1

1- BREVE REVISÃO DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

A Transformada de Laplace é um Método Operacional vantajoso, para a solução de Equações

Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo ( SOMENTE !!! ).

Através dela podemos “ TRANSFORMAR “ funções como sen(t), cos(t), e-at e outras, em Funções

Algébricas ( POLINÔMIOS ) na Variável Complexa “ s “ .

Operações como Derivação e Integração podem ser substituídas por Funções Algébricas em “ s “.

Assim, uma Equação Diferencial Linear Invariante no Tempo, pode ser

TRANSFORMADA numa Equação Algébrica da Variável Complexa “ s “.

ME 9710 = CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS

2

Sejam :

0 t para 0)t(f

que sendo , " t " variável da função uma )t(f

ℒ = símbolo operacional para a Transformada de Laplace

Assim, a Transformada de Laplace de f ( t ) é dada pela expressão:

0

st-

0

st dtf(t).e ] f(t) [ dte F(s) )t(fℒ

3

→ Transformadas de Laplace de Funções Básicas em Sistemas Dinâmicos

1- Função Exponencial : 0 t para 0)t(f e ; 0 t para e.A)t(f t.a

ℒ0 0

t.sat.st.at.a

as

A dte.Adte.e.A]e.A[)]t(f[

2- Função Degrau : 0 t para 0)t(f e ; 0 t para A)t(f

ℒ0 0

t.st.st.s

s

A dte.Adt.e.A]e.A[)]t(f[

3- Função Rampa : 0 t para 0f(t) ; 0 t para t.A)t(f

ℒ 20

st

0 0

st-

0

st-

t.st.s

s

A dte.

s

A dt

s-

A.e - |

s-

e.t.Adt.e.t.A]e.t.A[)]t(f[

4

→ TRANSFORMADAS DE LAPLACE – DIRETAS e / ou INVERSAS

Impulso Unitário =

Degrau Unitário =

Rampa Unitária =

; com n= 1,2,3,....

)t(f )s(F

)t(

1As

1

1

1A com

. tA2s

1

nt

t.aeas

1

t.ae . t 2as

1

1ns

! n

5

)t(f )s(F

→ TRANSFORMADAS DE LAPLACE – DIRETAS e / ou INVERSAS

btat e .e . ab

1

bs . as

1

)t.(sen22s

)t.cos(22s

s

)t.(sen .e at

22as

)t.(cos .e at

22as

as

6

→ PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

ℒ [A.f(t)] = A .ℒ [f(t)] ℒ [f1(t) f2(t)] = ℒ [f1(t)] ℒ [f2(t)]

ℒ ℒ

ℒ onde

Teorema do Valor Final

Teorema do Valor Inicial

)t(f)s(F.s)t(fdt

d0

)()(.)(.)( 00

2

2

2

tftfssFstfdt

d

)t(f.s)s(F.s)t(fdt

d0

)1k(n

1k

)kn(n

n

n

)t(fdt

df

)1k(

)1k()1k(

)s(F.s lim)t(flim0 s t

)s(F.s lim)t(flim s0 t

7

→ Exercícios usando Transformadas de Laplace

- Resolver as Equações Diferenciais, admitindo as funções serem Lineares e Invariantes no Tempo,

e definidas iguais a ZERO para t < 0

a)- x’ – 4 = 0 ; x (0) = 2

b)- y’’ + 4y = 0 ; y (0) = 2 e y’ (0) = -8

c)- w’ – w = t ; w (0) = 0

d)- x’’ – x = t ; x (0) = 1 e x’ (0) = 1

e)- y’’ + 25y = t ; y (0) = 1 e y’ (0) = 0,04

f)- y’’ + y = 2.t ; y ( / 4 ) = / 2 e y’ ( / 4 ) = 2 - √ 2

8

- Obter a função real f (t), para as seguintes funções complexas F (s)

25s

1)s(Y

2

9s6s

1)s(Y

2

1s4s

2)s(X

2

2s1s

4)s(Q

s3s

9)s(W

2

1s3s3s

2)s(X

23

1s

1s)s(Z

2

16s

)1s(4)s(W

2

a-

b-

c-

d-

e-

f-

g-

h-

9

5- FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

Em Teoria de Controle, as chamadas “ Funções de Transferência ” caracterizam as relações

entre Entrada e Saída de Componentes ou de Sistemas, descritos por Equações Diferenciais

Lineares e Invariantes no Tempo.

Por definição, a “ Função de Transferência “ de um Sistema representado por Equações Diferenciais

Lineares Invariantes no Tempo, é a relação entre a Transformada de Laplace do Sinal de Saída

e a Transformada de Laplace do Sinal de Entrada, Resposta e Excitação, respectivamente.

Observa-se desde já, que o Modelo de um Sistema representado por uma Função de Transferência

G ( s ) somente pode apresentar uma Entrada, normalmente designada por “ A “ , e uma Saída

indicada comumente por “ B “ .

Trata-se portanto de um Sistema Monovariáveis ( 1 Entrada + 1 Saída ).

10

→ Sistema Físico = Funções Temporais; t = variável Real

SISTEMA

( PLANTA )

ENTRADA

a ( t )

SAÍDA

b ( t )

SISTEMA

( PLANTA )

ENTRADA

A ( s )

SAÍDA

B ( s )

→ ” Sistema Transformado “ = Funções Polinomiais em “s” ; s = Variável Complexa

PLANO

REAL

PLANO

COMPLEXO

Eixo Real ( R )

( parte real = a )E

ixo Im

agin

ário

( part

e im

agin

ária =

b j )

Eixo Real ( R )

Eix

o R

eal (

R )

)s( G)s(A

)s(B

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

11

→ ZEROS E PÓLOS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Tomemos o exemplo anterior :)s(A

)s(B)s(G Polinômios em “ s “

Os pontos do Plano Complexo, nos quais G ( s ) se torna nula, são chamados “ zeros “ e os

pontos nos quais G ( s ) tende ao infinito, denominamos “ pólos “

Nesses termos, podemos reescrever a função F ( s ) em termos de zeros e pólos , como segue:

)ps).....(ps).(ps).(ps(

)zs).....(zs).(zs).(zs.(k)s(G

n321

)m321

Concluindo, ( s + p )n possui pólos de ordem “ n “ ( n= 1,2,3,....), em s = - p

zk = ZEROS ; pk = PÓLOS

k = 1,2,3,......

Nos casos em que n = 1, denominamos POLOS SIMPLES

Quando n > 1 , o POLO é chamado de 2ª Ordem ( n=2 ) , 3ª Ordem ( n=3 ), etc.

12

Exemplo : Dada a Função de Transferência de um

Sistema Dinâmico, Linear, Invariante no Tempo2)15s)(5s)(1s(s

)10s)(2s.(k)s(G

G ( s ) apresenta ZEROS em s = - 2 e s = - 10

G ( s ) apresenta PÓLOS SIMPLES em s = 0 , s = -1 , s = - 5

G ( s ) apresenta 1 PÓLO DE 2ª ORDEM ( DUPLO ) em s = - 15

Podemos também reescrever G ( s ) como : , assim temos um ZERO TRIPLO em s = 3s

K

Resumindo, a Função de Transferência em questão possui :

- 5 ZEROS, sendo cada um em : s = - 2, s = - 10, s = , s = , s =

- 5 PÓLOS, sendo cada um em : s = 0, s = - 1, s = -5, s = - 15, s = - 15

13

→ EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS, DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Muitas vezes, para obtermos a Transformada Inversa de Laplace ( ℒ -1 ) de uma função

complexa F( s ), saindo do Plano Complexo e retornando ao Plano Real para conseguir f ( t ) ,

é conveniente EXPANDIRMOS F ( s ) em Frações Parciais, para o uso IMEDIATO da Tabela

de Transformadas de Laplace já disponíveis, facilitando muito esse trabalho.

Exemplo : Encontrar a Transformada de Laplace Inversa, da Função Complexa abaixo :

)2s)(1s(

3s)s(G

Podemos reescrever F ( s ) EXPANDIDA EM FRAÇÕES PARCIAIS, como :

2s

b

1s

a

)2s)(1s(

3s)s(G

14

- para obter “ a “ , basta multiplicar ambos os membros de G ( s ) por ( s + 1 ) , resultando :

2s

b)1s(a

)2s)(1s(

3s)1s(

2s

b)1s(a

)2s(

3s

Fazendo s = -1 ( para eliminarmos “ b ” ) , obtemos : 2)2s(

3sa

1s

- para obter “ b “ , fazemos o mesmo agora usando o multiplicador ( s + 2 ) , como segue :

b1s

a)2s(

)2s)(1s(

3s)2s(

1)1s(

3sb

2s

Fazendo s = -2 ( para eliminarmos “a ” ) , obtemos :

b1s

a)2s(

)1s(

3s

15

Assim, a Função de Transferência original, EXPANDIDA em Frações Parciais, fica como segue :

2s

1

1s

2

)2s)(1s(

3s)s(G

A Transformada Inversa de G ( s ) , será então ( do Plano Complexo para o Real ) :

ℒ -1 [ G ( s ) ] = ℒ -1 + ℒ -1

1s

2

2s

1

Consultando a Tabela de Transformadas de Laplace ( Diretas e Inversas ), chegamos a :

0 tpara ; .2)( 2tt eetf

Plotando essa função, obtemos o comportamento do Sistema Dinâmico em estudo

( Regime Transitório e Permanente )

16

→ FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA DE CONTROLE,

EM MALHA FECHADA

Sabemos que – por definição – uma Função de Transferência é dada pela relação :

onde : )s(A

)s(B)s(G

G (s) = Função de Transferência do Sistema Dinâmico;

A (s) = Transformada de Laplace do Sinal de Entrada;

B (s) = Transformada de Laplace do Sinal de Saída;

Portanto, podemos escrever a equação (1) como:

eq.(1)

A(s). )s(G)s(B eq.(2)

17

Consideremos um Sistema de Controle em Malha Fechada, representado por Diagrama de Blocos

R ( s ) E ( s )

G ( s )

C ( s )

H ( s )

B ( s )

Com base nesse Diagrama de Blocos, que representa graficamente o Sistema Dinâmico, em

Malha Fechada ( mais usual em Controle ), podemos escrever a expressão abaixo :

R ( s ) - B ( s ) = E ( s ) eq. (4) e ainda B ( s ) = H ( s ) . C ( s ) eq. (5)

Aplicando o conceito da eq (1) nesse esquema temos : C ( s ) = G ( s ) . E ( s ) eq. (3)

+_

18

Substituindo a eq. ( 5 ) na ( 4 ) e o resultado na eq. ( 3 ) , chegamos ao seguinte :

C ( s ) = G ( s ) . [ R ( s ) - H ( s ) . C ( s ) ]

C ( s ) = G ( s ) . R ( s ) - G ( s ) . H ( s ) . C ( s )

C ( s ) + G ( s ) . H ( s ) . C ( s ) = G ( s ) . R ( s )

C ( s ) . [ 1 + G ( s ) . H ( s ) ] = G ( s ) . R ( s )

(6) eq. )s(H . )s(G1

)s(G

)s(R

)s(C

A eq. ( 6 ) representa a Função de

Transferência para um Sistema Dinâmico

com Sinal de Realimentação ( Sensor ) e

Sinal de Referência ( Valor Requerido )

19

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

São Sistemas Dinâmicos, cuja Modelagem origina-se de uma EDO de PRIMEIRA ORDEM

A Resposta Transitória é também chamada Resposta Natural do Sistema, enquanto que a

Resposta de Regime Estacionário, é conhecida como Resposta Forçada a um tipo de Sinal

de Entrada.

20

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

De modo geral, temos a Resposta do Sistema Dinâmico, como sendo a união ( “ soma “ ) das

Respostas Natural ( Regime Transitório ) e Forçada ( Regime Estacionário )

Veremos à seguir que, a Resposta Forçada SEMPRE depende ( é função ) do Sinal de Entrada,

enquanto a Resposta Natural independe do mesmo, somente do Modelo do Sistema Dinâmico ser

de Primeira Ordem.

É importante lembrar que o Sinal de Entrada em um Sistema de Controle, pode estar representando

diversas situações diferentes, como uma “ Perturbação Externa “ , um “ Set Point “ ( valor desejado ),

ou simplesmente uma “ Onda de Teste “ para se obter a Resposta numa Simulação, entre outras.

Consideremos, como exemplo, o Sistema de Primeira Ordem à seguir, o qual representa

o Modelo de um Sistema Dinâmico genérico ( Mecânico, Elétrico, Térmico, Hidráulico e / ou

Pneumático, Termodinâmico, etc.)

21

quaisquer. constantes asconsiderad serão r(t) eK ,

teinicialmen e 0c(0) sendo ; )t(r.K)t(c)t(cdt

d.

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Aplicando a Tranformada de Laplace ( TL ) nessa Equação Diferencial Ordinária ( EDO ),

temos :

)s(R.k)s(C)0(c)s(C.s.

Substituindo c(0) = 0 e isolando C ( s ), vem : )s(R.K1s.).s(C

Como c ( t ) e r ( t ) são, respectivamente os Sinais de Saída e Entrada nesse Sistema

Dinâmico de Primeira Ordem, podemos então escrever a sua Função de Transferência

como :

1s.

K

)s(R

)s(C)s(G

22

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Em um Diagrama de Blocos, o Sistema Dinâmico genérico, pode ser representado como :

1s.

K

G ( s )

R ( s ) C ( s )

A Resposta do Sistema Dinâmico, pode então ser obtida por : C ( s ) = G ( s ) . R ( s )

Vamos então analisar a Resposta de Sistemas Dinâmicos de Primeira Ordem, utilizando para

isso, algumas “ Ondas de Teste “ .

Inicialmente, vamos empregar como Sinal de Entrada a “ Função Degrau Unitário “ , para essa

Simulação.

23

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

A “ Função Degrau “ já foi definida como : f ( t ) = A para t 0 e f ( t ) = 0 para t < 0 .

Como estamos trabalhando com Função de Transferência, precisamos saber como é a

representação desse Sinal de Entrada no PLANO COMPLEXO, ou seja, com a variável “ s “ .

Como o trata-se de um Degrau Unitário, o valor da Constante A = um . Portanto para excitar

o Sistema em questão, com essa Entrada, basta considerar a Função Complexas

1)s(R

Nesses termos, substituindo R ( s ) na Função de Transferência, obtemos :

1..)(

ss

KsC

24

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Expandindo em Frações Parciais, obtemos :1s..s

K)s(C

1s.

b

s

a

→ Cálculo de “ a “ → Multiplicando os dois membros por “ s “ temos:

1s..s

K.s

1s.

b.s

s

a.s

1s.

K

1s.

b.sa

Fazendo s = 0 , chegamos ao valor de “ a “ :

0s1s.

Ka Ka

→ Cálculo de “ b “ → Multiplicando os dois membros por “ ( .s + 1 ) “ temos :

1s..s

K)1s.(

1s.

b)1s.(

s

a)1s.(

25

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Fazendo .s = -1 ; logo 1

s a expressão anterior fica reduzida a :

s

Kb

s

a)1s.( .K

1

Kb .Kb

Retornando à Função de Transferência, vem :

1s..s

K)s(C

1s.

.K

s

K

1s..s

K)s(C

1s

1

s

1.K

Colocando “ K “ em evidência, chegamos à equação final :

)s(C1

s

1

s

1.K

26

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace ( Plano Complexo para o Plano Real ), obtemos:

)e1.(K)t(ct)s(C

1s

1

s

1.K

PLANO COMPLEXO

( Mundo Imaginário )

PLANO REAL

( Mundo Físico )

Observando essas duas expressões, notamos que o termo da Resposta Forçada ( K = no Plano Real )

( Regime Estacionário ), foi obtido à partir do tipo de Sinal de Entrada ( “ 1 / s “ = no Plano Complexo )

usado na Simulação ( Degrau Unitário ) ; por outro lado a parcela “ e – t / “ que representa a Resposta

Natural ( Regime Transitório ), foi decorrente da Função de Transferência de um Sistema de Primeira

Ordem.

27

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

Vamos avaliar a Resposta Genérica no Plano Real = c ( t ) ) , para Sistemas Dinâmicos representados

por uma Função de Transferência de Primeira Ordem, na qual adotaremos para K o valor 1.

Entretanto esse resultado é extrapolável para um valor qualquer de K. Com isso obtemos a expressão :

t

e1)t(c

Assumindo para t o valor de ( t = ) , teremos o seguinte resultado da expressão acima :

63,037,01718,2

11e1)t(c 1

Ou seja, quando t = temos que a Resposta Natural do Sistema ( Regime Transitório )

aproxima-se 63% do valor da Resposta Forçada ( Regime Estacionário ).

28

→ SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM

O termo é denominado : “ CONSTANTE DE TEMPO “, e expresso em unidade dimensional de

tempo . Para Sistemas Dinâmicos de 1ª Ordem, sempre representará o tempo necessário

para obter-se 63% da Resposta Final ( Regime Estacionário ).

O conhecimento desse termo é muito importante, na medida em que ele nos fornece uma idéia da

rapidez de resposta final do Sistema Dinâmico em análise.

Da equação anterior ( última ), é fácil verificar que quanto MENOR for o VALOR desse termo, tanto

mais rápida será a resposta do Sistema Dinâmico de 1ª Ordem, em estudo.

Note que a inclinação de uma reta tangente à curva de resposta, no instante t = 0 é :

1

29

→ RESPOSTA NO TEMPO, DE UM SISTEMA DE 1ª ORDEM - GENÉRICO

30

→ TIPOS DE “ ONDAS DE TESTE “ MAIS USADAS EM SIMULAÇÕES

Entrada Função Descrição Gráfico Utilização

31

→ ANÁLISE ATRAVÉS DE POLOS E ZEROS PARA UM SISTEMA DE 1ª ORDEM

Exemplo : Dada a Função de Transferência abaixo, para um Sistema Dinâmico, de Primeira

Ordem, vejamos algumas características / propriedades que podemos retirar do mesmo.

5s

2s

R(s) = C(s)G(s)

s

1DEGRAU

UNITÁRIO

- A Função de Transferência G(s) tem : um PÓLO em s = -5 e um ZERO em s = -2

Para uma melhor visualização no Plano Complexo “s” , vamos representar graficamente esses

valores, usando o Símbolo “ x “ para o PÓLO e “ o “ para o ZERO .

32

Para o Sistema Dinâmico de 1ª Ordem em questão, se multiplicarmos G(s) por R(s) e aplicarmos

a Transformada Inversa de Laplace no resultado, retornaremos ao Plano Real e obteremos c(t)

ou seja, a Resposta no Domínio do Tempo.

33

Fazendo uma análise mais detalhada, utilizando-se uma Representação Gráfica, poderemos

extrair algumas considerações importantes, que são comuns para os Sistemas Dinâmicos de

Primeira Ordem.

34

35

36

Resposta

Forçada

Resposta

Natural

Resposta

Forçada

Resposta

Natural

37

Da análise dos PÓLOS da Função de Transferência de um Sistema Dinâmico de 2ª Ordem

no Plano Complexo, podemos avaliar a ESTABILIDADE DO SISTEMA. Enquanto PÓLOS

no Semi-Plano Esquerdo, representam Sistema ESTÁVEL ( convergente ), PÓLOS no

Semi-Plano Direito indicam Sistema INSTÁVEL ( divergente ).

→ SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

38

39

40

41

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48

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59

60

61

62

2- INTRODUÇÃO À TEORIA DE CONTROLE

Conceitos Básicos : PLANTA e CONTROLADOR

PLANTA : É um Sistema Dinâmico que envolve Altos níveis de Potência.

CONTROLADOR : É um Sistema Dinâmico, que trabalha com Níveis de Sinal ( informação )

isto é, com Baixa Potência, e cuja Ação é capaz de modificar o estado da

Planta.

Exemplos :

AVIÃO : uma pequena modificação no ângulo do flap, provoca uma alteração de curso da aeronave.

NAVIO : idem o anterior, para o ângulo do leme.

USINA HIDRELÉTRICA : um pequeno deslocamento na comporta de uma turbina, controla a

potência gerada na mesma.

63

Verificamos que em todos esses casos, a AÇÃO DE CONTROLE é um pequeno deslocamento

( flap, leme, comporta ), realizado pelo CONTROLADOR, envolvendo baixas potências ( Sinais )

comparadas com as manipuladas pela PLANTA.

O Sistema de Controle é normalmente um Sistema Dinâmico !

Exemplo :

Para alterar o ângulo do flap de um avião, emprega-se um Sistema de Controle Hidráulico,

o qual envolve bomba, reservatório, filtros, válvula de alívio, válvula direcional ( servo ) e um

atuador linear ( servo ).

Esses elementos reunidos num circuito, são necessários para Amplificar o baixo Sinal enviado

pelo piloto da cabine de comando.

Observe no croquis seguinte, como as coisas acontecem.

64

CONTROLE DO FLAP DE UM AVIÃO

65

A Ação de Controle, é essencial para se atingir um determinado objetivo, por exemplo :

manobras de um satélite;

mudança da velocidade de cruzeiro para a de aproximação, em uma aeronave para pouso;

aumentar ou diminuir a produção de uma planta química ( vazão nas válvulas e linhas );

aproximar ou afastar os cilindros de um laminador de chapas, para manter-se a espessura desejada;

compensar as “ perturbações “ que sempre ocorrem nas Plantas Reais, como :

- efeitos de altitude e órbita nos satélites

- rajadas de vento nas aeronaves

- mudança na dureza das chapas, processadas nos Laminadores

Os requisitos para se gerar uma Ação de Controle sobre um Sistema Dinâmico são :

→ Informação do ERRO, que por sua vez depende da :

- referência ( INPUT ), variável ou não no tempo, que vem de fora do Sistema

- medida da variável à ser comparada, usando-se instrumentação ( Sensores ) para Malha

Fechada, ou Tempo / Evento para Malha Aberta;

66

→ Estratégia ou Lógica de Controle, a qual define a maneira como o erro será transformado numa

atuação de controle.

É a parte “ inteligente “ do Sistema.

- Exemplos :

Controladores PID;

Controladores ONF – OFF ( liga / desliga );

Controladores FUZZY ( regras )

→ atuadores, os quais representam os elementos que desenvolvem a ação de controle sobre

a Planta.

Representam como um “ hardware “ adicional agregado ao sistema de controle, e respondem

basicamente pelos movimentos requeridos.

- Exemplos :

motores elétricos, cilindros hidráulicos e pneumáticos, mecanismos, etc.

67

DIAGRAMA DE BLOCOS REPRESENTANDO UMA PLANTA CONTROLADA

SISTEMA EM “ MALHA ABERTA ”

68

DIAGRAMA DE BLOCOS REPRESENTANDO UMA PLANTA CONTROLADA

SISTEMA EM “ MALHA FECHADA ”

69

DIAGRAMA DE BLOCOS REPRESENTANDO UMA PLANTA CONTROLADA

SISTEMA EM “ MALHA FECHADA ”

70

3- PROJETO DE UM CONTROLADOR

Embora não existam regras gerais, os seguintes passos gerais devem ser completados :

a. Definição dos requisitos desejados para a Planta Controlada. Dependem do objetivo final e

da experiência acumulada, e podem envolver combinações de, por exemplo :

- desvios máximos permitidos no Regime Permanente;

- desvios máximos admissíveis no Regime Transitório;

- velocidade de correção dos desvios ( máxima e mínima );

- efeitos transitórios indesejáveis;

- tempo máximo e mínimo para correção;

- potência máxima ou mínima para o controle;

- custo do investimento e espaço disponível;

b. Sintetizar o Controlador de modo que os requisitos técnicos e econômicos, sejam atendidos.

c. Verificar critérios associados à Confiabilidade, Manutenção e Reposição de Componentes

d. Verificar a Robustez do Projeto, isto é, a imunidade do Sistema quanto às variações de

parâmetros da Planta, os quais sempre acontecem devido ao uso ( desgaste ) e outros efeitos.

71

A verificação do Projeto é, geralmente, feita na seguinte seqüência :

• Análise e Simulação da Planta Controlada ( Software );

• Construção do Protótipo;

• Testes no Sistema Físico Real ( Sintonia / Ajuste )

É importante notar que todo esse procedimento, até se realizar testes no Sistema definitivo ( Real ),

está baseado na Análise e Simulação, para as quais é indispensável se trabalhar com um Modelo

Matemático da Planta !

4- REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS

“ A tarefa mais importante que o Projetista de Controle deve enfrentar, é o desenvolvimento de um

Modelo Matemático do Processo de interesse “ ( Bernard Friedland, Control Systems Design, Mc

Gran Hill, 1988 ).

72

O Engenheiro de Controle pode ter de tratar os Subsistemas que se baseiam em Princípios,

que dependem de Leis Físicas totalmente diferentes ( processos químicos, trocadores de calor,

válvulas hidráulicas e pneumáticas, motores de combustão interna, etc. ).

“ Conseguir Modelos Simples, que representam bem o Sistema em estudo,

é uma Obra de Engenharia ! “

Existem duas maneiras de representa ou Modelar um Sistema Dinâmico :

- Domínio das Freqüências, ou Modelo de Função de Transferência

- Domínio do Tempo, ou Representação por Variáveis de Estado

73

As técnicas baseadas em modelos descritos no Domínio da Freqüência, constituem a chamada :

TEORIA DE CONTROLE CLÁSSICO

Por outro lado, as técnicas fundamentadas no Domínio do Tempo, pertencem à chamada :

TEORIA DE CONTROLE MODERNO

Os métodos mais atuais reúnem as melhores características de cada uma das duas correntes,

CLÁSSICO E MODERNO, tais como : Controle Ótimo, Robusto, Adaptativo, etc.

Na realidade o Controle Clássico recebeu esse nome em função da época em que ocorreu

( década de 1940 ), enquanto o desenvolvimento das técnicas do Controle Moderno aconteceu

mais tarde ( década de 1960 ).

74

Para o Engenheiro Mecânico em particular, é imprescindível passar pelo Domínio do Tempo, pois

as ferramentas de modelagem disponíveis para Sistemas Mecânicos são, via de regra, Leis Físicas

Temporais ( Leis de Newton, Escoamentos, Transferência de Calor, etc ). Dessa forma, vamos agora

Caracterizar a idéia de Variável de Estado.

O ESTADO de um Sistema Mecânico, é um conjunto de QUANTIDADES FÍSICAS, cuja

especificação determina completamente a evolução do Sistema no Tempo, na ausência

total de qualquer excitação ( perturbação ) externa !

IMPORTANTE :

As QUANTIDADE FÍSICAS específicas, que definem o ESTADO, não são únicas !

O número dessas Variáveis de Estado ( ou Ordem do Sistema ), é única !

75

Como o comportamento de um Sistema Dinâmico, é reproduzido por um Conjunto de Equações

Diferenciais, o seu Modelo Matemático é representado por esse conjunto, acrescido das condições

Iniciais para cada Variável de Estado existente.

Na abordagem por ESPAÇO DE ESTADOS, todas as Equações Diferenciais do Modelo são

reduzidas a Equações Diferenciais de Primeira Ordem. As Variáveis Dinâmicas que aparecem

no Sistema de Equações são chamadas VARIÁVEIS DE ESTADO !

O número de Equações de Primeira Ordem, define a Ordem do Sistema, e serão necessárias

tantas Condições Iniciais, quantas são as Variáveis de Estado ou Ordem do Sistema.

Exemplo :

Sistema Mecânico ( Dinâmico ) = MASSA + MOLA + AMORTECEDOR

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SISTEMA MECÂNICO : MASSA + MOLA + AMORTECEDOR

f0 = força de controle da posição da massa

M = massa sendo deslocada

c = fator de amortecimento

k = constante elástica da mola

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Embora a grande maioria dos modelos que descrevem processos físicos reais, sejam NÃO LINEARES,

a quase totalidade da modelagem para efeito de Análise e Síntese de Controladores, está baseada em

Sistemas Lineares, como os descritos através da equação matricial abaixo:

Note que as matrizes “A” e “B” não são - necessariamente – constantes no tempo !

Quando temos as matrizes “A” e “B” formadas por constantes, os Sistemas Físicos representados

São ditos : Invariantes no Tempo

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Uma vez definidas “A” e “B” , temos uma representação matemática da Dinâmica do Sistema !

Ainda não temos uma descrição das informações que determinam o Estado do Sistema !

As medições realizadas das diversas variáveis de interesse no Sistema, são agrupadas em um

Vetor de Saída, normalmente designado por y(t) , o qual contém todas as observações realizadas

até um instante qualquer “t” . Supondo que sejam “m” medições ( números ), temos :

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Precisamos então construir um Modelo de Observação, o qual relaciona as

Saídas dos Sensores às Variáveis de Estado. Esse Modelo é tão importante

quanto o Dinâmico, citado anteriormente.

No caso Linear, temos :

83

A representação Matemática de um Sistema Dinâmico Linear, na técnica denominada

“ Espaço de Estados “ é feita conforme abaixo :

Modelo Dinâmico

Modelo de Observação

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Diagrama de Blocos de Sistema Linear, Contínuo, Variante no Tempo e representado

na técnica de Modelagem “ ESPAÇO DE ESTADOS “

dt

A(t)

B(t)

D(t)

C(t)u(t)

x(t)x(t) y(t)

Matriz de Estado

Matriz de Entrada

Matriz de Saída

Matriz de Transmissão Direta

Entradas

Saídas

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Portanto, a representação Matemática de um Sistema Dinâmico Linear e

Invariante no Tempo, na técnica “ Espaço de Estados “ é feita conforme abaixo :

Normalmente as matrizes “A” e “B” são compostas por valores constantes ( fixos ) .

Por outro lado, a matriz “D” é nula.

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EXERCÍCIOS

1- Enumere as vantagens e desvantagens de um Sistema de Controle a Malha Aberta

2- Um Sistema de Controle de Nível, apresenta o Esquema Físico abaixo :

Válvula

Elétro-Pneumática

Vazão de

Entrada

Controlador

Vazão de

Saída

O Controlador mantém o Nível de Fluido num certo valor, comparando o real com o desejado, e

produzindo a Ação de Controle requerida, atuando na Válvula Elétro-Pneumática ( Vazão de Entrada

varia de acordo com a Vazão de Saída ).

Apresentar o Diagrama de Blocos correspondente a esse Sistema, usando o Controlador + Flutuador

+ Válvula Elétro-Pneumática + Nível Real + Nível Desejado. Substituir esses elementos. admitindo que

o Sistema fosse operado por um ser humano.

Flutuador

Reservatório

de Fluido

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AÇÕES DE CONTROLE

A maneira através da qual, um Controlador produz um Sinal de Controle,

é chamada de Ação de Controle

88

→ Modos de Acionamento

89

→ Tipos de Ação de Controle

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(1)

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1:10

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t

00dpipp S

dt

dE.K.Kdt.E.K.KE.KMV

0cdpipp SV.K.KT.E.K.KE.KMV

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Exemplo 1 :

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Sistema de Controle de Nível de Líquido

Figura 5.13 - a

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Figura 5.13 - b

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Exemplo 2 :

Figura 5.14

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Figura 5.15 = Curvas de Resposta Temporal, ao Degrau Unitário .

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SIMULINK :

Representação Gráfica de um Controlador Proporcional e Integral ( PI )

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SIMULINK :

Representação Gráfica de um Controlador Proporcional, Integral e Derivativo

( PID )

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EXERCÍCIO PARA ENTREGAR :

1- Obter a resposta ao Degrau Unitário de um Sistema com Retroação Unitária, cuja Função de

Transferência a Malha Aberta é apresentada abaixo :

)5s(s

4)s(G

2- Considere-se a resposta ao Degrau Unitário de um Sistema de Controle com Retroação Unitária

cuja Função de Transferência a Malha Aberta é :

)1s(s

1)s(G

→ Obter o Tempo de Subida, o Tempo de Pico, o Valor Máximo de ultrapassagem e o

Tempo de acomodação.

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ENTREGA DOS EXERCÍCIOS ( EM GRUPO )

→ Modelagem e Sistema Aberto = SLIDE 25 ;

→ Solução de Equações Diferenciais Ordinárias ( EDO ),

aplicando Transformada de Laplace = SLIDE 32 ;

→ Obtenção da função f ( t ) usando a Transformada Inversa de Laplace = SLIDE 33

→ Sistemas de Segunda Ordem = SLIDE 229

- ENTREGA = em Grupo, na Sala Geral dos Professores ( assinar Lista )

- PRAZO = Slides 25, 32 e 33 : até o dia 11 / 05 / 2007 ! ( não haverá prorrogação de entrega )

Slide 229 : até o dia 15/06/2007 ( não haverá prorrogação de entrega )

→ PROVA P1 = dia 13 / 04 / 2007 na Sala à Confirmar !, das 11:00 h às 12:40 h

→ PROVA P2 = dia 15/ 06 / 2007 na Sala à Confirmar !, das 11:00 h às 12:40 h

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→ REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS :

1- Sistemas de Retroação e Controle / 1972 / Joseph J. Distefano,

Allen R. Stubberud, Ivan I. Williams ( inglês ) ;

2- Dynamic Modeling and Control of Engineering Systems / 1990 / j.

Lown Shearer and Bohdan T. Kulakowski ( inglês ) ;

3-- Sistemas de Controle e Realimentação / 1997 / Charles L.Phillips

Royce D. Harbor ( português ) ;

4- Engenharia de Controle Moderno / Terceira Edição 1998 /

Katuhiko Ogata ( porruguês );

5- Modelagem e Simulação / Segunda Edição 2005 / claudio Garcia

( português ) ;