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Sinais e SistemasAula 9

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo– Representação de sinais periódicos de tempo discreto– Propriedades da série de Fourier de tempo discreto– Série de Fourier e sistemas LIT 2

• Existem algumas diferenças importantes em relação ao sinal periódico de tempo contínuo (seção 3.3);

• Em especial, no tempo discreto, a sua representação é uma série finita.

– Como consequência, não existem questões matemáticas como convergência (vista na seção 3.4).

Representação de sinais periódico de tempo discreto

Série de Fourier - Representação de sinais periódico de tempo discreto

Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas

• Como visto; um sinal discreto é periódico com período N se:

– x[n] = x[n+N]

• O período fundamental é o menor inteiro positivo N para o qual a condição acima é valida;

• w0 = 2π/N é a frequência fundamental;

• Por exemplo: ej(2π/N)n é periódica com período N;

• O conjunto de todos os sinais exponenciais complexos de tempo discreto que são periódicos com período N é dado por:

Todos tem freqs. fundamentais múltiplas de 2π/N e são portanto harmonicamente relacionadas.

• Existem apenas N sinais distintos no conjunto de dados do sinal.

– Pois as exponenciais complexas de tempo discreto que diferem em frequência por um múltiplo de 2π, são idênticas.

– Logo, quando k é adicionado a qualquer inteiro múltiplo de N, uma sequência idêntica é gerada (esse fato difere da situação em tempo contínuo).

• Considerando sequências periódicas mais gerais através de combinações lineares das sequências φk[n]:

• Como as sequências φk[n] são distintas apenas para uma faixa de N valores sucessivos de k, o somatório da equação acima só precisa incluir termos nesse intervalo (começando em qualquer valor de k).

– k poderia assumir os valores k = 0, 1, ..., N-1 ou k = 3, 4, ..., N+2, que o resultado seria o mesmo.

• Se x[n] é periódica com período fundamental N, – Existe uma representação de x[n] como combinação linear de

exponenciais complexas?

– Neste caso, quais os coeficientes ak?

• Calculando a equação abaixo em N valores sucessivos de n correspondentes a um período de N, obtemos:

Determinação da representação de um sinal periódico

• Assim temos N equações lineares para os N coeficientes desconhecidos ak.

• Podemos então encontrar os valores de ak em termos dos valores dados de x[n].

• Usando a equação anterior e multiplicando ambos os lados por e-jr(2π/N)n e somando sobre N parcelas, temos:

• Note que que a soma dos valores de uma exponencial complexa periódica sobre um período é zero (a menos que a exponencial complexa seja uma constante).

• Desta equação; repare que:

– A soma mais interna no membro direito é zero para k-r≠ iN, i = 0, 1, ...

– Logo, a soma interna no membro direito é igual a N se k = r e 0 se k ≠ r, temos assim:

• Assim chegamos nas seguintes equações:

– equação síntese

– equação de análise

Coeficientes espectrais de x[n]

• Levando em conta a equação síntese, vemos que se tomarmos k na faixa de 0 a N-1, teremos:

• Do mesmo modo, se k varia de 1 até N, obtemos:

• Como vimos, e portanto a0 = aN;

• De modo semelhante, usando temos ak = ak+N.

Logo, se considerarmos mais do que N valores sequenciais de k, os valores de ak repetem-se periodicamente com período N.

• Exemplo da série de Fourier aplicada a um sinal periódico.

N 2N 3N

• Algumas observações:– Como existem apenas N exponenciais complexas distintas que são

periódicas com período N, a representação em série de Fourier de tempo discreto é uma série finita com N parcelas;

– Portanto, se designamos N valores consecutivos de k, obteremos um conjunto de exatamente N coeficientes de Fourier;

– Às vezes é conveniente pensar em ak como uma sequência definida para todos os valores de k, sendo que apenas N elementos sucessivos na sequência serão usados na representação de Fourier.

– Como φ[n] se repete periodicamente conforme variamos k, o mesmo deverá ocorrer com ak (vejamos o próximo exemplo)

ak = ak+N

• Exemplo: x[n] = sen(w0n)

– Represente em série de Fourier.

– Represente graficamente os coeficientes para N = 5.

• Exemplo: x[n] = sen(w0n)

Soluçao:

• Exemplo:

x[n] = 1 + sen((2π/N)n) + 3cos((2π/N)n) + cos((4π/N)n + π/2)

– Represente graficamente os coeficientes para N = 10.

• Exemplo: x[n] = 1 + sen((2π/N)n) + 3cos((2π/N)n) + cos((4π/N)n + π/2)

Parte real

Parte imaginária

Magnitude

Soluçao:

• Exemplo:

Soluçao:

• Exemplo:

Soluçao:

Série de Fourier e sistemas LIT

• Vimos que a representação da série de Fourier pode ser usada para construir qualquer sinal periódico em tempo discreto e virtualmente todos os sinais de tempo contínuo periódico de importância prática.

• Vimos no contínuo que se tivermos uma entrada x(t) = est, a saída será y(t) = H(s)est , onde:

• De modo similar, se x[n] = zn é a entrada de um sistema LIT de tempo discreto, então y[n] = H(z)zn, onde:

h[k] = resposta ao impulsoautofunção e autovalor

• Quando s ou z são números complexos, H(s) e H(z) são conhecidos como funções de sistema.

• Para sinais e sistemas de tempo contínuo, se Re{s} = 0 de modo que s = jw e consequentemente ejwt. – Essa entrada é uma exponencial complexa na frequência w;

– A função do sistema na forma s = jw (H(jw)) é denominada reposta em frequência do sistema dada por:

No caso geral s = σ + jw

• De modo semelhante, os valores de z para os quais |z| = 1, de modo que z=ejw e zn

• Neste caso, a função do sistema H(z) para z restrito a forma z = ejw

é conhecida como resposta em frequência do sistema dada por:

No caso geral z = Aejw domínio z

Ievolução de w

• A resposta de um sistema LIT a um sinal exponencial complexo da forma ejwt é simples de se expressar:

• Assim, y(t) também é periódico com a mesma frequência fundamental de x(t).

• Temos então que:

Autofunção do sistemask = jkw0

Cada coeficiente é multiplicação pelo valor da resposta em frequência na frequência correspondente

freq. harmônica

Conjunto de coefs. da S. de Fourier de x(t)

Conjunto de coefs. da saída

• Exemplo:

– Considere , onde:

• a0 = 1

• a1 = a-1 = 1/4

• a2 = a-2 = 1/2

• a3 = a-3 = 1/3

– Sendo a entrada de um sistema dado por:

– Ache os coeficientes da S. de Fourier de y(t).

)()( tueth t

• Exemplo:

– Considere como entrada de:

– Calcule os y[n].

2cos][

11- , ][][ nunh n

Filtragem

• Próxima aula...

Série de Fourier - Filtragem

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