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Transformada de LaplaceTeoremas da Transformada de LaplaceTransformada Inversa de Laplace

Prof. André Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Aula 3 2

Teorema da Derivação Real(1)

Aula 3 3

Teorema da Derivação Real(2)

Aula 3 4

Teorema da Derivação Real(demo)

Aula 3 5

Teorema da Derivação Real (extensão 1)

Aula 3 6

Teorema da Derivação Real (extensão 2)

Aula 3 7

Exemplo 2.1

Aula 3 8

Teorema do Valor Final

Aula 3 9

Exemplo 2.2

Aula 3 10

Teorema do Valor Inicial

É a contraparte do teorema do valor final. Este teorema não fornece o valor de f(t) em t=0, mas

em um instante mínimo maior que zero.

Aula 3 11

Teorema da Integração Real(1)

Aula 3 12

Teorema da Integração Real(2)

Aula 3 13

Teorema da Integração Real(3)

Aula 3 14

Teorema da Derivada Complexa

Aula 3 15

Integral de Convolução(1)

Aula 3 16

Integral de Convolução(2)

Aula 3 17

Integral de Convolução(3)

Interpretação Gráfica (1)

Aula 3 18

Interpretação Gráfica (2) – Deslocamento para Direita

Aula 3 19

g

tgtgt

Interpretação Gráfica (3) – Deslocamento para Esquerda

Aula 3 20

Interpretação Gráfica (4) – Deslocamento para Esquerda t<-3

Aula 3 21

Interpretação Gráfica (5)

Aula 3 22

Aplicação Importante

A operação de convolução pode ser utilizada para encontrar a resposta de um sistema linear de equações diferenciais. A saída de um sistema linear pode ser dada pela convolução da entrada pela resposta ao impulso do sistema.

Entre outras…

Aula 3 23

Aula 3 24

Transformada de Laplace do Produto de Duas Funções no Domínio de Tempo

Aula 3 25

Propriedade da Transformada de Laplace(1)

Aula 3 26

Propriedade da Transformada de Laplace(2)

Aula 3 27

Propriedade da Transformada de Laplace(3)

Aula 3 28

Transformada Inversa de Laplace

Integral de Inversão

Devido a dificuldade de resolução analítica desta integral, sua utilização não é recomendada para encontrar transformadas inversas de funções comumente encontradas na engenharia de controle.

Tabela de Transformadas Outra solução: Expandir em frações parciais e

escrever F(s) em termos de funções simples de s.

Aula 3 29

Método da Expansão para Determinação da Transformada Inversa de Laplace

Na análise de sistemas de controle, F(s), a transformada de Laplace de f(t), apresenta-se frequentemente do seguinte modo:

Onde A(s) e B(s) são polinômios de s. Na expansão em frações parciais é importante que a maior potência de s em A(s) seja maior que a maior potência de s em B(s). Caso contrário, o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s).

Aula 3 30

Expansão em Frações Parciais quando F(s) envolve somente pólos distintos

Cálculo de ak

Aula 3 31

Resumo da Expansão em Frações Parciais

Aula 3 32

Aula 3 33

Exemplo 2.3

Aula 3 34

Exemplo 2.4

Aula 3 35

Exemplo 2.5

Exemplo 2.5 (cont.)

Aula 3 36

Aula 3 37

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(1)

Aula 3 38

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(2)

Aula 3 39

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(3)

Aula 3 40

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(4)

Aula 3 41

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(5)

Aula 3 42

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(6)