Teoria dos Conjuntos

1. Definição2. Denotação3. Representação4. Diagrama de Venn5. Relação de Pertinência6. Família de Conjuntos7. Igualdade de Conjuntos8. Desigualdade de Conjuntos

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1. Definição: Intuitivamente, por “conjunto” entenderemos qualquer coleçãobem definida de objetos distinguíveis, não importando sua natureza. Osobjetos que constituem um conjunto são chamados de elementos doconjunto.

Hora do Exemplo:1. No conjunto das vogais do alfabeto, cada uma das vogais é um elemento:

A = {a, e, i, o, u}1. No conjunto dos alunos de uma disciplina, cada um dos alunos é um

elemento: B = {Alex, Maria, Francisco, Ricardo, Eduarda, ..., Renata}2. Uma reta pode ser considerada um conjunto dos pontos, neste caso cada

ponto dessa reta é um elemento do conjunto: C = {A, B, C, D, ...}3

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2. Denotação: É costume denotar conjuntos usando letras maiúsculas e seuselementos por letras minúsculas. Por exemplo: o conjunto A cujos elementossão a, b e c, será representado pela notação: A = {a, b, c} que deve ser lida: “A éo conjunto cujos elementos são a, b e c”.Note que os elementos são separados por vírgulas e delimitados por chaves.Também é costume dos matemáticos denominar conjuntos por “letrassignificativas”, ou seja, letras que tenham algum tipo de ligação com oselementos do conjunto.

Hora do Exemplo:O conjunto das letras da palavra “Matemática”: L = {m, a, t, e, i, c}. Aqui foi escolhida a letra “L” por lembrar a palavra “letras”.

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3. Representação: Um conjunto pode ser representado entre chaves de duasmaneiras: por extenso, enumerando elemento por elemento ouabreviadamente, destacando uma propriedade comum apenas aos seuselementos.

Hora do Exemplo:Os elementos do conjunto A são os divisores de 24. A representação entrechaves pode ser feita:a) Por extenso A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} oub) Abreviadamente A = {x| x é divisor positivo de 24}

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4. Diagrama de Venn: é a representação de um conjunto com o auxilio de umalinha fechada e não entrelaçada e seus pontos interiores (balão).

Hora do Exemplo:Os elementos do conjunto A são os divisores de 24. Arepresentação pelo diagrama de Venn é:

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5. Relação de Pertinência: Para indicar que um elemento x pertence aoconjunto A, escrevemos x ∈ A, e para indicar que um elemento y não pertenceao conjunto A, escrevemos y A.

Hora do Exemplo:Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, então 1 ∈ A, 2 ∈ A, e 6 A.

DesafioConsidere o conjunto M = {x| x são números paresmenores que 20}. Pode-se afirmar que o número 20pertence ao conjunto M?

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6. Família de Conjuntos: Um conjunto cujos elementos também são conjuntosé chamado de família de conjuntos. Por exemplo, F = {{2, 3}, {2}, {5, 6, 7}} éuma família de conjuntos, cujos elementos são {2, 3}, {2}, e {5, 6, 7}. Neste caso{2, 3} ∈ F, {2} ∈ F e {5, 6, 7} ∈ F. Note que 2 F e 5 F, pois os elementos de Fnão são números, são conjuntos!

Também faz sentido considerar um conjunto no qual algunselementos são conjuntos e outros não. Por exemplo:

F = {{2, 3}, 2, {5}}. Aqui {2, 3} ∈ F, 3 F, 2 ∈ F, {2} F, {5} ∈ F e 5 F.

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7. Igualdade de Conjuntos: Dois conjuntos são iguais quando têm os mesmoselementos, em qualquer ordem.

8. Desigualdade de Conjuntos: Dois conjuntos são diferentes quando existepelo menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence aooutro.

Hora do Exemplo:1. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {x | x é impar positivo e menor que 7}.

Temos que A = B.2. Dados os conjuntos M = {9, 11, 13, ...} e N = {x | x é impar positivo e maior ou

igual a 7}. Temos que M ≠ N.9

Teoria dos Conjuntos – Resolvendo Exercícios

Questão 01Utilizar os símbolos e , relacionandoos elementos com os conjuntos:

A = {a, e, i, o, u}B = {b, c, d, f, g}

a) a e A b) u e Bc) c e B d) d e A

Resolução

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Teoria dos Conjuntos – Resolvendo Exercícios

Questão 02Representar, abreviadamente e porextenso, o conjunto A dos múltiplosnegativos de 3.

Resolução

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Teoria dos Conjuntos – Resolvendo Exercícios

Questão 03Relacionar os conjuntos utilizando ossímbolos = ou ≠.

a) A = {1, 3, 5, 7} e B = {x | x é umnúmero impar, positivo, menor que 9}

b) A = {verde, amarelo} e B = {x | x é umacor da bandeira do Brasil}

Resolução

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