Post on 21-Apr-2020
Solução Geral de uma Equação Diferencial
● Solução da equação homogênea
● Solução da equação particular
● Solução completa
● Diagrama de Blocos
Solução da Equação Particular
● Excitação externa não nula
● Não há método de solução geral
● É possível um método considerando restrições– a derivada da excitação se anula a partir de um índice
– as derivadas se repetem a partir de um índice
– nesse caso, a solução particular é encontrada como
conhecido como método dos coeficientes indeterminados.
���� +++= )()()()( tuCtuBtAuty p
Variáveis Complexas
Representação no plano complexo
111 ωσ jp +=
ωj
(Real)
(Imag)
σ1σ
1ωj 1p
θ
r
Variáveis Complexas
Módulo de uma grandeza complexa
Angulo de uma grandeza complexa
ωσ jp += 22 ωσ +=r
ωσ jp +=σωθ ==
real parte
imaginária partetg
= −
σωθ 1tg
Representação Variáveis Complexas
ωσ jp +=
Componentereal
fase
Conjugado ωσ jp −=*
Representaçãoretangular
θ rp =Representaçãopolar
módulo
Componenteimaginária
Conversões retangular/polar
Retangular p/ polar
Polar p/ retangular
)(1
22
σωθ
ωσ−=
+=
tg
r
θωθσ
sen
cos
r
r
==
Operações Complexas
● Soma e subtração
111 ωσ jp +=
222 ωσ jp +=)()( 2121 ωωσσ ±+±= jp±
● Multiplicação e divisão
111 θrp =
222 θrp =)( )/*( 2121 θθ ±= rrp
Na forma retangular
Na forma polar
/*
Função Complexa
imagreal jGGsG +=)(
função de umavariável complexa
funçãocomplexa
apresenta parte reale parte imaginária
ωj
σ1σ
1ωj 1p
θ
r
ωj
σrealG
imagjG
( )realimag GGatan
G
( )sG
Forma exponencial
Com base na fórmula de Euler
define-se a forma exponencial
θθθ sencos je j +=
θθθθ sencos rjrrre j +==
Solução da Equação ParticularMétodo dos coeficientes indeterminados
Determinar a solução particular
tetydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd 32
2
3
3
4)(50)(
37)(
8)( −=+++
)(12)(
4)(3
3
tAuetu
etut
t
=−=
=−
−
�)()( tAuty =
tetydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd 32
2
3
3
4)(50)(
37)(
8)( −=+++
soluçãoparticular
tAety 3)( −=
tAety 33)( −−=�
tAety 39)( −=��
tAety 327)( −−=���
( ) ( ) ttttt eAeAeAeAe 33333 4503379827 −−−−− =+−++−
4501117227 =+−+− AAAA4
1−=A
tety 3
4
1)( −−=
Solução da Equação Particular
Determinar a solução particular
ttydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd3cos4)(50
)(37
)(8
)(2
2
3
3
=+++
)(3cos36)(
3sen12)(
3cos4)(
tAuttu
ttu
ttu
=−=−=
=
��� tBtAty 3sen3cos)( +=
tBtAty 3sen3cos)( +=
tBtAty 3cos33sen3)( +−=�
( ) ( )( ) ( ) ttBtAtBtA
tBtAtBtA
3cos43sen3cos503cos33sen337
3sen93cos983cos273sen27
=+++−++−−+−
soluçãoparticular
tBtAty 3sen93cos9)( −−=��
tBtAty 3cos273sen27)( −=���
ttydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd3cos4)(50
)(37
)(8
)(2
2
3
3
=+++
( ) ( )( ) ( ) ttBtAtBtA
tBtAtBtA
3cos43sen3cos503cos33sen337
3sen93cos983cos273sen27
=+++−++−−+−
( ) 05011172273sen =+−− BABAt
( ) tABABt 3cos45011172273cos =++−−
48422
02284
=+−=−−
BA
BA 188522−=A
188584=B
ttty 3sen1885
843cos
1885
22)( +−=
Matlab: processamento simbólico
● Comando básico: sym
● Cálculo de derivada: diff
● Cálculo de integral: int
● Solução de sistemas algébricos: solve
● Solução de eq. diferenciais ordinárias: dsolve
∫=
++=
+=
dtfi
dt
fd
dt
dffy
tbtaef t
2
2
))sen()cos(( ωωω
Programa simbólico
● t = sym(’t’);
● w = sym(’w’);
● a = sym(’a’);
● b = sym(’b’);
● % syms t w a b;
● f=exp(w*t)*(a*cos(w*t)+b*sin(w*t));
● dfdt=diff(f,t);
● d2fdt2=diff(dfdt,t);
● y=f+dfdt+d2fdt2;
● intf=int(f,t);
Exemplo anterior
● t = sym(’t’);
● A=sym(’A’);
● B=sym(’B’);
● u=4*cos(3*t);
● dudt=diff(u,t);
● y=A*u+B*dudt;
● dydt=diff(y,t);
● d2ydt2=diff(dydt,t);
● d3ydt3=diff(d2ydt2,t);
● dpy=d3ydt3+8*d2ydt2+37*dydt+50*y;
● ff=collect(dpy,’sin(3*t)’)
● (-336*A+264*B)*sin(3*t)-1008*B*cos(3*t)-88*A*cos(3*t)● fff=collect(ff,’cos(3*t)’)
● (-1008*B-88*A)*cos(3*t)+(-336*A+264*B)*sin(3*t)
ttydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd3cos4)(50
)(37
)(8
)(2
2
3
3
=+++
Continuação
● % Usando a resposta anterior define-se o sistema abaixo
● S=solve(’-1008*B-88*A=4’,’-336*A+264*B=0’,’A,B’);
● A=double(S.A);
● B=double(S.B);
● yp1=eval(y)
● -22/1885*cos(3*t)+84/1885*sin(3*t)
● % Plotando a resposta no tempo
● t=0:0.1:5;
● yp2=eval(y);
● plot(t,yp2),grid
0264336
4100888
=+−=−−
BA
BA
Solução Completa da Equação Diferencial
solução homogênea
solução particular+
soluçãocompleta
+
determinação dasconstantes
Substituiçãodas condições
iniciais
Solução Completa da Equação DiferencialExemplo
Determinar a solução completa
tetydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd 32
2
3
3
4)(50)(
37)(
8)( −=+++
CondiçõesIniciais
1)0(
2)0(
1)0(
2
2
=
=
=
dt
yd
dt
dy
y
tttt eteAteAeAty 333
32
21 4
14sen4cos)( −−−− −++=solução
homogênea particular
C.I
1)0(
2)0(
1)0(
2
2
=
=
=
dt
yd
dt
dy
y
125.22474)0(
275.0432)0(
125.0)0(
321
321
21
=−−−−==++−−=
=−+=
AAAy
AAAy
AAy
��
�
1742
1 =A 6883
2 −=A 6843
3 =A
tttt eteteety 3332
4
14sen
68
434cos
68
83
17
42)( −−−− −+−=
Usando o comando “dsolve”% Sol. Completa c/ CI(s) (c/ computação simbólica):Sc = dsolve('D3y=-8*D2y-37*Dy-50*y+4*exp(-3*t)',... 'y(0)=1, Dy(0)=2, D2y(0)=1');for i=1:n, t=tt(i); yc(i)=eval(Sc);end% Sol. analíticay=42/17*exp(-2*tt)-83/68*exp(-3*tt).*cos(4*tt)+... 43/68*exp(-3*tt).*sin(4*tt)-1/4*exp(-3*tt);% Comparandoplot(tt,yc,tt,y)legend('dsolve', 'analitica')xlabel('tempo')
Os processadores simbólicosResultado do dsolve:Sc =-256/1105*exp(-3*t)*cos(t)^8+2048/1105*exp(-3*t)*cos(t)^7*sin(t)+ 512/1105*exp(-3*t)*cos(t)^6-3072/1105*exp(-3*t)*cos(t)^5*sin(t)- 64/221*exp(-3*t)*cos(t)^4+256/221*exp(-3*t)*cos(t)^3*sin(t)+ 64/1105*exp(-3*t)*cos(t)^2-128/1105*exp(-3*t)*cos(t)*sin(t)- 262/1105*exp(-3*t)+2/1105*exp(-3*t)*cos(8*t)- 16/1105*exp(-3*t)*sin(8*t)- 2/17*exp(-3*t)*cos(t)^4*cos(4*t)+ 2/17*exp(-3*t)*cos(t)^2*cos(4*t)- 8/17*exp(-3*t)*cos(t)^3*cos(4*t)*sin(t)+ 4/17*exp(-3*t)*cos(t)*cos(4*t)*sin(t)- 2/17*exp(-3*t)*cos(t)^3*sin(4*t)*sin(t)+ 1/17*exp(-3*t)*cos(t)*sin(4*t)*sin(t)+ 8/17*exp(-3*t)*cos(t)^4*sin(4*t)-8/17*exp(-3*t)*cos(t)^2*sin(4*t)+ 42/17*exp(-2*t)-21/17*exp(-3*t)*cos(4*t)+47/68*exp(-3*t)*sin(4*t)Comparar com:
tttt eteteety 3332
4
14sen
68
434cos
68
83
17
42)( −−−− −+−=
Diagrama de blocos básicos
∫)(tx )(ty
)0(y
∑)(1 tx
)(ty
)(txn
�
)(tx )(tyk
Integrador
Somador
Multiplicador
∫ +=t
ydxty0
)0()()( ττ
)()()()( 21 txtxtxty n+++= �
)( )( txkty =
Realização direta
)()(50)(
37)(
8)(
2
2
3
3
tutydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd =+++
Pode-se rescrevê-la na forma
)()(50)(
37)(
8)(
2
2
3
3
tutydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd +−−−=
•Exemplo
( )D p y u=
3 2( ) 8 37 50
u uy
D p p p p= =
+ + + 1/D
u y
)()(50)(
37)(
8)(
2
2
3
3
tutydt
tdy
dt
tyd
dt
tyd +−−−=
∑)(tu )(tyy��� y�� y�
)0(y�� )0(y� )0(y
∫ ∫ ∫
8−
37−
50−
3 2( ) 8 37 50
u uy
D p p p p= =
+ + +
Realização direta
)(5)(
3)(50)(
37)(
8)(
2
2
3
3
tudt
tduty
dt
tdy
dt
tyd
dt
tyd +=+++
Pode-se rescrevê-la na notação de operador
( ) ( )upyppp 5350378 23 +=+++
•Exemplo
)( pD )( pN
upNypD )()( =
Como o sistema é linear
N1/D
u yx
upNypD )()( =
upN
ypD =
)()( uxpD =)(
)( pD
ux =
xpNy )(=x
continuando
uxpD =)()( pD
ux =
diagrama debloco já
construídoanteriormente
)( pN
yx = xpNy )(=
utiliza-se osvalores de x que
saíram dodiagrama acima
)()(50)(
37)(
8)(
2
2
3
3
tutxdt
tdx
dt
txd
dt
txd +−−−=)(tx
)(ty xpNy )(=
xpy )53( +=x
dt
dxy 53 +=
∑)(tu )(tyx��� x�� x�∫ ∫ ∫
8−
37−
50−
3
5x ∑
Realização em cascata
pode ser fatorada)(pL )(. ).().()( 21 pLpLpLpL m�=
Sistema visto como umasérie de subsistemaspara evitar a
necessidade deum diferenciador
os subsistemas devemser escolhidos
adequadamente
O grau do numeradornão deve exceder o grau
do denominador emcada subsistema
)(5)(
3)(50)(
37)(
8)(
2
2
3
3
tudt
tduty
dt
tdy
dt
tyd
dt
tyd +=+++
Pode-se rescreve-la na notação de operador
•Exemplo
( ) ( )upyppp 5350378 23 +=+++
)(pD )(pNupNypD )()( =
upD
pNy
)(
)(=upLy )(=50378
53)(
23 ++++=
ppp
ppL
50378
53)(
23 ++++=
ppp
ppL
2
1
256
53)(
2 +⋅
+++=
ppp
ppLfatorando
)(1 pL )(2 pL
upLy )(=
( ) )()().()( 21 tupLpLty =
)(tz)()()( 1 tzpLty =
)()()( 2 tupLtz =
como
)(tz
)(ty )(256
53)(
2tz
pp
pty
++
+=
)(2
1)( tu
ptz
+
=
zpNypD )()( =
zpN
ypD =
)()(
aplico agora amontagem direta
x
)(pD
zx =
xpNy )(=)(ty
)()()( 2 tupLtz =
)()()( 1 tzpLty =
∑)(tu )(tyx�
∫ ∫ ∫
2−
6−
25−
3
5x
∑
)(tz
)(ty
)(256
1)(
2tz
pptx
++
=
)(2
1)( tu
ptz
+
=
)(tx
xpNy )(= xpy )53( +=
x��z
Realização em paralelo
pode serexpandida
)(pL )( )()()( 21 pLpLpLpL m+++= �
)(5)(
3)(50)(
37)(
8)(
2
2
3
3
tudt
tduty
dt
tdy
dt
tyd
dt
tyd +=+++
Pode-se rescreve-la na notação de operador
•Exemplo
( ) ( )upyppp 5350378 23 +=+++
)(pD )(pNupNypD )()( =
upD
pNy
)(
)(=upLy )(=50378
53)(
23 ++++=
ppp
ppL
50378
53)(
23 ++++=
ppp
ppL
2561755
172
171
)(2 ++
++
+
−=
pp
p
ppL
expandindo
)(1 pL )(2 pLupLy )(=
( ) )()()()( 21 tupLpLty +=
como
)()()()()( 21 tupLtupLty +=
∑
)(tu
)(ty∫ ∫
2−
6−
25−
17
1
17
55 ∑
)(256
1755
172
171
)(2
tupp
p
pty
++
++
+
−=
∑ ∫ 17
1 −
Matlab: exemplo
Implementar usando Simulink a realização direta doexemplo de solução completa.
y
S ign a lGe n e ra to r
s
1
In te g ra to r2s
1
In te g ra to r1s
1
In te g ra to r
50
Ga in4
3 7
Ga in3
8
Ga in 2
3
Ga in1
5
Ga in
Resultados esperados
● Gráfico da saída p/ uma entrada senoidal unitáriade 1 Hz.