VIII-ÓrbitasPeriódicaseConjuntosLimites

ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke

Springer(1997)

caóticas. soluções há não plano No

limites. ciclos a convergem elas plano, No.equilíbrio de ponto um para convergem limitadas soluções linha, Na

autônomos. sistemas dos soluções das oassintóticntocomportame do formas as limita fase de espaço do Dimensão

caos.haver pode sional tridimenespaço NoBendixson - Poincaré de Teorema Jordan de curva da Teorema →

Equações Autonomas

d t 8 1 - e c

e c r

estável limite ciclo periódica órbita 1 r 0) (0, : instável equilíbrio de Ponto

8

)r - 1 (r r

:Exemplo

t

t

+=θ=

→=

=θ

=•

•

instável limite ciclo instável periódica órbita 1 r 0) (0, : estável equilíbrio de Ponto

8

)r - 1 (r - r

:Exemplo

→=

=θ

=•

•

Conjuntos Limites no Plano

!v•

= !f ( !v ) ;

!f mapa contínuo e diferenciável em Rn

Definição : Um ponto !z está no conjunto limite !ω , !ω (!v0 ) da soluçãoF (t, !v0 ), se houver uma sequência de pontos que converge para !z quando t → + ∞.

!z ⊂ !ω (!v0 ) se existir uma sequência crescente não limitada { tn }de números reais tn → ∞( ) com lim

n → ∞ F ( tn,

!v0 ) = !z .

!z está no conjunto limite !α (!v0 ) se existir uma sequência decrescentenão limitada {tn} de números reais tn → -∞( ) com lim

n → ∞ F ( tn,

!v0 ) = !z .

!v0 ponto de equilíbrio → !ω (!v0 ) = !α (!v0 ) = { !v0} !α (!v0 ) da equação !v

•

= !f ( !v ) é !ω (!v0 ) de !v

•

= -!f ( !v )

ÓrbitasPeriódicas

vazioconjunto :} { )(x 0, xPara{0} )(x ,0 xPara{a} )(x 0, xPara

a xe 0 x :equilíbrio de Pontos0 a , ) x - a ( x x

Exemplo

00

00

00

=ω<

=ω=

=ω>

==

>=•

0r ; a} {r ) , r( {0} ) 0(

estável equilíbrio de ponto é mOrige

b

)r - a (r r

Exemplo

000 ≠==θω

=ω

=θ

=•

•

) 0, a, ( ) , a( 0r ; a} {r ) , r(

{0} ) 0( )0,0(),a()0,a(

:equilíbrio de Pontos

) a r (sen

)r - a (r r

Exemplo

0

000

22

π=θ=θω

≠∀==θω

=ω

⎪⎩

⎪⎨

⎧

π

−+θ=θ

=•

•

.equilíbrio de pontos são)u( e )u( limites conjuntos os , )v( em u cada Para -c

ou periódica órbita uma é )v( -bou equilíbrio de ponto um é )v( a

limitadafor )v (t, F ) t ( órbita a Seisolados. equilíbrio de pontos com,R em suave f ),v( f v

Bendixson - Poincaré de Teorema

0

0

0

0

2

!!!!

!

!

!!!

ωαω

ω

ω−

⇒∞→

=•

não.ou A emestar pode v limite ponto O)v para convergem queA em pontos de sequência uma Há (.v de distintosA de pontos contem )v(N ça vizinhancada se

A conjunto um de limite ponto um é R v ponto Um

Limites Conjuntos dos esPropriedad

n

!!

!!!

ε

∈

) v( z ) v ( y e )y( z SeTransitiva - 5

conectado. é órbita uma de limitado limite conjunto O

Conexão 4

).v( em está ) y (t, F todaórbita a então ),v( em está y SeInvariança - 3

fechado. é limite conjunto UmFechamento - 2

vazio.conjunto um é não limite órbita uma de limite conjunto OExistência -1

00

00

!!!!!!

!!!!

ω∈⇒ω∈ω∈

ω

−

ωω

ω

ω

sional. tridimen volumeum em toroidalsuperfície uma preenche Movimento

T torusum formam áveisincomensur freqências Duas 2