Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

Campos de calibre classicos: Maxwell

M.T. Thomazmariateresa.thomaz@gmail.com

Instituto de Fısica, UFF

Resumo:A partir do princıpio de mınima ac ao reobtemos as equac oes de movimento cl assicas reescritas atrav es das equac oesde Lagrange. Mostramos como estender esse princıpio para o bter as equac oes de movimento dos campos cl assicose o aplicamos ao caso dos campos eletromagn eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desen volver,estudaremos a noc ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de tra nsformac ao da Relatividade Restrita eescrever as equac oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os camposeletrico e magn etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a inv ari ancia de calibre e implementadanestes campos.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 1 / 28

Apresentacao:

1. Princıpio de mınima acao

2. Revisao de topicos em Matematica

3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell

4. Espaco de Minkowski

5. Princıpio de Hamilton para campos classicos

6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell

Princıpio de Hamilton para campos classicos

O que ja sabemos?

As eqs. que governam a evolucao no tempo dos campos eletro-magneticos, ~E(~x, t) e ~B(~x, t) :

As equacoes de Maxwell~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t),

~∇ · ~B(~x, t) = 0,

~∇× ~E(~x, t) = −1

∂~B(~x, t)

~∇× ~B(~x, t) =1

∂~E(~x, t)

c~(~x, t),

sendo ρ(~x, t) a densidade de carga eletrica e ~(~x, t) o vetor densidadede corrente eletrica.

Os 6 graus de liberdade dos campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao saoindependentes ⇒

⇒ usamos os potenciais: A0(~x, t), ~A(~x, t): 4 graus de liberdade.

Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor:

Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.

Para cada campo fısico ~E(~x, t) e ~B(~x, t) o 4-potencial vetor nao e

Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.

unico ⇒

⇒ impor

Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.

unico ⇒

⇒ impor 1 condicao de calibre .

E possıvel obter as 4 equacoes de Maxwell

para os campos eletromagneticos a partir

do calculo do extremo de uma acao

(de um funcional)?

Relembrando:

Quando estudamos o movimento de 1 partıcula:

Relembrando:

x : variavel

Relembrando:

x : variavel

t : parametro.

Relembrando:

x : variavel

t : parametro.

A lagrangeana L do movimento da partıcula:

L = L(x(t), x(t); t)

x(t) =dx(t)

A acao S do movimento de 1 partıcula durante o intervalo de tempo[t0, tf ]:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

dt L(x(t), x(t); t),

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

dt L(x(t), x(t); t),

Figura 1.1

t t0 f

A trajetoria percorrida pela da partıcula classica entre as posicoes x(t0)e x(tf ) e a que extremiza a acao S.

Como aplicar o princıpio de Hamilton para camposclassicos?

Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(~x, t).

Para o campo Φ(~x, t) temos:

Φ : variavel do sistema fısico;

~x : parametro;

t : parametro.

~x : parametro;

t : parametro.

A funcao Φ(~x, t) da a configuracao do campo

~x : parametro;

t : parametro.

A funcao Φ(~x, t) da a configuracao do campo em cada ponto do espaco~x no instante t.

Para cada configuracao do campo Φ(~x, t) associamos um numeroatraves do funcional da acao S:

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t).

L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acaotem dimensao de momento angular.

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t).

L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acaotem dimensao de momento angular.

Princıpio de Hamilton para a campo classico:Obter a configuracao Φ(~x, t), que comeca em Φ(~x, t0)

e termina em Φ(~x, tf ) e que extremiza a acao

S[Φ; t0, tf ].

Importante:A acao de sistemas relativısticos,

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıculapercorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acaoneste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outroreferencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira poruma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser ummınimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que apartıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalarde Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produtodtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambemtem que ser um escalar de Lorentz.

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıculapercorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acaoneste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outroreferencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira poruma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser ummınimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que apartıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalarde Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produtodtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambemtem que ser um escalar de Lorentz.

E por esta razao que para uma partıcula nao relativıstica a lagrangeana naopode ser a energia mecanica total.

Seja φ(~x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz ascondicoes de contorno:

φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)

eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).

φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)

eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).

Para confirmar que a configuracao φ(~x, t) e um extremo da acao ,comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenasvariacoes de φ(~x, t):

φ(~x, t0) = Φ(~x, t0)

eφ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ).

Para confirmar que a configuracao φ(~x, t) e um extremo da acao ,comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenasvariacoes de φ(~x, t):

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t),

onde α e uma constante eα → 0.

A funcao η(~x, t) satisfaz ascondicoes de contorno:η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0.

A condicao de que φ(~x, t) extremiza a acao:

δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] =α→0

Como no caso do sistema de 1 partıcula, definimos:

G(α) ≡

∫ tf

d3~x L(φ+ αη, ∂µ(φ) + α∂µ(η);~x, t;α).

Como no caso do sistema de 1 partıcula, definimos:

G(α) ≡

∫ tf

d3~x L(φ+ αη, ∂µ(φ) + α∂µ(η);~x, t;α).

Reescrevemos a condicao de extremo da acao, em α = 0, como:

∂G(α)

∣∣∣∣α=0

= 0 ⇒∂S[Φ;α]

∣∣∣∣α=0

A condicao de extremo de S[Φ;α]:

∂S[Φ;α]

∣∣∣∣α=0

∂S[Φ;α]

∣∣∣∣α=0

aplicada a forma integral da acao:

∂S[Φ;α]

∂α=

[∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

∂S[Φ;α]

∣∣∣∣α=0

∂S[Φ;α]

∂α=

[∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

∫ tf

∂α+

∂(∂Φ∂x

)∂(∂Φ∂x

∂α+

∂(∂Φ∂y

∂(∂Φ∂z

)∂(∂Φ∂z

∂α+

∂(∂Φ∂t

)∂(∂Φ∂t

∂S[Φ;α]

∣∣∣∣α=0

∂S[Φ;α]

∂α=

[∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t)

∫ tf

∂α+

∂(∂Φ∂x

)∂(∂Φ∂x

∂α+

∂(∂Φ∂y

∂(∂Φ∂z

)∂(∂Φ∂z

∂α+

∂(∂Φ∂t

)∂(∂Φ∂t

Na regra da cadeia tratamos: Φ, ∂t(Φ), ∂x(Φ), ∂y(Φ) e ∂z(Φ), comovariaveis independentes.

Utilizamos a notacao de soma implıcita para escrever de formacompacta os termos do l.d. da integral:

∂(∂Φ∂x

)∂(∂Φ∂x

∂α+

∂(∂Φ∂y

∂α+

∂(∂Φ∂z

)∂(∂Φ∂z

∂α+

∂(∂Φ∂t

)∂(∂Φ∂t

∂(∂µΦ)

∂α.

onde µ = 0, 1, 2, 3.

Nao podemos esquecer:

∂0 =∂

∂(ct)=

c∂t; ∂1 =

∂x= ∂x; ∂2 =

∂y= ∂y; ∂3 =

∂z= ∂z.

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

Assim:

∂(∂µΦ)

∂α=

∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

Assim:

∂(∂µΦ)

∂α=

∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]

∂α[∂µ(φ(~x, t))]

︸︷︷︸

(∂α

︸︷︷︸

· ∂µ(η(~x, t) + α∂

∂α[∂µ(η(~x, t))]

︸︷︷︸

Portanto:

Lembrando:

Φ(~x, t;α) = φ(~x, t) + αη(~x, t) ⇒

⇒ ∂µ(Φ(~x, t;α)) = ∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t)),

com µ = 0, 1, 2, 3.

Assim:

∂(∂µΦ)

∂α=

∂α[∂µ(φ(~x, t)) + α∂µ(η(~x, t))]

∂α[∂µ(φ(~x, t))]

︸︷︷︸

(∂α

︸︷︷︸

· ∂µ(η(~x, t) + α∂

∂α[∂µ(η(~x, t))]

︸︷︷︸

Portanto:

∂(∂µΦ)

∂α= ∂µ(η(~x, t), µ = 0, 1, 2, 3.

Reescrevemos a condicao de extremo de S como:

∫ tf

∂Φη(~x, t) +

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂y

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂z

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂t

)∂η(~x, t)

∫ tf

∂Φη(~x, t) +

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂y

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂z

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂t

)∂η(~x, t)

Para cada funcao arbitraria η(~x, t), as suas derivadas: ∂tη(~x, t),

∂xη(~x, t), ∂yη(~x, t) e ∂zη(~x, t) nao sao necessariamente funcoes

linearmente independentes (l.i.) entre si e com η(~x, t). Por isso

∫ tf

∂Φη(~x, t) +

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂y

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂z

)∂η(~x, t)

∂(∂Φ∂t

)∂η(~x, t)

Para cada funcao arbitraria η(~x, t), as suas derivadas: ∂tη(~x, t),

∂xη(~x, t), ∂yη(~x, t) e ∂zη(~x, t) nao sao necessariamente funcoes

linearmente independentes (l.i.) entre si e com η(~x, t). Por isso

nao podemos fazer nenhuma afirmacao geral a partir da

igualdade anterior!!!!

Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas emrelacao as coordenadas espaciais na integral I.

Consideramos o termo:

∫ tf

d3~x∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∫ tf

−Ldy dz

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimitao volume.

∫ tf

d3~x∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∫ tf

−Ldy dz

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimitao volume. No limite de V∞ temos que L → ∞.

∫ tf

d3~x∂L

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

∫ tf

−Ldy dz

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η(~x, t)

onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimitao volume. No limite de V∞ temos que L → ∞.

Para calcular a integral do l.d. utilizamos a integracao por partes,∫

u dv = u · v −

onde escolhemos:

u =∂L

∂(∂Φ∂x

) e dv = dx∂η

Assim:

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂(∂Φ∂x

)η(~x, t)

∣∣∣∣

x=−L

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Assim:

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂(∂Φ∂x

)η(~x, t)

∣∣∣∣

x=−L

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao oscampos na superfıcie que delimita o volume V∞ sao nulos.

Assim:

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂(∂Φ∂x

)η(~x, t)

∣∣∣∣

x=−L

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao oscampos na superfıcie que delimita o volume V∞ sao nulos.

Φ(± L, y, z, t;α) = 0

η(± L, y, z; t) = 0.

Portanto:∫ L

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Portanto:∫ L

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z.

Portanto:∫ L

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacaoao tempo:∫ tf

dt∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η

∂(∂Φ∂t

)η(~x, t)

∣∣∣∣

∫ tf

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

Portanto:∫ L

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

dt∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η

∂(∂Φ∂t

)η(~x, t)

∣∣∣∣

∫ tf

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0

Portanto:∫ L

−Ldx

∂(∂Φ∂x

)∂η

∂x= −

−Ldx

( ∂L

∂(∂Φ∂x

))η(~x, t).

dt∂L

∂(∂Φ∂t

)∂η

∂(∂Φ∂t

)η(~x, t)

∣∣∣∣

∫ tf

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0 ⇒

∫ tf

dt∂L

∂(∂Φ∂t

∂t= −

∫ tf

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))η(~x, t).

Finalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como:∫ tf

∂Φ−

( ∂L

∂(∂Φ∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂y

−∂

( ∂L

∂(∂Φ∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂t

η(~x, t) = 0.

∂Φ−

( ∂L

∂(∂Φ∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂y

−∂

( ∂L

∂(∂Φ∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂t

η(~x, t) = 0.

Como este resultado tem que ser valido para qualquer configuracaoη(~x, t),

∂Φ−

( ∂L

∂(∂Φ∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂y

−∂

( ∂L

∂(∂Φ∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂t

η(~x, t) = 0.

Como este resultado tem que ser valido para qualquer configuracaoη(~x, t),

∂Φ− ∂µ

∂(∂µΦ)

equacao de

Euler - Lagrange

Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos:

∂Φ− ∂µ

∂(∂µΦ)

Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que serum escalar de Lorentz.

Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos:

∂Φ− ∂µ

∂(∂µΦ)

Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que serum escalar de Lorentz.

Escrevendo explicitamente os termos da soma impıcita na eq. deEuler-Lagrange temos:

∂Φ−

( ∂L

∂(∂Φ∂x

( ∂L

∂(∂Φ∂y

( ∂L

∂(∂Φ∂z

( ∂L

∂(∂Φ∂t

))= 0.

Modelo mais simples de campos: campo escalar livre

A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e:

L(φ, ∂µφ(~x, t);~x, t) =1

2(∂µφ(~x, t))(∂µφ(~x, t))−

2m2φ(~x, t)2,

onde µ = 0, 1, 2, 3.

Modelo mais simples de campos: campo escalar livre

A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e:

L(φ, ∂µφ(~x, t);~x, t) =1

2(∂µφ(~x, t))(∂µφ(~x, t))−

2m2φ(~x, t)2,

onde µ = 0, 1, 2, 3.

A eq. de Euler-Lagrange

∂φ− ∂µ

∂(∂µφ)

da a equacao de movimento do campo φ(~x, t).

Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:

1)∂L

∂φ=

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

1)∂L

∂φ=

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂φ= −m2 φ.

1)∂L

∂φ=

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂φ= −m2 φ.

2)∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

1)∂L

∂φ=

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂φ= −m2 φ.

2)∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

1)∂L

∂φ=

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

= −1

2× 2m2 φ ⇒

∂φ= −m2 φ.

2)∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)

[(∂νφ) (∂

νφ)− m2 φ2]

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

⇒∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

Entao:

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

Entao:

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂(∂xφ)=

∂(∂xφ)

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

Entao:

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂(∂xφ)=

∂(∂xφ)

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

∂(∂xφ)

(∂1φ) (∂1φ)

Entao:

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂(∂xφ)=

∂(∂xφ)

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

∂(∂xφ)

(∂1φ) (∂1φ)

Lembrando: ∂µ = (∂0, ~∇) e ∂µ = (∂0,−~∇).

Entao:

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂(∂xφ)=

∂(∂xφ)

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

∂(∂xφ)

(∂1φ) (∂1φ)

Lembrando: ∂µ = (∂0, ~∇) e ∂µ = (∂0,−~∇). Assim:∂L

∂(∂xφ)=

{∂(∂xφ)

∂(∂xφ)(−∂xφ) + ∂x(φ)

∂(−∂xφ)

∂(∂xφ)

Entao:

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂(∂xφ)=

∂(∂xφ)

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

∂(∂xφ)

(∂1φ) (∂1φ)

∂(∂xφ)=

{∂(∂xφ)

∂(∂xφ)(−∂xφ) + ∂x(φ)

∂(−∂xφ)

∂(∂xφ)

= −∂x(φ)

Entao:

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)] .

2.1) seja µ = 1(x):

∂(∂xφ)=

∂(∂xφ)

(∂0φ) (∂0φ) + (∂1φ) (∂

1φ) + (∂2φ) (∂2φ)

+(∂3φ) (∂3φ)

∂(∂xφ)

(∂1φ) (∂1φ)

∂(∂xφ)=

{∂(∂xφ)

∂(∂xφ)(−∂xφ) + ∂x(φ)

∂(−∂xφ)

∂(∂xφ)

= −∂x(φ) = ∂1(φ).

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

∂(∂νφ)

∂(∂µφ)︸︷︷︸

δνµ

(∂νφ) + (∂νφ)∂(

gνα (∂αφ)︷︸︸︷

∂ν(φ) )

∂(∂µφ)

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

∂(∂νφ)

∂(∂µφ)︸︷︷︸

δνµ

(∂νφ) + (∂νφ)∂(

gνα (∂αφ)︷︸︸︷

∂ν(φ) )

∂(∂µφ)

A definicao da delta de Kronecker e:

δνµ =

{= 1, µ = ν

= 0, µ 6= ν

2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:∂L

∂(∂µφ)=

∂(∂µφ)[(∂νφ) (∂

νφ)]

∂(∂νφ)

∂(∂µφ)︸︷︷︸

δνµ

(∂νφ) + (∂νφ)∂(

gνα (∂αφ)︷︸︸︷

∂ν(φ) )

∂(∂µφ)

A definicao da delta de Kronecker e:

δνµ =

{= 1, µ = ν

= 0, µ 6= ν

Assim:

∂(∂µφ)=

(∂µφ) + (∂νφ) gνα

∂(∂αφ)

∂(∂µφ)︸︷︷︸

δαµ

µφ) + (∂νφ) gνµ︸︷︷︸

Ou seja,

∂(∂µφ)=

µφ) + (∂νφ) gµν︸︷︷︸

(∂µφ)

⇒∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ).

Ou seja,

∂(∂µφ)=

µφ) + (∂νφ) gµν︸︷︷︸

(∂µφ)

⇒∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ).

Em resumo:∂L

∂φ= −m2 φ e

∂(∂µφ)= ∂µ(φ),

que substituindo na eq. de Euler- Lagrange[∂L∂φ

− ∂µ

∂(∂µφ)

Ou seja,

∂(∂µφ)=

µφ) + (∂νφ) gµν︸︷︷︸

(∂µφ)

⇒∂L

∂(∂µφ)= ∂µ(φ).

Em resumo:∂L

∂φ= −m2 φ e

∂(∂µφ)= ∂µ(φ),

que substituindo na eq. de Euler- Lagrange[∂L∂φ

− ∂µ

∂(∂µφ)

−m2φ− ∂µ(∂µφ) = 0.

A eq. de Euler-Lagrange do campo escalar:

∂µ(∂µφ) + m2φ = 0.

Equacao deKlein-Gordon

∂µ(∂µφ) + m2φ = 0.

Lembrando:

∂µ ∂µ =1

∂t2−∇2,

sendo c a velocidade da luz no vacuo.

∂µ(∂µφ) + m2φ = 0.

Lembrando:

∂µ ∂µ =1

∂t2−∇2,

sendo c a velocidade da luz no vacuo.

A eq. de Klein-Gordon para o campo escalar livre e:

∇2φ(~x, t)−1

∂2φ(~x, t)

∂t2− m2φ(~x, t) = 0.

As transparencias deste seminario estao no blog:

http://mttdivulgacao.blogspot.com

na seccao:

”Divulgacao ja realizada em Universidades”

Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

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