01 Conjuntos

PROFESSOR TENANI [email protected] www.professortenani.com.br

1

CONJUNTOS RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

CONJUNTOS NUMÉRICOS O conjunto é o conjunto dos números naturais

{0,1,2,3,4,...}

Geometricamente, o conjunto pode ser representado por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita)

Subconjunto importante:

* {1,2,3,4,...} {0}

O conjunto é o conjunto dos números inteiros

{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}

Todos os elementos de pertencem também ao , isto é, .

A representação geométrica do conjunto pode é feita a

partir da representação de na reta numerada; basta acrescentar os pontos correspondentes aos números negativos.

Subconjuntos importantes:

* {..., 3, 2, 1,,1,2,3,...} {0}

{0,1,2,3,...}

* *{1,2,3,...}

{..., 3, 2, 1,0}

* {..., 3, 2, 1}

Módulo, ou valor absoluto, de x é a distância da origem ao

ponto que representa x . | 2 | | 2 | 2

| 4 | | 4 | 4

O conjunto é o conjunto dos números racionais, formado

pelas frações

p

q ; assim, um número é racional quando pode

ser escrito com uma fração

p

q , com p

e *q

.

*{ | e }p

Q p qq

Temos

REPRESENTAÇÃO DECIMAL Todo número escrito na forma decimal finito pode ser escrito como fração

20,4

5

;

10,25

4

;

358,75

4

; etc. Todo decimal periódico pode ser escrito na forma de fração, ou seja, é racional.

10,333... 0,3

3

;

10,04545... 0,045

22

; Os números decimais não exatos, que possuem uma representação infinita não periódica não podem ser escritos como fração, ou seja, não são racionais. Esses números

formam o conjunto dos números irracionais ( I ).

0,313113111... ; 2 1,4142136... ; 3,141592... O conjunto formado pelos números racionais e pelos

números irracionais é o conjunto dos números reais ( ).

I

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Qual é o valor de 14

0,1111...0,7777...

y

RESOLUÇÃO

14 1 14 1 550,1111... 18

70, 7777... 9 3 3

9

y

GABARITO: 55

3

02) Se 1,333...x e 0,1666...y , então x y é igual a:

a) 7

5

b) 68

45

c) 13

9

d) 4

3

e) 3

2

RESOLUÇÃO

21

1 4 1,6666 131,333... 13 3 10 10 6

x y


2

4 1 8 1 9 3

3 6 6 6 2x y

GABARITO: D

03) Se p e q são números inteiros quaisquer, com 0q ,

então:

a) p

q é um número inteiro.

b) p

p q é um número inteiro.

c) p q

q

é um número inteiro.

d) p

q é um número inteiro se, e somente se, existir um

inteiro k tal que p kq .

e) Sendo p

q inteiro, tem-se também que

q

p é inteiro.

RESOLUÇÃO

Se exitir k tal que p kq então p kq

kq q .

Por outro lado, se p

kq com k então p kq

GABARITO: D

INTERVALOS O conjunto dos números reais possui subconjuntos importantes, denominados intervalos que são determinados

por meio de desigualdades. Sejam a e b , com a b .

Intervalo aberto de extremos a e b .

] , [ { | }a b x a x b

Intervalo fechado de extremos a e b .

[ , ] { | }a b x a x b

Intervalo aberto à direita (ou fechado à esquerda) de

extremos a e b .

[ , [ { | }a b x a x b

Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de

extremos a e b .

] , ] { | }a b x a x b

Semirreta esquerda, fechada de origem b . ] , ] { | }b x x b

Semirreta esquerda, aberta de origem b . ] , ] { | }b x x b

Semirreta direita, fechada de origem a . [ , ] { | }a x x a

Semirreta direita, aberta de origem a . ] , ] { | }a x x a

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04) Sendo ] ;3]A , [ 2;0[B e { | 0}C x x , a

alternativa correta é:

a) ( ) ( )A C B C

b) ( )A B C

c) ( ) ( ) { | 3}A B B C x x

d) ( ) { | 2 3}A B C x x

e) ( )A B C

05) Sejam os intervalos reais

{ | 3 7}A x x

{ | 1 5}B x x e

{ | 0 7}C x x

É correto afirmar que:

a) ( )A C B A B

b) ( )A C B C B

c) ( )A B C B

d) ( )A B C A

e) A B C A C

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer.

Das afirmações: I. ab é um número irracional. II. ( )a b é um número irracional.

III. ( )a b é um número irracional.

pode-se concluir que: a) As três são falsas. b) As três são verdadeiras. c) Somente (I) e (III) são verdadeiras. d) Somente (I) é verdadeira. e) Somente (I) e (II) são falsas.

RESOLUÇÃO I. Falsa.


3

Suponha 2a e 1

2b , então

1. 2. 1

2a b .

II. Falsa Suponha 0a b a b a a

III. Falsa Suponha 0a b a b

GABARITO: A MÉDIO 02) (UFRJ) Três números naturais e múltiplos consecutivos de

5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior.Dentre esses números, o maior é: a) Múltiplo de 3 b) Ímpar c) Quadrado perfeito d) Divisor de 500 e) Divisível por 4

RESOLUÇÃO

Sejam 5 , 5 1 , 5( 2)a k b k c k

3 2 15 10 20 4a c k k k .

Logo:

5 4 2 30c .

GABARITO: A MÉDIO 03) (UCDB-MT) Assinale a sentença verdadeira.

a) 0

b) 0,323323332...

c) *

d) 12 e)

RESOLUÇÃO *

{1, 2, 3, ...} {0,1, 2, 3, ...}

GABARITO: C FÁCIL

04) (UNIFOR-CE) Dados os números racionais 500,02.10x , 510,2.10y e 52200.10z , é correto afirmar que:

a) x z y

b) x z y

c) x y z

d) x y z

e) x y z

RESOLUÇÃO 50 520,02.10 2.10x

51 520,2.10 2.10y 52 50200.10 2.10z

GABARITO: E FÁCIL

05) (UFRN) O valor de 2

0,666... é:

a) 0,333..

b) 1,333....

c) 3,333...

d) 3

e) 12

RESOLUÇÃO

2 2 32 3

20, 666... 2

3

GABARITO: D FÁCIL

06) (UNIFOR-CE) A fração a

b, na qual a e b são números

inteiros e 1000b , é equivalente a 3

8. Se b assumir o

menor valor possível, o valor de a será: a) 375 b) 378 c) 379 d) 400 e) 401

RESOLUÇÃO

33 3000

37588 8

1000

baa

ab

b

GABARITO: B MÉDIO

07) (PUCC-SP) Considerando {0,1,2,3,...} ,

* 24{ | , } com A x n n

x e { | 5}B x x ,

podemos afirmar que: a) A B tem 8 elementos.

b) A B tem 4 elementos.

c) A B A

d) A B A

RESOLUÇÃO

e)

* 24{ | , } 1, 2,3, 4,6,8,12, 24A x n n

x com

{ | 5} 0,1, 2,3, 4B x x

1,2,3,4A B

GABARITO: B FÁCIL 08) (PUC) Considere o número inteiro 100.101.102....200P

,produto de 101 números inteiros sucessivos. Ao inscrever-se P como um produto de fatores primos, o número de vezes que o fator 7 aparece é: a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

RESOLUÇÃO


4

GABARITO: B DIFICIL 09) (UEL-PR) Existem, para doação a escolas, 2000 ingressos

de um espetáculo e 1575 de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, o número mínimo de escolas contempladas nessa doação é: a) 117 b) 123 c) 128 d) 135 e) 143

RESOLUÇÃO: Sejam:

x o número de ingresso para cada escola.

1k o número de ingressos recebidos por cada escola

para o primeiro espetáculo.

2k o número de ingressos recebidos por cada escola

para o segundo espetáculo. Então

1

1 2

2

20003575

1575

k xk k x

k x

Logo, x é o mdc entre 2000 e 1575.

2000,1575 25mdc e, portanto:

1

1 2

2

80143

63

kk k

k

GABARITO: E

10) (FUVEST-SP) Se 4 1x e 1 2y , então xy e 2

x

estão no intervalo: a) ] 8, 1[

b) 1

] 2, [2

c) ] 2, 1[

d) 1

] 8, [2

e) 1

] 1, [2

11) (COVEST-PE) O produto das idades de três amigos

adolescentes (entre 12 e 19 anos) correspondente a 4080 anos. A soma das idades, em anos, dos adolescentes é a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52

RESOLUÇÃO:

16 15

. . 4080

, , 4080 2.2.2.2.3.5.17

12 , , 19

x y z

x y z

x y z

GABARITO: A

12) (FGV-SP) Sejam ,a b e c números reais quaisquer.

Assinale a afirmação verdadeira:

a) 2 2a b a b

b) . .a b ac bc

c) 2 2a b a

d) c c c

a b a b

e) 2 2a b a b

RESOLUÇÃO:

2 2 2 2| |a a a a b a a

GABARITO: C 13) (UNIFOR-CE) Considerando os conjuntos , dos

números inteiros, e , dos números racionais, qual dos

números seguintes não pertence ao conjunto ( ) ( ) ?

a) 2

3

b) 0,777...

c) 0

d) 3

5

e) 2,0123

RESOLUÇÃO: ( ) ( ) GABARITO: C

14) (PUC-MG) Sendo { | 2 3}A x x e

{ | 2 3}B x x , é correto afirmar que:

a) A B A b) A B

c) A B A d) A B

e) A B B 15) (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de

números naturais: {0,1,2,3,...}

{ | 6 20}P x x

{ | } é parA x P x

{ | } é divisor de 48B x P x

{ | } é múltiplo de 5C x P x

O número de elementos do conjunto ( )A B C é

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

16) (UFAC) Considere o subconjunto dos naturais

{ | 6 19}S n n . Então, definindo o conjunto

{ | ( ,3) é um número primo}L s S mdc s , temos:

a) {6,9,12,15,18}L

Comentado [B1]: D

Comentado [G2]: C

Comentado [B3]: D

Comentado [B4]: A

Comentado [G5]: A


5

b) {6,12,18}L

c) {8,10,12,14,16}L

d) {6,12}L

e) {12,18}L

17) (PUC-MG) Se ] 2;3]A e [0;5]B , então os números

inteiros que estão em B A são: a) -1 e 0 b) 1 e 0 c) 4 e 5 d) 3, 4 e 5 e) 0, 1, 2 e 3

18) (UFAC) O valor da expressão aritmética 3 52,333... 4{2 [25: 0,5 (3.9 2 )]} é:

a) Um número natural. b) Um número inteiro negativo. c) Um número racional. d) Um número irracional. e) Um número real maior que 114.

19) (UFC-CE) Sejam x e y números reais tal que 1 1

4 3x ,

2 3

3 4y e 3 2A x y . Então é correto afirmar que:

a) 4 5

3 2A

b) 3

14

A

c) 4 3

3 4A

d) 3 1

4 3A

e) 1

03

A

20) (UPE) Sejam N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntos

dos números naturais, inteiros, racionais e reais. Assinale a única alternativa FALSA.

a) N Z = N Q

b) Z (N Q) (R N)

c) Z (N Q) (R N)

d) Q N (Z R)

e) Z (N Z) (Z Q)

21) (UNIFOR CE) Dos números abaixo, o único irracional é

a) 4

b) 1253

c) 814

d) 1285

e) 10000006

22) (UFMS) Com base nas propriedades sobre o conjunto dos números reais, é correto afirmar que:

01. 3 125,0 é um número racional.

02. se x e y são números reais tais que 0 < x < 1 e 0 < y <

1, então 2y

1

x

10 .

04. se x e y são número reais tal que x < y, então x2 < y2.

08. se x e y são números reais tal que x > y, então x3 – y3 > 0.

16. 10

7

6

1

5

1

3

1 .

23) (UNIPAR PR) Considere a e b números racionais quaisquer. Podemos afirmar que é INCORRETA a alternativa: a) a/2 será um número racional.

b) a será um número racional.

c) a – b será um número racional. d) a + b será um número racional. e) a x b será um número racional.

24) (UFAL) Em uma escola, exatamente 0,300300300...% dos alunos estudam todos os dias, e exatamente 30,303030...% dos alunos estudam somente durante os exames. Se o número total de alunos da escola é inferior a 4.000, quantos são os alunos? a) 3.661 b) 3.662 c) 3.663 d) 3.664 e) 3.665

25) (UFOP MG) O valor simplificado da expressão

7

324,3...)1999,0(:0048,0

5

4 54 é:

a) 1,7 b) 2 c) –3,025 d) –4

26) (UPE) Considere as afirmações sobre os números reais.

00. Se R e ba com a > b, então 22 ba 01. Se a e b são números irracionais, então a + b é um

número irracional. 02. Se R e ba com a > b, então c b c a , para todo

número real c 03. Se ab = 0, então a = 0 e b = 0 04. O subconjunto do conjunto solução da equação

01a

1a

2

possui um único elemento.

27) (FUVEST SP) Dados dois números reais a e b que

satisfazem as desigualdades 1 a 2 e 3 b 5, pode-se afirmar que:

a) 5

2

b

a

b) 3

2

b

a

c) 3

2

b

a

5

1

d) 2

1

b

a

5

1

e) 5b

a

2

3

28) (UEPB) Em 1872, o matemático alemão Richard

Dedekind (1831-1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais, que a

Comentado [G6]: C

Comentado [G7]: C

Comentado [G8]: D

Comentado [T9]: Gab: B

Comentado [T10]: Gab: D

Comentado [T11]: Gab: 25


Comentado [T13]: Gab: C


Comentado [T15]: Gab: FFFFV

Comentado [T16]: Gab: C


6

geometria sugerira há mais de vinte séculos.Os números racionais se opõem aos números irracionais. Qual é a alternativa verdadeira?

a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional.

b) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.

c) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional.

d) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.

e) O quadrado de um número irracional é um número racional.

29) (FUVEST SP) A diferença entre 3

1 e seu valor aproximado

0,333 e igual a x% do valor exato. Então o valor de x é: a) 0,0001 b) 0,001 c) 0,01 d) 0,1 e) 0,3

30) (PUC RJ) O valor de 0,444... é:

a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,555... e) 0,666...

GABARITO

01) A 02) A 03) C 04) E 05) D

06) B 07) B 08) B 09) E 10) D

11) A 12) C 13) C 14) D 15) A

16) A 17) C 18) C 19) D 20) B

21) D 22) 25 23) B 24) C 25) B

26) 04 27) C 28) B 29) D 30) E


Comentado [T18]: Gab: D

Comentado [T19]: Gab: E


7

01 Conjuntos

Documents

Transcript of 01 Conjuntos