Post on 07-Apr-2016
Sistemas de Controle IIIN8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
4.a Aula: Matriz de Transição de Estado
Matriz de Transição de Estado
Nas seções anteriores definimos um par de Equação de Estado :
(1)
(2)
Matriz de Transição de Estado
Onde para duas ou mais Equações Diferenciais simultâneas:
A e C são matrizes 2 x 2 ou de maior ordem;
b e d são vetores coluna com duas ou mais linhas;
Nesta seção vamos introduzir a Matriz de Transição de Estado :
( ) Att e (3)
A Matriz de Transição de Estado é a solução da Equação de Estado
0 0 (condições iniciais ( ))x Ax bu x x t
Autovalores de uma Matriz A (n x n)
Os autovalores de uma Matriz (n x n) são as raízes da Equação
característica:
Os autovalores são as vezes chamados de raízes características .
Onde I é a matriz (n x n) identidade de A.
(4)det[ ] 0A I
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada Determinante de uma matriz A de 1ª ordem:
Dada uma matriz quadrada A de 1ª ordem A = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja:
det A = a11
Determinante de uma matriz A de 2ª ordem.
Dada uma matriz quadrada A de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
Determinante de uma matriz A de 3ª ordem.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:
Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.
2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos
elementos das duas diagonais paralelas à principal.
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto
dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:
4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2
e 3, ou seja:
Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
Autovalores de uma Matriz A (n x n)
Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de
A.
4 5
2 1A
Resolvendo-se a equação característica (4):
det[ ] 0A I
Exemplo 1:
Autovalores de uma Matriz A (nxn)
4 5 1 0 4 52 1 0 1 2 1
A I
2
1
2
det( ) 0 (4 )(1 ) 10 0
5 6 01
6
A I
Autovalores de uma Matriz A (nxn)
Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de
A.
Resolvendo-se a equação característica (4):
det[ ] 0A I
Exemplo 2:
2 1
0 1A
Autovalores de uma Matriz A (nxn)Autovalores de uma Matriz A (nxn)
2 1 1 0 2 10 1 0 1 0 1
A I
1
2
det( ) 0 ( 2 )( 1 ) 0( 1)( 2) 0
12
A I
Autovalores de uma Matriz A (nxn)Autovalores de uma Matriz A (nxn)Autovalores de uma Matriz A (nxn)
Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de
A.
Resolvendo-se a equação característica (4):
det[ ] 0A I
Exemplo 3:
0 1 00 0 16 11 6
A
Autovalores de uma Matriz A (n x n)
3 2
1
2
3
det( ) 0
6 11 6 0( 1)( 2)( 3) 0
123
A I
0 1 0 1 0 0 1 00 0 1 0 1 0 0 16 11 6 0 0 1 6 11 6
A I
Computação da Matriz de Transição de Estado
Considere a Matriz A (n x n) e a Matriz identidade I (n x n). Por definição , os
autovalores de A são as raízes de um Polinômio de ordem n.
det[ ] 0Onde:
1, 2, ..., n
i
i
A I
i
(5)
Computação da Matriz de Transição de Estado
Recorde-se que a expansão de um determinante produz um polinômio.
As raízes do polinômio da Equação 5 podem ser números reais ou
complexos.
A evolução da Matriz de Transição de Estado é baseada no Teorema de
Cayley-Hamilton. Este teorema diz que uma Matriz pode ser expressa como
um polinômio de (n-1) graus em termos da Matriz A:
Ate
2 10 1 2 1... n
nAte a I a A a A a A
(6)
Computação da Matriz de Transição de EstadoNa equação (6) os coeficientes ai (i = 0, 1, 2,...n-1) são funções dos autovalores (lambda)
Se os autovalores lambda da matriz A satisfazem a seguinte condição, ou seja, são distintos:
1 2 3 ... n
Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:
1
2
2 10 1 1 2 1 1 1
2 10 1 2 2 2 1 2
2 10 1 2 1
...
...
... n
tnn
tnn
tnn n n n
a a a a e
a a a a e
a a a a e
Computação da Matriz de Transição de Estado
Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.
Resolvendo-se os autovalores da matriz A:
det[ ] 0A I
Exemplo 4:
2 1
0 1A
Ate
Solução:
Autovalores da Matriz A
2 1 1 0 2 10 1 0 1 0 1
A I
1
2
det( ) 0 ( 2 )( 1 ) 0( 1)( 2) 0
12
A I
Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6)
Como a matriz A é de ordem 2 x 2, computamos apenas os dois
primeiros termos da equação (6):
0 1Ate a I a A
1
2
0 1 1
0 1 2
t
t
a a e
a a e
Os coeficientes a0 e a1 podem ser determinados pelas Equações :
(7)
Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6)
Substituindo-se nas equações os autovalores da matriz A calculados:1
0 1
20 1
( 1)
( 2)
t
t
a a e
a a e
Resolvendo-se o sistema de equações, tem-se:
20
21
2 t t
t t
a e e
a e e
Cálculo da Matriz de Transição de Estado
Substituindo-se os coeficientes calculados na Equação (7), tem-se:
2 22 ) )( (t t t te e e eAte I A
Substituindo-se a matriz identidade e a matriz A, tem-se:
2 21 0 2 12 ) )
0 1 0 1( (t t t te e e eAte
Cálculo da Matriz de Transição de Estado
Fazendo as operações com as matrizes, tem-se a matriz de transição
de estado:
2 2
0
t t t
tAte
e e e
e
Computação da Matriz de Transição de Estado
Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.
Exercício 5 (lista):
Ate
5 7 50 4 12 8 3
A