Segmento: Ensino MédioDisciplina: Matemática

Tema: Sólidos Geométricos - Cone

Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides

nos cones.

Cone: A Definição!

Considere um círculo C contido num plano

e um ponto V não-pertencente a .

Chama-se cone a reunião de todos os

segmentos que ligam cada ponto de R ao

ponto P.

g

r

h

O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.

Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.

O**

h

90º90º

A Fig. mostra um Cone Oblíquo.

V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz

R

V

g’ g

eixo

Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.

O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da base.

Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.

Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.

Eixo = Altura

A altura é sempre perpendicular ao plano.

eix

o

alt

ura

Cone Circular Reto

OO

**

g2) No VOA :

AB

V

ou Cone de Revolução

gg2 2 = h= h22 + R + R22

R

h

1) O eixo é perpendicular ao plano da base.

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados. A

B C

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.A

B C

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

4

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

A

B C

4) Cone de Revolução: Um cone reto pode ser obtido ao girar

um retângulo em torno de um dos seus

lados.

O VBA é a seção meridiana do cone.

SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana

OO** AB

V

g

2R

Seção Seção MeridianaMeridiana

Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é

eqüilátero, o eqüilátero, o cone é um cone é um

Cone Cone EqüiláteroEqüilátero..

g=2Rg=2R

Planificação do Cone Reto

Rx

h

gClique

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

Rx

h

g

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

Cone Planificação do Cone Reto :

x

h

g

R

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

Planificação do Cone Reto

x

h

g

R

g

2RR

Angulo

==2R g

Planificação do Cone Reto

AALL = = R g R g AALL = = R g R g

At = AL+ 2

Ab

At = AL+ 2

Ab

Área Lateral( AL )

Área Total( At )

Volume( V )

AAbb = = R R22 AAbb = = R R22Área Base( Ab )

Áreas e VolumeÁreas e Volume

V = R R22 hV = R R22 h

1 1 33

Áreas e VolumeÁreas e Volume

Pirâmide Cone

Área da Base (AB)

Depende do Polígono da

Base

Área da circunferência

Área Lateral (AL)

Área Total (At)

Volume (V)

3

.hAb33

. 2hrhAb

O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!

LBt AAA

rgrAt 2LBt AAA

2rAb

grAl .2

gpAl ).2(gpAl ).2(glnAl ..

H G

R

H G

R

A secção transversal forma o tronco de cone

Chama-se secção transversal a intersecção de um cone com um plano paralelo à base.

Seção Transversal

Suas áreas são proporcionais.

2´ ´ ´b l t

b l t

A A Ak

A A A

Seus volumes são proporcionais.

3vk

V

k = Constante de proporcionalidade.

kHh

G

g

Rr

r

hg

Note que o cone menor, acima da secção é semelhante ao cone original, o que significa que suas dimensções são proporcionais.

Semelhança de uma forma mais clara

Altura do tronco (HT)

Altura do cone original (H)

Altura do cone semelhante (h)

Geratriz do Tronco (GT)

Geratriz do cone semelhante (g)

Obviamente G = g + GTOutra conclusão lógica

V = v + VT

Tronco de Tronco de ConeCone

Elementos:

R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco

R

r

gThT

As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.

Área Lateral do Tronco(ALT)

ALT = (R + r)gT

Área Total do Tronco(ATT)

ATT = ALT + Ab + AB

ATT = (R + r)gT + (r2 + R2)

Volume do Tronco (VT)

VT = V - v

VT = (r² + rR + R²)

3

. th

Ex. 1:

(EPUSP-SP)

Desenvolvendo a superfície lateral de um Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular cujo ângulo central mede:setor circular cujo ângulo central mede:

a) 216ºa) 216º

b) 240ºb) 240º

c) 270ºc) 270º

d) 288ºd) 288º

e) Nenhuma das respostase) Nenhuma das respostas anteriores.anteriores.

Ex. 2:

(UF-RS)

O volume do sólido gerado pela revolução O volume do sólido gerado pela revolução de um triângulo euilátero de lado a em de um triângulo euilátero de lado a em torno de um de seus lados é:torno de um de seus lados é:

a) a) 1 1 44

a3

b) b) 1 1 33

a3

c) c) 1 1 22

a3

d) d) 3 3 44

a3

e) e) 4 4 33

a3

Ex. 3:

(PUC-SP)

O volume de um cone eqüilátero, O volume de um cone eqüilátero, circunscrito a uma esfera de raio R, é: circunscrito a uma esfera de raio R, é:

a) a) RR33

b) 3b) 3RR33

c) 2c) 2RR33

d) 4d) 4RR33

e) 5e) 5RR33

(UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total vale:

A) 52Π B) 36Π C) 20Π D) 16Π

3 m

8 m

D = 2R8 = 2R

_8_ = R 2

= 4

AT = ΠR(R + G)AT = Π.4(4 + G)

Mas, G = ?

3 m

4 m

G

Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos G = 5 m

AT = Π.4(4 + 5)AT = 36Π

(UFPA) A geratriz de um cone reto mede 13 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm3 é:

A) 100Π B) 200Π C) 400Π D)

13 cm

10 cm

D = 2R10 = 2R_10_ =

R 2

= 5

HR ..3

1 V 2

V = (Π R2 .H):3V = (Π 52 .H):3V = (Π 25 .H):3Mas, H = ?x

5 m

13 m

Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos H = 12 m

V = (Π 25 .12):3V = (Π 300):3V = 100Π