Post on 17-Apr-2015
Tópico Avançado: A teoria Geral da Relatividade.
Base matemática da forma covariante para as leis da mecânicae do eletromagnetismo.
Imagine um vetor descrito num sistema de eixos ortogonal.
Imagine o mesmo vetor descrito num sistema de eixos não ortogonal.
Num sistema de eixos ortogonal necessitamos apenas das quantidadesax e ay para descrever o vetor .
V
Num sistema de eixos não ortogonal generalizado as quantidadesax, e ay, para descrever o vetor não são as únicas possiveis.
As projeções paralelas e do vetor nos novos eixos também são possiveis. Elas são chamdas de componentes contravariantes do vetor.
,xa,ya V
V
,x,x
ˆV a e , ,x x
ˆa V e
Estas componentes sãochamadas de covariantes.
x x y y x y y xx x y y x y y xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆV V a a (e e ) a a (e e ) a a (e e ) a ya (e e )
x yˆ ˆ(e e ) 0 x xˆ ˆ(e e ) 1
Para o caso de um produto escalar num sistema de eixos ortogonal:
Os fatores:
x x y yx x y yˆ ˆ ˆ ˆV V a a (e e ) a a (e e )
Então escrevemos o produto escalar:
y yˆ ˆ(e e ) 1x yˆ ˆ(e e ) 0
ˆ ˆV V a (e e )a
Podemos generalizar o produto escalar para qualquer sistema na forma:
Obs: índices repetidos são somados.x,y x y ,ˆ ˆ ˆ ˆg e e g e e
Definimos:
,ˆ ˆV V a (e e )a ds dx g dx dx 22
Para se escrever uma derivada na forma covariante:
, , , , ,, , , , ,
x x x xda da a d da a dx
x x x x x
2
Obs: índices repetidos são somados.
A relatividade formulada por Einstein em 1905 era limitada poisé claro que devemos formular uma teoria que seja válida paraqualquer referencial.Assim as leis da mecânica e do eletromagnetismo passam a sermatemáticamente expressas na forma covariante, isto é, elas tema mesma forma para qualquer referencial escolhido.
qm x x x g F x
c
Onde a mecânica esta no termo: m x x x
g g gg
x x x
1
2
Chama-se símbolo de Christoffel.
E E E
E B BF
E B B
E B B
1 2 3
1 3 2
2 3 1
3 2 1
0
0
0
0
O eletromagnetismo de Maxwell é descrito na forma: q g F xc
Sendo que:
g é chamado de tensor métrico.
Não introduzimos nada de novo com a formulação aqui apresentadaapenas extendemos os limites de aplicação da relatividade restritapara referenciais não inerciais fazendo-se uso de um formalismomatemático adequado para este propósito.
Para expor a idéia de formalismo covariante vamos tomar
como exemplo o paradoxo dos gêmeos – Besso & Besso´.
Observe que ainda não introduzimos campo gravitacional!!
d dt x y / c dt , , dt 2 22 2 1 0 6 0 8
Imagine que Besso esta parado no ponto x e que seu irmão Besso´desloca-se em círculo com velocidade 0,6c.
O envelhecimento para de Besso´ em relação a Besso será no tempopara Besso.
r x y x´ y´ 2 2 2 2
ry x
c cc
g yc
xc
2 2
21
1 0
0 1
x x cos t ysin t
y x sin t ycos t
t t
O referencial de Besso´ é um círculo de raio r.
Então o tensor métrico de Besso´ será escrito na forma:
Besso´x xr
d dt cos t sin t dt (dt) sin t cos tc c c
2 2 22 22 2 22 2 2 2 20 0
2 2 2
21
d g dx´ dx´c
2
2
1O tempo no referencial de Besso´ será dado pela forma:
Conclusão!
Para Besso´ o tempo de seu
irmão Besso é: dBesso´ = dt
Isto é: Besso envelhece maisrápido que o irmão vajantemesmo se consideramos otempo no referencial do irmão
viajante, Besso´.
Conservando o seu primeiropostulado da relatividade restrita
mas abandonando o postulado
da constância da velocidade
da luz!
Einstein observou que não podemos jamais eliminar a gravidade só com a escolha de um referencial conveniente e este fato o conduziu a reformular a relatividade restrita nos seguintes termos:
Imagine este lugar longe de uma massa gravitante!O espaco-tempo é quase plano. Então aqui a velocidade da luz é c! em relação a uma posição mais próxima de uma massa gravitante
Imagine este lugar mais perto de uma massa gravitante! Aqui o espaço-tempo é curvo! Então aqui a velocidade da luz é > c! em relação a uma posição mais distante de uma massa gravitante.
Também não podemos mais sincronizar relógios entre estes dois lugares.
Vamos entender o porque Einstein abandonou o princípio daconstância da velocidade da luz para qualquer referêncial.
Einstein percebeu que a única região do espaço em que poderiaser observado o fenômeno de equivalência de inércia e gravitaçãoseria numa região infinitesimal do espaço mas o espaço visto demaneira global deveria ser curvo devido a presença de matéria. Esta é a origem da gravitação!!
Einstein se perguntou: Porque sob um campo gravitacional corposcom massas diferentes caem com a mesma aceleração?A resposta que ele encontrou é que a gravitação é uma força inercial!
Vamos ver isto com outro ponto de vista.
O comprimento de um círculo num ref. inercial respeita a relaçãoCinercial = 2r mas a mesma régua no ref. girante(não inercial) sera encurtadada na razão (1 - v2/c2)1/2 portanto agora Cnão-inercial≠2r. Não podemos comparar réguas entre estes dois referenciais.
No ref. Inercial ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 e então:
g = (1,1,1,-1)diagonal em:ds g dx dx
2
No ref. não inercial girante com velo. angular :
ry x
c cc
g yc
xc
2 2
21
1 0
0 1
Também não podemos comparar relógios entre os dois referenciais.
x xrd dt cos t sin t dt (dt) sin t cos t
c c c
2 2 22 22 2 22 2 2 2 20 0
2 2 2
21
O tempo no ref. não inercial girante com veloc. angular não é escrito na mesma forma que no ref. inercial:
Não podemos comparar o tempo no ref. nãoinercial girante e nem entre outro ref. girante.
Os relógios não são maissincronizaveis.
1)Os fenômenos físicos observadosdevem ser os mesmos independentedo referencial inercial que escolhermos.
2)Vale o Princípio da equivalênciada inércia e da gravitação numelemento infinitesimal do espaço-tempo.
3)Vale o princípio de Mach que afirmaque a inércia dos corpos é devida a açãode todos os outros corpos no universo.*
*Esta afirmação posteriormente foi eliminada devido a existência de curvatura do espaço-tempo para o espaço vazio.
A relatividade geral, formulada em 1916 tinha a seguinte estrutura:
A geometria de Minkowski que é escrita na forma:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2
e é chamada de pseudo-euclidiana pois o termo c2t2 tem sinal negativo, passa a ter termos cruzados sendo impossível de ser reduzida novamente na forma de Minkowski.
ds g dx dx 2
A geometria da teoria geralda relatividade será agoradescrita pela geometria doespaço curvo de Riemman.
Na relatividade geral não existe gravidade o que existe é a curvaturado espaço-tempo devido a presença de matéria!
Numa região exterior a massa asequações de campo de Einstein serão regidas apenas pelo tensor de curvatura de Ricci no vácuo.
O Paradoxo de Olbers.
Porque o céu noturno é escuro?
O céu deveria estar plenamente iluminado pelas infinitas estrelas!!!!!
Fim.
Dr. S. Simionatto - 2009