Post on 08-Nov-2018
Semelhança & Congruência
Grupo A Gláucia Maria Queiroz de Freitas Isaura Christian Cecci Joseph Ersen Baracat Filho Rossana Maria da Silva Valdemir Ferreira Lima
Teia do Saber - Unesp
2004
II
Aos nossos filhos e cônjuges
pelo apoio e compreensão.
III
AGRADECIMENTOS
A DEUS pela vida;
A Secretária da Educação via Diretoria de Ensino de
Andradina, na pessoa do Professor Bento Teixeira pela a
oportunidade do curso; aos estagiários Alessandra,
Alessandro, Marcelo, Marcelo Biancão e Rodrigo. pelo carinho
e atenção dispensados a nós; aos professores Anírio, Dalva,
Ernandes e José Marcos pela paciência e dedicação com que
sempre nos atenderam.
IV
Índice
Introdução.............................................................................................................. 01
História da Geometria............................................................................................ 01
Como construir figuras congruentes? ................................................................... 08
Como construir figuras semelhantes? ...................................................................10
Casos de não congruência de triângulos............................................................... 15
Semelhança de Polígonos..................................................................................... 21
Por que o triângulo é tão estudado ....................................................................... 25
Semelhança de figuras ..........................................................................................27
Relação do tema com conhecimento de outras áreas ...........................................34
Uso da tecnologia em Congruência e Semelhança .............................................. 41
Conclusão ..............................................................................................................45
Referências bibliográficas..................................................................................... 45
1
1. Introdução
Este trabalho é um projeto para sala de aula.
Apresenta o tema “SEMELHANÇA E CONGRUÊNCIA”.
Propicia um aprofundamento temático, através de consulta e leitura de
bibliografia especializada.
O trabalho trata de um enfoque histórico do tema, parte teórica e prática, qual
a sua importância e utilidade no nosso cotidiano e as áreas de trabalho que usam
este tema como instrumento.
Nosso objetivo é com este trabalho facilitar a vida dos professores da
educação básica, pois a vivência da didática em sala de aula diária nos s mostrou
que fornecendo uma possibilidade a mais de pesquisa e inovação em suas aulas,
visando uma maior motivação para os alunos com o uso de materiais diversificados.
2. História da Geometria
Foi atribuída aos egípcios e aos caldeus,
pelos historiadores, a criação da geometria. Os
caldeus eram povos de origem semita — termo
usado para designar, na Antigüidade, os povos de
línguas semíticas que eram os babilônios, assírios
e fenícios — que habitava a Mesopotâmia, região
da Ásia Ocidental, entre os rios Tigre e Eufrates,
onde hoje se localiza o Iraque.
A palavra geometria é derivada do grego,
com base no radical geõ de gé = terra e métron = medida. Ademais, há em grego
clássico o verbo geõmétrin = medir a terra, ser agrimensor ou geômetra.
Conforme revelações obtidas através das tábuas de argila, encontradas
durante as escavações arqueológicas, os caldeus empregavam fórmulas da
geometria devido a necessidade de se calcular áreas e volumes. Na mesma, época,
segundo estudos realizados nos Papiros de Rhind e de Golenishev os egípcios e os
mesopotâmicos precisavam construir os primeiros templos dentro de projeções
uniformes e precisas e, para que os seus sonhos fossem realizados, adotaram
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fórmulas geométricas, deixando bem evidente que já resolviam problemas
relacionadas com a geometria.
Ademais, a maioria das civilizações antigas, como os indianos e os chineses,
parece ter chegado independentemente a enunciados que cobrem, pelo menos,
certos casos particulares do teorema de Pitágoras como se sabe que os indianos já
conheciam uma demonstração desse teorema.
Os gregos herdaram dos babilônios e, habituados ao uso dos ângulos por sua
longa experiência astronômica, introduziram muito cedo, na matemática, a idéia de
ângulo, sabendo-se que na época clássica eram definidos apenas ângulos inferiores
a dois retos, ou seja, menores que 180º.
Na Antigüidade, não existia clareza quanto a distinção entre as noções de
deslocamentos e movimentos, como também a idéia geral de transformação,
aplicada a todo espaço, mantém-se estranha ao pensamento matemático até o fim
do século XVIII, sabendo-se, no entanto, que antes do século XVII não se encontra
nenhum traço da noção de composição de movimentos, ou da composição de
deslocamentos, não significando, porém, que os gregos não tenham sido
particularmente sensíveis às ' regularidades ' e ' simetrias ' das figuras, ligadas
atualmente à noção de grupo de deslocamentos. A sua teoria dos polígonos
regulares e, mais ainda, a teoria dos poliedros regulares, certamente um dos mais
notáveis capítulos de toda a matemática grega, provam o contrário.
Em face de toda a explanação apresentada até o momento, observamos que
os gregos utilizavam corretamente, para o estudo de ' figuras ' particulares, as
'ordenadas ' em relação a dois ou mesmo mais de dois eixos no plano sem que
jamais tenha tido a idéia do princípio fundamental da geometria analítica, devido a
falta de conhecimentos de álgebra.
Naquela época, para medir superfícies, os sacerdotes observaram
trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados, uma superfície retangular e
concluíram que o total de mosaicos necessários para cobrir a superfície seria contar
os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse,
nascendo daí a fórmula da área do retângulo, ou seja, a área do retângulo é igual a
base da superfície pela altura.
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Seguindo um raciocínio geométrico, para calcular a área do triângulo, eles
tomaram um quadrado ou um retângulo em dividiram em quadrados iguais. Com
respeito às superfícies irregulares da terra, o problema era resolvido, como é ainda
hoje, pelo método da triangulação, ou seja: marcavam um triângulo e a partir dele,
traçavam linhas a todos os demais triângulos visíveis de campo. Em face de muitos
terrenos apresentarem o contorno de um morro ou o curso de um rio, suas bordas
eram curvas ou não eram planos acarretando com isso pequenos erros que podiam
ser desprezíveis devido a grande quantidade de terras. Em conseqüência das
irregularidades apresentadas, surgiram duas perguntas: Como determinar o
comprimento da circunferência? e a área do círculo? Naquela época os geômetras
sabiam que os círculos podiam ser traçados através de uma corda com uma de suas
extremidades fixa em um ponto determinado e com a outra extremidade girava-se
em torno do referido ponto. Sabiam, também, que o comprimento dessa corda, raio,
relacionava-se com o comprimento da circunferência. Logo, puderam comprovar ,
após estender a corda sobre a circunferência, que o comprimento da circunferência
era um pouco mais de seis vezes e um quarto. Daí chegaram a conclusão final,
afirmando-se o seguinte:
a — O comprimento da circunferência é sempre de 6,28 vezes maior
que o de seu raio;
b — Para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta
conhecer o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.
No papiro Rhind, que é um dos documentos mais antigos da história da
matemática, encontramos um curioso processo de cálculo da circunferência, quando
conhecemos o seu diâmetro. Daí deduzimos que os geômetras egípcios atribuíam
ao número pi (π ) um valor equivalente ao quadrado da fração 16/9 que daria, em
número decimal, 3,1605 — valor no qual π apresenta um erro que não chega a dois
centésimos de unidade.
No século III a.C., Arquimedes provou que o número famoso deveria estar
compreendido entre as frações 3 1/7 e 3 10/71 e Bháskara, geômetra indiano,
admitia para o número π um valor expresso pelo número 3 17/120 que eqüivalia ao
número decimal 3,1416. Ao matemático holandês Adrian Anthonisz, apelidado
Metius, os historiadores atribuem o valor 355/113 para o número π , que foi de largo
emprego durante os séculos XVI e XVII.
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O alemão Johann Heinrich Lambert teve a paciência de obter para o valor de
�uma fração ordinária, cujo numerador tinha dezesseis algarismos e o denominador
quinze, conforme consta no livro " Scripta Mathematica ", 1944, vol. X, pág. 148.
As ciências receberam dos gregos as primeiras tentativas de sistematização.
Thales de Mileto provou que algumas propriedades das figuras geométricas podiam
ser deduzidas de outras. Pitágoras deu novo impulso à pesquisa de relações lógicas
entre as proposições matemáticas, e é considerado por alguns como o pai da
sistematização da matemática. Sucessores de Pitágoras, como Hipócrates de
Quios**, Platão, Aristóteles** e outros, deram grande contribuição para o
desenvolvimento da geometria e para sua organização como ciência. Ficou célebre
a inscrição que Platão mandou colocar na entrada de sua academia: " Quem não for
geômetra não entre. " Deve-se a Aristóteles**, freqüentador assíduo da Academia de
Platão, a divisão das proposições de qualquer ciência em dois tipos: primárias e
secundárias. As primárias são aquelas aceitas sem prova, ou evidentes ( axiomas )
ou tomadas como verdadeiras ( postulados ). As secundárias são as proposições
deduzidas das anteriores mediante raciocínio lógico ( teoremas ).
Chegamos ao Século de Ouro com o geômetra grego que nasceu em 330
a.C. e morreu em 275 a.C.. Estudou em Atenas com os sucessores de Platão
dedicando-se brilhantemente ao ensino da matemática e atraindo para as suas
lições públicas, como era de uso entre os atenienses, um grande número de
discípulos. Esse gênio da matemática cuja figura irradiava simpatia e bondade, de
caráter modesto e gentil, orientando, com tolerância a benevolência, sempre àqueles
que podiam contribuir para o desenvolvimento da matemática, não poderia deixar de
ser Euclides.
Foi o primeiro e grande didata da matemática e sua obra principal é
denominada " Os elementos " que alcançou mais 1.500 edições, constituindo-se,
sem dúvida, no começo do século XX, a obra mais difundida depois da Bíblia. A
primeira edição árabe surgiu no século VIII, devida a al-Hajjaj bem Yusuf ben Matar,
tendo aparecido a versão latina em 1.120, de autoria do filósofo inglês Adelard de
Bath ( Aethelard ).
O tratado do célebre geômetra grego compõe-se de treze livros ou capítulos e
a esses livros, na parte final, foram acrescentados mais dois, o de número XIV de
autoria de Hipsicles de Alexandria ( séc. II a.C. ) e o de número XV , de autor
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desconhecido; ambos tratam das novas propriedades dos polígonos e poliedros
regulares.
A obra principal composta de treze livros contém 465 proposições, 93
problemas e 372 teoremas. Toda esta obra foi desenvolvida e apoiada em um grupo
de definições, quase todas resultantes de observações experimentais, e em dez
proposições primárias, chamadas de noções comuns (ou axiomas) e postulados,
sendo o mais discutido o V Postulado:
P-5: “É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no
mesmo lado, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então as duas retas, se
continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor que
dois ângulos retos”.
O século de Ouro da geometria grega contou ainda com Arquimedes e, que
após a sua morte foi gravado em seu túmulo uma esfera inscrita em um cilindro
relembrando uma de suas descobertas, Apolônio de Perga , cognominado " o
grande geômetra" deixando um famoso tratado sobre as cônicas, em oito livros, dos
quais somente sete chegaram até nossos dias. Foi o primeiro geômetra a imaginar
as seções de um cone não de revolução, mas de base circular, dando as famosas
curvas cônicas, que desempenharam papel fundamental no desenvolvimento de
várias ciências, especialmente da astronomia.
Após o século ouro, a geometria passou por uma longa fase de estagnação,
tendo sido uma das causas, a ameaça de exércitos estrangeiros em Alexandria,
capital intelectual do mundo civilizado. O primeiro grande ataque aconteceu no ano
47 a.C., quando Júlio César tentou derrubar Cleópatra VII incendiando sua frota. O
Museu de Alexandria, localizado perto do porto foi incendiado juntamente com a
famosa biblioteca e centenas de milhares de livros foram destruídos. Cleópatra VII
por apreciar a importância do conhecimento, cientificou os matemáticos que iria
restaurar a glória da biblioteca, mas, Marco Antônio percebeu que o caminho para o
coração de uma intelectual passa por sua biblioteca e assim marchou para a cidade
de Pérgamo ( antiga cidade da Mísia, Ásia Menor e que hoje chama-se Bergama.
Pérgamo tornou-se capital de um estado helênico cujo apogeu se situou no século II
a.C. ). Esperando reunir a melhor coleção de livros do mundo, a cidade de Pérgamo
começou a montar sua própria biblioteca, quando Marco Antônio confiscou tudo e
levou para o Egito, restaurando a supremacia de Alexandria. A biblioteca continuou
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a acumular livros, pelo menos durante quatro séculos, quando dois golpes que
tinham como resultados, intrigas religiosas, fizeram com que o imperador cristão
Teodósio determinasse que o bispo de Alexandria, Teófilo, destruísse todos os
monumentos pagãos, incluindo a Templo de Serápis onde ficava alojada a biblioteca
reconstruída e restaurada por Cleópatra VII a qual foi totalmente destruída pelos
cristãos, apesar de os estudiosos pagãos tentarem salvar seis séculos de
conhecimento.
Em busca de conhecimento, os estudiosos continuaram visitando Alexandria
pelo fato de algumas cópias preciosas dos livros mais importantes sobreviverem ao
ataque dos cristãos apesar de no ano de 642 o ataque fulminante dos muçulmanos
terminasse a destruição que os cristãos tinham começado.
Ocidente, durante aproximadamente mil anos, ficou reduzido ao básico da
matemática, apesar de que os estudiosos da Índia e da Arábia mantiveram esta
ciência viva, copiando as fórmulas dos manuscritos gregos que tinham restado,
começando a reinventar a maioria dos teoremas perdidos. Os estudos começam a
se intensificar, principalmente, no renascimento com os estudos dos trabalhos
gregos na Europa, possibilitando, assim, novos desenvolvimentos para a ciência. Os
postulados de Euclides foram submetidos a um estudo crítico cada vez mais
profundo, especialmente o quinto postulado, das paralelas, que continha uma
afirmação pouco clara de evidência. Várias tentativas se fizeram através dos séculos
no sentido de sua demonstração a começar pelos gregos. Um século antes de Cristo
quando o filósofo Posidônio tomava por base a seguinte definição:
" Paralela a uma reta é o lugar dos pontos eqüidistantes
dessa reta. "
Cláudio Ptolomeu, astrônomo e matemático que teria vivido no século II d.C.,
tentou obter uma demonstração tomando por base o princípio de que " Uma
proposição será verdadeira para todos os pares de paralelas quando o for para um
só. "
Dois séculos após, o filósofo bizantino Proclo Licio, comenta a obra de
Euclides e põe em evidência o V postulado para o qual apresenta uma
demonstração baseada no seguinte princípio:
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" Quando duas retas são paralelas, a reta que encontrar
uma delas, encontrará também a outra. "
Retomando os trabalhos dos gregos, os árabes foram investigar com todo o
entusiasmo o quinto postulado e através de Nazir-Edin (1201-1274) geômetra
muçulmano, do século XIII, experimentou desenganadamente substituir o princípio
euclidiano por uma proposição, com o auxílio da qual seria fácil demonstrar que a
soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos.
Na Itália surgiram admiráveis matemáticos italianos, sábios da Renascença,
que deixaram na 2ª metade do século XVI e início do século XVII, grande quantidade
de estudos e pesquisas sobre o quinto postulado. Entre esses matemáticos
podemos citar: Cataldi, Commandido, Borelli e Vitalle. Cataldi foi o primeiro
matemático que escreveu um trabalho unicamente consagrado com respeito às
paralelas , como também, tentou demonstrar a existência de retas eqüidistantes,
quando a existência dessas retas, para os outros estudiosos, era aceita sem
demonstração. Borelli tentou resolver a questão tomando por base o seguinte
princípio:
" Os pontos eqüidistantes de uma reta, no plano, formam outra reta. "
John Wallis considerado um dos mais famosos matemáticos ingleses do
século XVII atirou-se com energia contra o problema e tentou em vão resolvê-lo. A
suposta demonstração de Wallis foi considerada inaceitável, pois o autor da
“Aritmética dos infinitos”, para demonstrar a proposição de Euclides, admitiu, em
substituição ao postulado euclidiano, um princípio equivalente assim enunciado:
“Dado um triângulo plano. É sempre possível obter outro triângulo
semelhante e de área tão grande quanto se queira”.
Na primeira metade do século XIX o assunto dos postulados de Euclides ficou
esclarecido, quando surgiu Gauss, matemático alemão, considerado por muitos
como o maior geômetra do século XVIII, provando que o postulado das paralelas de
Euclides não era uma conseqüência lógica dos anteriores, ou seja, não constituía
um teorema; apenas sua inclusão no grupo dos postulados é indispensável para a
teoria do paralelismo, segundo Euclides. Gauss, provou também que a substituição
desse enunciado por outras hipóteses diferentes da formulada por Euclides
constituiria, com os demais postulados, novo grupo de postulados compatíveis, que
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serviria de base para a organização de geometrias antieuclidianas que
posteriormente foi chamada de Astral e atualmente conhecida, como geometrias
não-euclidianas, por não aceitarem o postulado das paralelas.
Vale ressaltar que durante todo esse período em que era analisada a
geometria de Euclides, surgiram novos conceitos e métodos de estudos que deram
origem a novos ramos da geometria. No final do século XV os pintores verificaram
que os ensinamentos de Euclides não eram suficientes para as representações que
faziam nos quadros do que viam ou imaginavam da natureza. Foram criadas, então,
regras para a perspectiva, e tornou-se importante o Tratado de perspectiva de
Leonardo da Vinci. Gérard Desargues introduziu o conceito de ponto impróprio e de
reta imprópria, como sendo a interseção, a uma distância infinitamente grande, de
duas retas e de dois planos paralelos, respectivamente. Desse modo, foram
ampliados os conceitos de paralelismo da geometria euclidiana, que admite as
exceções acima, possibilitando a criação do espaço projetivo. Outro avanço obtido
sobre a geometria dos gregos foi quando, no século XVII, se estabeleceu a
correspondência entre os pontos de uma reta e os números reais. Marcando-se um
ponto para ser origem na reta, e fixando-se uma unidade de medida e um sentido, a
cada ponto corresponderá um número, que é o resultado da medida de sua distância
à origem escolhida, sendo verdadeiro a recíproca. Essa correspondência permitiu o
aparecimento da geometria analítica, em 1637. Um século após a geometria recebia
nova contribuição do gênio criador de Gaspard Monge com seu trabalho de associar
as figuras do espaço tridimensional às do plano, através de projeções, dando origem
à geometria descritiva. Com os trabalhos de Monge e de seus discípulos foi
generalizado novo método de estudo da geometria, através de transformações das
figuras, ou seja, do estabelecimento de uma correspondência biunívoca entre os
elementos das figuras geométricas.
3. COMO CONSTRUIR FIGURAS CONGRUENTES?
Quando falamos em figuras iguais, intuitivamente nos vem à mente figuras de
mesmo tamanho e forma. Isto significa que através de movimentos as figuras se
"encaixam" exatamente umas sobre as outras. Observemos que a palavra "iguais"
está sendo usada de forma um tanto imprópria, já que o conjunto de pontos que
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formam cada uma das figuras são diferentes. Tornamos mais precisa nossa
linguagem usando a expressão "figuras congruentes".
Assim, figuras congruentes são figuras tais que se podem fazer coincidir.
Por exemplo, como poderíamos construir réplicas das figuras abaixo? Ou
seja, como construir pares de figuras congruentes?
Vamos começar considerando figuras bem simples:
- TRIÂNGULOS!!
Na Geometria Plana é dito que dois triângulos são congruentes quando os
lados e ângulos do primeiro triângulo estão em correspondência com os lados e
ângulos do segundo triângulo de tal forma que os lados em correspondência têm a
mesma medida, assim como os ângulos. Assim, para determinar a congruência de
dois triângulos olhamos para seis elementos em cada triângulo (três lados e três
ângulos)e comparamos as medidas.
Mas de fato, é suficiente que se conheçam apenas TRÊS destes elementos,
numa certa ordem, para termos a congruência assegurada. É isso que nos dizem os
critérios, talvez já bem conhecidos, de congruências de triângulos: LAL, ALA, LLL.
VAMOS NOS CONVENCER DE QUE ESTES CRITÉRIOS FUNCIONAM QUANDO
QUEREMOS DETERMINAR SE DOIS TRIÂNGULOS SÃO CONGRUENTES!!
LAL - lado, ângulo, lado - Imagine duas varetas e um ângulo qualquer fixo entre elas.
Quantos triângulos podemos construir com este material?
LLL - lado, lado, lado -Imagine três varetas de comprimentos diferentes.Quantos
triângulos podemos construir com estas varetas? Dadas três varetas é sempre
possível construir um triângulo? Pense nisto!
ALA - ângulo, lado, ângulo -Quantos triângulos seríamos capazes de construir com
estes três elementos dados?
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É importante lembrarmos que a ordem em que aparecem os elementos é de
fundamental importância para que tenhamos, de fato, triângulos congruentes.
Podemos ter triângulos com 2 lados e 1 ângulo iguais e a congruência não se
verificar.
É possível termos também caso em que 5 elementos nos dois triângulos são
iguais (3 ângulos e 2 lados) e mesmo assim não termos a congruência entre esses
triângulos. Para saber mais sobre estes casos.
Os critérios nos garantem que conhecendo três de certos elementos do
triângulo, numa certa ordem, podemos calcular os demais.
E para isto basta usarmos o Teorema de Pitágoras, as Leis dos Senos e
Cossenos e o Teorema dos 180 graus.
Usando material concreto (varetas) nos convencemos de que os critérios
acima funcionam. Com isso fica fácil construirmos dois triângulos congruentes.
Queremos, porém, ir mais adiante: construir figuras congruentes mesmo que
não tenham lados ou ângulos. Você pode imaginar algumas maneiras de se fazer
isto? Vamos aqui construir tais figuras usando instrumentos especiais.
Os instrumentos abaixo foram construídos no programa Cabri-Geometry. Se você
tem o programa Cabri instalado no seu computador você pode brincar com os
instrumentos.
Faça essa exploração.
Feita esta exploração inicial você deve ter observado que cada instrumento
reproduz uma figura com determinado critério.
4. COMO COSTRUIR FIGURAS SEMELHANTES?
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Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em
figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Podemos
associar a idéia de figuras semelhantes a ampliações ou reduções de uma figura em
outras guardando semelhança na forma.
Mas o que vem a ser 'figuras semelhantes' em matemática?
Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F' são semelhantes
quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência
biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F', tal que X'Y' / XY = r, onde X e Y
são pontos de F e X'e Y'pontos de F'e r constante (razão de semelhança). Observe a
figura.
No nosso dia a dia podemos observar inúmeros exemplos de semelhança
entre objetos. Por exemplo, quando tiramos uma fotografia, a imagem que vemos na
foto é a representação reduzida e proporcional do objeto em tamanho real e ao
mesmo tempo é uma ampliação da figura que aparece no negativo.
A planta de uma casa, projetada pelo arquiteto, também é um exemplo de
semelhança entre a casa em tamanho real e o seu desenho no papel.
Você seria capaz de lembrar outras situações do cotidiano em que se observa
semelhança de figuras? -Pense nisto!
Como ampliar ou reduzir figuras de modo que elas mantenham suas
características? Por exemplo, como desenhar em um cartaz um personagem de
quadrinhos? Como poderíamos ampliar as figuras abaixo?
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Vamos começar considerando figuras bem simples: TRIÂNGULOS!!
Na geometria plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando os
ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos
e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados
do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.
No entanto para nos assegurarmos de que dois triângulos são semelhantes
podemos usar alguns critérios para semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL. Com
estes critérios não precisamos necessariamente conhecer os três ângulos e os três
lados de cada triângulo. Se conhecermos dois ângulos ou dois lados e o ângulo
entre eles ou três lados de cada triângulo podemos afirmar se estes triângulos são
ou não semelhantes.
Existem diversas maneiras de se ampliar ou reduzir figuras. Uma idéia bem
simples de se fazer isto é dividir em partes iguais (quadriculadas) o papel em que a
figura a ser ampliada ou reduzida se encontra, e dividir de igual maneira (porém o
quadriculado maior ou menor) o papel no qual se fará a cópia. Assim, copia-se a
figura correspondendo-se cada traço do original na cópia. Veja a figura.
Um outro método de se ampliar figuras pode ser por homotetia.
Estes métodos simples de ampliar ou reduzir figuras são eficazes em
determinadas atividades, porém não são muito práticos.
Podemos construir figuras semelhantes de maneira mais eficaz e ao mesmo
tempo simples. Você tem idéia de como poderíamos fazer isto?
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- Através de um instrumento especial, o PANTÓGRAFO (fig. 1, 2 e 3).
Figura 1 Figura 2
Figura 3
Teorema de Tales
A idéia de proporção e sua aplicação em Geometria são bastante antigas.
Um dos trabalhos mais importantes nesse sentido foi desenvolvido por Tales
(fig. 4), um rico comerciante da cidade grega de Mileto, cerca de 600 anos antes de
cristo.
Tales observou que, num mesmo instante, a razão entre a altura de um objeto
e o comprimento da sombra que esse objeto projetava no chão era sempre a mesma
para quaisquer objetos.
Por ser comerciante, Tales teve a oportunidade de entrar em contato com
outros povos. Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a
medir a altura de grande pirâmide de Queóps.
Usando um bastão, Tales aplicou seus conhecimentos sobre segmentos
proporcionais, pois a razão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra
projetada por esse bastão (fig. 6).
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Figura 4 Figura 5
Figura 6
As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A pirâmide de Queóps,
construída por volta de 2500 a.C., é considerada uma das grandes maravilhas do
mundo antigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros e
sua altura é de 150 metros, aproximadamente.
O filósofo grego Tales, nascido na cidade de Mileto por volta de 585 a.C.,
conseguiu medir a altura de uma das pirâmides. Partindo do princípio de que existe
uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto
projeta no chão, e que essa razão é a mesma para diferentes objetos no mesmo
instante, Tales pôde calcular a altura da pirâmide. Usou apenas um bastão e as
medidas das sombras da pirâmide e do bastão, num mesmo instante.
Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem
dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses
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triângulos eram proporcionais, pôde determinar a altura VH da pirâmide através da
proporção VH está para AB, assim como HB está para BC.
Este fato levou Tales a ser muito prestigiado pelo faraó Amásis, que governava o
Egito nessa época.
5. Casos de não congruência de triângulos
Já vimos que para termos a congruência entre triângulos é preciso que estes
triângulos tenham pelo menos três elementos em congruência. São os casos de
LAL, LLL e ALA.
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Não podemos deixar de salientar o quanto a ordem em que estes elementos
(ângulos e lados) aparecem é importante. Por exemplo no caso LAL, precisamos
que os triângulos apresentem dois lados e o ângulo entre estes congruentes. Esta
ordem é fundamental, senão nada podemos afirmar sobre a congruência dos
triângulos.
Temos aqui um exemplo de dois triângulos que possuem dois lados e um
ângulo congruentes, mas que são visivelmente não-congruentes.
Vamos ver como foi feita esta construção !
Observe na figura abaixo que o segundo triângulo (o menor) está contido
dentro de um triângulo maior (tracejado) que é exatamente igual ao primeiro
triângulo. Então, o triângulo menor está contido no triângulo maior!
Observe também qual é o raio da circunferência tracejada? -É o lado do
triângulo em congruência nas duas figuras!
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Veremos agora, um caso curioso de triângulos que apresentam 5 de seus 6
elementos em congruência, mas que apesar disto não são congruentes.
Em primeiro momento precisamos verificar quais são estes 5 elementos dos
triângulos que serão congruentes. Temos duas opções: 3 lados e 2 ângulos em
congruência ou 3 ângulos e 2 lados em congruência. A primeira opção deve ser
descartada já que sabemos que três lados em congruência é um dos casos que já
conhecemos de congruência de triângulos (LLL).
Concluímos então que os nossos triângulos devem ter 3 ângulos e 2 lados em
congruência. Então estes triângulos devem ser semelhantes (devem ter lados em
proporção) já que existe um caso de semelhança de triângulos que diz:
"Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles
são semelhantes"
Suponhamos então que estes dois triângulos (de ângulos congruentes)
tenham lados a, b e c (triângulo 1) e lados a, b e d (triângulo 2). Assim sendo temos
quatro possibilidades de pares de lados correspondentes que se mantêm em razão
constante nos dois triângulos.
Possibilidade 1:
Neste caso temos lados correspondentes iguais e isto não pode ocorrer pois então
teríamos dois triângulos congruentes. E não estamos interessados na congruência.
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Possibilidade 2:
Isto também não pode ocorrer por que teríamos novamente a congruência, já
que a e b são iguais neste caso.
Possibilidade 3: Isto é possível!!
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Possibilidade 4: Isto também é possível!!
Podemos observar na possibilidade 3 que os lados do triângulo 1 formam a PG (a,
ka, k2a) de razão k; e os lados do triângulo 2 formam outra PG (a/k, a, ka) também
de razão k.
Tomemos então o triângulo 1. Matematicamente teremos duas situações a
analisar:
Agora já conhecemos algumas características dos nossos triângulos, mas
ainda nada podemos afirmar sobre a existência destes. Será que estes lados em
PG, formam realmente um triângulo? Como poderemos saber isto?
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Devemos nos perguntar: - O que é preciso que ocorra para que estes lados
formem um triângulo?
E a resposta é: "o lado maior deve ser menor que a soma dos outros dois".
1. Se k > 1, k2a < a + ka
(se k > 1, a PG é crescente então o maior lado é k2a).
2. Se 0 < k < 1, a < ka + k2a
(se k está entre o e 1, a PG é decrescente daí o maior lado é a).
Na primeira situação temos:
Na segunda situação temos:
E juntando as duas teremos:
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Quanto à quarta possibilidade o raciocínio se dá da mesma maneira; os lados
do triângulo 1 formam a PG (a/k, a , ak) e os lados do triângulo 2 formam a PG
(a, a/k, a/k2).
6. Semelhança de Polígonos
Observe as figuras:
Figura 7 Figura 8 Figura 9
Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três
retângulos têm a mesma forma, mas de tamanhos diferentes.
Dizemos que esses mapas são figuras semelhantes.
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Nessas figuras podemos identificar:
AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo)
CD - distância entre C e D (largura do retângulo)
- ângulos agudos formados pelos segmentos
Medindo os segmentos de reta e e os ângulos ( ) das figuras, podemos
organizar a seguinte tabela:
m ( ) m ( ) ângulo
Fig. 7 3,9 cm 1,3 cm = 90º
Fig. 8 4,5 cm 1,5 cm = 90º
Fig. 9 6,0 cm 2,0 cm = 90º
Observe que:
• Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais;
• As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
• Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes
em geometria quando:
• os ângulos correspondentes têm medidas iguais ;
• as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
• os elementos das figuras são comuns.
Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
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Observe que:
• os ângulos correspondentes são congruentes:
• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
ou
Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e
indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C'“)
Ou seja:
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são
congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhantes
denomina-se razão de semelhança, ou seja:
A razão de semelhança dos polígonos considerados é
24
Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados
correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para
indicar a semelhança entre polígonos.
Propriedades
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à
razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.
Demonstração:
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:
Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:
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Exemplo:
• Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é
semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do
segundo triângulo.
Solução
Razão de semelhança =
Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.
7. Por que o triângulo é tão estudado?
Uma das figuras mais presentes no ambiente que nos cerca e com a qual a
humanidade tem lidado até hoje é o triângulo. Embora sua forma seja muito simples,
as inúmeras relações que existem entre seus próprios elementos, e entre esses e os
de outras figuras igualmente simples, são mais complexas do que poderíamos
imaginar.
Que magia os triângulos apresentam, já que desde os mais remotos tempos
lês têm exercido um fascínio especial sobre os homens? Por que o homem ergueu
templos em homenagem a seus reis e deuses, em que tal figura ressalta à vista do
observador?
Em muitos objetos e artefatos construídos pelo homem, lá estão os triângulos.
Que utilidades apresentam? Será que servem somente como elemento decorativo?
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Parece que, mais uma vez, o homem reúne a beleza e a competência para
oferecer a todos os seres uma obra original, em que o triângulo sintetiza o aspecto
decorativo e o utilitário. Por que utilitário?
O triângulo, entre todos os polígonos, apresenta uma rigidez geométrica que
os outros não têm. Uma vez construído, é impossível modificar a abertura dos seus
ângulos e construir outro triângulo. Essa propriedade dos triângulos é bastante
utilizada na carpintaria e na engenharia.
No desenho, você vê uma configuração que representa a estrutura suporte do
telhado de uma casa: ela é conhecida por tesoura ou treliça (fig. 10).
Figura 1
Figura 10
Imagine como ficaria bamba a
Torre Eiffel se não existissem
os triângulos para torná-la estável!
Figura 2
Figura 11
27
Para você comprovar...
1. Com três palitos de sorvete, ou um material mais resistente (fig. 12), que
podem ser de tamanhos diferentes ou não, construa um triângulo, pregando
uma tachinha em cada vértice, para unir os lados. Tente mover sues lados,
uns em relação aos outros. Você vai ver que não é possível.
2. Ainda com palitos de sorvete, ou um material mais resistente (fig. 12),
construa um retângulo (que pode ser um quadrado). Prenda os lados com
tachinhas. Você vai ver que, mesmo conservando os comprimentos dos lados,
é possível modificar seus ângulos.
Figura 12
8. SEMELHANÇA DE FIGURAS
Na Matemática é a Geometria que trata da semelhança de figuras de mesmo
formato (forma). Uma ampliação, uma redução (fig. 13) e até uma congruência de
figuras são exemplos claros de semelhança.
Figura 13
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Para que duas ou mais figuras (ou objetos) sejam semelhantes, duas condições são
necessárias:
1. Os ângulos correspondentes devem ser iguais.
2. Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais.
Veja a figura:
• Note que os dois compassos têm exatamente a mesma forma e tamanhos
diferentes.
• Note que nos dois triângulos os ângulos correspondentes são iguais e que a
razão entre os lados (comprimentos) é 2. Temos:
EF=8 e BC=4 logo; EF/BC = 8/4 = 2.
DE=12 e AB=6 logo; DE/AB = 12/6 = 2.
DF=5 e AC=2,5 logo; DF/AC = 5/2,5 = 2.
Entre os FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que são semelhantes, temos:
• todos os círculos;
• todos os quadrados.
Erro!
29
Entre as FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS que nem sempre são semelhantes,
temos:
• os retângulos;
• os triângulos.
Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que são semelhantes, temos:
• todas as esferas;
• todos os cubos.
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Entre os SÓLIDOS GEOMÉTRICOS que nem sempre são semelhantes, temos:
• os cones;
• os paralelepípedos;
• os cilindros.
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Atividade 1
Observe as figuras e identifique os grupos formados por objetos semelhantes.
Figura 14 Figura 15
Figura 16 Figura 17
Se você respondeu que em dois desses grupos os objetos são semelhantes,
acertou em cheio. Os dados (fig. 2) são semelhantes, pois todos os cubos têm a
mesma forma. Uma ampliação, uma redução (fig. 4) e até uma congruência de
figuras são exemplos claros de semelhança. As garrafas (fig. 1 e 3) não são
semelhantes; apesar de as duas terem alturas bem diferentes, observe que suas
tampinhas são do mesmo tamanho. Isso significa que os gargalos têm o mesmo
diâmetro.
Na verdade, as garrafas não têm a mesma proporção. Comparando-as,
podemos notar que o gargalo da garrafa maior é mais “magro” em relação ao corpo.
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Atividade 2
Observe agora as quatro garrafas. Há entre elas algum par que seja
semelhante?
Figura 18
OBS. Esta atividade é feita concretamente, onde o aluno deverá tirar medidas e
calcular a proporção em relação a pequenina garrafa.
Atividade 3
A pirâmide de Queóps foi construída no Egito há mais de 3000 anos. Sua
base é um quadrado com cerca de 230 m de lado e usa altura é de
aproximadamente 146 m. Se você for construir uma maquete de tal pirâmide, quer
dizer, uma piramidezinha semelhante à de Queóps, na escala 1:200, qual deverá
ser o comprimento da base? Qual será a altura da piramidezinha?
Figura 19
33
Resposta: Se a miniatura deve ser construída na escala 1 para 200, cada unidade
de comprimento nessa maquete deve corresponder a 200 unidades no original. Por
exemplo, 1 m na maquete corresponde a 200 m no original.
Logo, se a pirâmide de Quéops tem 146 m de altura a piramidezinha terá 0,73 m de
altura.
cmmm 7373,020
146==
Quanto à base da piramidezinha, será um quadrado de 1,15 m de lado.
Todos os homens são semelhantes? Naturalmente, nem todos os homens são parecidos. Alguns são altos e
magros,outros são baixos e gordos, alguns tem as pernas longas,outros têm as
pernas curtas.
Nem todos, portanto, tem a mesma forma.
Apesar disso, algumas proporções entre as medidas do corpo se mantêm
aproximadamente iguais para todos os homens em idade adulta. Tomando-se, por
exemplo, a altura da cabeça como unidade de medida, na maioria das pessoas
adultas a altura total é aproximadamente igual a sete cabeças e meia.
Já no recém-nascido,o comprimento total não passa de três cabeças e um
terço.
O fato de algumas das razões entre comprimentos correspondentes se
manterem constantes não é, porém, suficiente para garantir a semelhança. A
semelhança é conseqüência da constância de todas as razões entre comprimentos
correspondentes.
Val, colocar aqui a sua foto e do “Josefer” – será a Figura 20
34
9. Relação do tema com conhecimento de outras áreas
9.1. Astronomia – um simples exemplo
O Universo Verdadeiro
O Big Bang Um ponto contendo toda a energia do universo, chamado singularidade,
explodiu há 13,7 bilhões de anos, espalhando essa energia em todas as direções,
dando origem às partículas fundamentais e, posteriormente, aos átomos, aos
elementos mais simples, às galáxias e a todo o Universo.
A velocidade de expansão do Universo Durante o Big Bang a força da explosão fez com que "o caldo" dessa de
energia adquirisse velocidades uniformes proporcionais à sua distância do centro da
explosão. As partículas originadas desse caldo fizeram com que as galáxias
adquirissem as velocidades atuais.
A dinâmica entre duas galáxias
Figura 21
Duas galáxias, com velocidades de expansão Ve e V uniformes, e o centro do
universo, local do Big Bang, formam sempre triângulos semelhantes cujos lados
variam de acordo com a idade do universo. Isso faz com que todas as galáxias se
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afastem uma das outras, sempre com velocidades de afastamento Va uniformes
relativas a cada par de galáxias e os ângulos de visada (ângulo B) de uma galáxia
em relação à outra, sejam sempre os mesmos (Fig. 1).
Um observador em qualquer galáxia não tem conhecimento da sua velocidade de
expansão. É como se ele estivesse parado no espaço, vendo todas as outras
galáxias se afastando dele sempre na mesma direção, com velocidades Va de
afastamento constantes.
Planilhas dos Universos Verdadeiro e Visível
Figura 22
Prova
Figura 23
36
9.2. Topografia – Determinando alturas...
Outra aplicação prática da geometria euclidiana, que conduz à trigonometria,
consiste na utilização de triângulos semelhantes para a determinação de alturas de
objetos distantes, como árvores ou torres. Como se sabe, a semelhança de
triângulos é definida em termos de congruências de ângulos homólogos ou
correspondentes, mas o resultado que mais interessa aqui é a proposição VI.4 de
Euclides de que, em triângulos semelhantes, lados homólogos são proporcionais. Na
semelhança ABC ~ DEF (em que os vértices A, B, C correspondem aos vértices
D, E, F, respectivamente) tem-se AB/DE = AC/DF = BC/EF. Se designarmos por r a
razão comum, resulta que os perímetros dos dois triângulos estão na mesma razão
(AB+AC+BC) / (DE+DF+EF) = r. Com um pouco mais de engenho, utilizando o fato
de a área de um triângulo ser igual a metade da área de um paralelogramo com a
mesma base e altura, resulta que a razão entre as áreas dos dois triângulos é área (
���C ) / área ( �DEF ) = r^2.
Regressando ao problema da medição de alturas, imaginemos uma pessoa
colocada em D com altura AD igual à altura do tronco da árvore BF, desejando medir
a altura da árvore CF, como na figura seguinte. Necessita da ajuda de um amigo ou
de uma estaca vertical de comprimento YZ com XZ = AD. Supondo conhecidos AD,
YX e AB = DF, tem-se � AXY ~ � ABC, logo YX / AX = CB / AB, donde CB = AB * (
YX / AX ), e finalmente CF = CB + BF = CB + AD.
A medição da altura da árvore pode-se até fazer sem conhecer a distância AB,
poupando o esforço físico do percurso, mas onerando um pouco o esforço mental.
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Mas desta vez há que fazer a medição de A, obtendo a relação AH / GH = AB
/CB, e repeti-la um pouco mais adiante em D, obtendo a relação
DJ / IJ = DB / CB = (AB – AD) / CB.
Temos então DJ/IJ = AB/CB-AD/CB = AH/GH-AD/CB, donde AD/CB = AH/GH-DJ/IJ
Esta última relação permite calcular o valor desconhecido CB, já que todos os
outros são conhecidos.
Figura 24
Altura de uma torre (fig. 24), pelo método dos triângulos semelhantes, de acordo
com Apianus, Quadrans astronomicus ( 1532 )
38
Em sala de aula: Resolução de Problema A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a
seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m. Se, mais tarde, a sombra do
poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30cm b) 45cm c) 50cm d) 80cm e) 90cm
Vamos ilustrar a situação do enunciado antes das sombras diminuírem:
Como a altura do sol é a mesma para ambas as sombras, os dois triângulos
retângulos com hipotenusas verdes, da figura, são SEMELHANTES.
Vamos aplicar a semelhança com base e altura. Falando, seria assim: a base do
pequeno está para a base do grande assim como a altura do pequeno está para a
altura do grande. Matematicamente seria:
10,61 1=1 11,81 2 h Calculando, temos: 0,6 . h = 1,8 . 2 0,6 . h = 3,6 h = 6
39
Através deste cálculo, descobrimos o valor da altura do poste, que não irá se
modificar no segundo momento (quando as sombras diminuem).
Portanto, no segundo momento, a ilustração é:
Com esta ilustração conseguimos solucionar o problema. Novamente com uma
semelhança de triângulos, iremos calcular o valor de "x" (que é o tamanho da
sombra da pessoa no segundo momento).
A base do triângulo pequeno está para a base do grande assim como a altura do
pequeno está para a altura do grande. Matematicamente:
x 1=1 11,81 1,51 6 6x = 1,8 . 1,5 6x = 2,7 x = 0,45 m x = 45 cm Alternativa correta, letra "B".
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... e encontrando distâncias
9.3. Considerações
Semelhança sempre exerceu uma atração especial sobre o homem, desde a
antiguidade.
Quando a noção de semelhança começou a ser estudada trouxe grande
ajuda na resolução de problemas, desde 640 aC., quando Tales propôs medir a
pirâmide de Queóps, sem escalá-la, baseado apenas nos estudos desenvolvidos
sobre a semelhança de figuras.
Atualmente, a semelhança continua a ser um desejo perseguido pela
humanidade e presente em nosso cotidiano, como:
• Na moda a semelhança é sempre sinal de bom gosto, de estar em dia
com o visual.
• Na estética o biótipo de “elegância – beleza – magrela” é muitas vezes até
neurose em nossos dias.
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• Na medicina a clonagem.
• Na cozinha “colher de sopa – colher de chá – colher de café. Xícara de chá
– xícara de café. Faca de mesa – faca de sobremesa”, etc, são exemplos
caseiros de semelhança.
Especificamente, a semelhança de figuras geométricas, é aplicada para
facilitar e melhorar a qualidade de trabalho em várias áreas, como:
Fotografia: - ampliação e redução de fotos
- slides.
Cartografia: - ampliação e redução de mapas.
Arquitetura e Engenharia: - na elaboração de maquetes, Plantas da construção
civil, peças da mecânica, envolvendo a utilização de escalas, etc.
Indústria:- Na construção de protótipos.
Ciência de laboratório: No uso de lupas e microscópios.
10. Uso da Tecnologia em Congruência e Semelhança Utilizando o softer Cabri-geometri podemos realizar as seguintes atividades:
Atividade 1: LLL
- Ir ao ultimo quadrinho, vai aparecer vários comandos, pressionar em “mostrar
eixo”.
- Ir ao terceiro quadrinho e pressionar em triângulos.
- Desenhar dois triângulos, um em cada eixo.
- Ir ao antepenúltimo quadrinho e pressionar em “distâncias e medidas”.
- Medir cada lado de cada triângulo verificando a igualdade.
- Ir ao ultimo quadrinho e pressionar em “esconder eixo”.
- Observar a congruência.
Atividade 2: AAA
- Pressionar em “mostrar eixo”.
- Construir dois triângulos.
- Ir até o antepenúltimo quadrinho e pressionar em “ângulos”.
42
- Medir cada ângulo e verificar a igualdade.
- Pressionar em “esconder eixo”.
- Observar a congruência.
Atividade 3 : LAL
- Pressionar em “mostrar eixo”.
- Construir dois triângulos.
- Medir dois lados de cada triângulo e o ângulo formado por eles e verificar a
igualdade.
- Pressionar em “esconder eixo”.
- Observar a congruência.
Atividade 4 : AAL
- Pressionar em “mostrar eixo”.
- Construir dois triângulos.
- Medir dois ângulos e o lado comum entre eles de cada triângulo e verificar a
igualdade.
- Pressionar em “esconder eixo”.
- Observar a congruência.
Atividade 5 : SEMELHANÇA
- Pressionar em “mostrar eixo”.
- Construir dois triângulos de ângulos correspondentes de mesma medida.
- Medir os lados correspondentes, achar a razão.
- Pressionar em “esconder eixo”.
- Observar a semelhança.
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figura AAA
figura AAL
44
figura LAL
figura LLL
Semelhança
45
11. CONCLUSÃO
Este projeto enriqueceu o nosso conhecimento, à medida que pesquisamos
sobre o assunto e dividimos experiências práticas sobre o tema e aprendemos a
utilizar recursos tecnológicos para sua apresentação.
O trabalho coletivo serviu para dar-nos a certeza de que a união leva-nos a
crescer, descobrir, aprender.
O conhecimento sempre pode ser ampliado, renovado e aperfeiçoado.
Um prosseguimento natural do presente trabalho é o desenvolvimento de
atividades voltadas a outras áreas de conhecimento e outros tópicos da matemática.
12. Referências bibliográficas Machado, Nilson José – “Semelhança não é mera coincidência” – Editora Scipione, 1989
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – “Experiências Matemáticas” – 1997
www.somatematica.com.br
http://profdrico.sites.uol.com.br/semelhan.html
http://www.nosachamos.com/educacao/matematica/materias/geom_esp7.htm#Esfera
http://alunos.cc.fc.ul.pt/~l21054/curiosidades.htm#alturas
www.alfonsomartone.itb.it/ydliap.html www.cabri.com.br
www.geracaobyte.com.br/Matematica.html cursinho.hpg.com.br / Matemática On-Line
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