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TEMA:
ANÁLISIS DE LA FORMACIÓN DE ARRUGAS EN EL EMBUTIDO
“TERCER REPORTE DE AVANCE DE TESIS”
ESTIMACIÓN DEL GRADO DE AVANCE: 46 %
TESISTA:
ING. LUIS ERNESTO GARCÍA GRACIANO
ASESOR:
DR. DIRK FREDERIK DE LANGE
Junio 2011
Índice:
Cronograma
Descripción del proyecto
Objetivo
Alcance
Antecedentes teóricos y revisión bibliográfica
Desarrollo teórico del fenómeno de arrugas
Modelo FEM
Referencias
Anexo: “Memorias de la VIII Reunión Internacional de Ingeniería Mecánica”
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AVANCE DEL PROYECTO Y CRONOGRAMA:
A continuación se presenta el programa original de las actividades del proyecto:
El avance respecto a lo planeado se muestra en el siguiente cuadro:
El porcentaje de avance es de 46%
DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO:
Se pretende desarrollar un estudio del fenómeno que se presenta al trabajar mecánicamente hojas
metálicas, el fenómeno es conocido como “arrugas” el cual se presenta como ondulaciones del material
específicamente al ser sometido a esfuerzos en el proceso de manufactura conocido como “embutido”.
OBJETIVO:
Desarrollar una teoría que prediga el “arrugamiento” (o presencia de arrugas) en el embutido, de tal
manera que se puedan predecir valores de los parámetros que sean determinantes en la ocurrencia de
dichas arrugas; logrando con ello, plantear una plataforma que posteriormente permita proponer
alternativas que hagan posible mantener el tamaño de las arrugas dentro de límites deseados. Lo anterior
en el marco de la reducción del “costo computacional” que hasta ahora implica dicho estudio.
MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ENE FEB MAR ABR MAY JUN
A Planeación 15% 15% 15% 10% 35% 8%
B Antecedentes 10% 15% 40% 15% 15% 15% 10%
C Fem 10% 60% 30% 30% 25% 25% 25% 18%
D Criterio 30% 30% 40% 40% 40% 30% 19%
E Implementación 50% 80% 80% 80% 26%
F Paper 10% 20% 20% 4%
G Tesis 10% 10% 10% 10% 20% 100% 14%
25% 15% 25% 25% 75% 75% 75% 75% 75% 75% 75% 100% 100% 100% 100% 100% 100%TIEMPO DEDICADO
ACTIVIDADAÑO 2010 AÑO 2011
% Activ.
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ALCANCE
Análisis de alternativas FEM para embutido.
Proponer una solución teórica del fenómeno en cuestión, formulando un criterio de arrugas, la
cual deberá implicar las diferentes variables que resultan ser más significativas para este estudio.
Implementación del criterio de falla y evaluación de su validez.
ANTECEDENTES TEÓRICOS Y REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
En general se han presentado en avances anteriores los antecedentes de estudios realizados sobre el tema
de arrugamiento en el embutido. De manera particular en este avance se presenta principalmente el
resultado del análisis teórico o solución analítica de la viga en pandeo libre.
Con ello se compararán los resultados obtenidos al realizar el estudio de pandeo en la viga con
restricción.
ANÁLISIS DE PANDEO LIBRE
El análisis de pandeo libre o sin restricciones es un caso tratado y resuelto en diversa bibliografía básica
de mecánica de materiales y diseño mecánico [4],[5]. A continuación se presentan los resultados de
dichos estudios, para mayor detalle referirse a las notas presentadas en el archivo anexo de la XVII
Reunión de Ingeniería Mecánica.
El modelo de la viga en cuestión es como se muestra en la figura 1.
Al considerar las condiciones iniciales y resolver la ecuación de momentos en el modelo de la viga, se
obtiene la ecuación de solución para v(x) y con ello se determina la “carga crítica” Pc de Euler:
No debe perderse de vista que el análisis mostrado se ha realizado para una viga pivotada en sus
extremos de longitud L. En la figura 3 se muestra el pandeo elástico en columnas con diferentes
restricciones en sus extremos.
En la figura 2 se indica con Le la longitud equivalente al caso que se resolvió. En el inciso c de dicha
figura (lo cual corresponde al caso de una viga con empotramiento en los extremos) la ecuación para la
carga crítica estará dada por:
P P
L/2 L/2
P P
M
vx
(a) (b)
Figura 1
P P
L/2 L/2
P P
M
vx
(a) (b)
Figura 1Figura 1 a) Viga con soporte y cargas,
b) Deformación supuesta.
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Este estudio mostrado de la literatura resulta de gran interés para la finalidad del desarrollo de tesis, ya
que como puede verse, por una parte nos da una solución de viga sin restricciones. Pero sobre todo, por
otro lado, muestra cómo es posible revisar el estudio de la viga solucionando solo una parte de la misma
y con lo demostrado, extrapolar el resultado a la forma de la viga que sea de nuestro interés.
Nótese que el inciso c de la figura 2 corresponde a la forma de la viga que se desarrollará en el presente
trabajo.
DESARROLLO TEÓRICO DEL FENÓMENO DE ARRUGAS
ANÁLISIS DE PANDEO CON RESTRICCIÓN
Ahora se considera el modelado de la viga con una fuerza estabilizadora, la cual se origina del contacto
con dos paredes entre las que está encerrada la viga, limitando así el desplazamiento v y por lo mismo
aportando estabilidad a la deformación ilimitada en caso que ocurra el pandeo de la viga. En la figura 3
se ilustra la situación estudiada.
Figura 3 Deformación propuesta de la viga.
Pared
columnaP P
Pared
Figura 2 Casos equivalentes para diferentes modos de soporte. Figura 3
L=Le
P PP
2L=Le L/2=Le
L/4
L/4
L
(a) (b) (c)
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Se considera que las paredes son completamente rígidas y que no hay deformación local de la viga en las
zonas que se encuentren en contacto con las paredes. En este caso, las fuerzas que aparecen al existir una
pequeña deformación ondulatoria en la viga, se considerarán como puntuales. Asumiendo periodicidad y
simetría, se puede reducir el problema a la mitad de un periodo de la ondulación, usando una
equivalencia de longitudes similar a la indicada en la figura 2, por lo que la sección de la viga entre las
líneas punteadas es representativa para la viga completa de acuerdo a la longitud equivalente . Esto se esquematiza en la figura 4, dibujando la viga con cargas correspondientes, introduciendo una nueva
fuerza F que dará estabilidad a la viga cuando ésta empieza a deformarse debido a la fuerza de pandeo
P.
Para ello se busca alguna analogía con estudios en la literatura [7], [8]. El planteamiento para modelar
este caso se realiza tomando la mitad izquierda de la viga demostrada en la figura 4b, considerando que
la viga se encuentra empotrada en la mitad, justo en el punto donde se muestra la fuerza F. La figura 5
nos muestra este modelo de donde se obtendrá la ecuación de momentos.
Si planteamos la ecuación diferencial del modelo (Ecuación de momentos) y la resolvemos, tal como se detalla en anexo de las notas presentadas en el archivo de la XVII Reunión de Ingeniería Mecánica.
Como resultado se determina entonces la expresión para el desplazamiento, primera y segunda derivada
del desplazamiento:
Figura 5 modelado de la sección de la viga.
P
F/2
M
v
x
Figura 4 a) Viga con soporte y cargas,
b) Deformación supuesta.
F
P P
L/2 L/2
P P
F
F/2
M
v
xF/2
(a) (b)
Figura 4
F
P P
L/2 L/2
P P
F
F/2
M
v
xF/2
(a) (b)
Figura 4
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Se han analizado las ecuaciones encontradas y al proponer el caso específico de una viga con las
siguientes especificaciones:
Si se grafican las expresiones relacionadas con el desplazamiento, se han encontrado interesantes
resultados. Para ello se presentan las gráficas en las figuras 6,7 y 8.
Figura 6 Gráfica de desplazamiento de la viga restringida bajo diferentes condiciones de carga.
Figura 7 Gráfica de la derivada del desplazamiento en función de x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016Desplazamiento como función de posición x
P=Pc
P=2*Pc
P=3*Pc
P=4*Pc
P=5*Pc
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035Derivado desplazamiento como función de posición x
P=Pc
P=2*Pc
P=3*Pc
P=4*Pc
P=5*Pc
Longitud (Le) 2.0m
Ancho 0.05m
Espesor 0.05m
Material Acero estructural
Módulo de elasticidad 210GPa
delta (gap) 0.03m
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Figura 8 Gráfica de la segunda derivada del desplazamiento en función de x
En el mismo documento anexo al que se ha hecho mención, se explica (tal como se puede interpretar en
estas gráficas); que la ecuación propuesta para este caso tiene un rango de validez limitado en un valor
de fuerza axial aplicado, de no más de 4 veces la fuerza crítica de Euler (correspondiente al valor de
fuerza en que se presenta la falla por pandeo sin restricciones).
Sin embargo no es claro que pasa después de este valor; se ha propuesto que la forma de la viga cambie
a dos secciones, una recta y una curva con la misma forma y condiciones de esta solución, pero con una
longitud reducida. Esto se muestra en la figura 9.
Figura 9 forma propuesta de la viga una vez que el valor de P es mayor a 4 veces el valor de la Fuerza Crítica en el análisis
de pandeo de Euler.
Se tiene además una ecuación que permite determinar el valor de la fuerza de restricción, que para el
caso del embutido será la fuerza del pisador.
Lo cual nos permite obtener que para un valor de F cercano a 8 veces la Fuerza Crítica de Euler, no hay
un valor de F capaz de lograr la estabilidad de la viga lo cual se visualiza en la Figura 10. Sin embargo
precisamente este es un punto importante de discusión que se tiene actualmente, ya que esto se ha
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03Segundo derivado desplazamiento como función de posición x
P=Pc
P=2*Pc
P=3*Pc
P=4*Pc
P=5*Pc
Pared
columnaP
Pared
P
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determinado en base a la formulación de las figuras 4 y 5, en tanto que esto no es necesariamente válido
de acuerdo a la predicción de deformación a que se hace referencia en la figura 9.
Figura 10 Gráfica del comportamiento de la fuerza F conforme varía P
*(donde P* es el número de veces la Fuerza Crítica de
Pandeo de Euler).
MODELO FEM
Con la finalidad de corroborar y ampliar los resultados encontrados analíticamente, se ha desarrollado
un modelo de una viga en la parte simétrica a la figura 5. Dicho modelo se presenta en la figura 11
(ahora empotrado en el otro extremo).
Figura 11 Gráfica de la deformación a pandeo de la viga empotrada
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x 10
5 Fuerza como funcion de Pc
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En el gráfico de la figura 12 se presentan los valores de la deformación conforme varía la carga axial
aplicada.
Figura 12 Gráfica de los valores de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada.
Los resultados obtenidos están de acuerdo a lo esperado; sin embargo ahora que se ha logrado modelar,
resta el análisis importante, que es experimentar el comportamiento de la viga conforme P aumente hasta
valores entre 4 y 8 veces el valor de la Fuerza crítica de Euler, e incluso por encima de este valor.
De acuerdo a lo planteado, en las figuras13 y 14 se presentan los resultados cuando a la viga restringida
se le aplica un valor de P* = 6.
Figura 13 Gráfica de la deformación a pandeo de la viga empotrada con P*=6 con una escala de 10 en la deformación.
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Figura 14 Gráfica de los valores de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=6.
Si seguimos aumentando la carga aplicada para valores por encima de la supuesta inestabilidad de la
viga.
Para ello se ha resuelto una vez más en COMSOL y se presentan los resultados en la figura 15, en donde
se aprecia como la viga sigue incrementando una sección recta.
En adelante los resultados de la gráfica de la viga deformada son presentados en una ampliación de
factor 10.
Figura 15 Gráfica de la forma de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=11 una escala de
10 en la deformación.
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Figura 16 Gráfica de la forma de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=12 una escala de
10 en la deformación.
Es evidente en la Figura 16 donde P*=12, que la forma de la viga conforme aumenta P, es de la manera
que se predijo.
Ahora veamos en la Figura 17 que cuando P*=14 la viga pierde su forma nuevamente, presentando un
desplazamiento ahora en el extremo izquierdo, mismo que empezó a aparecer en P*=12 en la figura 16.
Figura 17 Gráfica de la forma de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=14 una escala de
10 en la deformación.
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Figura 18 Gráfica de los valores de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=14 La línea azul
muestra la deformación total del extremo derecho mientras que la línea punteada muestra solamente la deformación v..
En P*=14 se aprecia claramente como la viga empieza a deformarse ahora en donde se había
considerado el empotramiento.
En estos últimos gráficos se muestra como empieza a suceder otro modo del pandeo en la viga.
CONCLUSIONES
Se ha comparado el comportamiento de la viga libre de Euler y la viga con la restricción de este caso
particular, permitiendo valorar que tan significativa es la restricción y cómo cambia la estabilidad de la
viga. El análisis de pandeo dentro de un espacio formado por dos paredes ha mostrado que la fuerza
compresiva puede tener un valor de hasta 4 veces el nivel de la carga crítica de Euler para la misma viga
sin restricción.
En cuanto a la solución teórica del pandeo restringido, se ha encontrado la ecuación para determinar la
fuerza que ejerce la pared a la viga, o sea la fuerza que se necesita para estabilizar la viga manteniendo
la pared a la distancia indicada.
Al sobrepasar este nivel de fuerza, inicia un proceso en que la longitud de onda se va reduciendo Se ha
estimado la longitud de onda que aparece en la viga.
La fuerza F necesaria para estabilizar la viga se definió en función de la fuerza P aplicada a la viga y el
valor prescrito de desplazamiento (gap).
Por otra parte el modelo de la viga restringida se ha modelado exitosamente y ello nos permitirá
experimentar sobre el comportamiento de nuestro modelo en condiciones de carga mayor.
Se está discutiendo aún un punto importante que se nos ha expuesto en un par de ocasiones en que se ha
presentado avance de nuestro modelo teórico. Esto es, que nuestra solución de viga está resuelta en el
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rango elástico del material; sin embargo si se desea aplicar al proceso de embutido, es menester enfatizar
que este proceso implica una deformación plástica del material.
En este sentido se tiene una teoría aplicada a vigas que refiere a cómo es posible hacer una
consideración de que el módulo tangencial es similar en valor al módulo ingenieril [8], pero ello aún es
tema de análisis y discusión en el proceso de la formulación que se pretende establecer para esta tesis.
Se está trabajando en mayor cantidad de análisis de la viga con nuevas variaciones de los parámetros
como carga P, fuerza F y distancia entre paredes para con ello ampliar el rango de solución.
Se revisará el planteamiento teórico para poder extrapolar los resultados obtenidos a la nueva
deformación de la viga a aumentar P*.
REFERENCIAS
[1]. Free Vibration Analysis of Multiple Delaminated Beams under Axial Compressive Load.
Journal of Reinforced Plastics & Composites, Della, C. N., & Dongwei, S. (2009).
[2]. Combined Torsional-Bending-Axial Dynamics of a Twisted Rotating Cantilever Timoshenko
Beam With Contact-Impact Loads at the Free End. Journal of Applied Mechanics, Sinha, S. K.
(2007).
[3]. Nonlinear dynamic modeling, instability and post-buckling analysis of a rotating beam with a
flexible support, S. F. Xiao – M Yang, Republic of China, 2006
[4]. Mecánica de Materiales 7ª edición, James M Gere-Barry J Goodno, Cengage Learning, 2009.
[5]. Diseño en ingeniería mecánica de Shigley 8ª edición, Budynas-Nisbett, Mc Graw Hill, 2008
[6]. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 6ª edición, Dennis G. Zill, Ed.
Thompson 1997
[7]. Introducción a las estructuras de edificación Tomo 1, Universidad Politécnica de Valencia, A.
Durá – I. Cabrera – E. Fenollosa – A. Martínez B. – A. Perez – B. Serrano, 2005
[8]. Introducción a la Mecánica de los Sólidos, E. Popov, Ed. Pearson, 2000.
[9]. Prediction of flange wrinkling in deep drawing process using bifurcation criterion Ravindra K.
Saxena, P.M. Dixit, 2010
[10]. Material conferencia Sistemas ópticos GOM 2009- CIMCO, Daniel Rodríguez, 2009.
[11]. Herramentales desde el diseño, Peter Ulintz, Anchor Manufacturing Group, Inc., Cleveland,OH,
2008.
[12]. Fundamentals of Modern Manufacturing, Mikell P. Groover, 2007.
[13]. Prediction of Wrinkling Initiation in Sheet Metal Forming Processes, J.B. Kim, D.Y. Yang,
2002.
Página 14 de 21
[14]. Control of Blank Holder Force to Eliminate Wrinkling and Fracture in Deep-Drawing
Rectangular Parts, M. Ahmetoglu, T. R. Broek, G. Kinzel, T. Altan (1) Ohio State University,
College of Engineering, Columbus, USA, 1995.
[15]. Controlled FEM Simulation for Determining History of Blank Holding Force in Deep Drawing
Kozo Osakada ( l ) ,C han Chin Wang, Ken-ichi Mori, Faculty of Engineering Science, Osaka
University, Osaka, Japan,1995.
MEMORIAS DE LA VIII REUNIÓN INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA
18 al 20 DE MAYO 2011, SAN LUIS POTOSÍ, S.L.P., MÉXICO
Derechos Reservados © 2011, ITSLP
ANÁLISIS DE PANDEO DE UNA VIGA CON RESTRICCIÓN DE UNA FUERZA
ESTABILIZADORA Luis Ernesto García Graciano
1, Dirk Frederik de Lange
1, Hugo Iván Medellin Castillo
1, Pedro de Jesús
García Zugasti2.
1 Centro de Investigación y Estudios de Posgrado (CIEP), Facultad de Ingeniería,
Universidad Autónoma de San Luis Potosí, San Luis Potosí, S.L.P., México.
2 Posgrado en Ingeniería Mecánica, Instituto Tecnológico de San Luis Potosí,
San Luis Potosí, S.L.P., México.
luis.graciano@uaslp.mx, dirk.delange@uaslp.mx, hugoivanmc@uaslp.mx, pzugasti@hotmail.com
RESUMEN
En este trabajo se presenta el análisis del pandeo en
una viga con restricción de una fuerza estabilizadora.
Para ello se empieza revisando brevemente, el bien
conocido pandeo (según Euler), para enseguida
adentrarse en el caso particular de una viga
restringida por paredes. Esta restricción presentará
la aparición de una fuerza que evitará que la falla
por pandeo ocurra en los valores de carga crítica
conocidos de la literatura. El estudio y análisis de las
ecuaciones es mostrado mediante una explicación del
resultado, acompañado de algunas gráficas que
permiten lograr una mejor interpretación.
INTRODUCCIÓN
Muchos estudios se han realizado del comportamiento
de una viga sometida a cargas que provocan en ellas
una deformación [1], [2], [3]. Tal es el caso específico
de la deformación inestable de vigas sometidas a
fuerzas de compresión axial conocida como pandeo;
esto ha sido la base para cálculo de diseño y
seguridad de estructuras. Sin embargo la mayoría de
las aplicaciones no involucran simplemente una
fuerza de compresión [2].
El interés para el estudio de pandeo en este trabajo,
tiene su origen en el estudio de la formación de
arrugas en el proceso de embutido. Al tratar de
predecir el fenómeno de arrugamiento se han
encontrado importantes estudios que se fundamentan,
en su mayoría, en teorías de trabajo y energía. En este
trabajo se busca una propuesta diferente, que se
fundamente en una analogía entre una zona de lámina
y una viga con carga compresiva, comparando el
proceso de arrugamiento de la lámina con el pandeo
de la viga. Es claro pensar que en dicho proceso de
embutido, la lámina no solo experimenta
combinaciones de esfuerzos de compresión y tensión
en el plano, pero de todas las variables adicionales
involucradas, la de mayor relevancia es la fuerza del
pisador.
En este marco se propone solucionar la viga en
pandeo con una restricción que simule el efecto de tal
pisador mediante unas paredes (figura 4). La
restricción propuesta brindará la posibilidad de
estabilizar la viga, permitiendo que la fuerza crítica
axial (de compresión), que ordinariamente causa el
pandeo, sea de una magnitud mayor antes de lograr
que la viga falle por pandeo.
Aunque el origen del interés está en la formación de
arrugas en láminas, en el resto de este trabajo se
limita al estudio del pandeo de vigas, considerando
que el análisis y conclusiones para este caso de
estudio podrían ser de interés incluso para otras
aplicaciones en que se use vigas restringidas por
paredes.
ANÁLISIS DE PANDEO LIBRE
El análisis de pandeo libre o sin restricciones es un
caso tratado y resuelto en diversa bibliografía básica
de mecánica de materiales y diseño mecánico [4],[5].
A continuación presentaremos un breve resumen de
dicho estudio con la finalidad de posteriormente
relacionarlo con el caso de pandeo restringido,
propuesto en este artículo.
P P
L/2 L/2
P P
M
vx
(a) (b)
Figura 1
P P
L/2 L/2
P P
M
vx
(a) (b)
Figura 1 Figura 2 a) Viga con soporte y cargas, b) Deformación supuesta.
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18 al 20 DE MAYO 2011, SAN LUIS POTOSÍ, S.L.P., MÉXICO
Derechos Reservados © 2011, ITSLP
La figura 1a muestra las condiciones de soporte de la
viga, mientras que en la figura 1b se esquematiza el
diagrama de fuerzas y momentos, junto con una
deformación v(x) supuesta.
Para pequeñas deformaciones v el momento M en la
viga está dado por:
donde v” es la segunda derivada de la deformación v
con respeto a la posición x, mientras que E y I son el
módulo de elasticidad y el momento de inercia con
respecto al eje de flexión, respectivamente. De la
figura 1b se puede establecer que el momento de
reacción causado por la carga ejercida P es:
Resultando de esta manera que la ecuación diferencial
que modela el problema de pandeo es:
La ecuación (2) la podemos reescribir como:
introduciendo el coeficiente α como:
Se aprecia que es una ecuación diferencial
homogénea cuya solución [6] es del tipo:
Para el caso bajo estudio las condiciones de frontera
son:
,
de donde se obtiene que = 0.
El coeficiente puede tener cualquier valor desigual
a cero, considerando que = 0 da una solución
trivial, mientras que se cumpla que .
Esta condición se cumple cuando:
Es importante que al satisfacer este criterio, la
solución (6) es válida con cualquier magnitud de .
Dado que grandes deformaciones no son aceptables
por causar momentos excesivos, esto implica que
estas condiciones son críticas. Al sustituir y
resolver para P se obtiene la relación de “carga
crítica” Pc de Euler:
Para cargas la viga no resiste y se flexiona de
manera ilimitada, reaccionando con una fuerza de
reacción axial que se limita al valor de Pc ; mientras
que para casos en lo que la única solución
posible es la solución trivial en lo que ,
indicando que la viga soportará la carga axial sin
ninguna deformación. Es preciso mencionar que en
realidad siempre existe una imperfección de carga o
rectitud de la viga por lo que existe alguna
deformación para cargas sub-criticas, pero para este
caso se hace referencia a la literatura [8].
La ecuación (9) mostrada indica que la fuerza crítica
solo depende de las propiedades del material, de la
sección del mismo y de la longitud de la barra.
Normalmente, el valor de Pc más relevante es el valor
mínimo, que ocurre para n=1, pero existen también
soluciones “teóricas” para otros valores de n,
correspondientes a deformaciones con longitudes de
onda más cortas. En la figura 2 se muestran las
formas de la ondulación de la viga para los casos de
n=2 y n=3. Estos modos de orden superior no tienen
significado físico en el problema de pandeo estático
dado que el problema ya es inestable antes de llegar a
este nivel de la carga, aunque para cargas dinámicas
(impactos) podrían tener relevancia.
Entonces, la carga crítica de compresión (o carga de
pandeo de Euler) para una columna recta es:
No debe perderse de vista que el análisis mostrado se
ha realizado para una viga pivotada en sus extremos
de longitud L. En la figura 3 se muestra el pandeo
elástico en columnas con diferentes restricciones en
sus extremos.
Figura 3 Modos de pandeo sin restricción.
P
Figura 2
L
P
P
x
v
M
Pc 4Pc 9Pc
n=1 n=2 n=3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
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18 al 20 DE MAYO 2011, SAN LUIS POTOSÍ, S.L.P., MÉXICO
Derechos Reservados © 2011, ITSLP
En la figura 3 se indica con Le la longitud equivalente
al caso que se resolvió. Por ejemplo, en la figura del
inciso c (lo cual corresponde al caso de una viga con
empotramiento en los extremos) la ecuación para la
carga crítica estará dada por:
ANÁLISIS DE PANDEO CON RESTRICCIÓN
Ahora se considera el modelado de la viga con una
fuerza estabilizadora, la cual se origina del contacto
con dos paredes entre las que está encerrada la viga,
limitando así el desplazamiento v y por lo mismo
aportando estabilidad a la deformación ilimitada en
caso que ocurra el pandeo de la viga. En figura 4 se
ilustra la situación estudiada.
Se considera que las paredes son completamente
rígidas y que no hay deformación local de la viga en
las zonas que se encuentren en contacto con las
paredes. En este caso, las fuerzas que aparecen al
existir una pequeña deformación ondulatoria en la
viga, se considerarán como puntuales. Asumiendo
periodicidad y simetría, se puede reducir el problema
a la mitad de un periodo de la ondulación, usando una
equivalencia de longitudes similar a la indicada en la
figura 3, por lo que la sección de la viga entre las
líneas punteadas es representativa para la viga
completa de acuerdo a la longitud equivalente .
Esto se esquematiza en la figura 5, dibujando la viga
con cargas correspondientes, introduciendo una nueva
fuerza F que dará estabilidad a la viga cuando ésta
empieza a deformarse debido a la fuerza de pandeo P.
Para ello se busca alguna analogía con estudios en la
literatura [7], [8]. El planteamiento para modelar este
caso se realiza tomando la mitad izquierda de la viga
demostrada en la figura 5b, considerando que la viga
se encuentra empotrada en la mitad, justo en el punto
donde se muestra la fuerza F. La figura 6 nos muestra
este modelo de donde se obtiene la ecuación de
momentos.
Nótese que la fuerza F/2 produce un momento
contrario a lo de la fuerza P. Analizando de forma
análoga al pandeo libre, ahora la ecuación es:
Reordenando los términos y nuevamente
introduciendo , se obtiene la ecuación diferencial no
homogénea de la forma:
Para este tipo de ecuación diferencial la solución es
similar a ecuación (6), solo agregando el tercer
término [6], que es la solución particular:
Para solucionar nuestra ecuación diferencial, se
utilizan las condiciones en los extremos, que son:
Figura 4 Casos equivalentes para diferentes modos de
soporte. Figura 3
L=Le
P PP
2L=Le L/2=Le
L/4
L/4
L
(a) (b) (c)
Figura 7 Deformación en caso de una restricción.
P
F/2
M
v
x
Figura 5 Deformación en caso de una restricción.
Pared
columnaP P
Pared
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Figura 6 a) Viga con soporte y cargas,
b) Deformación supuesta.
F
P P
L/2 L/2
P P
F
F/2
M
v
xF/2
(a) (b)
Figura 4F
P P
L/2 L/2
P P
F
F/2
M
v
xF/2
(a) (b)
Figura 4
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Sustituyendo la primera restricción se obtiene
directamente que . Al sustituir la segunda
restricción se determina que
Como resultado se determina entonces la expresión
para el desplazamiento:
Para entender el comportamiento de la viga, resulta
de interés obtener la pendiente de la deformación,
para ello se calcula la primera derivada del
desplazamiento:
También es importante analizar la segunda derivada
del desplazamiento, ya que esta representa el
comportamiento del momento:
Por otra parte, en el caso de pandeo libre, el momento
máximo ocurre en el punto que para esta solución se
considera como empotrado es decir en L/2, lo cual no
es el caso al existir la fuerza de restricción como se
reconoce en la ecuación (19). Para localizar el nuevo
valor de x en la viga (figura 6) donde el momento será
máximo se usa la teoría de la primera derivada:
La ecuación de momentos se obtiene al sustituir (17)
en (12):
Que de acuerdo con lo planteado en (20) se convierte
en la ecuación:
Lo cual se satisface en y de donde
entonces se logra determinar el valor de x donde se
presentará el momento máximo:
Como se puede apreciar, el momento máximo no
necesariamente ocurre en L/2 y dependerá de α donde
recordemos que corresponde a las propiedades del
material, su geometría (sección) y la fuerza de
compresión P.
En caso que exista una cierta apertura entre las dos
paredes, se establece una restricción adicional que
limita la amplitud de la ondulación de la viga. La
amplitud de la ondulación debe de ser igual a la mitad
del claro δ que existe entre la viga y las paredes,
como se muestra en la figura 7, resultando en la
condición:
La aplicación de esta condición permite resolver para
la fuerza que ejerce la pared a la viga al limitar la
ondulación a la amplitud δ, resultando en:
RESULTADOS
Para analizar el comportamiento de la viga bajo
cargas axiales se analiza una viga usando los datos
que se muestran en la tabla 1, y asumiendo una
separación (gap) δ.
Longitud (Le) 2.0m
Ancho 0.05m
Espesor 0.05m
Material Acero estructural
Módulo de elasticidad 210GPa
delta (gap) 0.03m
Tabla 1 Información de la viga sometida a Pandeo.
(16)
(19)
(18)
(17)
(24)
(20)
(21)
(22)
(23)
Figura 8 Gap o espacio entre viga y paredes que
restringen la deformación.
Pared
columna
Pared
delta
(25)
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En las figuras 8 a 10 se presentan las gráficas
obtenidas de
. Para efectos de
comparación con el caso de la viga en pandeo libre,
se han aplicado cargas P en múltiples valores de la
carga crítica Pc del pandeo libre, introduciendo P*
como la fuerza no-dimensional de acuerdo a:
Al aplicar una fuerza compresiva P=Pc o sea P*=1, la
ecuación (25) indica que la fuerza F es justamente
igual a cero, por lo que obtenemos precisamente el
caso de pandeo libre, solo que en este caso se está
imponiendo un desplazamiento definido. Por otro
lado, al incrementar la fuerza P a niveles arriba del
nivel crítico para pandeo libre, la fuerza F empieza a
incrementar para mantener el desplazamiento dentro
del valor de δ/2 impuesto por la presencia de la pared.
En las figuras se grafican las curvas para los niveles
de fuerzas P* igual a 1, 2, 3, 4 y 5.
Figura 8 Gráfica de desplazamiento de la viga restringida
bajo diferentes condiciones de carga.
La figura 8 permite visualizar cómo se comporta la
viga en las condiciones establecidas conforme la
carga P se incrementa. En esencia, la curvatura de la
viga incrementa ligeramente con el aumento de la
carga axial. Aunque no se aprecia claramente en la
figura, para el caso en que P*=5 el desplazamiento
sobrepasa el valor límite preestablecido cerca al
extremo derecho donde está empotrada la viga. Esto
indica una inconsistencia porque físicamente no es
posible ya que la pared (que restringe a la viga) es
continua a lo largo de esta y no permite tal
deformación; el contacto con la pared en este caso ya
se hubiera extendido hasta esta zona de la viga,
generando una fuerza distribuida sobre la parte
terminal de la viga. Esto implica que para fuerzas
arriba de cierto nivel, los resultados del modelo y las
ecuaciones en principio no son válidos. Para
demostrar este comportamiento del desplazamiento se
continua estudiando las curvas de la primera y
segunda derivada del desplazamiento.
Figura 9 Gráfica de la derivada del desplazamiento en
función de x
En las curvas de la primera derivada del
desplazamiento se ve que la pendiente siempre es
positivo y baja hasta cero en el extremo derecho (tal
como fue impuesto en las condiciones) para valores
de P hasta 4 veces la carga crítica. Para la última
curva con carga P*=5, la pendiente presenta valores
negativos un poco antes de llegar al extremo derecho.
Esto indica que el desplazamiento llega a un máximo
antes de llegar al extremo y baja desde este máximo
al valor final en el empotramiento, nuevamente
indicando que el máximo desplazamiento excede en
este caso el máximo valor permisible de δ/2.
Figura 10 Gráfica de la segunda derivada del
desplazamiento en función de x
.
La gráfica 10 resulta de gran interés debido a que
representa el comportamiento del momento en la
viga. Entonces por un lado, es claro como este
máximo ocurre antes del extremo empotrado y varía
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016Desplazamiento como función de posición x
P=Pc
P=2*Pc
P=3*Pc
P=4*Pc
P=5*Pc
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035Derivado desplazamiento como función de posición x
P=Pc
P=2*Pc
P=3*Pc
P=4*Pc
P=5*Pc
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03Segundo derivado desplazamiento como función de posición x
P=Pc
P=2*Pc
P=3*Pc
P=4*Pc
P=5*Pc
(26)
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según la fuerza P aplicada. En las curvas se reconoce
que la segunda derivada siempre es negativa, excepto
para el caso de P*=5 en lo que la curva sube a valores
positivos. Como la segunda derivada corresponde a la
curvatura de la viga, se puede concluir nuevamente
que para esta situación el modelo carece de validez,
porque la curvatura positiva al extremo implica que la
viga sube inicialmente moviendo desde el
empotramiento hacia la izquierda, lo mismo que
corresponde a la pendiente negativa en la figura 9.
Usando la ecuación (19) se puede derivar que la
fuerza P para la que la segunda derivada se hace
positiva en el extremo es justo para con
. Sustituyendo (5) y (10) se obtiene que esto
ocurre precisamente para P*=4 tal como se puede
reconocer también en la figura 10 en donde la curva
correspondiente a este valor termina justamente en
cero en el extremo.
RANGO DE VALIDEZ DEL MODELO
Ahora es necesario identificar cual es la importancia
del valor de P*=4. Como se ha mencionado
anteriormente, al sobrepasar la fuerza de compresión
P*=4, por arriba de este nivel, el modelo indica que la
viga entraría en la pared. Dado que la presencia de la
pared fue únicamente contemplada por medio de la
introducción de la fuerza F aplicada de forma puntual
en el extremo, el modelo pierde su validez por arriba
de este rango de fuerzas compresivas. Sin embargo,
esto no causa que el modelo pierda su valor.
Al sobrepasar el valor de P*=4 la última sección
tendría contacto con la pared, por lo que esta sección
se endereza y permanece recta, pegada a la pared. Al
ocurrir esto, esta sección no tendría momentos (por
no tener curvatura) y no tendría fuerzas de contacto
por la pared. Por lo tanto, esta sección se puede
excluir del análisis, reduciendo la viga a la sección
libre para con medida hasta el punto en
que la viga toca a la pared en . Reduciendo el
análisis a esta longitud nueva, nuevamente da validez
al modelo. Al reducirse la longitud analizada, el valor
de Pc se ha incrementado, por lo que la fuerza P* se
reduce justamente hasta el valor de 4. Entonces, en el
caso de que las fuerzas de compresión P sobrepasan
el límite de P*=4, la ondulación de la viga se
cambiará de tal forma que la longitud de onda se
reduce hasta la longitud para lo cual P* se reduce a
P*=4.
La sección recta que se ha dejado fuera de vista del
análisis podría permanecer recta mientras su longitud
es limitada, por lo que la fuerza P no sobrepasa la
fuerza crítica de Euler, que para esta sección corta
será suficientemente alta para poder mantenerse
estable. Al llegar a longitudes más elevadas, la
sección recta sufrirá del pandeo y se forma una nueva
ondulación. Aunque este proceso de reducción de la
longitud de onda no es totalmente predecible con este
modelo, se puede derivar que existe una longitud de
onda típica para cierto valor de P que se aplique a la
viga. Considerando que la fuerza Pc correspondiente
es de P/4 usando la ecuación (11) con la observación
que L en ecuación (11) es la mitad de una onda, se
obtiene que la longitud de onda λ predicha es:
LA FUERZA DE RESTRICCIÓN
Al definir el claro entre la pared y la viga se ha
obtenido la ecuación (25) que expresa el valor de la
fuerza F necesaria para estabilizar la ondulación a
esta amplitud. En la figura 11 se presenta la fuerza F
en función de la fuerza de compresión P.
Figura 11 Gráfica del comportamiento de la fuerza F
conforme varía P*.
Como se ha mencionado anteriormente, la fuerza F se
reduce a cero justo cuando la fuerza P es igual a la
fuerza crítica, lo que se entiende considerando que en
este caso se obtiene precisamente la situación de la
viga en pandeo simple. Para fuerzas debajo de Pc la
fuerza F resulta negativa. Esto corresponde a la
situación que la fuerza P no es capaz de causar el
pandeo, y la viga en pandeo simple se mantendría
recta. En este caso entonces, la fuerza F negativa que
se obtiene de ecuación (25) corresponde a la fuerza
con la cual se tiene que jalar para lograr el
desplazamiento de δ/2 que se ha impuesto. Para P=0
se obtiene la fuerza F necesaria para la flexión simple
de una viga recta a un desplazamiento de δ/2. Al
incrementar la fuerza P, la fuerza de tensión F se
reduce hasta llegar a la fuerza crítica. Para fuerzas P
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x 10
5 Fuerza como funcion de Pc
(27)
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arriba del nivel de fuerza crítica la fuerza F empieza a
crecer casi proporcional con P hasta un nivel que
depende de la resistencia de la viga a la flexión y la
apertura entre las paredes.
A niveles arriba de P*=4 la fuerza crece de forma
progresiva hasta infinito (valores de P*
entre 8 y 9), y
cambia de signo. La fuerza infinita implica que la
viga no soportara la fuerza de restricción por generar
fuerzas cortantes excesivas. El cambio del signo
corresponde a un cambio repentino en una forma de
ondulación diferente. Sin embargo, considerando que
la validez del modelo se limita a valores de P hasta 4
veces la fuerza crítica, esto nos deja con el
comportamiento casi lineal.
Es interesante mencionar que el sistema corresponde
a un sistema inestable si el desplazamiento no se fija.
Cuando δ incrementa, la fuerza F necesaria
incrementa proporcionalmente. Considerando un caso
en el que se aplica una fuerza determinada, esto
implica que al sobrepasar cierta apertura, la
ondulación crecerá sin límite. Para el análisis del
arrugamiento esta situación es muy parecida a la
realidad.
CONCLUSIONES
Se ha comparado el comportamiento de la viga libre
de Euler y la viga con la restricción de este caso
particular, permitiendo valorar que tan significativa es
la restricción y cómo cambia la estabilidad de la viga.
El análisis de pandeo dentro de un espacio formado
por dos paredes ha mostrado que la fuerza compresiva
puede tener un valor de hasta 4 veces el nivel de la
carga crítica de Euler para la misma viga sin
restricción.
Se ha encontrado la ecuación para determinar la
fuerza que ejerce la pared a la viga, o sea la fuerza
que se necesita para estabilizar la viga manteniendo la
pared a la distancia indicada. Al sobrepasar este nivel
de fuerza, inicia un proceso en que la longitud de
onda se va reduciendo, hasta que el incremento de la
carga critica es suficientemente grande para que la
fuerza no-dimensional P* se reduzca a 4, manteniendo
a P constante. Aunque este proceso de reducción de la
longitud de ondulación no está totalmente predicho
con el modelo presentado en este trabajo, con base en
esto se puede estimar la longitud de onda que aparece
en la viga. La fuerza F necesaria para estabilizar la
viga se definió en función de la fuerza P aplicada a la
viga y el valor prescrito de desplazamiento (gap).
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al apoyo brindado por el
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología de México
(CONACYT) y por la SEP mediante el programa
PROMEP.
REFERENCIAS
[1]. Free Vibration Analysis of Multiple
Delaminated Beams under Axial
Compressive Load. Journal of Reinforced
Plastics & Composites, Della, C. N., &
Dongwei, S. (2009).
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Dynamics of a Twisted Rotating Cantilever
Timoshenko Beam With Contact-Impact
Loads at the Free End. Journal of Applied
Mechanics, Sinha, S. K. (2007).
[3]. Nonlinear dynamic modeling, instability and
post-buckling analysis of a rotating beam
with a flexible support, S. F. Xiao – M Yang,
Republic of China, 2006
[4]. Mecánica de Materiales 7ª edición, James M
Gere-Barry J Goodno, Cengage Learning,
2009.
[5]. Diseño en ingeniería mecánica de Shigley 8ª
edición, Budynas-Nisbett, Mc Graw Hill,
2008
[6]. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado, 6ª edición, Dennis G. Zill, Ed.
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Tomo 1, Universidad Politécnica de
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