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Derivada Topologica de Primeira e Segunda Ordemno Problema de Tomografia por Impedancia

Eletrica

Andrey Dione Ferreira Antonio Andre Novotny

Coordenacao de Matematica Aplicada e Computacional, LNCC

25651-075, Petropolis, RJ.

E-mail: andreydf@lncc.br novotny@lncc.br.

3 de marco de 2015

Problema Inverso de EIT Andrey Dione Ferreira - andreydf@lncc.br 1 / 37

Sumario

1. Introducao

2. O problema de EIT

3. Analise de Sensibilidade Topologica

4. Formulacao do Problema

Analise Assintotica

Expansao Assintotica Topologica

Metodo Proposto

5. Experimentos Numericos

6. Consideracoes Finais

IntroducaoApresenta-se neste trabalho o problema de EIT (Electrical Impedance Tomography),

cujo objetivo e determinar a condutividade eletrica de um corpo a partir de medicoeseletromagneticas em sua superfıcie. Esse problema tem diversas aplicacoes, dentre asquais podemos citar as aplicacoes em ciencias medicas com na deteccao de tumores[2, 4] e monitoramento de apneias, em geofısica e ciencias ambientais com a localizacaode depositos de minerais e monitoramento de fluıdos e na engenharia com a deteccao decorrosoes em estruturas.

Figura 1 Monitoramento de arvores velhas.

Figura 2 Deteccao de pedras.

Figura 3 Monitoramento respiratorio neonatal.

O problema de EIT

Considere um domınio Ω que representa um dado corpo que possua a capacidadede conduzir eletricidade em seu interior e cujo coeficiente de condutividade eletrica sejak∗(x), com x ∈ Ω. Se assumirmos que este corpo e submetido a uma corrente eletricaconhecida q∗(x) com x ∈ ∂Ω, onde ∂Ω representa a fronteira de Ω. Entao, o problemade EIT consiste em:

Problema 2.1

Encontrar o coeficiente de condutividade eletrica k∗ tal quediv[q(u)] = 0 em Ω,

q(u) = −k∗∇u,q(u) · n = q∗ sobre ∂Ω,

u = u∗ sobre ∂Ω.

Problema 2.1

Encontrar o coeficiente de condutividade eletrica k∗

tal quediv[q(u)] = 0 em Ω,

q(u) = −k∗∇u,q(u) · n = q∗ sobre ∂Ω,

Figura 4 Ilustracao de ex-perimento.

Dividimos em duas classes de problemas inversos:

• dada uma excitacao de Neumann q∗ sobre ∂Ω, reconstruir k∗ a partir de observacoesdo campo u∗ sobre ∂Ω;

• dada uma excitacao de Dirichlet u∗ sobre ∂Ω, reconstruir k∗ a partir de observacoesdo fluxo q∗ sobre ∂Ω.

Problema 2.1

Encontrar o coeficiente de condutividade eletrica k∗

tal quediv[q(u)] = 0 em Ω,

q(u) = −k∗∇u,q(u) · n = q∗ sobre ∂Ω,

Figura 5 Ilustracao de ex-perimento.

Dividimos em duas classes de problemas inversos:

• dada uma excitacao de Neumann q∗ sobre ∂Ω, reconstruir k∗ a partir de ob-servacoes do campo u∗ sobre ∂Ω;

• dada uma excitacao de Dirichlet u∗ sobre ∂Ω, reconstruir k∗ a partir de observacoesdo fluxo q∗ sobre ∂Ω.

Questao: A partir dessas informacoes, podemos determinar o coeficiente de con-dutividade k∗(x)?

Questao: Quantos dados necessitamos conhecer, i.e., se o parametro k∗ e unica-mente determinado pelo conhecimento de alguns pares de dados (q∗, u∗) sobre a fronteirade Ω?

(a) Eletrodos no peito (b) Fios ligados

Figura 6 Exemplo real de EIT

• Na pratica em geral nao e possıvel medir os dados sobre toda a fronteira de Ω.

• O problema de EIT e um problema inverso mal-posto por sua natureza fısica.

• No corpo humano a condutividade de varias regioes sao constantes conhecidas. Porexemplo a condutividade de musculos, pulmoes, ossos e sangue sao respectivamente8.0, 1.0, 0.06, e 6.7 mS/cm (miliSiemens por centımetro).

Objetivo

O objetivo deste trabalho e tratar a reconstrucao de k∗ via analise de sensibilidadetopologica. Para isto, supoe-se que existam anomalias em Ω que torna a condutividadeeletrica constante por partes.

Figura 7 Corpo com anomalias

Analise de Sensibilidade Topologica

A Analise de Sensibilidade Topologica fornece um desenvolvimento assintotico paraum funcional de forma ψ(χ), cujo termo principal e a derivada topologica, que medea sensibilidade do funcional com respeito a uma pertubacao singular (furo, inclusao,termo-fonte).

Figura 8 Conceito de Analise de Sensibilidade Topologica

Considere um domınio aberto e limitado Ω sujeito a uma perturbacao confinada a umaregiao ωε(x) = x+ εω. Sendo x um ponto arbitrario de Ω e ω um domınio fixo.

Consideremos uma funcao, x 7→ χε(x;x), associada ao domınio topologicamenteperturbado.

Assume-se entao, que o funcional de forma associado ao domınio topologicamenteperturbado, adimite a seguinte expansao assintotica:

ψ(χε(x)

)= ψ(χ) + f(ε)Dψ(x) + f2(ε)D′′ψ(x) + o(f2(ε)), (3)

• f(ε) e uma funcao positiva tal que f(ε)→ 0 quando ε→ 0;

• f2(ε) e uma funcao positiva de correcao de segunda ordem tal que f2(ε)→ 0 quando

ε→ 0 e limε→0

f2(ε)

f(ε)= 0;

• A funcao x 7→ Dψ(x) e denominada derivada topologica de primeira ordem de ψ;

• A funcao x 7→ D′′ψ(x) e denominada derivada topologica de segunda ordem de ψ;

• O resıduo o(f2(ε)) e tal que limε→0

o(f2(ε))

f2(ε)= 0.

ObservaA§A£o: Para o caso do problema inverso de EIT, consideramos inclusoes nocoeficiente de condutividade eletrica

χε =

1, se x ∈ Ω \Bε(x)

γ, se x ∈ Bε(x),(4)

onde γ ∈ R+ e o contraste da propriedade material do meio.

Assume-se entao, que o funcional de forma associado ao domınio topologicamenteperturbado, adimite a seguinte expansao assintotica:

ψ(χε(x)

)= ψ(χ) + f(ε)Dψ(x) + f2(ε)D′′ψ(x) + o(f2(ε)), (3)

• f(ε) e uma funcao positiva tal que f(ε)→ 0 quando ε→ 0;

• f2(ε) e uma funcao positiva de correcao de segunda ordem tal que f2(ε)→ 0 quando

ε→ 0 e limε→0

f2(ε)

f(ε)= 0;

• A funcao x 7→ Dψ(x) e denominada derivada topologica de primeira ordem de ψ;

• A funcao x 7→ D′′ψ(x) e denominada derivada topologica de segunda ordem de ψ;

• O resıduo o(f2(ε)) e tal que limε→0

o(f2(ε))

f2(ε)= 0.

ObservaA§A£o: Para o caso do problema inverso de EIT, consideramos inclusoes nocoeficiente de condutividade eletrica

χε =

1, se x ∈ Ω \Bε(x)

γ, se x ∈ Bε(x),(4)

onde γ ∈ R+ e o contraste da propriedade material do meio.

Formulacao do Problema

Consideremos o seguinte funcional de forma:

ψ(χ) = Jχ(ui, u∗) =

N∑i=1

∫∂Ω

(ui − u∗i )2, (5)

onde χ e a funcao caracterıstica de Ω, N e o numero de medidas tomadas para ui solucaodo seguinte problema de Neumann:

div[q(ui)] = 0 em Ω,q(ui) = −k∇ui,

q(ui) · n = q∗i sobre ∂Ω,∫∂Ω

q∗i = 0,∫∂Ω

∫∂Ω

u∗i .

Seja k∗ o coeficiente de condutividade que se deseja reconstruir.

ProposiA§A£o 4.1

Sejam ui as solucoes dos problemas em (6), i = 1, · · ·, N . Entao, se k = k∗, onde k∗

e uma solucao do problema inverso da condutividade (2.1), tem-se que ui = u∗i sobre∂Ω, para todo i ∈ 1, · · · , N, e portanto o funcional (5) atinge um mınimo.

ObservaA§A£o:

ψ(χ) = Jχ(u, u∗) =

∫∂Ω

(u− u∗)2. (7)

Seja k∗ o coeficiente de condutividade que se deseja reconstruir.

ProposiA§A£o 4.1

Sejam ui as solucoes dos problemas em (6), i = 1, · · ·, N . Entao, se k = k∗, onde k∗

e uma solucao do problema inverso da condutividade (2.1), tem-se que ui = u∗i sobre∂Ω, para todo i ∈ 1, · · · , N, e portanto o funcional (5) atinge um mınimo.

ObservaA§A£o:

ψ(χ) = Jχ(u, u∗) =

∫∂Ω

(u− u∗)2. (7)

Analise de Sensibilidade Topologica

Considere um domınio Ω perturbado atraves da nucleacao simultanea de N inclusoesBi, i = 1, · · · , N , onde Bi ⊂ Ω e uma bola de centro em xi e raio εi que esta associadaa uma condutividade ki, com Bi ∩ Bj = ∅ se i 6= j. Denotando por x = (x1, · · · , xN )e ε = (ε1, ·, εN ), admitimos que

ψ(χε(x)

)= ψ(χ) + f(ε) ·Dψ(x) +D′′ψ(x)f(ε) · f(ε) + o(f(ε)), (8)

• f(ε) = (f1(ε), · · · , fN (ε)), com fi(ε) ∈ R+ e lim|ε|→0

‖f(ε)‖|ε|

• A funcao Dψ : ΩN → RN e a derivada topologica de primeira ordem do funcional

ψ(χ) ;

• A funcao D′′ψ : ΩN → RN×N e a derivada topologica de segunda ordem do funcionalψ(χ);

• E o resıduo o(f(ε)) e tal que lim|ε|→0

‖o(f(ε))‖‖f(ε)‖

Consideremos ainda o funcional de forma associado ao domınio topologicamente per-turbado

ψ(χε) = Jχε (uε, u∗) =

∫∂Ω

(uε − u∗)2. (9)

Sendo uε e solucao de

div[qε(uε)] = 0 em Ωqε(uε) = −γεk∇uε

qε(uε) · n = q∗ sobre ∂Ω∫∂Ω

q∗ = 0∫∂Ω

∫∂Ω

JuεK = 0 sobreN⋃i=1

Jqε(uε)K · n = 0 sobreN⋃i=1

γε =

1, se x ∈ Ω \Biγ, se x ∈ Bi, i = 1, · · · , N.

Onde γi e o contraste da propriedade material do meio em cada inclusao Bi.

Analise AssintoticaAfim de identificar f(ε), f2(ε), calcular Dψ(xi) e D′′ψ(xi) em (3) e necessario conhecer

o comportamento de uε com respeito ao parametro ε.

Para expandirmos uε, admitimos

uε(x) = u(x)

+N∑i=1

wi(x/εi) + ε2i ui(x) + wi(x/εi) + ε4i˜ui(x) +

N∑j=1,j 6=i

(˜wji (x/εi) + ε2i ε

2juji (x)

)+ ˜uε(x). (12)

Sendo k constante em Ω, temos que a solucao u do problema (6) e harmonica emΩ, de classe C∞ no interior de Ω. Portanto, podemos tomar a seguinte expansao emTaylor: se x ∈ Bl, entao

u(x) = u(xl) +∇u(xl) · (x− xl) +1

2∇2u(xl)(x− xl)2 +

3!∇3u(xl)(x− xl)3

4!∇4u(ξl)(x− xl)4, (13)

Analise Assintotica (cont.)

onde ξl = ξl(x) e um ponto intermediario entre x e xl.

Sobre ∂Bε(x), temos que Jqε(uε)K · n = 0.

0 = −k(1− γ)∇u(x) · n+ εk(1− γ)∇2u(x)n · n−1

2ε2k(1− γ)∇3u(x)n3

3!ε3∇4u(ξ)n4 + Jqε(wε)K · n+ε2k(1− γ)∂nu

+ Jqε(wε)K · n+ ε4k(1− γ)∂n ˜u+ Jqε ˜uεK · n. (14)

Assim, escolhemos wε(x/ε) solucao dediv[qε(wε)] = 0 no R2

qε(wε) = −γεk∇wε no R2

wε → 0 no ∞JwεK = 0 sobre ∂Bε(x)

Jqε(wε)K · n = k(1− γ)(∇u(x) · n− ε∇2u(x)n · n

)sobre ∂Bε(x).

Seja ρ =1− γ1 + γ

Em R2 \Bε, tem-se

wε(x/ε)|∂Ω = ε2g + ε4h,

g = ρ1

‖x− x‖2∇u(x) · (x− x) e h = ρ

2‖x− x‖4∇2u(x)(x− x) · (x− x). (16)

Portanto, tomamos u satisfazendodiv[q(u)] = 0 em Ω,

q(u) = −k∇u em Ω,q(u) · n = −q(g) · n sobre ∂Ω,∫

∂Ωu = −

∫∂Ω

Sendo k constante em Ω, temos que a solucao u do problema (24) e harmonica emΩ, de classe C∞ no interior de Ω. Assim, se x ∈ Bε(x)

u(x) = u(x) +∇u(x) · (x− x) +1

2∇2u(ξ) · (x− x)2, (18)

onde ξ = ξ(x) e um ponto intermediario entre x e x.

0 = −k(1− γ)∇u(x) · n+ εk(1− γ)∇2u(x)n · n−1

2ε2k(1− γ)∇3u(x)n3+

3!ε3∇4u(ξ)n4

+ Jqε(wε)K · n+−ε2k(1− γ)∇u(x) · n+ ε3k(1− γ)∇2u(ξ)n · n

+ Jqε(wε)K · n+−ε4k(1− γ)∂n ˜u+ Jqε ˜uεK · n. (19)

Desta forma, escolhemos wε tal que

div[qε(wε)] = 0, no R2,

qε(wε) = −γεk∇wε no R2,wε → 0, no ∞,

JwεK = 0, sobre ∂Bε(x)

Jqε(wε)K · n = ε2k(1− γ)

(∇u(xi) · n+

2∇3u(x)n3

)sobre ∂Bε(x),

Se x ∈ R2\Bε(x), entaowε(x/ε) = ε4g + ε6h, (21)

g = ρ1

‖x− x‖2∇u(x) · (x− x) e h =

‖x− x‖6∇3u(x)(x− x)3. (22)

Agora, escolhemos ˜u afim de compensar as discrepancias da ordem de ε4 geradas porwε e wε sobre a fronteira exterior ∂Ω, ou seja,

div[q(˜u)] = 0 em Ω,

q(˜u)

= −k∇˜u em Ω,

q(˜u) · n = −q(h+ g) · n, sobre ∂Ω∫∂Ω

˜u = −∫∂Ω

Por fim, construımos ˜uε de forma a compensar os termos de mais alta ordem e talque a condicao de compatibilidade seja satisfeita, ou seja,

div[qε(˜uε)] = 0 em Ω,

qε(˜uε)

= −γεk∇˜uε em Ω,

qε(˜uε)· n = −qε

(ε6h)· n sobre ∂Ω∫

˜uε = −ε6∫∂Ω

J˜uεK = 0 sobre ∂Bε,

Jqε(˜uε)K · n = ε3g1 + ε4g2 sobre ∂Bε,

onde, g1 = k(1− γ)

[∇2u(ξ)n · n+

3!∇4u(ξ)n4

]e g2 = k(1− γ)∂n ˜u.

ProposiA§A£o 4.2

Seja ˜uε a solucao de (31), ou equivalentemente a solucao do seguinte problemavariacional:

Encontrar ˜uε ∈ ˜Uε, tal que:∫Ωqε(˜uε) · ∇η + ε6

∫∂Ω

qε(h) · nη = ε3∫∂Bε

g1η + ε4∫∂Bε

g2η ∀η ∈ ˜Vε, (25)

˜Uε =

ϕ ∈ H1(Ω) : JϕK = 0 sobre ∂Bε,

∫∂Ω

ϕ = −ε6∫∂Ω

˜Vε =

ϕ ∈ H1(Ω) : JϕK = 0 sobre ∂Bε,

∫∂Ω

ϕ = 0

g1 = k(1− γ)

[∇2u(ξ)n · n+

3!∇4u(ξ)n4

g2 = k(1− γ)∇˜u · n.

Entao, ‖˜uε‖H1(Ω) = O(ε5).

Escrevendo uε = u+ ϕε, com

ϕε|∂Ω= ε2 (g + u) + ε4

(h+ g + ˜u

)+ ε6h+ ˜uε, (26)

tem-se

ψ(χε) =

∫∂Ω

(u+ ϕε − u∗)2 = ψ(χ) + 2

∫∂Ω

(u− u∗)ϕε +

∫∂Ω

ϕ2ε. (27)

Assim, temos que∫∂Ω

(u− u∗)ϕε = ε2∫∂Ω

(u− u∗)(g + u) + ε4∫∂Ω

(u− u∗)(h+ g + ˜u) +2∑i=1

Ei(ε), (28)

E1(ε) = ε6∫∂Ω

(u− u∗)h = O(ε6)

E2(ε) =

∫∂Ω

(u− u∗)˜uε 6 ‖u− u∗‖H1/2(∂Ω)‖˜uε‖H1/2(∂Ω) 6 C‖˜uε‖H1(Ω) = O(ε5).

E, tambem ∫∂Ω

ϕ2ε = ε4

∫∂Ω

(g + u)2 +9∑i=3

Ei(ε), (29)

E3(ε) = 2ε2∫∂Ω

(g + u)˜uε 6 Cε2‖˜uε‖H1(Ω) = O(ε7)

E4(ε) = 2ε4∫∂Ω

(h+ g + ˜u)˜uε 6 Cε4‖˜uε‖H1(Ω) = O(ε9)

E5(ε) = 2ε6∫∂Ω

(g + u)(h+ g + ˜u) + h˜uε = O(ε6),

E6(ε) = ε8∫∂Ω

2(g + u)h+ (h+ g + ˜u)2 = O(ε8),

E7(ε) = 2ε10

∫∂Ω

(h+ g + u)h = O(ε10),

E8(ε) = ε12

∫∂Ω

h2 = O(ε12),

∫∂Ω

˜u2ε 6 C‖˜uε‖2H1(Ω)

= O(ε10).

Logo, substituindo (35) e (36) em (34), obtem-se

ψ(χε) = ψ(χ) + 2ε2∫∂Ω

(u− u∗)(g + u) + 2ε4∫∂Ω

(u− u∗)(h+ g + ˜u) + ε4∫∂Ω

(g + u)2

+ o(ε4). (30)

Estado adjunto:

Temos que ˜u satisfaz

˜u ∈ ˜U :

∫Ωq(˜u) · ∇η +

∫∂Ω

q(h) · nη = 0, ∀η ∈ ˜V,

ϕ ∈ H1(Ω);

∫∂Ω

ϕ = −∫∂Ω

e ˜V =

ϕ ∈ H1(Ω);

∫∂Ω

ϕ = 0

Assim, considere v ∈ ˜V tal que∫Ωq(v) · ∇η = 2

∫∂Ω

(u− u∗)η

cuja equacao de Euler-Lagrange ediv[q(v)] = 0 em Ω,q(v) = −k∇vq(v) · n = 2(u− u∗) sobre ∂Ω,∫∂Ω

v = 0.

ψ(χε) = ψ(χ) + 2ε2∫∂Ω

(u− u∗)(g + u) + 2ε4∫∂Ω

(u− u∗)(h+ g + ˜u) + ε4∫∂Ω

(g + u)2

+ o(ε4). (37)

Estado adjunto:

˜u ∈ ˜U :

∫Ωq(˜u) · ∇η +

∫∂Ω

q(h+ g) · nη = 0, ∀η ∈ ˜V, (31)

ϕ ∈ H1(Ω);

∫∂Ω

ϕ = −∫∂Ω

e ˜V =

ϕ ∈ H1(Ω);

∫∂Ω

ϕ = 0

∫∂Ω

(u− u∗)η (32)

cuja equacao de Euler-Lagrange ediv[q(v)] = 0 em Ω,

q(v) = −k∇vq(v) · n = 2(u− u∗) sobre ∂Ω,∫∂Ω

v = 0.

ψ(χε) = ψ(χ) + 2ε2∫∂Ω

(u− u∗)(g + u) + 2ε4∫∂Ω

(u− u∗)(h+ g + ˜u) + ε4∫∂Ω

(g + u)2

+ o(ε4). (37)

Estado adjunto:

˜u ∈ ˜U :

∫Ωq(˜u) · ∇η +

∫∂Ω

q(h+ g) · nη = 0, ∀η ∈ ˜V, (31)

ϕ ∈ H1(Ω);

∫∂Ω

ϕ = −∫∂Ω

e ˜V =

ϕ ∈ H1(Ω);

∫∂Ω

ϕ = 0

∫∂Ω

(u− u∗)η (32)

cuja equacao de Euler-Lagrange ediv[q(v)] = 0 em Ω,

q(v) = −k∇vq(v) · n = 2(u− u∗) sobre ∂Ω,∫∂Ω

v = 0.

(33)Problema Inverso de EIT Andrey Dione Ferreira - andreydf@lncc.br 24 / 37

Entao, escolhendo η = v em (38) e η = ˜u+ ϕ em (39) com ϕ|∂Ω= h+ g temos∫

Ωq(˜u) · ∇v +

∫∂Ω

q(h+ g) · nv = 0 (34)

∫∂Ω

(u− u∗)˜u =

∫Ωq(v) · ∇˜u =

(41)−∫∂Ω

q(h+ g) · nv. (35)

Dessa forma podemos reescrever (37) como

ψ(χε) = ψ(χ) + ε2︸︷︷︸f(ε)

∫∂Ω

(u− u∗)(g + u)

︸︷︷︸Dψ(x)

+ ε4︸︷︷︸f2(ε)

∫∂Ω

(u− u∗)(h+ g)−∫∂Ω

q(h+ g) · nv +

∫∂Ω

(g + u)2

︸︷︷︸D′′ψ

+ o(ε4). (36)

Metodo Proposto

O metodo de solucao consiste em considerar a expansao (43) truncada, que pode serreescrita como

Ψ(f(ε)

)= f(ε)Dψ(x) + f2(ε)D′′ψ(x), (37)

desde que f2(ε) = f2(ε).

Note que Ψ(f(ε)

)e uma forma quadratica em f(ε), logo admite um mınimo global

absoluto em relacao a f(ε). Claramente, este mınimo e dado por

f?(x) = −Dψ

2D′′ψ(x). (38)

Em seguida substitui-se f?(x) em (44) e a solucao e dada pelo par (x?, ε?), que trivial-mente e obtido da seguinte forma

x? = arg minx∈Ω

Ψ(f?(x)) e ε? =√f?(x∗). (39)

Experimentos Numericos

Nos resultados a seguir, o domınio esta submetido a um conjunto de fluxos q∗, im-postos ao longo de ∂Ω, de acordo com a figura 9. O coeficiente de condutividade termicana matriz vale km = 1.0 e o da inclusao vale ki = 2.0.

(a) Fluxo 1 (b) Fluxo 2

Figura 9 Fluxos ao longo da fronteira

Os resultados foram obtidos com duas medidas, geradas pelos os fluxos impostos apre-sentados na figura 9.

Observa-se que a derivada topologica de primeira ordem nao e suficiente para detec-tarmos a anomalia, uma vez que ela atinge os valores mais crıticos na fronteira (Figura10).

(a) Target (b) Derivada Topologica

Figura 10 Do lado esquerdo apresenta-se o target do exemplo 1 e do lado direito a derivadatopologica do mesmo.

Considerando a derivada topologica de segunda ordem que consiste de termos naolocais, as referidas discrepancias sao corrigidas, de forma que funcional associado aoproblema perturbado atinge seu mınimo exatamente no centro das inclusoes. Alemdisso, o erro nos raios obtidos e bastante pequeno.

(a) Exemplo 1 (b) Exemplo 2

(c) Exemplo 3 (d) Exemplo 4

Figura 11 Do lado esquerdo, em cada exemplo, apresenta-se o target e do lado direito oresultado numerico.

Ex. Centro da Inclusao ε Real Ponto de mınimo (x∗) ε∗ Erro do Raio1 (0.7,0.6) 0.1 (0.7,0.6) 0.09947 0.53%2 (0.7,0.6) 0.13 (0.7,0.6) 0.12838 1.246%3 (0.7,0.6) 0.17 (0.7,0.6) 0.16592 2.4%4 (0.7,0.6) 0.2 (0.7,0.6) 0.19312 3.44%

Tabela 1 Resultados numericos

(a) Exemplo 5 (b) Exemplo 6

(c) Exemplo 7 (d) Exemplo 8

Figura 12 Do lado esquerdo, em cada exemplo, apresenta-se o target e do lado direito oresultado numerico.

Ex. Centro da Inclusao ε Real Ponto de mınimo (x∗) ε∗ Erro do Raio5 (0.2,0.2) 0.1 (0.2,0.2) 0.097869 2.131%6 (0.4,0.4) 0.1 (0.4,0.4) 0.099657 0.343%7 (0.5,0.5) 0.1 (0.5,0.5) 0.099748 0.252%8 (0.6,0.6) 0.1 (0.6,0.6) 0.099657 0.343%

Consideracoes Finais

• Expansao de forma sucinta e representacao mais simples do que se encontra naliteratura (ver, por exemplo, [3]).

• O metodo e nao iterativo, o que geralmente nao se encontra na literatura (ver [1, 3]).

• Metodo resultante dado por dois problemas triviais de otimizacao.

Referencias

[1] A. Leitao A. De Cezaro and X-C Tai. On piecewise constant level-set (pcls) methodsfor the identification of discontinuous parameters in ill-posed problems. Inverse Pro-blems, 29:23pp, 2013.

[2] M. Bertero and P. Boccacci. Introduction to inverse problems in imaging. Instituteof Physics Publishing, Bristol, 1998.

[3] M. Hintermuller, A. Laurain, and A. A. Novotny. Second-order topological expan-sion for electrical impedance tomography. Advances in Computational Mathematics,36(2):235–265, 2012.

[4] H. Grossauer M. Haltmeier O. Scherzer, M. Grasmair and F. Lenzen. Variationalmethods in imaging. Applied Mathematical Sciences, Springer, New York, 2009.

Leitura parcial

• Nos experimentos reais a corrente eletrica q∗ e aplicada atraves de um par de eletro-dos, um de injecao e outro de drenagem, enquanto os eletrodos restantes sao paramedicao da tensao u∗, ver Figura 13.

Figura 13 Ilustracao de experimento.

N inclusoes

• O meio pode conter mais de uma anomalia:

ψ(χε) = ψ(χ)+

N∑i=1

[2ε2i

∫∂Ω

(u−u∗)(gi+ui)+ε4i

∫∂Ω

(u−u∗)(hi+ gi)−∫∂Ω

q(hi+ gi) ·nv+

∫∂Ω

(gi+ui)2

+N∑j=1j 6=i

ε2i ε2j

∫∂Ω

(u− u∗)θji −∫∂Ω

q(θji ) · nv)

N∑j=i+1

ε2i ε2j

∫∂Ω

(gi + ui)(gj + uj)

+O(ε5). (40)

Diferentes formas

(a) Exemplo 9 (b) Exemplo 10 (c) Exemplo 11

Figura 14 Experimentos com diferentes formas.

Ex. Baricentro da anomalia Vol. real x∗ Vol. encontrado Erro de vol.9 (0.7,0.6) 0.04 (0.7,0.6) 0.0394 1.5%10 (0.7,0.6) 0.0628 (0.7,0.6) 0.0618 1.56%11 (0.675,0.575) 0.04 (0.68,0.58) 0.0402 0.54%

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