SÉRie ENSiNO

TC

PRÉ-UNIVERSITÁRIO

____/____/____

Rumo ao ITA – Nº 05

MARCELO MENDES

MATEMÁTICA

ALUNO(a)

TURMa TURNO DaTa

SeDe

Nº

PROFeSSOR(a)

OSG.: 60672/12

Determinantes I

Regras práticas•Determinantedeordem2

a11 a12

a21 a22a11 a22 a12 a21

+

=

•Determinantedeordem3(RegradeSarrus)

+ + +

a11 a12

a21 a22

a31 a32

a13

a23

a33

a11 a12

a21 a22

a31 a32

=

=a11

a22

a33

+a12

a23

a31

+a13

a21

a32

–a13

a22

a31

–a11

a23

a32

–a12

a21

a33

CofatorSeA=(n

11)entãoA

11=1(cofatordeelementoa

11)

SeAématrizquadradadeordemn≥2entãoA

ij=(–1)i+j×D

ij,ondeD

ijéodeterminantequeseobtém

deMsuprimindoalinhaieacolunaj.

Teorema de LaplaceOdeterminantedeumamatrizquadradaéigualàsoma

dosprodutosdoselementosdeumafilaqualquerpelosrespectivoscofatores.

Propriedades

I. Determinante igual a zero

Odeterminantedeumamatrizquadradaéigualazeroseamatrizpossui:

a) umafilanula.b)duasfilasparalelasiguais.c) duasfilasparalelasproporcionais.d)umafilaqueécombinaçãolineardasoutrasfilasparalelas.

II. Determinante não se altera

Odeterminantedeumamatrizquadradanãosealterase:a) trocarmosordenadamentelinhasporcolunas(detM=detMt).b) somarmosaumafilaumacombinaçãolineardeoutrasfilas

paralelas(TeoremadeJacobi).

III. Alteração no determinante

Odeterminantedeumamatrizquadradadeordemnaltera-se:a) trocandodesinal,quandoduasfilasparalelas trocamde

lugarentresi.b)ficandomultiplicadopor α,quandooselementosdeuma

filasãomultiplicadosporα.c) ficandomultiplicadoporαnquandoamatrizémultiplicada

pora,ouseja:det(αA)=αndetA,ondenéaordemdamatriz.

Observação:

Entende-seporfilaqualquerlinhaoucolunadeumamatriz.

IV. Propriedades complementares

a) TeoremadeBinet SendoAeBmatrizesquadradasdemesmaordem,então: det(A×B)=detA×detBb)Quandotodososelementosacimae/ouabaixodadiagonal

principalforemzeros,odeterminanteseráoprodutodoselementosdadiagonalprincipal.

a 0 0 0x b 0 0y z c 0m n p d

= abcd

V. Adição de determinantes

SeMeM’sãomatrizes,deordemn,idênticasexcetona

i-ésimalinha,então

detM’’=detM+detM’,ondeM’’éumamatrizdeordem

nidênticaàsmatrizesMeM’,excetonasuai-ésimalinha,queé

obtidasomando-seasi-ésimaslinhasdeMeM’.

Exercícios

01. (UFSE)OdeterminantedamatrizA=(aij)3×3

,ondeay=2i–j,éiguala:A)–12 B) –8 C)0 D)4E) 6

02. Mostrequea a a aa b b ba b c ca b c d

a b a c b d c= − − −( )( )( ).

03. Provequea b ca b cbc ca ab

a ab bc c

2 2 2

2 3

2 3

2 3

111

= .

04. Verifiqueque1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

++

+

=xy

z

xyz.

05. Seja a matriz A = [aij] n × n

. A matriz B é obtida de A,multiplicando-se,nesta,cadaelementoa

ijporki–j,k∈R*.

DemonstrequedetB=detA.

Gabarito – Determinantes I

01 02 03 04 05

C – – – –

– Demonstração

OSG.: 60672/12

TC – MaTeMáTiCa

2

Sistemas Lineares

Matriz Inversa I

Defi niçãoM–1éainversadeMse,esomentese,M⋅M–1=M–1⋅M=I

n.

Propriedades

I. A–1éúnicaII. (A–1)–1=AIII. (A⋅B)–1=B–1⋅A–1

IV. (At)–1=(A–1)t

V. detdet

AA

− =1 1

Teorema de Cauchy

Asomadosprodutosdoselementosdeumafilaqualquer

deumamatrizM,ordenadamente,peloscofatoresdoselementos

deumafilaparalela,éigualazero.

Matriz Adjunta (A)

É definida como sendo a transposta da matriz N doscofatores,ouseja,A=Nt.

PropriedadeA·A=A·A(detA)·In.

Teorema

AA

A− = ⋅1 1

det.

Corolário:∃A–1⇔detA≠0.

Observação:

aA

A i jij ji− = ⋅ ∀1 1

det, ,

Exercícios

01. (ITA)Sendo A =−

−− −

1 2 10 3 23 1 2

, entãooelementodaterceira

linhaeprimeiracoluna,desuainversa,seráiguala:

A)5

8 B)

9

11

C) 6

11 D) −

2

13

E)1

13

02. (EN)Dadasasmatrizes: A e B=

=

−

4 32 1

1

41

1

42

, entãoa

somadamatrizinversadeAcomodobrodamatriztranspostadeBé:

A)0

7

21

22

B)

3

4

1

65

25

−

C)1

2

1

42 0

D) 0 13 2

03.A)Mostre que se uma matriz é inversível, então o seu

determinanteédiferentedezero.B)Calcu le o determinante da inversa da matr iz

P =−

−

2 1 1

2 1 1

0 2 2

.

04. (Mack)SedetA=5e Aa

− =−

1

4

51

5

2

5

entãoaéiguala:

A) −8

5 B) 0

C)1

5 D) −

3

5

E)2

5

05. (Mack)Seja A = −

1 00 1

. Então(A+A–1)3éiguala:

A)matriznuladeordem2.B)matrizidentidadedeordem2.

C)1

2A

D)27AE) 8A

06. (IME)DetermineumamatriznãosingularPquesatisfaçaàequaçãomatricial.

P A− = −

1 6 00 1

, onde A =

1 25 4

07. SendoA =

1 2 34 1 12 0 3

, obteroelementoa 231− damatrizinversa

deA.

08. (IME)Umamatrizquadradaédenominadaortogonalquandoasuatranspostaéigualasuainversa.Considereessadefinição,determineseamatriz [R],abaixo,éumamatrizortogonal,sabendo-sequen éuminteiroeαéumânguloqualquer.Justifiquesuaresposta.

[ ]cos( ) sen( )sen( ) cos( )R

n nn n=

−

α αα α

00

0 0 1

09. (UFC)SejamA,BeA+Bmatrizesn×n(n≥1)invertíveis.Encontreumaexpressãopara(A–1+B–1)–1emtermosdeA,(A+B)–1eB.

OSG.: 60672/12

TC – MaTeMáTiCa

3

10. ( ITA) Julgue: Sejam A , B e C matr izes quadradasn× n tais queAeB são inversíveiseABCA=At,entãodetC=det(AB)–1.

11. (ITA) Julgue: Sejam m e n números reais com m ≠ n e as

matrizes:A B=

= −

2 13 5

1 10 1

, . SabendoqueamatrizmA

+nBnãoéinversível,entãomenpossuemsinaiscontrários.

Gabarito – Matriz Inversa I

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

– – 0 – V * F * * * V

–Demonstração

* 06: 1 6 25 6 4

//

−−

Anotações

AN–18/08/12–Rev.:Tony

OSG.: 60672/12

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