Teoria de JogosTeoria de Jogos

Jogos de StackelbergJogos de Stackelberg

Renato Ramalho FischerDRE 104021376

Jogos de StackelbergJogos de Stackelberg

IntroduçãoIntrodução

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Duopólio de CournotDuopólio de Cournot

ComparaçãoComparação

ConclusãoConclusão

MonopólioMonopólio

ExemploExemplo

IntroduçãoIntrodução

Heinrich Freiherr von Stackelberg (1905-1946) – Heinrich Freiherr von Stackelberg (1905-1946) – família alemã, nascido em Moscoufamília alemã, nascido em Moscou

Estudou na AlemanhaEstudou na Alemanha

Matemático e economistaMatemático e economista

Trabalho reconhecido após sua morteTrabalho reconhecido após sua morte

Marktform und Gleichgewicht - 1934Marktform und Gleichgewicht - 1934

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Jogadores agem seqüencialmenteJogadores agem seqüencialmente

Líder e seguidorLíder e seguidor

Líder joga primeiroLíder joga primeiro

Líder sabe que o seguidor observa sua açãoLíder sabe que o seguidor observa sua ação

Jogadores racionaisJogadores racionais

Informação perfeitaInformação perfeita

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Duas empresas produzem um mesmo produto em Duas empresas produzem um mesmo produto em quantidades qquantidades q11 e q e q22, tais que q, tais que q11, q, q22 >= 0 (estratégias) >= 0 (estratégias)

Jogador 1 – Líder do mercadoJogador 1 – Líder do mercado

Preço do mercado: P(Q) = a – b*Q; a, b = cte, Q = Preço do mercado: P(Q) = a – b*Q; a, b = cte, Q = qq11 + q + q22

Se P(Q) < 0, P(Q) = 0

Custo para produzir qCusto para produzir qii: C: Cii(q(qii))

Função de utilidade (Lucro): Função de utilidade (Lucro): uuii(q(q11, q, q22) = P(Q)*q) = P(Q)*qii – C– Cii(q(qii) )

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Como resolver o problema?Como resolver o problema?

Primeiro, resolvemos o problema da empresa 2 para Primeiro, resolvemos o problema da empresa 2 para qualquer qqualquer q11 >= 0 >= 0

Em seguida, resolvemos problema da empresa 1Em seguida, resolvemos problema da empresa 1

Indução reversa!Indução reversa!

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Queremos a função de melhor resposta da empresa Queremos a função de melhor resposta da empresa 2 para q12 para q1 uuii(q(q11, q, q22) = ) = P(Q)*qP(Q)*qii – – CCii(q(qii))

uu22(q(q11, q, q22) = ) = (a – b*(q(a – b*(q11 + q + q22))*q))*q22 – – CCii(q(qii))

Max uMax u22(q(q11, q, q22) = q) = q22*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22)) – C)) – C22(q(q22))

a – bqa – bq1 1 –– 2bq2bq22 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22

q*q*22 = (a – bq = (a – bq11 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22) / 2b) / 2b

Derivamos em relação a qDerivamos em relação a q22 e igualamos a zero! e igualamos a zero!

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Empresa 1 sabe a melhor resposta da empresa 2 Empresa 1 sabe a melhor resposta da empresa 2 para qualquer qpara qualquer q11

Agora, podemos resolver o problema para a Agora, podemos resolver o problema para a empresa líder!empresa líder! Max uMax u11(q(q11, q, q22(q(q11)) = q)) = q11*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22(q(q11)) – )) – CC11(q(q11))))

Substituindo qSubstituindo q22(q(q11):):

Max uMax u11(q(q11, q, q22(q(q11)) = q)) = q11*(a – bq*(a – bq11 – C – C22(q(q22))/2 – ))/2 – CC11(q(q11))

q*q*11 = = [[a + a + ddCC22(q(q22)/)/ddqq2 2 – 2*– 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 2b / 2b

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Logo, q*Logo, q*11 = = [[a + a + ddCC22(q(q22)/)/ddqq2 2 – 2*– 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 2b / 2b

q*q*22 = (a – bq = (a – bq11 – – ddCC22(q(q22)/)/ddqq22) / 2b) / 2b

q*q*22 = = [[a – 3*a – 3*ddCC22(q(q22)/)/ddqq22 + 2* + 2*ddCC11(q(q11)/)/ddqq11]] / 4b / 4b

A indução reversa nos trás ao equilíbrio de Nash:A indução reversa nos trás ao equilíbrio de Nash:

EN = ( q*EN = ( q*11, q*, q*22).).

Se há vantagem de mercado para empresa 1, ou seja, Se há vantagem de mercado para empresa 1, ou seja, ddCC11(q(q11)/)/ddqq11 < < ddCC22(q(q22)/)/ddqq22, dado uma possível função , dado uma possível função CCii(q(qii) = c) = cii*q*qii, fica claro que a empresa líder produzirá , fica claro que a empresa líder produzirá mais para o mercado!mais para o mercado!

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Agora, vamos supor que não há vantagem de Agora, vamos supor que não há vantagem de mercado, ou seja, mercado, ou seja, ddCC11(q(q11)/)/ddqq11 = = ddCC22(q(q22)/)/ddqq22. Para . Para facilitar, Cfacilitar, Cii(q(qii) = c*q) = c*qii, c >= 0. , c >= 0.

Logo, q*Logo, q*11 = (a – c)/2b = (a – c)/2b

q*q*22 = (a – c)/4b = (a – c)/4b

(a – c) >= 0(a – c) >= 0 EN = ( (a – c)/2b, (a – c)/4b ).EN = ( (a – c)/2b, (a – c)/4b ).

uu11(q*(q*11, q*, q*22) = q) = q11*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/8b/8b

uu22(q*(q*11, q*, q*22) = q) = q22*(a – b*(q*(a – b*(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/16b/16b

Modelo de StackelbergModelo de Stackelberg

Quantidade total:Quantidade total: 3(a – c)/4b3(a – c)/4b

Lucro total:Lucro total: 3(a – c)3(a – c)22/16b/16b

A empresa 1 continua obtendo um maior lucro!A empresa 1 continua obtendo um maior lucro!

Apenas o fato de começar jogando traz benefício à Apenas o fato de começar jogando traz benefício à primeira empresa!primeira empresa!

Duopólio de CournotDuopólio de Cournot

Empresa 1 produz: Empresa 1 produz: qq11 = (a – c)/3b = (a – c)/3b

uu11(q(q11, q, q22) = q) = q11*(a – b(q*(a – b(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/9b/9b

Empresa 2 produz: Empresa 2 produz: qq22 = (a – c)/3b = (a – c)/3b

uu22(q(q11, q, q22) = q) = q22*(a – b(q*(a – b(q11 + q + q22) – c) = (a – c)) – c) = (a – c)22/9b/9b

Quantidade total:Quantidade total: 2(a – c)/3b2(a – c)/3b

Lucro total:Lucro total: 2(a – c)2(a – c)22/9b/9b

MonopólioMonopólio

Suponha, agora, que existe apenas uma empresa no Suponha, agora, que existe apenas uma empresa no mercado para o produto.mercado para o produto. qq22 = 0 = 0 Max qMax q11*(a – b*q*(a – b*q11 – c) – c) =>=> a – 2b*qa – 2b*q11 – c = 0 – c = 0

qq11 = (a – c)/2b, = (a – c)/2b, Lucro = (a – c)Lucro = (a – c)22/4b/4b

Quantidade total: Quantidade total: (a – c)/2b(a – c)/2b

Lucro total: Lucro total: (a – c)(a – c)22/4b/4b

ComparaçãoComparação

ComparaçãoComparação

Para o preço: (a + 3c)/4 < (a + 2c)/3Para o preço: (a + 3c)/4 < (a + 2c)/3 =>=> c < ac < a

(a + 3c)/4 < (a + c)/2(a + 3c)/4 < (a + c)/2 =>=> c < ac < a

Para o lucro: Para c < a…Para o lucro: Para c < a…

Empresa líder em Stackelberg: (a – c)Empresa líder em Stackelberg: (a – c)22/8b/8b

Empresa líder em Cournot: (a – c)Empresa líder em Cournot: (a – c)22/9b/9b

Empresa em um Monopólio: (a – c)Empresa em um Monopólio: (a – c)22/4b/4b

Monopólio > Stackelberg > CournotMonopólio > Stackelberg > Cournot

ExemploExemplo

Dado o preço em função de Q, P(Q) = 130 – Q.Dado o preço em função de Q, P(Q) = 130 – Q.

a = 130, b = 1a = 130, b = 1

O custo por unidade do produto é cO custo por unidade do produto é c1 1 = c= c22 = c = 10 = c = 10

Temos que q*Temos que q*1 1 = (a – c)/2b = 60= (a – c)/2b = 60

q*q*22 = (a – c)/4b = 30 = (a – c)/4b = 30 Q = 30 Q = 30 + 60 = 90+ 60 = 90

P(Q) = 130 – 90 = 40P(Q) = 130 – 90 = 40

Exemplo

ConclusãoConclusão

ConclusãoConclusão

Jogos de Stackelberg mostram que é vantajoso ser Jogos de Stackelberg mostram que é vantajoso ser líder de mercado.líder de mercado.

É vantajoso começar jogando.É vantajoso começar jogando.

Se c < a, em jogos de Stackelberg, o consumidor sai Se c < a, em jogos de Stackelberg, o consumidor sai ganhando, uma vez que P(Q) será menor que no ganhando, uma vez que P(Q) será menor que no Duopólio de Cournot e no Monopólio. Isso pode ser Duopólio de Cournot e no Monopólio. Isso pode ser observado no gráfico anterior.observado no gráfico anterior.

ConclusãoConclusão

O fato da empresa líder obter um maior lucro em um O fato da empresa líder obter um maior lucro em um modelo de Stackelberg do que em Cournot, enfatiza modelo de Stackelberg do que em Cournot, enfatiza ainda mais que é mais vantajoso começar jogando com ainda mais que é mais vantajoso começar jogando com informação perfeita para este tipo de competição.informação perfeita para este tipo de competição.

Todo equilíbrio de Stackelberg é um equilíbrio de Todo equilíbrio de Stackelberg é um equilíbrio de Nash, mas a recíproca não é verdadeira.Nash, mas a recíproca não é verdadeira.

ReferênciasReferências

http://www2.isye.gatech.edu/~jswann/teaching/6230/Swann%20duopoly%20cont%20and%20multistage%202007.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Stackelberg_competition

Uma Breve Introdução a Teoria de Jogos com Aplicações a Redes de Computadores – Edmundo de Souza e Silva, Daniel Ratton Figueiredo