Probabilidade e Estatística

TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIAS E PROPORÇÕES

ComponentesComponentes

Ailton MoraesAilton Moraes Aline OliveiraAline Oliveira Anna Flávia O. NovaisAnna Flávia O. Novais Gisele MonteiroGisele Monteiro João Pedro LagesJoão Pedro Lages Matheus WartheMatheus Warthe Vagner LuizVagner Luiz Willian AlvesWillian Alves

IntroduçãoIntrodução

Definição: Um teste de uma hipótese estatística é um procedimento ou regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese com base em elementos amostrais.

HipótesesTeremos sempre duas hipóteses,

H0, que é a hipótese nula ou hipótese alternativa, H1. Geralmente a hipótese alternativa (H1)representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo a hipótese nula (H0) formulada com o expresso propósito de ser rejeitada.

Conseguindo rejeitar H0, a hipótese alternativa terá de ser aceita, conseguindo então o pesquisador provar o que queria. A hipótese nula é sempre a hipótese a ser examinada. Se a aceitarmos, implicitamente estaremos rejeitando H1 e se rejeitarmos H0, então não podemos rejeitar H1, devendo esta ser aceita.

Fixam-se duas regiões: uma de não rejeição de H0 ( RNR) e uma de rejeição de H0 ou crítica (RC) para o valor calculado, ao nível de risco dado.

Tipos de testes de Tipos de testes de hipóteseshipóteses

Podemos apresentar as hipóteses genéricas que englobam a maioria dos casos:

Testes bilaterais Testes unilaterais à direita. Testes unilaterais à esquerda. Testes para proporções.

Teste bilateral

Teste bilateral

Exemplo:1) Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 Km, com desvio padrão de 0,8 litro. Uma revista decide testar essa afirmação e analisa 35 carros dessa marca, obtendo 11,4 litros por 100 Km, como consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de 10% o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica?

- Teste unilateral à direita- Teste unilateral à direita

Para teste unilateral à direita, a hipótese alternativa terá um valor maior que a hipótese nula.

Hₒ : Ɵ = Ɵₒ H1: Ɵ > Ɵₒ

-Teste unilateral à -Teste unilateral à esquerdaesquerda

Para teste unilateral à esquerda, a hipótese alternativa terá um valor menor que a hipótese nula.

Hₒ : Ɵ = Ɵₒ H1: Ɵ < Ɵₒ

Exemplo(Teste unilateral à direita) :

Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo material em sua fabricação e acredita que aumentará a resistência média, que é de 206 kg. A resistência da lajotas em distribuição normal com desvio padrão de 12 kg. Retira-se uma amostra de 30 lajotas, obtendo x = 210 kg. Ao nível de 10% pode o fabricante aceitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado?

Resolução: Hₒ : µ = 206 H1: µ > 206 α = 10% n = 30 x = 210 σx = σ/ √n = 12/√30 = 2,19 Zcalc = 210 – 206 / 2,19 = 1,827 Zα = Zcalc = 1,28

Como Zcalc > Zα rejeita-se o Hₒ , isto é o nível de 10%, o fabricante pode concluir que a resistência média de suas lajotas aumentou.

Exemplo (unilateral à esquerda): A altura dos adultos de uma certa cidade

tem distribuição normal com média de 164 cm e desvio padrão de 5,82 cm. Deseja-se saber se as condições sociais desfavoráveis vigentes na parte pobre dessa cidade causam um retardamento no crescimento dessa população. Para isso, levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade, obtendo-se a média de 162 cm. Pode esse resultado indicar que os adultos residentes na área são em média mais baixos que os demais habitantes da cidade ao nível de 5%?

Hₒ : µ = 164 H1: µ <164 n = 144 x = 162 σ=5,82 σx = σ/ √n = 5,82√144 = 5,82/ 12

= 0,485 Zcalc =162 – 164/0,485 =- 2/

0,485 = -4,124 Zα = Zcalc = 1,64

Como Zcalc < Zα rejeita-se o Hₒ , isto é podemos admitir que as condições sociais desfavoráveis provocam um retardamento no crescimento da população da parte estudada ao nível de 5%.

Teste de hipóteses para Teste de hipóteses para proporçãoproporção

No teste para Proporções os dados se apresentarão na forma de percentagem (ou proporção) de elementos com uma determinada característica, que será testada em relação à percentagem alegada para a população.

Por exemplo: proporção para uma determinada doença, proporção de peças defeituosas, proporção de pessoas que possuem DVD em uma cidade, etc.

Não precisamos nos preocupar também com o tamanho da amostra e se era conhecida ou não a variância, pois para encontrar o valor tabulado a ser comparado com o valor calculado ( estatística teste) usaremos sempre a TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO.

As fórmulas utilizadas são: para encontrar o Z e o desvio da média.

Obs.: relembremos então que a variância, na Distribuição de Bernoulli ( sucesso ou fracasso) é dada pelo produto p.q, onde p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso igual a ( 1- p), pois p e q são complementares, ou seja, p+q=1.

 

O procedimento para os testes de hipóteses para proporção populacional é basicamente igual ao procedimento para o teste para uma média populacional.

Exemplo

1) Uma pesquisa conclui que 90% dos médicos recomendam aspirina a pacientes que tem filhos. Teste a afirmação, ao nível de significância de 0,05, contra a alternativa de que a percentagem é inferior a 90%, se numa amostra aleatória de 100 médicos, 80% recomendam aspirina.

Obrigado pela atenção!Obrigado pela atenção!