Sistemas de Controle 1Cap5 – Redução de Subsistemas Múltiplos

Pontifícia Universidade Católica de GoiásEscola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 1Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

5. Redução de Subsistemas Múltiplos

5.1 Introdução

5.2 Diagramas de Blocos

5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação

5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal

5.5 Regra de Mason

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

5.8 Transformações de Similaridade

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Desenho de diagramas de fluxo de sinal a partir das equações de estado.

Considere as seguintes equações de estado e de saída:

Passo 1) Identifique três nós como variáveis de estado, x1, x2 e x3.

Passo 2) Posicione 1 nó representando a derivada do sinal a esquerda de cada nó anterior.

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 3) Identifique também um nó como entrada, r, e um outro nó como saída, y.

Passo 4) Interconecte as variáveis de estado e suas derivadas com a integração, 1/s.

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equação 1 do sistema:

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equações 1 e 2 do sistema:

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equações 1, 2 e 3 do sistema:

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.

Equação da saída:

Diagrama pronto!

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Multiplicando matrizes para construir equações:

5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado

Esboçando o diagrama

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

• Forma em Cascata

• Forma Paralela

• Forma Canônica do Controlador

• Forma Canônica do Observador

Os sistemas podem ser representados no espaço de estados usando variáveis de fase,conforme visto no Cap. 3. Contudo, a modelagem de sistemas no espaço de estados podeassumir muitas formas de representação além da que resulta com as variáveis de fase.

Motivos para representar sistemas de diferentes formas:

- Aplicações específicas: Um conjunto de variáveis de estado, com sua representação exclusiva, pode modelar as variáveis físicas reais de um sistema, como as saídas de amplificadores e de filtros.- A facilidade de solução:Uma escolha particular de variáveis de estado pode desacoplar o sistema de equações diferenciais simultâneas.- A facilidade de modelagem

Formas de representação abordadas:

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma em Cascata

Representação utilizada no Cap. 3 com variáveis de fase:

Construindo representação alternativa em cascata:

Função equivalente:Dividindo função em blocos:

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma em Cascata

Função de transferência para cada um dos blocos:

Aplicando transformada inversa

Isolando a derivada

Representação em diagrama de fluxo de sinal para um bloco.

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma em Cascata

Colocando em cascata o diagrama de fluxo de sinal:

Forma em Cascata

Diagrama de fluxo de sinal:

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma em Cascata

Montando sistema de equações de estado a partir do diagrama:

ሶ𝑥1ሶ𝑥2ሶ𝑥3

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Comparando diagrama e as matrizes

ሶ𝑥1ሶ𝑥2ሶ𝑥3

Matriz ASistema

Matriz CSaídaMatriz B

Entrada

Pólos do sistema na diagonal da matrizRepresentação no Espaço dos Estados

Função de transferência

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Comparando matrizes desenvolvidas no Cap. 3 para variáveis de fase e a representação alternativa em cascata:

Representação com variáveis de fase Representação alternativa em cascata

Polinômio característico do sistema aparece ao longo da última linha

Raízes da equação característica aparecem ao longo da diagonal.

As matrizes são diferentes porém o sistema é equivalente

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Paralela

Conduz a uma matriz A diagonal, desde que não haja pólo como raiz repetida da equação característica.

Deduzida a partir de uma expansão em frações parciais da função de transferência do sistema.

ሶ𝑥1

ሶ𝑥2

ሶ𝑥3

Representação no Espaço dos Estados:

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Paralela

ሶ𝑥1

ሶ𝑥2

ሶ𝑥3

Representação no Espaço dos Estados: Representação matricial vetorial:

• A matriz de sistema é diagonal.

• Cada uma das equações é uma equação diferencial de primeira ordem com uma única variável.

Detalhes da representação

• As equações podem ser resolvidas de forma independente. As equações estão desacopladas.

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Paralela

Caso em que o denominador da função de transferência possui raízes reais repetidas.Matriz do sistema não é diagonal.

Representação no Espaço dos Estados:(escrito por inspeção a partir do diagrama de fluxo de sinal)

ሶ𝑥1ሶ𝑥2

ሶ𝑥3

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Paralela

Representação no Espaço dos Estados:(escrito por inspeção a partir do diagrama de fluxo de sinal)

Representação matricial vetorial:

Embora a matriz do sistema não seja diagonal, possui os pólos do sistema ao longo da diagonal.

A forma da matriz de sistema é conhecida como forma canônica de Jordan.

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Uma outra representação que usa variáveis de fase é chamada de forma canônica do controlador, assim designada devido ao seu uso no projeto de controladores, abordado no Cap. 12 (Nise).

Representação matricial (dedução no exemplo 3.5 do livro)

Forma Canônica do Controlador

Exemplo:

Renumerando as variáveis de fase em ordem inversa

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Controlador

Rearranjando em ordem numérica crescente, temos a forma canônica do controlador

Linhas e colunas são reordenadas:Linha 1 Linha 3Linha 3 Linha 1Coluna 1 Coluna 3Coluna 3 Coluna 1

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Controlador

Forma canônica do controlador Forma em variáveis de fase

Comparando formas de representação:

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Controlador

Forma canônica do controlador Forma em variáveis de fase

Observações:

• A forma em variáveis de fase e a forma canônica do controlador contêm os coeficientes do polinômio característico na linha superior ou inferior, respectivamente.

• As matrizes de sistema que contêm os coeficientes do polinômio característico são chamadas matrizes companheiras do polinômio característico.

Matriz de sistema companheira inferior

Matriz de sistema companheira superior

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

• Assim designada por seu uso no projeto de observadores (tratado no Cap. 12)• Conduz a matriz de sistema a uma forma matriz companheira à esquerda.

Forma Canônica do Observador

Exemplo:

Multiplicando cruzado

Combinando os termos de mesma potência de integração

Ou

Dividindo por 𝑠3

em cima e embaixo

Realizando distributiva e isolando termo C(s) com fator de multiplicação 1.

Equação com apenas integrações simples

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador

Montando diagrama de fluxo de sinal

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador

Montando diagrama de fluxo de sinal

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador

Montando diagrama de fluxo de sinal

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador

Montando diagrama de fluxo de sinal

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador

Representação no Espaço dos Estados

Variáveis de estado como saída dos integradores

ሶ𝑥1ሶ𝑥2ሶ𝑥3

𝑦Forma matricial vetorial

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador

Analisando forma matricial

• Semelhante a forma com variáveis de fase.

• Coeficientes do denominador da função de transferência estão na primeira coluna e que os coeficientes do numerador formam a matriz de entrada B

Função de transferência

• A matriz A é a transposta da forma canônica do controlador.

• O vetor B que é o transposto do vetor C da forma canônica do controlador.

• O vetor C que é o transposto do vetor B da forma canônica do controlador.

Forma Canônica do Observador e a forma canônica do controlador são duais.

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador

Forma Canônica do Observador e a forma canônica do controlador são duais.

Forma Canônica do Controlador

Se um sistema for descrito por A, B e C, seu dual será descrito por 𝐴𝐷 = 𝐴𝑇, 𝐵𝐷 = 𝐶𝑇 e 𝐶𝐷 = 𝐵𝑇.

𝑨𝑫 𝑩𝑫

𝑪𝑫

𝑨𝑻 𝑪𝑻

𝑩𝑻

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Forma Canônica do Observador Forma Canônica do Controlador

Comparando diagramas de fluxo duais

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

1

(𝑠 + 2)𝑠 + 5

𝑅(𝑠) 𝑋1(𝑠) 𝐶(𝑠)1

(𝑠 + 3)100

Separar função de transferência no caminho direto em blocos:

Escrever blocos como diagrama de fluxo de sinal

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

1

(𝑠 + 2)𝑠 + 5

𝑅(𝑠) 𝑋1(𝑠) 𝐶(𝑠)1

(𝑠 + 3)100

R(s)

𝑋2(𝑠)

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

𝑠 + 5𝑋1(𝑠) 𝐶(𝑠)

𝐶 𝑠 = 𝑠 + 5 𝑋1(𝑠)

𝐶 𝑠 = 𝑠𝑋1 𝑠 + 5𝑋1 𝑠

𝐶 𝑠 = ሶ𝑋1 𝑠 + 5𝑋1 𝑠

ሶ𝑥1 𝑠

Montando diagrama para o zero da função:

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

Inserindo malha de retroação:Forma em cascata

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

Escrevendo por inspeção as equações de estado:

ሶ𝑥1 𝑠ሶ𝑥2 𝑠

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

Escrevendo por inspeção as equações de estado:

ሶ𝑥1 𝑠ሶ𝑥2 𝑠

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

Escrevendo por inspeção as equações de estado:

ሶ𝑥1 𝑠ሶ𝑥2 𝑠

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

Simplificando o sistema:

ሶ𝑥1 𝑠ሶ𝑥2 𝑠

5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados

Representação de sistemas com retroação no espaço de estado

Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.

Escrevendo em forma matricial vetorial: