Solução das equações de estado

Equação de estado (vetorial):

Equação escalar:

Aplicando a transformada de Laplace:

FONTE: www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_03.pdf

Solução das equações de estado

Solução em X(s):

Mas:

E:

)]([)( 1 sXLtx

Solução das equações de estado

Aplicando a transformada inversa na expressão de X(s):

Vamos utilizar o mesmo raciocínio para solucionar a equação diferencial matricial:

Solução para entrada nula Solução para estado nulo

Solução das equações de estado

Aplicando a transformada de Laplace:

Mas:

Solução das equações de estado

Aplicando a transformada de Laplace:

Por analogia com arelação escalar:

Introduz-sea notação:

Solução das equações de estado

Se A é uma matriz (n n), então eAt também é uma matriz (n n), chamada de matriz exponencial.

Observe que:

Assim:

Como deteminar x(t)?

Solução das equações de estado

A matriz exponencial eAt é também chamada de matriz de transição de estados (t):

pois descreve a transição dos estados da condição inicial x(0) para estados no tempo t, para uma entrada nula:

Solução para entrada nula Solução para estado nulo

Solução das equações de estado

Observe que (t) satisfaz a equação:

Outras propriedades de (t):

Solução das equações de estado

Computação da matriz de transição de estados:

Pode-se calcular:

até que não sejam mais observadas mudanças significativas.

Exemplo:

Variáveis de estado?

Solução das equações de estado

Exemplo (cont):

Variáveis de estado:

Equação de estado matricial:

Cálculo de (t):

Solução das equações de estado

Assim, a solução para a equação homogênea

com condições iniciais é dada por:

Solução das equações de estado

Solução por transformada de Laplace para a matriz de transição de estados:

Exemplo:

Uma realização em espaço de estados:

Solução das equações de estado

Exemplo (cont):

Portanto:

Solução das equações de estado

Assim:

Computação da matriz exponencial com o Toolbox Symbolic Math do Matlab:

Pode-se também calcularo valor numérico:

Solução das equações de estado

Resposta total do sistema (entrada + condições iniciais):

Entrada = degrau unitário:

aplicada ao sistema:

Resposta total:

Entrada no domínio s :

Este termo já temos

Falta determinar este termo

Solução das equações de estado

Já havíamos calculado a resposta à entrada nula. Agora falta calcular a resposta ao estado nulo:

Solução das equações de estado

Assim:

Respostas de sistemas no Matlab:

Dado um objeto LTI:

Resposta a condições iniciais:

Resposta ao impulso:

Resposta ao degrau:

Resposta a uma entrada genérica:

Respostas de sistemas no Matlab:

Viewer do Matlab para um sistema LTI:

File Import selecionar G

• Clique com o botão direito do mouse sobre a figura

ltiview no Matlab:

ltiview no Matlab:

Resposta completa de x(t) Resposta completa do sistema:

Resposta completa do sistema - Symbolic Math Toolbox:

• Resposta àentrada nula:

• Resposta ao estado nulo:

)()()( txtxtx ZSZI

Resposta completa de x(t)

>> help syms

SYMS Short-cut for constructing symbolic objects. SYMS arg1 arg2 ... is short-hand notation for arg1 = sym('arg1'); arg2 = sym('arg2'); ... SYMS arg1 arg2 ... real is short-hand notation for arg1 = sym('arg1','real'); arg2 = sym('arg2','real'); ... (...)Examples: syms x beta real is equivalent to: x = sym('x','real'); beta = sym('beta','real');

Toolbox simbólico no Matlab

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado

Já vimos que não existe um único conjunto de variáveis de estado que resultam em um mesmo comportamento entrada-saída (ou mesma função de transferência).

Como passar de uma realização em espaço de estados para outra?

Considere uma realização dada por:

Queremos encontrar uma outrarealização dada por:

FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

uy

u

DCx

BAxx

uy

u

DzC

BzAz

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado

Para isto, precisamos realizar uma transformação (não-singular) linear de variáveis:

T: matriz de transformação. Assim:

FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado

Assim:

onde:

Esta é uma chamada de transformação de similaridade.

FONTE: http://www.mame.mu.oz.au/~mcg/ctrl433/lectures/al_04.pdf

Transformações entre conjuntos de variáveis de estado

Como estas duas realizações referem-se a um mesmo sistema (mesma função de transferência), deve-se ter:

Exemplo:

DBAICDBAICY

G 11 )()()()(

)( sssUs

s

Vamos escolher:

Exemplo: ss tf Para esta definição de variáveis de estado, as

equações de estados são dadas por:

: Forma canônica controlável

Diagrama desimulação:

Função de transferência?

Exemplo: ss tf

Função de transferência:

Exemplo: ss tf

No Matlab: ss tf : ss2tf Função de transferência G:

>> G=tf(1,conv([1 2],[1 3])) Transfer function: 1-------------s^2 + 5 s + 6 >> [A,B,C,D]=tf2ss(1,conv([1 2],[1

3]))D = 0

A = -5 -6 1 0

B = 1 0

C = 0 1

: Forma canônicacontrolável

Formas canônicas e diagramas de simulação

Diagrama de simulação para o sistema descrito pela equação diferencial:

Assim:

Saídas dos integradores = estados

Formas canônicas e diagramas de simulação

Diagrama de blocos:

Formas canônicas e diagramas de simulação

Matriz A: Forma canônica companheira (superior)

Forma canônica controlável com derivadas da entrada:

Introduz-se um estado parcial como uma variável auxiliar, tal que:

Formas canônicas e diagramas de simulação

Forma canônica controlável com derivadas da entrada – equação envolvendo estados e entrada:

Também pode ser realizado com integradores em série

A saída pode ser dada por:

Formas canônicas e diagramas de simulação

Forma canônica controlável com derivadas da entrada – diagrama de simulação:

Formas canônicas e diagramas de simulação

Os estados são realimentados para a entrada

Equações de estado:

Formas canônicas e diagramas de simulação

Matriz Ac: Forma canônica companheira (superior) Esta matriz é companheira da equação característica

Para próxima aula: Estudar formas canônicas:

Forma canônica controlável; Forma canônica observável; Formas canônicas companheiras.