Post on 09-Jan-2016
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AULA
14Transformaes ConformesMETA:
Introduzir o conceito de transformaes conforme.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:
Definir transformaes conformes e exemplificar transformaes
conformes.
PR-REQUISITOS
Aula03 de Variveis Complexas.
Transformaes Conformes
14.1 Introduo
Caros alunos estamos quase no final de nosso curso de Va-
riveis Complexas. Nosso assunto de agora Transformaes
Conformes. Aqui estabeleceremos os aspectos bsicos de trans-
formaes conformes como ponto de partida para a prxima aula
onde faremos algumas aplicaes das transformaes conformes.
14.2 Transformaes Conformes
Vamos iniciar com a definio do conceito de transformaes con-
formes:
x
y plano xy
(x0, y0)
C2
C1
u
v plano w(u0, v0)
C1
C2
Figura 14.1: Transformaes Conformes
Definio 14.1. Seja : D R2 7 R2 uma transformao deum aberto D de R2 em R2 tal que leva o ponto (x0, y0) do plano
xy no ponto (u0, v0) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2
do plano xy que se interceptam em z0 so levadas na curvas C 1 e
C 2 que se interceptam em (u0, v0) (ver figura 14.1) ento se
tal que o ngulo entre as curvas C1 e C2 em (x0, y0) igual ao
ngulo entre C 1 e C 2 em mdulo e sentido, dizemos que uma
transformao conforme em (x0, y0).
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Variveis Complexas AULA
14Vamos examinar a mudana de direo de curvas no plano com-plexo z, passando pelo ponto z0 sob a transformao w = f(z)
quando a funo em questo holomorfa em z0 e alm disso f (z0) 6=0. Para isso enunciamos e provamos o seguinte teorema:
x
y plano z
z0
z0 + z
C
0
u
v plano w
w0
w0 + w
C
0 + a
Figura 14.2: Transformaes Conformes
Teorema 14.1. Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w =f(z) uma transformao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6= 0ento a tangente a qualquer curva C passando por z0 girada de
um ngulo igual a arg(f (z0)).
PROVA: Quando um ponto se move de z0 a z0 + z ao longo
da curva C no plano z (ver figura 14.2) sua imagem atravs de
f(z) move-se ao longo de C , no plano w, de w0 at w0 + w. Se
parametrizarmos a curva C usando o parmetro t ento o caminho
z(t) (x = x(t) e y = y(t)) em C corresponde ao caminho w(t) (u =
u(t) e v = v(t)) em C tal que: z0 = z(t0) e w0 = w(t0) = f(z(t0)).
As derivadasdz
dtedw
dtrepresentam os vetores tangente nos pontos
correspondentes de C e C . Da, ento, da regra da cadeia, temos:
dw
dt=dw
dz.dz
dt
= f (z).dz
dt
(14.201)
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Transformaes Conformes
Em particular fazendo t = t0 em eqn 14.201 temos:
dw
dt
t=t0
= f (z(t0)).dz
dt
t=t0
Que equivalente a:
dw
dt
w=w0
= f (z0).dz
dt
z=z0
(14.202)
Levando em conta que f(z) holomorfa em z0. Escrevendodw
dt
w
=
w0 = f0e0 , f (z0) = R0e e
dz
dt
z=z0
= r0e0 e substituindo em
eqn 14.202 temos:
f0e0 = R0e
.r0e0
= R0.r0e(+0)
(14.203)
Finalmente, de eqn 14.203 temos:
0 = 0 + = 0 + arg(f(z0)).
OBS 14.1. Notem que nos pontos crticos (pontos para os quais
f (z0) = 0) indeterminado.
Teorema 14.2. Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w =f(z) uma transformao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6=0 ento, o ngulo entre duas curvas C1 e C2 passando por z0
preservado pela transformao w = f(z) em mdulo e direo.
PROVA: Pelo teorema 14.2 cada curva gira do ngulo arg(f (z0))
assim, o ngulo entre as curvas no se altera pela transformao
w = f(z) tanto em mdulo quanto em sentido.
OBS 14.2. Em outras palavras o teorema acima diz que uma
aplicao holomorfa uma transformao conforme.
Para concluir, vamos enunciar, sem demonstrar um importante
teorema sobre transformaes conformes. A saber:
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Variveis Complexas AULA
14Teorema 14.3. Seja C uma curva simples fechada, contorno deuma regio simplesmente conexa ento existe uma transformao
biunvoca w = f(z) holomorfa em C e seu interior, que mapeia C
na borda do disco unitrio no plano w e o interior de C no interior
do disco unitrio.
OBS 14.3. A demonstrao deste teorema de enunciado simples
bastante tcnica e foge ao escopo deste texto. Porm, se os caros
alunos quiserem aprofundar o assunto tem uma demonstrao em
TIMONEY na leitura complementar.
14.3 Exemplos de Algumas Transformaes Con-
formes
Veremos nesta seo alguns exemplos de algumas transformaes
conformes.
x
y plano z
z0
u
v plano w
f(z0)
1
Figura 14.3: Transformaes Conformes
Exemplo 14.1. Como primeiro exemplo, vamos mostrar que a
transformao w = f(z) onde f(z) = e0z z0z z0 , z0 um ponto do
semiplano superior e 0 R transforma o semiplano superior noplano z no disco unitrio no plano w (ver figura 14.3).
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Transformaes Conformes
x
y
|z z 0|
|zz 0|
plano xy
z0
z0
z
Figura 14.4: Transformaes Conformes
SOLUO: Da figura 14.4 se z pertence ao semiplano superior
temos |z z0| |z z0| ocorrendo a igualdade se z pertence aoeixo real. Da, temos:
|w| =e0 z z0
z z0
= |e0|. |z z0||z z0| 1
pois, |e0| = 1 e |z z0| |z z0|.
OBS 14.4. Observamos tambm que f(z0) = 0 e que o eixo real
mapeado na borda do disco unitrio.
14.3.1 Transformaes de Mbius
Veremos agora um tipo especial de transformao conforme de-
nominada de transformao de Mbius.
Definio 14.2. Uma transformao fracionria
w = f(z) =az + b
cz + d(14.204)
tal que ad bc 6= 0 dita uma transformao de Mbius.
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Variveis Complexas AULA
14Uma das propriedades das transformaes fracionrias, em par-ticular as transformaes de Mbius, que a composio de duas
transformaes fracionria uma transformao fracionria. sejam
f(z) =az + b
cz + de g(z) =
z +
z + . Da, temos:
(f g)(z) = f(g(z)) =az +
z + + b
cz +
z + + d
=
az + a + bz + b
z + cz + c + dz + d
c + d
=(a+ b)z + (a + b)
(c+ d)z + (c + d)
Tirando eqn 14.204 da forma de frao temos:
Azw +Bz + Cw +D = 0 (14.205)
que linear em z linear em w e bilinear em z e w.
Por outro lado podemos inverter eqn 14.204 e temos:
z = f1(w) =dw + bcw a
Se c = 0 deixa de ser uma transformao fracionria e passa a ser
uma transformao linear.
Caso c 6= 0 podemos reescrever eqn 14.204 na forma:
w = f(z) =a
c+bc ad
c
1
cz + d
e portanto a condio ad bc 6= 0 garante que eqn 14.204 no a transformao constante.
14.3.2 Pontos fixos de uma Aplicao
Imaginemos sobrepor o plano w no plano z de modo que os eixos
coordenados coincidam. Desta forma teremos essencialmente um
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Transformaes Conformes
nico plano. E, podemos encarar uma transformao w = f(z)
como uma aplicao que leva pontos do plano em outros pontos
do plano. Assim faz sentido a seguinte definio:
Definio 14.3. Seja f : C 7 C uma transformao. Dizemosque z C um ponto fixo de f() se, somente se z = f(z).
Vejamos um exemplo:
Exemplo 14.2. Determine os pontos fixos da seguinte transfor-
mao fracionria: f(z) =2z 5z + 4
.
SOLUO: Da definio de ponto fixo temos:
z = f(z) =2z 5z + 4
Da, desfazendo a frao temos:
z2 + 2z + 5 = 0
Resolvendo a equao do segundo grau temos:
z1 =2 +22 4.1.5
2
=2 +16
2
= 1 + 2
z2 =222 4.1.5
2
=216
2
= 1 2.
Ficaremos por aqui.
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Variveis Complexas AULA
1414.4 ConclusoNa aula de hoje, vimos que funes holomorfas so transfor-
maes conformes i.e. transformaes que preservam o ngulo en-
tre vetores.
RESUMO
No nosso resumo da Aula 14 constam os seguintes tpicos:
Transformaes Conformes
Definio:
Seja : D R2 7 R2 uma transformao de um aberto D deR2 em R2 tal que leva o ponto (x0, y0) do plano xy no ponto
(u0, v0) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2 do plano xy
que se interceptam em z0 so levadas na curvas C 1 e C 2 que se
interceptam em (u0, v0) (ver figura 14.1) ento se tal que o
ngulo entre as curvas C1 e C2 em (x0, y0) igual ao ngulo entre
C 1 e C 2 em mdulo e sentido, dizemos que uma transformao
conforme em (x0, y0).
Teorema 1:
Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w = f(z) uma transfor-mao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6= 0 ento a tangente aqualquer curva C passando por z0 girada de um ngulo igual a
arg(f (z0)).
Teorema 2:
Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w = f(z) uma trans-formao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6= 0 ento, o ngulo
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Transformaes Conformes
entre duas curvas C1 e C2 passando por z0 preservado pela trans-
formao w = f(z) em mdulo e direo.
Definio:
Uma transformao fracionria
w = f(z) =az + b
cz + d
tal que ad bc 6= 0 dita uma transformao de Mbius.Definio:
Seja f : C 7 C uma transformao. Dizemos que z C umponto fixo de f() se, somente se z = f(z).
PRXIMA AULA
Em nossa prxima aula veremos algumas aplicaes das trans-
formaes conformes. Em particular veremos aplicaes ao escoa-
mento potencial de fluidos.
ATIVIDADES
Deixamos como atividades as seguintes questes:
ATIV. 14.1. que a transformao w = f(z) onde f(z) = e0z z0z z0 ,
z0 um ponto do semiplano superior e 0 R transforma o semi-plano superior no plano z no exterior do disco unitrio no plano w .
Comentrio: Volte ao texto e reveja com calma e ateno os
exemplos acima, eles lhes serviro de guia.
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Variveis Complexas AULA
14ATIV. 14.2. Seja f(z) = z + az + b
uma transformao fracionria.
Qual a relao entre a e b garante que a transformao tem apenas
um ponto fixo?
Comentrio: Volte ao texto e reveja com calma e ateno o
exemplo de ponto fixo, ele lhe servir de guia.
LEITURA COMPLEMENTAR
SPIEGEL, Murray R., Variveis Complexas, Coleo Schaum, Ed-
itora McGraw-Hill do Brasil, 1973.
SOARES, Mrcio G., Clculo em uma Varivel Complexa, Coleo
Matemtica Universitria, Editora SBM, 2009.
BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Vari-
ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008
FERNANDEZ, Ceclia S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introduo
s Funes de uma Varivel Complexa. Editora SBM, 2006.
TIMONEY, Richard M. Riemann Mapping Theorem. http://www.
maths.tcd.ie/ richardt/414/414-ch7.pdf. Acessado em 01/06/2011.
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