaço Contínuo

Em uma sala de aula em formato retangular, existem 8 filas de carteiras, com 5 carteiras cada. Quantas carteiras a sala possui?

Par (horizontal x vertical) = nº de carteiras na horizontal x nº de carteiras na vertical

Categorias

3.Comparação multiplicativa

Comprei uma boneca por R$ 21,00 e uma bola por R$ 3,00. Quantas vezes a boneca foi mais cara que a bola?

Referido

Referente

÷? Relação

Categorias

3.Comparação multiplicativa

Comprei uma bola por R$ 3,00 e comprei uma boneca 7 vezes mais cara que a bola. Quanto custou a boneca.

Referido

Referente

X 7 Relação

O conceito de esquema aliado aos invariantes operatórios, são ospontos centrais da Teoria dos Campos Conceituais, nesta teoria o conceito deesquema se refere à organização estrutural das ações do sujeito frente a uma dadaclasse de situações e possuem duas características distintas, a primeira dá o sentidoorganizador do esquema, pois é ele que organiza e dá sentido às ações, a outracaracteriza a dinâmica do esquema como assimilador e antecipador, pois ele podemudar sua significação e se transformar no decurso das ações.

Referências bibliográficas.

VERGNAUD. G. - A Teoria dos Campos Conceptuais: in Didáctica das Matemáticas, Brun, J (Dir), Lisboa: Instituto Piaget, 1996, 280 p., Cap. 3, 155-191

____________. - El Niño, las Matemáticas y la Realidad, México: Editorial Trilhas, 1991.

____________ A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education, in Journal of Mathematical Behavior, 17, vol. 2, pp 167 – 181, 1998.

YAMANAKA.O.Y - Um Estudo sobre a Introdução Algébrica nas Séries Iniciais – 2009. 156 f. Dissertação ( Mestrado Acadêmico) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009.

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