VIII - Órbitas Periódicas e Conjuntos Limites · O conjunto limite limitado de uma órbita é...
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VIII - Órbitas Periódicas e Conjuntos Limites Referência Principal: Chaos K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke Springer (1997)
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VIII-ÓrbitasPeriódicaseConjuntosLimites
ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke
Springer(1997)
caóticas. soluções há não plano No
limites. ciclos a convergem elas plano, No.equilíbrio de ponto um para convergem limitadas soluções linha, Na
autônomos. sistemas dos soluções das oassintóticntocomportame do formas as limita fase de espaço do Dimensão
caos.haver pode sional tridimenespaço NoBendixson - Poincaré de Teorema Jordan de curva da Teorema →
Equações Autonomas
d t 8 1 - e c
e c r
estável limite ciclo periódica órbita 1 r 0) (0, : instável equilíbrio de Ponto
8
)r - 1 (r r
:Exemplo
t
t
+=θ=
→=
=θ
=•
•
instável limite ciclo instável periódica órbita 1 r 0) (0, : estável equilíbrio de Ponto
8
)r - 1 (r - r
:Exemplo
→=
=θ
=•
•
Conjuntos Limites no Plano
!v•
= !f ( !v ) ;
!f mapa contínuo e diferenciável em Rn
Definição : Um ponto !z está no conjunto limite !ω , !ω (!v0 ) da soluçãoF (t, !v0 ), se houver uma sequência de pontos que converge para !z quando t → + ∞.
!z ⊂ !ω (!v0 ) se existir uma sequência crescente não limitada { tn }de números reais tn → ∞( ) com lim
n → ∞ F ( tn,
!v0 ) = !z .
!z está no conjunto limite !α (!v0 ) se existir uma sequência decrescentenão limitada {tn} de números reais tn → -∞( ) com lim
n → ∞ F ( tn,
!v0 ) = !z .
!v0 ponto de equilíbrio → !ω (!v0 ) = !α (!v0 ) = { !v0} !α (!v0 ) da equação !v
•
= !f ( !v ) é !ω (!v0 ) de !v
•
= -!f ( !v )
ÓrbitasPeriódicas
vazioconjunto :} { )(x 0, xPara{0} )(x ,0 xPara{a} )(x 0, xPara
a xe 0 x :equilíbrio de Pontos0 a , ) x - a ( x x
Exemplo
00
00
00
=ω<
=ω=
=ω>
==
>=•
0r ; a} {r ) , r( {0} ) 0(
estável equilíbrio de ponto é mOrige
b
)r - a (r r
Exemplo
000 ≠==θω
=ω
=θ
=•
•
) 0, a, ( ) , a( 0r ; a} {r ) , r(
{0} ) 0( )0,0(),a()0,a(
:equilíbrio de Pontos
) a r (sen
)r - a (r r
Exemplo
0
000
22
π=θ=θω
≠∀==θω
=ω
⎪⎩
⎪⎨
⎧
π
−+θ=θ
=•
•
.equilíbrio de pontos são)u( e )u( limites conjuntos os , )v( em u cada Para -c
ou periódica órbita uma é )v( -bou equilíbrio de ponto um é )v( a
limitadafor )v (t, F ) t ( órbita a Seisolados. equilíbrio de pontos com,R em suave f ),v( f v
Bendixson - Poincaré de Teorema
0
0
0
0
2
!!!!
!
!
!!!
ωαω
ω
ω−
⇒∞→
=•
não.ou A emestar pode v limite ponto O)v para convergem queA em pontos de sequência uma Há (.v de distintosA de pontos contem )v(N ça vizinhancada se
A conjunto um de limite ponto um é R v ponto Um
Limites Conjuntos dos esPropriedad
n
!!
!!!
ε
∈
) v( z ) v ( y e )y( z SeTransitiva - 5
conectado. é órbita uma de limitado limite conjunto O
Conexão 4
).v( em está ) y (t, F todaórbita a então ),v( em está y SeInvariança - 3
fechado. é limite conjunto UmFechamento - 2
vazio.conjunto um é não limite órbita uma de limite conjunto OExistência -1
00
00
!!!!!!
!!!!
ω∈⇒ω∈ω∈
ω
−
ωω
ω
ω
sional. tridimen volumeum em toroidalsuperfície uma preenche Movimento
T torusum formam áveisincomensur freqências Duas 2
