O Volume e a Área da Superfície de uma

Esfera

Todo mundo sabe que decorar fórmulas é chato.

Isso ocorre, em especial se não entendemos o relacionamento entre

uma fórmula e outra.

Deduzindo Fórmulas

Como podemos compreender o relacionamento entre diversas fórmulas?

Estudando se existe alguma ligação entre elas.

Deduzindo Fórmulas

Conhece a fórmula do volume da esfera?

Vamos ver um Exemplo?

A partir dessa fórmula podemos deduzir a fórmula da

área da superfície esférica.

Como fazemos isto??

Vamos ver um Exemplo?

Imagine duas esferas. Uma de raio r e outra de raio r +d. Comparando as duas vemos que a

segunda é um pouquinho maior do que a primeira.

Encontrando a Fórmula

Coloquemos a menor (de raio r), dentro da maior (de raio r + d), de forma que os centros coincidam. Entre as

duas esferas teremos uma pequena região, semelhante a obtida quando tiramos toda a parte interna de um melão.

Encontrando a Fórmula

O volume da região entre as duas esferas é como se fosse a “casca”

de nosso melão.

Esse volume é a diferença entre o volume das duas esferas.

Volume da “Casca do Melão”

Quanto mais fina for esta “casca” mais os raios das duas esferas se aproximam.

Isto é, a diferença entre os raios das esferas se aproxima de zero.

Volume da “Casca do Melão”

A razão entre estes dois valores aproxima-se da área da superfície

esférica quando diminuímos a diferença entre os raios das esferas,

ou seja,

A razão entre os valores

Diferença entre o volume das duas esferasDiferença entre os raios das duas esferas

se aproxima da

Área da superfície esférica

quando a diferença entre os raios das duas esferas diminui.

A razão entre os valores

A razão entre os dois valores

Portanto, a razão entre a diferença do volume das duas esferas e a

diferença entre seus raios (nosso d) aproxima-se da área da superfície

da esfera menor quando a diferença entre os raios das duas

esferas diminui.

Cálculo da Razão

Para encontrar a área da superfície esférica basta, então, calcular esta

razão e ver de onde ela se aproxima quando diminuímos a

diferença entre os raios das duas esferas.

O volume da esfera maior (a de raio r + d) é dado por

Volume da Esfera Maior

O volume da esfera menor (de raio r) é dado por

Volume da Esfera Menor

Subtraindo os dois volumes obtemos a diferença entre eles, isto é,

Diferença entre os volumes

Subtraindo os dois raios obtemos a diferença entre eles, isto é,

r + d – r = d

Diferença entre os raios

Para encontrar a razão basta dividir a diferença entre os volumes pela

diferença entre os raios, isto é, por d.

A Razão entre as diferenças

Observe o lado direito desta última fórmula

Diminuindo a diferença entre os raios (d)

Vamos agora diminuir a diferença entre os raios das duas esferas aproximando cada vez mais o raio

r + d do raio r, isto é, vamos diminuir d. Isso fará com que 3rd e d2 fiquem cada vez menor.

Diminuindo a diferença entre os raios (d)

Quanto mais 3rd e d2 se aproximam de zero mais diminui a espessura de nossa “casca de melão”. Numa situação limite, quando tomamos estes valores como iguais a zero não temos

mais espessura nenhuma e as duas esferas se tornam uma única esfera de raio r.

E nossa razão pode ser usada para calcular a

área da superfície esférica.

Área da Superfície Esférica

Então para calcular esta área basta substituir 3rd e d2 em nossa fórmula por zero:

Área da Superfície Esférica

Portanto:

é a fórmula da área da superfície esférica

Área da Superfície Esférica

Talvez alguém diga:

“Ora, é mais fácil decorar a fórmula”

Realmente, mas aprendemos mais se conseguimos entender de onde ela veio.

Achou difícil? Assista novamente.

Área da Superfície Esférica

FIM

Obrigado pela atenção