UTFPR – CEAUT 2011UTFPR – CEAUT 2011

Tópicos em ControleTópicos em ControleSistemas DiscretosSistemas Discretos

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Conceitos Básicos em Sistemas DiscretosConceitos Básicos em Sistemas Discretos

Sistemas DiscretosSistemas Discretos

CONTROLADOR CONTÍNUO

PLANTA CONTÍNUA

E(s) sinal de erro

Y(s) sinal de

excitação

X(s) sinal de resposta

D(s) G(s)

U(s) sinal de saída do

controlador

G sX s

U s( )

( )

( ) D s

U s

E s( )

( )

( )

Sistemas DiscretosSistemas Discretos

CONTROLADOR DISCRETO

PLANTA CONTÍNUA

Amostrador Conversor

A/D Computador Conversor D/A

Grampeador

CONTROLADOR DISCRETO

e t e kT)( ) ( e t e k( ) [ ]

u kT) u t( ( ) u k u t[ ] ( )

DiscretizaçãoDiscretização

PLANTA CONTÍNUA

G(s)

E(s) sinal de saída do

controlador

G(s)

PLANTA DISCRETA

G(z) Grampeador

Amostrador

x(t)

t t

y(t)

x(t)

t

y(t)*

t

Modelagem de Sistemas DiscretosModelagem de Sistemas Discretos

• Equações Diferenciais Equações à diferençaEquações Diferenciais Equações à diferença

•Transformada de Laplace Transformada ZTransformada de Laplace Transformada Z

• xxkk ou x[k] é a variável discreta ou x[k] é a variável discreta

• xxkk = x = xk +1k +1 - x - xkk ou x ou xkk = x = xkk - x - xk-1 k-1

• equação à diferençasequação à diferenças

a0 n xk + a1 n-1 xk + a2 n-2 xk +... + an-1 xk + an xk = fk ,

b0 xk+n + b1 xk+n-1 + b2 xk+n-2 +... + bn-1 xk+1 + bn xk = fk.

Sinais discretos – seqüência degrauSinais discretos – seqüência degrau

u kse K

se K[ ]

1 0

0 0

u[k]

k

1

0 1 2 3 4 5

Sinais discretos – seqüência deltaSinais discretos – seqüência delta

[ ]kse K

se K

1 0

0 0

[k]

k

1

0 1 2 3 4 -1

Sinais discretos – seqüência delta deslocada no tempoSinais discretos – seqüência delta deslocada no tempo

[k]

k

1

0 1 2 n-1 n -1

[k-n]

Definição de Sistemas DiscretosDefinição de Sistemas Discretos

• regra (mapeamento) associando um seqüência de regra (mapeamento) associando um seqüência de entrada u[k] com uma seqüência de saída y[k]entrada u[k] com uma seqüência de saída y[k]

• y[k] = f[u[k]]y[k] = f[u[k]]

• recursivorecursivo

• não recursivonão recursivo y[k]= 2u[k] +3u[k-1]

y[k] = y[k-1] +u[k].

ExercícioExercício

• Discretizar o filtro da figura 10.8 segundo a Discretizar o filtro da figura 10.8 segundo a aproximação . Obtenha o equivalente discreto e calcule a aproximação . Obtenha o equivalente discreto e calcule a resposta para uma seqüência impulsiva e para uma resposta para uma seqüência impulsiva e para uma seqüência degrau unitário. Considere T = 0.2 ms.seqüência degrau unitário. Considere T = 0.2 ms.

1 k

1 Fu(t) yt)

Y s

U ssC

RsC

sRC s

( )

( )

1

11

1

1000

1000

ExercícioExercício 1 2 0 2 1, [ ] , [ ] [ ]y k u k y k

Transformada ZTransformada Z

z esT

2

jw

3

1

1

2

3 Im

Re

Plano s Plano z

Transformada Z - PropriedadesTransformada Z - Propriedades

• Linearidade : Linearidade :

• Deslocamento:Deslocamento:

Transformada Z – Propriedade do DeslocamentoTransformada Z – Propriedade do Deslocamento

Exercício: Dado Exercício: Dado yyk+1k+1 + 2y + 2ykk = u = ukk encontre a f encontre a função de unção de

transferência.transferência.

Métodos de DiscretizaçãoMétodos de Discretização

• O método de discretização deve levar em conta o que se O método de discretização deve levar em conta o que se espera do algoritmo de controle discretizado em espera do algoritmo de controle discretizado em comparação com o desempenho do sistema analógico: comparação com o desempenho do sistema analógico:

• Número de pólos e zeros.Número de pólos e zeros.

• A largura de banda e a freqüência de corte.A largura de banda e a freqüência de corte.

• O ganho DC.O ganho DC.

• A margem de fase e margem de ganho.A margem de fase e margem de ganho.

• A resposta temporal.A resposta temporal.

Discretizando por ZOHDiscretizando por ZOH

Discretizando por ZOHDiscretizando por ZOH

Discretizando por ZOHDiscretizando por ZOH