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AULA

14Transformaes ConformesMETA:

Introduzir o conceito de transformaes conforme.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos devero ser capazes de:

Definir transformaes conformes e exemplificar transformaes

conformes.

PR-REQUISITOS

Aula03 de Variveis Complexas.

Transformaes Conformes

14.1 Introduo

Caros alunos estamos quase no final de nosso curso de Va-

riveis Complexas. Nosso assunto de agora Transformaes

Conformes. Aqui estabeleceremos os aspectos bsicos de trans-

formaes conformes como ponto de partida para a prxima aula

onde faremos algumas aplicaes das transformaes conformes.

14.2 Transformaes Conformes

Vamos iniciar com a definio do conceito de transformaes con-

formes:

x

y plano xy

(x0, y0)

C2

C1

u

v plano w(u0, v0)

C1

C2

Figura 14.1: Transformaes Conformes

Definio 14.1. Seja : D R2 7 R2 uma transformao deum aberto D de R2 em R2 tal que leva o ponto (x0, y0) do plano

xy no ponto (u0, v0) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2

do plano xy que se interceptam em z0 so levadas na curvas C 1 e

C 2 que se interceptam em (u0, v0) (ver figura 14.1) ento se

tal que o ngulo entre as curvas C1 e C2 em (x0, y0) igual ao

ngulo entre C 1 e C 2 em mdulo e sentido, dizemos que uma

transformao conforme em (x0, y0).

194

Variveis Complexas AULA

14Vamos examinar a mudana de direo de curvas no plano com-plexo z, passando pelo ponto z0 sob a transformao w = f(z)

quando a funo em questo holomorfa em z0 e alm disso f (z0) 6=0. Para isso enunciamos e provamos o seguinte teorema:

x

y plano z

z0

z0 + z

C

0

u

v plano w

w0

w0 + w

C

0 + a


Teorema 14.1. Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w =f(z) uma transformao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6= 0ento a tangente a qualquer curva C passando por z0 girada de

um ngulo igual a arg(f (z0)).

PROVA: Quando um ponto se move de z0 a z0 + z ao longo

da curva C no plano z (ver figura 14.2) sua imagem atravs de

f(z) move-se ao longo de C , no plano w, de w0 at w0 + w. Se

parametrizarmos a curva C usando o parmetro t ento o caminho

z(t) (x = x(t) e y = y(t)) em C corresponde ao caminho w(t) (u =

u(t) e v = v(t)) em C tal que: z0 = z(t0) e w0 = w(t0) = f(z(t0)).

As derivadasdz

dtedw

dtrepresentam os vetores tangente nos pontos

correspondentes de C e C . Da, ento, da regra da cadeia, temos:

dw

dt=dw

dz.dz

dt

= f (z).dz

dt

(14.201)

195


Em particular fazendo t = t0 em eqn 14.201 temos:

dw

dt

t=t0

= f (z(t0)).dz

dt

t=t0

Que equivalente a:

dw

dt

w=w0

= f (z0).dz

dt

z=z0

(14.202)

Levando em conta que f(z) holomorfa em z0. Escrevendodw

dt

w

=

w0 = f0e0 , f (z0) = R0e e

dz

dt

z=z0

= r0e0 e substituindo em

eqn 14.202 temos:

f0e0 = R0e

.r0e0

= R0.r0e(+0)

(14.203)

Finalmente, de eqn 14.203 temos:

0 = 0 + = 0 + arg(f(z0)).

OBS 14.1. Notem que nos pontos crticos (pontos para os quais

f (z0) = 0) indeterminado.

Teorema 14.2. Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w =f(z) uma transformao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6=0 ento, o ngulo entre duas curvas C1 e C2 passando por z0

preservado pela transformao w = f(z) em mdulo e direo.

PROVA: Pelo teorema 14.2 cada curva gira do ngulo arg(f (z0))

assim, o ngulo entre as curvas no se altera pela transformao

w = f(z) tanto em mdulo quanto em sentido.

OBS 14.2. Em outras palavras o teorema acima diz que uma

aplicao holomorfa uma transformao conforme.

Para concluir, vamos enunciar, sem demonstrar um importante

teorema sobre transformaes conformes. A saber:

196


14Teorema 14.3. Seja C uma curva simples fechada, contorno deuma regio simplesmente conexa ento existe uma transformao

biunvoca w = f(z) holomorfa em C e seu interior, que mapeia C

na borda do disco unitrio no plano w e o interior de C no interior

do disco unitrio.

OBS 14.3. A demonstrao deste teorema de enunciado simples

bastante tcnica e foge ao escopo deste texto. Porm, se os caros

alunos quiserem aprofundar o assunto tem uma demonstrao em

TIMONEY na leitura complementar.

14.3 Exemplos de Algumas Transformaes Con-

formes

Veremos nesta seo alguns exemplos de algumas transformaes

conformes.

x

y plano z

z0

u

v plano w

f(z0)

1


Exemplo 14.1. Como primeiro exemplo, vamos mostrar que a

transformao w = f(z) onde f(z) = e0z z0z z0 , z0 um ponto do

semiplano superior e 0 R transforma o semiplano superior noplano z no disco unitrio no plano w (ver figura 14.3).

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x

y

|z z 0|

|zz 0|

plano xy

z0

z0

z


SOLUO: Da figura 14.4 se z pertence ao semiplano superior

temos |z z0| |z z0| ocorrendo a igualdade se z pertence aoeixo real. Da, temos:

|w| =e0 z z0

z z0

= |e0|. |z z0||z z0| 1

pois, |e0| = 1 e |z z0| |z z0|.

OBS 14.4. Observamos tambm que f(z0) = 0 e que o eixo real

mapeado na borda do disco unitrio.

14.3.1 Transformaes de Mbius

Veremos agora um tipo especial de transformao conforme de-

nominada de transformao de Mbius.

Definio 14.2. Uma transformao fracionria

w = f(z) =az + b

cz + d(14.204)

tal que ad bc 6= 0 dita uma transformao de Mbius.

198


14Uma das propriedades das transformaes fracionrias, em par-ticular as transformaes de Mbius, que a composio de duas

transformaes fracionria uma transformao fracionria. sejam

f(z) =az + b

cz + de g(z) =

z +

z + . Da, temos:

(f g)(z) = f(g(z)) =az +

z + + b

cz +

z + + d

=

az + a + bz + b

z + cz + c + dz + d

c + d

=(a+ b)z + (a + b)

(c+ d)z + (c + d)

Tirando eqn 14.204 da forma de frao temos:

Azw +Bz + Cw +D = 0 (14.205)

que linear em z linear em w e bilinear em z e w.

Por outro lado podemos inverter eqn 14.204 e temos:

z = f1(w) =dw + bcw a

Se c = 0 deixa de ser uma transformao fracionria e passa a ser

uma transformao linear.

Caso c 6= 0 podemos reescrever eqn 14.204 na forma:

w = f(z) =a

c+bc ad

c

1

cz + d

e portanto a condio ad bc 6= 0 garante que eqn 14.204 no a transformao constante.

14.3.2 Pontos fixos de uma Aplicao

Imaginemos sobrepor o plano w no plano z de modo que os eixos

coordenados coincidam. Desta forma teremos essencialmente um

199


nico plano. E, podemos encarar uma transformao w = f(z)

como uma aplicao que leva pontos do plano em outros pontos

do plano. Assim faz sentido a seguinte definio:

Definio 14.3. Seja f : C 7 C uma transformao. Dizemosque z C um ponto fixo de f() se, somente se z = f(z).

Vejamos um exemplo:

Exemplo 14.2. Determine os pontos fixos da seguinte transfor-

mao fracionria: f(z) =2z 5z + 4

.

SOLUO: Da definio de ponto fixo temos:

z = f(z) =2z 5z + 4

Da, desfazendo a frao temos:

z2 + 2z + 5 = 0

Resolvendo a equao do segundo grau temos:

z1 =2 +22 4.1.5

2

=2 +16

2

= 1 + 2

z2 =222 4.1.5

2

=216

2

= 1 2.

Ficaremos por aqui.

200


1414.4 ConclusoNa aula de hoje, vimos que funes holomorfas so transfor-

maes conformes i.e. transformaes que preservam o ngulo en-

tre vetores.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 14 constam os seguintes tpicos:


Definio:

Seja : D R2 7 R2 uma transformao de um aberto D deR2 em R2 tal que leva o ponto (x0, y0) do plano xy no ponto

(u0, v0) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2 do plano xy

que se interceptam em z0 so levadas na curvas C 1 e C 2 que se

interceptam em (u0, v0) (ver figura 14.1) ento se tal que o

ngulo entre as curvas C1 e C2 em (x0, y0) igual ao ngulo entre

C 1 e C 2 em mdulo e sentido, dizemos que uma transformao

conforme em (x0, y0).

Teorema 1:

Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w = f(z) uma transfor-mao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6= 0 ento a tangente aqualquer curva C passando por z0 girada de um ngulo igual a

arg(f (z0)).

Teorema 2:

Sejam D C um aberto, f : D C 7 C, w = f(z) uma trans-formao holomorfa em z0 D tal que f (z0) 6= 0 ento, o ngulo

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entre duas curvas C1 e C2 passando por z0 preservado pela trans-

formao w = f(z) em mdulo e direo.

Definio:

Uma transformao fracionria

w = f(z) =az + b

cz + d

tal que ad bc 6= 0 dita uma transformao de Mbius.Definio:

Seja f : C 7 C uma transformao. Dizemos que z C umponto fixo de f() se, somente se z = f(z).

PRXIMA AULA

Em nossa prxima aula veremos algumas aplicaes das trans-

formaes conformes. Em particular veremos aplicaes ao escoa-

mento potencial de fluidos.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questes:

ATIV. 14.1. que a transformao w = f(z) onde f(z) = e0z z0z z0 ,

z0 um ponto do semiplano superior e 0 R transforma o semi-plano superior no plano z no exterior do disco unitrio no plano w .

Comentrio: Volte ao texto e reveja com calma e ateno os

exemplos acima, eles lhes serviro de guia.

202


14ATIV. 14.2. Seja f(z) = z + az + b

uma transformao fracionria.

Qual a relao entre a e b garante que a transformao tem apenas

um ponto fixo?

Comentrio: Volte ao texto e reveja com calma e ateno o

exemplo de ponto fixo, ele lhe servir de guia.

LEITURA COMPLEMENTAR

SPIEGEL, Murray R., Variveis Complexas, Coleo Schaum, Ed-

itora McGraw-Hill do Brasil, 1973.

SOARES, Mrcio G., Clculo em uma Varivel Complexa, Coleo

Matemtica Universitria, Editora SBM, 2009.

BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Vari-

ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008

FERNANDEZ, Ceclia S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introduo

s Funes de uma Varivel Complexa. Editora SBM, 2006.

TIMONEY, Richard M. Riemann Mapping Theorem. http://www.

maths.tcd.ie/ richardt/414/414-ch7.pdf. Acessado em 01/06/2011.

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