Post on 07-Apr-2016
Sistemas e sinais
Eugênio Pacelli - CES
Sinais – Implica um conjunto de informações ou dados.Ex.: Sinais de T.V., Telefone, vendas mensais de uma corporação etc.
Nos exemplos acima , todos são funções de variáveis independentes do tempo
Sistemas – É uma entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) para obter um outro conjunto de sinais (saída). Os quais podem modificá-lo ou extrair informações adicionais.Ex.: Bateria anti-aérea ( Conhecimento futuro das posições dos alvos)
Tamanho do Sinal - É um número que indica a grandeza ou intensidade desta entidade. Tal medida não pode ser considerada apenas a amplitude, mas também a sua duração.
Energia do Sinal- Podemos considerar a área abaixo de um sinal x(t) como uma possível medida de seu tamanho. Portanto esta medida é defeituosa pois sua áreas positivas e negativas podem se anular. A correção é feita por:
1
Para um sinal complexo x(t), é dada por:
2
Potência do sinal- A energia do sinal deve ser finita, para uma medida significativa do tamanho do sinal. Sendo condição necessária que a amplitude do sinal→0 quando |t|→∞, caso contrário a equação 1 não irá convergir.
Quando a amplitude do sinal x(t) não →0 quando |t| →∞, a energia do sinal é infinita. Uma medida mais significativa do tamanho do sinal é a energia média, chamada de potência do sinal.
3
Generalizando para um sinal complexo temos:
4
A potência do sinal Px é uma média temporal do quadrado da amplitude do sinal. A raiz quadrada de Px é o já conhecido valor rms de x(t).
Px = x(t)² =
OBS.: A média de uma entidade ao longo de um grande intervalo de tempo existe se a entidade for periódica ou possuir uma regularidade estatística.
Ex.: A função x(t) =t, aumenta indefinidamente, nem energia e nem potência existirão para este sinal.
Exercícios:1-
2-
3-Determine as energias ou potência dos sinais abaixo, bem com os valores rms quando possível.
Classificação dos Sinais
1. Sinais contínuos e discretos no tempo
2. Sinais analógicos e digitais
3. Sinais periódicos e não periódicos
4. Sinais de energia e de potência
5. Sinais determinísticos e probabilísticos
Sinal Contínuo no tempo
Sinal Discreto no tempo
Sinais Contínuos e Discretos
•O sinal analógico muitas vezes é confundido com contínuo, que não são a mesma coisa, o mesmo valendo para discreto e digital.
•Um sinal cuja amplitude pode assumir qualquer valor em uma faixa contínua é um sinal contínuo. Isto significa que a amplitude de um sinal analógico pode assumir infinitos valores.
•Um sinal digital, por outro lado, é aquele cuja amplitude pode assumir alguns números finitos de valores.
• Os termos contínuo no tempo e discreto no tempo, qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo de tempo (eixo horizontal).
•Os termos analógico e digital, qualificam a natureza da amplitude do sinal (eixo vertical).
Sinais Analógicos e Digitais
Sinais Periódicos e não PeriódicosUm sinal x(t) é dito periódico se para alguma constante positiva To, temos:
x(t) = x(t+To) para todo t
Um sinal é não periódico se ele não possuir um período.
•Um sinal de energia finita é um sinal de energia . Fig. (a)
•Um sinal com potência não nula finita é um sinal de potência. Fig. (b)
Sinais de Energia e Potência
Sinal determinístico – Descrição física é completamente conhecida, seja na forma matemática ou na forma gráfica;
Sinal Aleatório – Valores não podem ser preditos precisamente, mas são conhecidos apenas em termos de uma descrição probabilística, tal como o valor médio quadrático
Sinais Determinísticos e Aletaórios
Operações com Sinais contínuos
Deslocamento Temporal -
Deslocamento em atraso
Deslocamento em avanço
Exercício
A compressão ou expansão de um sinal é chamado de escalonamento temporal
Escalonamento Temporal
Exercício
Reversão Temporal
Exercício
Para o sinal x(t) mostrado abaixo, trace x(-t)
Operações CombinadasCertas operações complexas necessitam do uso simultâneo de mais de uma das operações descritas. A operação mais geral envolvendo todas as três operações é x(at-b), a qual é realizada em duas possíveis sequências de operação:
1.Deslocamento temporal de x(t) por b para obter x(t-b). Realize, agora, o escalonamento temporal do sinal deslocando x(t-b) por a ( isto é, substitua t por at ), para obter x(at-b);
2.Escalonamento temporal de x(t) por a para obter x(at). Realize, agora, o deslocamento temporal de x(at) por b/a ( isto é, substitua t por t-(b/a)) para obter x(a(t-b/a)) = x(at-b). Em qualquer dos casos, se a for negativo, o escalonamento no tempo também envolve reversão temporal.
Operações com sinais Discretos
Deslocamento – Considere o sinal x[n] e usando os mesmos artifícios dos sinais contínuos no tempo, obtemos:
Reversão no Tempo- É rotacionar x[n] com relação ao eixo vertical para obter o sinal revertido no tempo x[-n]
Alteração da Taxa de AmostragemÉ similar ao escalonamento temporal de sinais contínuos no tempo.
•Decimação - Xd[n] = X[Mn] , onde M é inteiro positivo, que reduz o número de amostras pelo fator M. Geralmente resulta na perda de dados
•Expansão- Somente existem quando n/2 é inteiro para n par.
Interpolação- O número de amostragem é aumentada.Neste processo o tempo é expandido e inserido amostras em falta utilizando uma interpolação
Modelos Úteis de Sinais
Contínuos –
1.Função Degrau Unitário – u(t)-
Se quisermos um sinal que comece em t=0, o multiplicamos pela função degrau unitário.Ex:
Podemos usar a função degrau para descrever outras funções.
Ex: Descreva a função abaixo em termos de funções degrau
1-
2-
3-
2- Função Impulso Unitário – δ(t)- É uma das funções mais importantes no estudo de sinais e sistemas. Foi determinada por Dirac.
Podemos visualizar um impulso como um pulso retangular alto e estreito com área unitária. A largura deste pulso retangular é um valor muito pequeno ε→0. Consequentemente a sua altura é muito grande.
Aproximações de um pulso, onde:
Multiplicação de uma Função por um Pulso
Se multiplicarmos uma função contínua Φ(t) por δ(t), teremos que:
Φ(t). δ(t) = Φ(0). δ(t)
Se o impulso for deslocado por T, teremos:
Φ(t). δ(t-T) = Φ(T). δ(t-T)
Propriedades
O que quer dizer que:
Donde concluímos:
ou
3_ Função Exponencial – est
S é um número complexo dado por:
Então,
Para o conjugado temos:
Temos os seguintes casos especiais:
1.Uma constante k = ke0t (S=0)
2.Uma exponencial monotônica et ( w=0, s= )
3.Uma senoidal coswt ( =0, S= jw )
4.Uma senóide variando exponencialmente et coswt (s= + j w)
4- Funções Pares e Ímpares
Propriedades
Área – Para o função par, devido à sua simetria em relação ao eixo vertical, temos:
Para o função impar, devido à sua simetria relação ao eixo horizontal, temos:
Todo sinal x(t) pode ser descrito como a soma de componentes pares e ímpares:
Exercício: 1- Dado a função , determine as componentesPares e ímpares da função e esboce os gráficos.
2- Determine as componentes pares e ímpares de ejt
1-
Discretos -
1-
2-
A função degrau unitário u[n] é definida por:
Exercício - Descreva o sinal b,como uma única expressão validade para todo n.
Resposta:
3- Exponencial Discreta no tempo – yn
A exponencial contínua no tempo pode ser expressa em forma alternativa por :
et = Yt ( Y = e ou = lnY )
A exponencial discreta no tempo Yt também pode ser expressa usando a base natural por:
en = Yn ( Y = e ou = lnY )
en cresce exponencialmente se Re>0 e decresce exponencialmente se Re<0. Se =0 o sinal é constante ou oscila com amplitude constante.
4-
= /12 radianos por amostraF= 1/24 ciclos/amostra
Exemplo:
5-
Usando a fórmula de Euler para descrever a exponencial ejn em termos de senóides da forma cos(n+) e vice versa
Sistemas
• Usados para processar sinal, modificando e extraindo informações deste.
• O sistema é caracterizado por entradas, saídas e modelo matemático.
Dados Necessários para Sistema Calcular Resposta
Sabendo-se as condições iniciais, como a corrente do indutor e a tensão do capacitor, podemos ter as saídas para t0.
Classificação dos Sinais
1- Sistema Lineares e não Lineares
Conceito de Linearidade
• É exemplo de sistema linear, quando a saída é proporcional à entrada, ou seja o homogeneidade do sistema.
• Havendo várias entradas atuando no sistema, o efeito de cada um pode ser somado e a linearidade permanece.
c1 – Causa 1e1 – Efeito 1C2 – Causa 2E2 - Efeito 2
C – CausaE - Efeito
Pelas duas propriedades descritas anteriormente, se multiplicarmos cada uma das causas ou entradas por um número k real ou imaginário, temos;
Resposta para um Sistema Linear
Entrada simplesSaída simples
Entrada múltiplaSaída múltipla
Exercícios
1-
Podemos então generalizar que o sistema composto pela equação diferencial abaixo é linear. Onde a e b são constantes ou funções
2-
3-
2- Sistemas invariantes e variantes no tempo