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Unidade 7
Integrais
Função primitiva
No estudo da derivada tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, outra, a que chamamos de derivada. Nesta seção, faremos o caminho inverso, isto é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma função original que chamaremos primitiva. Você deve observar que é importante conhecer bem as regras de derivação e as derivadas de várias funções, estudadas anteriormente, para determinar primitivas. O que acabamos de mencionar nos motiva a seguinte definição.
Definição 7.1. Uma função ( )F x é chamada uma primitiva da função ( )f x em um
intervalo I , se para todo x I∈ , tem-se
'( ) ( )F x f x= .
Exemplo 7.1. A função 5
( )5
xF x = é uma primitiva da função 4( )f x x= , pois
45 '( )
5
xF x = = 4 ( )x f x= , x R∀ ∈
Exemplo 7.2. As funções 5 5
( ) 9 , ( ) 25 5
x xT x H x= + = − também são primitivas da
função 4( )f x x= , pois '( ) '( ) ( )T x H x f x= = .
Observação. Seja I um intervalo em R. Se :F I R→ é uma primitiva
de :f I R→ , então para qualquer constante real k , a função ( )G x
dada por ( ) ( )G x F x k= + é também uma primitiva de ( )f x .
Se , :F G I R→ são primitivas de :f I R→ , então existe uma constante real k tal que
( ) ( )G x F x k= + , para todo x I∈ .
Exemplo 7.3. Encontrar uma primitiva ( )F x , da função 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= − + − , para
todo x R∈ que satisfaça a seguinte condição (1) 4F = .
Resolução: Pela definição de função primitiva temos '( ) ( )F x f x= para todo Rx ∈ ,
assim, ( )F x será uma função cuja derivada será a função ( )f x dada. Logo, 3 2
42( ) 4 5
4 3 2
x xF x x x k= − + − + ,
pois 2
32'( ) 4 4 3 5 2 1 0
4 3 2
x xF x x= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +
3 22 4 5 1 ( )x x x f x= − + − = ,
ou seja,
2
3 241
( ) 4 52 3 2
x xF x x x k= − + − + .
Como ( )F x deve satisfazer a condição (1) 4F = , com isto, vamos calcular o valor da
constante k , fazendo 1x = na função ( )F x ,
isto é,
( ) ( ) ( )3 2
4 1 11(1) 1 4 5 1 4
2 3 2F k= − − − + =
e resolvendo temos 10
4k = .
Assim, 3 2
41 10( ) 4 5
2 3 2 4
x xF x x x= − + − + .
Portanto, 3 2
41 10( ) 4 5
2 3 2 4
x xF x x x= − + − + ,
é uma função primitiva de 3 2( ) 2 4 5 1f x x x x= − + − ,
que satisfaz condição (1) 4F = .
Exemplo 7.4 A função 4 21( )
4F x x x= + é uma primitiva da função, 3( ) 2f x x x= + pois
3'( ) 2F x x x= + ( )f x= , x R∀ ∈
Integral indefinida
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral mostrada sua relação com a derivada.
Definição 7.2. Se a função ( )F x é primitiva da função ( ),f x a expressão ( )F x C+ é
chamada integral indefinida da função ( )f x e é denotado por
( ) ( )f x dx F x C= +∫
onde
∫ − é chamado sinal de integração;
( )f x − é a função integrando; dx – a diferencial que serve para identificar a variável de integração;
C – é a constante de integração.
Lê-se: Integral indefinida de ( )f x em relação a x ou
simplesmente integral de ( )f x em relação a x .
3
O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado integração.
Observações
Da definição de integral indefinida, temos as seguintes observações:
(i) ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x= + ⇔ =∫ .
(ii) ( ) f x dx∫ representa uma família de funções, isto é, a família
ou o conjunto de todas primitivas da função integrando.
(iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )
d d df x dx F x C F x F x f x
dx dx dx= + = = =∫ .
Exemplo 7.5
(i) Se ( )4 34d
x xdx
= então 3 44 + x dx x C=∫ .
(ii) Se ( ) 1
2
dx
dx x= então
1
2dx x C
x= +∫ .
(iii) Se
5 2
3 33
5
dx x
dx
=
então
2 5
3 33
5
x dx x C= +∫ .
Observação. Pelos exemplos acima temos:
( )( ) ( ) ( ) ( )d
f x dx F x C f x dx f xdx
= + ⇒ =∫ ∫ .
Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para
diferenciação.
Propriedades da integral indefinida
Sejam ( ) e ( )f x g x funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real.
Então:
a) ( ) ( ) k f x dx k f x dx=∫ ∫ .
Exemplo 7.6 6 6
5 52 2 26 3
x xx dx x dx k k= = + = +∫ ∫
b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ .
Exemplo 7.7
( )4 2
3 3 3
1 23 2 3 2 3 2 3 24 2
x xx x dx x dx x dx x dx x dx C C+ = + = + = + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
423
4
xx C+ +
4
� Integrais imediatas
Nesta subseção, apresentaremos a tabela de integrais imediatas para que, aplicando as propriedades da integral indefinida, você possa calcular uma integral imediata de uma função. Daremos a seguir algumas fórmulas de integrais simples e imediatas. A tabela completa é dada no final deste capítulo. A seguir apresentaremos tabela de integrais.
(i) dx x C= +∫ .
(ii) 1
, 11
nn xx dx C n
n
+
= + ≠ −+∫ .
(iii) ln , 0.dx
x C para xx
= + >∫ .
(iv) , 0, 1ln
xx a
a dx C a aa
= + > ≠∫ .
(v) x xe dx e C= +∫ .
(vi) 2 2
2 2
1ln ,
2
dx x aC x a
x a a x a
−= + >
− +∫ .
Exemplo 7.8 . O custo fixo de produção da empresa “Sorriso e Esperança” é
R$8.000,00. O custo marginal é dado pela função 2'( ) 0,03 0,12 5C x x x= + + .
Determinar a função custo total.
Resolução: Sabemos que o custo marginal '( )C x é a derivada da função custo total
( )C x . Assim, para encontrarmos ( )C x devemos calcular a integral indefinida da função
custo marginal, ou seja,
( )C x = '( ) C x dx∫ = ( )20,03 0,12 5 x x dx+ +∫
= 20,03 0,12 5 x dx x dx dx+ +∫ ∫ ∫
= 20,03 0,12 5x dx x dx dx+ +∫ ∫ ∫
= 3 20,03 0,125
3 2x x x K+ + + .
Logo,
( )C x = 3 20,01 0,06 5x x x k+ + + .
Quando a produção for nula, 0x = , o custo fixo será R$8.000,00, ou seja,
( ) ( ) ( )3 28.000 0,01 0 0,06 0 5 0 k= + + + e 8.000k = .
Portanto, a função custo total é
3 2( ) 0,01 0,06 5 8.000C x x x x= + + + .
5
Exemplo 7.9. Sabendo-se que o custo marginal '( ) 0,08 3C x x= + e que o custo fixo é
100, CF =100 obtenha a função custo total. Resolução. Sabemos que
( )C x = '( ) C x dx∫ = ( ) 20,08 3 0,04 3x dx x x k+ = + +∫ .
2( ) 0,04 3C x x x k= + + . 2(0) 0,040 30 100 100C k k= + + = ⇔ = .
Logo, 2( ) 0,04 3 100C x x x= + + .
Exemplo 7.10. Sabendo-se que o custo marginal 2'( ) 6 6 20C x x x= − + e o custo fixo é
400, obtenha. a) a função custo total;
b) o custo médio para 5x = . Resolução.
a) Sabemos que ( )2 3 2( ) '( ) 6 6 20 2 3 20C x C x dx x x dx x x x k= = − + = − + +∫ ∫ .
3 2( ) 2 3 20C x x x x k= − + + . 3 2(0) 2 0 3 0 20 0 400 400C k k= × − × + × + = ⇔ = .
Logo, 3 2( ) 2 3 20 400C x x x x= − + + .
b) O custo médio (CM) é ( )
( )C x
CM xx
= ,logo,
3 2
22 3 20 400 400( ) 2 3 20
x x xCM x x x
x x
− + += = − + + .
2 400( ) 2 3 20CM x x x
x= − + + . Para 5x = , vem
2 400(5) 2 5 3 5 20 135
5CM = × − × + + = .
Portanto, (5) 135CM = .
Exemplo 7.11. Sabendo-se que a receita marginal '( ) 20 2R x x= − , obtenha.
a) a função receita; b) a função receita média. Resolução. a) Analogamente, tem-se
( ) 2( ) '( ) 20 2 20R x R x dx x dx x x k= = − = − +∫ ∫ , ou seja
2( ) 20R x x x k= − +
b) A receita média (RM) é 220
( ) 20 , 0.x x k k
RM x x xx x
− += = − + >
Logo, ( ) 20 , 0k
RM x x xx
= − + > .
� Exercícios propostos
1) Determinar a função primitiva ( )F x da função ( )f x , onde
6
a) 2( ) 5 7 2f x x x= + + . b) 5
4( ) f x x−
= .
c) 1
( )
f xx x
= . d) 1
( ) para 11
f x xx
= >−
.
e) 4( ) xf x e= .
2) Encontrar uma função primitiva ( )F x da função ( )f x dada, que satisfaça a
condição inicial dada, onde
a) 2
31
( ) tal que (1) 2
f x x x F−
= + = .
b) 3( ) tal que (0) 2xf x x x e F= + = .
3) Calcular as integrais
a) ( ) ( )2 22 2x x dx− × +∫ . b)
1
3
3 2
2 x
dxx
−+
∫ .
c)
1-
5 2
2
2 3
x xdx
x
+ +
∫ . d) ( )24 x x dx− −∫ .
e) 3
1dx
x∫ .
Integral definida
A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo. Outro conceito também muito importante é o de integral.
Existem dois problemas fundamentais em cálculo. O primeiro é encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a curva. O conceito de derivada está ligado ao problema de traçar a tangente a uma curva.
Agora, você verá que a integral está ligada ao problema de determinar área de uma figura plana qualquer. Assim, a derivada e a integral são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o cálculo.
A integral
Nesta subseção daremos a definição da integral que nasceu com a formulação dos problemas de áreas e citaremos as suas propriedades. Já sabemos que a integral e a derivada, estudada anteriormente, são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o Cálculo. Conforme terminologia introduzida anteriormente, temos a seguinte definição.
7
Definição 7.3. Seja ( )f x uma função limitada definida no intervalo fechado [ , ]a b e
seja P uma partição qualquer de [ , ]a b . A integral de ( )f x no intervalo [ , ]a b ,
denotada por ( ) b
a
f x dx∫ , é dada por
1
( ) lim ( ) . b n
i in
ia
f x dx f c x→ + ∞
=
= ∆∑∫ ,
desde que o limite do segundo membro exista.
� Na notação ( ) b
a
f x dx∫ , ( )f x é chamada função integrando,
∫ é o símbolo da integral, e os números a e b são
chamados limites de integração onde a é o limite inferior e
b é o limite superior da integração.
� Se ( ) b
a
f x dx∫ existe, diz-se que f é integrável em [ , ]a b e
geometricamente a integral representa a área da região
limitada pela função ( )f x , às retas e x a x b= = e o eixo
x , desde que ( ) 0f x ≥ [ ], x a b∀ ∈ .
Chamamos a atenção do leitor para o fato de que a integral não significa necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas como volume, quantidade de bactérias presentes em certo instante, trabalho realizado por uma força, momentos e centro de massa (ponto de equilíbrio).
A definição acima pode ser ampliada de modo a incluir o caso em que o limite inferior seja maior do o limite superior e o caso em que os limites inferior e superior são iguais, senão vejamos.
Definição 7.4. Se a b> , então
( ) b
a
f x dx∫ = ( ) a
b
f x dx−∫
se a integral à direita existir.
Definição 7.5. Se e ( )a b f a= existe, então
( ) 0a
a
f x dx =∫ .
Teorema 7.1. Se ( )f x é uma função contínua no intervalo fechado [ , ]a b , então ( )f x é
integrável em [ , ]a b .
� Propriedades da integral definida
8
As propriedades da integral definida não serão demonstradas, pois foge do objetivo do nosso curso.
P1 - Se a função ( )f x é integrável no intervalo fechado [ , ]a b e se k é uma constante
real qualquer, então
( ) ( ) b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ .
P2 - Se as funções ( )f x e ( )g x são integráveis em [ , ]a b , então ( ) ( ) f x g x± é
integrável em [ , ]a b e
( )( ) ( ) ( ) ( ) b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ .
P3 - Se a c b< < e a função ( )f x é integrável em [ , ]a c e em [ , ]c b , então ( )f x é
integrável em [ , ]a b e
( ) ( ) ( ) b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .
P4 - Se a função ( )f x é integrável e se ( ) 0f x ≥ para todo x em [ , ]a b , então
( ) 0b
a
f x dx ≥∫ .
P5 - Se as funções ( )f x e ( )g x são integráveis em [ , ]a b e ( ) ( )f x g x≥ para todo x
em [ , ]a b , então
( ) ( ) b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ .
P6 - Se ( )f x é uma função integrável em[ ], a b , então ( )f x é integrável em [ ], a b e
( ) ( ) b b
a a
f x dx f x dx≤∫ ∫ .
Observação. Calcular uma integral através do limite das Somas de Riemann (definição
7.3) é geralmente uma tarefa árdua. Por isso nosso próximo objetivo é estabelecer o
chamado Teorema Fundamental do Cálculo, o qual nos permite calcular muitas
integrais de forma surpreendentemente fácil!
Teorema fundamental do cálculo
Esta subseção contém um dos mais importantes teoremas do cálculo. Este teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva da mesma, e por isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo uma função primitiva de
uma função ( )f x integrável no intervalo fechado [ , ]a b , podemos calcular a sua
integral.
9
As considerações acima motivam o teorema a seguir.
Teorema 7.2 (Teorema fundamental do cálculo). Se a função ( )f x é integrável no
intervalo fechado [ , ]a b e se ( )F x é uma função primitiva de ( )f x neste intervalo,
então
( ) ( ) ( )b
a
f x dx F b F a= −∫ .
Costuma-se escrever ( )b
aF x para indicar ( ) ( )F b F a− .
O Teorema fundamental do cálculo (TFC) não só torna o cálculo de
integrais mais simples, como também contém em si a relação entre a
derivada, o limite e a integral. Isto porque o Teorema Fundamental
afirma que o valor da integral, ( ) b
a
f x dx∫ , pode ser calculado com o
auxílio de uma função primitiva F tal que a derivada de F seja
igual a f , possibilitando encontrar o valor de uma integral utilizando
uma primitiva da função integrando.
Exemplo 7.12. Determinar 2
0
x dx∫ .
Resolução: Sabemos que 2
( )2
xF x = é uma primitiva da função ( )f x , pois
'( ) 2 ( )2
xF x x f x= × = = .
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem
2 22 2
0 00
( ) (2) (0) 2
xx dx F x F F= = = −∫
= 2 22 0 4 0
= = 2 0 = 22 2 2 2− − − .
Portanto, 2
0
2x dx =∫ .
Exemplo 7.13. Calcular
( )3
2
1
4 x dx+∫ .
Resolução: Aqui, temos 3
( ) 43
xF x x= + que é uma primitiva de 2( ) 4f x x= + , pois
22'( ) 3 4 1 4 ( )
3
xF x x f x= × + × = + = .
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem
10
( )3 3 3
2
11
4 4 (3) (1)3
xx dx x F F
+ = + = −
∫
( )3 33 1 1
4 3 4 1 9 12 ( 4) 3 3 3
= + × − + × = + − +
1 12 13 63 13 50
=21 = 21 = 3 3 3 3
+ − − − =
.
Portanto,
( )3
2
1
504
3x dx+ =∫ .
Observe que podemos calcular a integral ( )3
2
1
4x dx+∫ usando as propriedades P1 e P2
da integral definida e o teorema fundamental do cálculo, o resultado será o mesmo. De fato,
( )3 3 3
2 2
1 1 1
4 4 x dx x dx dx+ = +∫ ∫ ∫
= 3 3 3 3 3
2
1 11 1
4 4 3
xx dx dx x+ = +∫ ∫
= ( )3 33 1 27 1
+ 4 3 1 = + 4 2 3 3 3 3
− × − − ×
= 26 26 + 24 50
+ 8 = = 3 3 3
.
Assim,
( )3
2
1
504
3x dx+ =∫ .
Portanto, usando propriedades da integral definida e o TFC chegamos ao mesmo valor
no cálculo da integral ( )3
2
1
4 x dx+∫ que é 50
3, você pode usar sempre este fato.
Exemplo 7.14 . O custo ( )C x para produzir a x ésima− TV digital num programa de
produção diária da fábrica GL é dado por 50
( )C xx
= , 200x ≤ . Determinar o custo
para se produzirem as 100 primeiras TVs.
Resolução: Vamos considerar C o valor exato do custo total de produção das 100
primeiras TVs, assim
(1) (2) ... (100)C C C C= + + + .
Esta soma pode ser calculada aplicando o TFC como segue
100
0
( )C C x dx= ∫ = 100
0
50dx
x∫
11
= 100 100 100 1
21
0 0 02
1 150 50 50dx dx x dx
xx
−⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫
( )1
12 100 1002
0 050 50 2 100 100 0 1000
1
2
xx= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − = .
Portanto, o custo C para produzir as 100 primeiras TVs é de R$1.000,00.
Exemplo 7.15 . O administrador de uma empresa estima que a compra de um certo equipamento irá resultar em uma economia de custos operacionais. A economia dos
custos operacionais dado pela função ( )f x unidades monetárias por ano, quando o
equipamento estiver em uso por x anos, e ( ) 4.000 1.000f x x= + para 0 10x≤ ≤ .
Determinar:
a) a economia em custos operacionais para os cinco primeiros anos;
b) após quantos anos de uso o equipamento estará pago por si mesmo, se o preço
de compra é R$36.000,00.
Resolução: A economia obtida nos custos operacionais para os cincos primeiros anos é
a integral definida de ( ) 4.000 1.000f x x= + no intervalo 0 10x≤ ≤ , logo, respondendo
a letra a), vem
( ) ( )5
52
00
4.000 1.000 2.000 1.000x dx x x+ = +∫
( )2.000 25 1000 5
55.000.
= × + ×
=
Portanto, a economia nos custos operacionais para os 5 primeiros anos é de R$55.000,00. Vamos agora responder a (letra b). Como o preço de compra do equipamento é R$36.000,00, temos que o número de anos requeridos para o equipamento pagar-se por
si mesmo é n que será a integral definida de ( ) 4.000 1.000f x x= + de 0 até n , ou
seja,
0
( ) 36.000n
f x dx =∫ .
Resolvendo a integral acima, vem
( )
0
0
( ) 36.000
4.000 1.000 36.000
n
n
f x dx
x dx
=
⇒ + =
∫
∫
⇒ ( )2
02.000 1.000 36.000
n
x x+ =
⇒ 22.000 1.000 36.000n n+ = ,
⇒ 22 36 0n n+ − = .
12
Resolvendo a equação 22 36 0n n+ − = pela fórmula de Bhaskara , temos 4n = e
9
2n = − .
Portanto, são necessários 4 anos de uso para o equipamento pagar-se por si mesmo.
� Exercícios propostos
4) Calcular a integral 3
0
( )f x dx∫ onde 7 , 2
( )3, 2
x se xf x
x se x
− <=
+ ≥.
5) Determinar o valor das seguintes integrais aplicando o Teorema Fundamental do
Cálculo.
a) ( )1
3
0
6 8 x x dx− +∫ . b) 2
0
xe d x∫ .
Integração por substituição
Veremos nesta seção uma técnica utilizada com o objetivo de desenvolver o cálculo de integrais indefinidas de funções que possuem primitivas. A esta técnica damos o nome de integração por substituição ou mudança de variável.
Suponha que você tem uma função ( )g x e outra função f tal que ( )( )f g x esteja
definida ( e f g estão definidas em intervalos convenientes). Você quer calcular uma
integral do tipo
( )( ) '( ) f g x g x dx×∫ ,
Logo,
( ) ( )( ) '( ) ( ) .f g x g x dx F g x C× = +∫
Fazendo ( ) '( ) '( ) du
u g x g x du g x dxdx
= ⇒ = ⇒ = e substituindo na equação acima, vem
( ) `( ) ( ) ( ) ( ) . f g x g x dx f u du F u C× = = +∫ ∫
Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral indefinida de uma função aplicando a técnica da mudança de variável ou substituição. Exemplo 7.16. Calcular a integral
( )32 5 2x x dx+ ×∫ .
Resolução: Fazendo a substituição de 2 5x + por u na integral dada, ou seja,
2 5u x= + , vem
13
2 5 2 0 2du
u x x xdx
= + ⇒ = + = ⇒ 2 du x dx= .
Agora, vamos em ( )32 5 2 x x dx+ ×∫ , substituímos 2 5x + por u e 2 x dx por du e
temos
( )4
32 35 2
4
ux x dx u du C+ × = = +∫ ∫ ,
Como
( )4242
55
4 4
xuu x C C
+= + ⇒ + = + .
Portanto,
( )32 5 . 2 x x dx+∫ = ( )42 5
4
xC
++ .
Exemplo 7.17. Calcular
2
3
3
1
xdx
x+∫ .
Resolução: Fazendo a substituição de 31 x+ por u na integral dada, ou 31u x= + , vem
3 2 21 0 3 = 3du
u x x xdx
= + ⇒ = + ⇒ 2 = 3du x dx .
Agora, vamos em 2
3
3
1
xdx
x+∫ , substituímos 31u x= + por u e
23 x dx por du e temos
2
3
3 ln1
x dx duu C
x u= = +
+∫ ∫ . (Pela fórmula (iii) da tabela de integrais).
Como 3 31 ln ln 1u x u C x C= + ⇒ + = + + .
Portanto, 2
3
3
1
xdx
x+∫ 3ln 1 x C= + + .
� Exercícios propostos
Calcular as seguintes integrais abaixo:
6) ( )3
4
7 5dx
x−∫ . 7) 2
1 dx
x∫ .
8) 2 42 x x dx−∫ . 9)
4 5
1
ln
tdt
t∫ .
10)
3
20
1
xdx
x +∫ .
14
Integração por partes
Na seção anterior, estudamos como calcular integrais usando o método da substituição.
Mas, existem algumas integrais tais como: ln x dx∫ , xx e dx∫ , 3 cosx x dx∫ , etc. que não
podem ser resolvidas aplicando o método da substituição. Necessitamos de alguns conhecimentos mais. Neste caso, iniciaremos apresentando a técnica de integração por partes.
Sejam ( )u x e ( )v x funções diferenciáveis num intervalo ( , )a b . Então podemos
escrever
( )uv uv vu′ ′ ′= + ,
ou seja,
( )vu uv uv′ ′ ′= − .
Integrando os dois membros da igualdade acima, temos
( )b b b
a a avu dv uv dx uv dx′ ′ ′= −∫ ∫ ∫ ,
ou, b bb
aa avdu uv udv= −∫ ∫ .
E para a integral indefinida tem-se
b bb
aa avdu uv udv= −∫ ∫ ,
ou simplesmente,
vdu uv udv= −∫ ∫ .
A expressão acima é conhecida como a fórmula de integração por partes. Quando
aplicarmos esta fórmula para resolver a integral ( )f x dx∫ , devemos separar o
integrando dado em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente com dx , sendo dv . Por essa razão o cálculo de integral utilizando a fórmula é chamado integração por
partes. Para escolher u e dv , devemos lembrar que:
A parte escolhida como dv , deve ser facilmente integrável;
v du∫ deve ser mais simples que u dv∫ .
Exemplo 7.18. Calcular a integral
xx e dx∫ .
Resolução: Sejam u x= e xdv e dx= . Assim, teremos du dx= e xv e= . Aplicando a
fórmula udv uv v du= −∫ ∫ , obtemos
15
.
x x x
x x
x e dx x e e dx
x e e C
= −
= − +
∫ ∫
Exemplo 7.19. Calcular a integral
ln .x dx∫
Solução. Sejam lnu x= e dv dx= . Assim, teremos 1
du dxx
= e .v x= Aplicando a
fórmula (2), obtemos
1ln ln
ln .
x dx x x x dxx
x x x c
= −
= − +
∫ ∫
� Exercícios propostos
Calcular as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
11) ( )21xe x dx+∫ . 12) 2 lnx x dx∫ .
13) lnx x dx∫ . 14) ln x
dxx∫ .
15) xx e dx−∫ .
Integrais impróprias
Sabemos que toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo,
ou seja, se f é uma função contínua em [ , ]a b então existe ( )b
af x dx∫ . Quando f não
está definida num dos extremos do intervalo [ , ]a b , digamos em a , mas existe
( )b
tf x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , podemos definir ( )
b
af x dx∫ como sendo o limite
lim ( )b
tt af x dx
+→ ∫ quando este limite existe. Para os outros casos a situação é análoga.
Nestes casos as integrais são conhecidas como integrais impróprias. A seguir apresentaremos a definição e o procedimento para calcular integrais impróprias. Analisaremos cada caso separado.
(i) Dado : ( , ]f a b R→ , se existe ( )b
t
f x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , definimos
( ) lim ( ) ,b b
t aa t
f x dx f x dx a t b+→
= < <∫ ∫ ,
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos que a integral
( )b
a
f x dx∫ não existe, ou não converge.
Graficamente,
16
y
y = f x( )
a bx
(ii) Dado :[ , )f a b R→ , se existe ( )t
a
f x dx∫ para todo ( , )t a b∈ , definimos
( ) lim ( ) ,b t
t ba a
f x dx f x dx a t b−→
= < <∫ ∫ ,
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos que ( )b
a
f x dx∫ não
existe, ou não converge. Graficamente,
y
y = f x( )
a b x
(iii) Dado : ( , )f a b R→ , escrevemos
( ) ( ) ( ) ,b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <∫ ∫ ∫ ,
quando as duas integrais do 2o membro existem.
17
As integrais do segundo membro foram definidas em (i) e (ii) respectivamente.
(iv) Quando : [ , ]f a b → � é descontínua em algum ( , )c a b∈ e não existe algum
limite lateral perto de c , então escrevemos
( ) ( ) ( ) ,b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <∫ ∫ ∫ ,
sempre que as integrais do 2o membro existam.
As integrais do segundo membro foram definidas em (ii) e (i) respectivamente.
Quando uma integral imprópria existe, ou seja, o limite envolvido tem valor finito, dizemos que ela é convergente caso contrário é divergente. Exemplo 7.20. Calcular, se existir
1
0 1
dx
x−∫ .
Resolução: Observemos que a função ( )1
dxf x
x=
− não está definida no ponto 1.x =
Neste caso calculamos o limite, usando (ii)
1
2
1 10 0
lim lim (1 )1
t t
t t
dxx dx
x− −
−
→ →= −
−∫ ∫
Fazendo 1u x du dx= − ⇒ = − , pelo método de substituição, vem
1 11/ 22 2(1 ) 2x dx u du u
− −− = − = −∫ ∫ ,
ou seja,
1/ 2 1/ 2
00
(1 ) 2(1 )t
t
x dx x−− = − −∫
1/ 22 (1 ) 1t = − − − .
Logo,
1/ 2
1 10
lim lim 2 (1 ) 11
t
t t
dxt
x− −→ →
= − − − −∫
2[0 1] 2= − − =
Portanto, a integral converge e temos
1
0
21
dx
x=
−∫ .
Exemplo 7.21. Calcular se existir
18
1
2
0
1dx
x∫
Resolução. Observemos que a função 2
1( )f x
x= não está definida no ponto 0.x =
Neste caso, calculamos o limite, usando (i)
1
20
limt
t
dx
x+→ ∫1
1
0lim
1tt
x+
−
→=
−
0
1lim 1t t+→
= − +
= ∞ .
Portanto, a integral 1
2
0
dx
x∫ diverge ou não existe.
Exemplo 7.22. Determinar, se existir, 4
02
dx
x −∫ .
Resolução: Observemos que 1
( )2
f xx
=−
não é contínua em 2.x = Assim,
4 2 4
0 0 22 2 2
dx dx dx
x x x= +
− − −∫ ∫ ∫ ,
se as integrais do segundo membro convergirem.
4
2 20
lim lim2 2
t
t tt
dx dx
x x− +→ →+
− −∫ ∫
4
02 2lim ln 2 lim ln 2
t
tt tx x
− +→ →= − + −
( ) ( )2 2
lim ln 2 ln 2 lim ln 2 ln 2t t
t t− +→ →
= − − − + − − .
Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado ∞ , logo podemos concluir que a integral proposta não existe, ou seja, a integral é divergente.
� Exercícios propostos
Calcular, se existirem, as seguintes integrais impróprias, indicar se converge ou diverge.
16) x
e dx
∞−
−∞∫ . 17)
1
0
lnx x dx∫ .
18) 3
20 9
dx
x−∫ . 19)
1
2
1
dy
y−∫ .
19
Aplicações
Nesta seção abordaremos algumas aplicações importantes da integral definida. Principalmente cálculo de área de uma região plana e fechada e também calcular comprimento de arco dado no plano.
Cálculo de área
Vamos considerar sempre a região que está entre os gráficos de duas funções.
Suponhamos então que ( )f x e ( )g x sejam funções contínuas no intervalo
fechado [ ], a b e que ( ) ( )f x g x≥ para todo x em [ ], a b . Então a área da região
limitada acima por ( )y f x= , abaixo por ( )y g x= à esquerda pela reta x a= e à direita
pela reta x b= , conforme ilustra a figura abaixo, é
( )( ) ( ) b
a
A f x g x dx= −∫ .
0
y
x
f(x)
g(x)
a b
A
[ ]
Quando a região não for tão simples como a da figura 8.1, é necessária uma reflexão cuidadosa para determinar o integrando e os limites de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.
Passo 1. Você faz o gráfico da região para determinar qual curva limita acima e qual limita abaixo.
Passo 2. Você determina os limites de integração. Os limites a e b serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas
( )y f x= e ( )y g x= . Para tanto iguala-se ( )f x e ( )g x , ou
20
seja, faz ( ) ( )f x g x= e resolve-se a equação resultante em
relação a x.
Passo 3. Calcule a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas.
Observação. Consideremos agora a área da figura plana limitada pelo gráfico
de ( )f x , pelas retas e x a x b= = e o eixo x, onde ( )f x é uma função contínua sendo
( ) 0f x ≤ , para todo x em [ ], a b , conforme figura abaixo.
0
y
x
f x( )
a b
A
O cálculo da área A é dado por
( ) b
a
A f x dx= ∫ ,
ou seja, basta você calcular a integral definida e considerar o módulo ou valor
absoluto da integral definida encontrada.
Exemplo 7.23. Determinar a área da região limitada entre as curvas:
2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = .
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos.
Passo 1. Esboço da região
-2 -1 0 1 2 3
2
4
6
8
10
x
y
21
Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazemos ( ) ( )f x g x= , isto é, 2 26 ou 6,x x x x+ = = + que fornece 2 6 0x x− − = . Pela fórmula de Bhaskara
encontramos as raízes da equação acima, 2 e 3x x= − = , que serão os limites de
integração. Observe pelo gráfico acima, que 26x x+ ≥ , para todo x em [ ]2, 3− .
Passo 3. Calculando a área da região limitada por ( ) 6y f x x= = + e 2 ( )y g x x= = em
[ ]2, 3− temos
( )( ) ( ) b
a
A f x g x dx= −∫
= ( ) ( )3 3
2 2
2 2
6 6 x x dx x x dx− −
+ − = + − ∫ ∫
= 3
2 3
2
62 3
x xx
−
+ −
=
2 3 2 33 3 ( 2) ( 2)6 3 6 ( 2)
2 3 2 3
− −+ × − − + × − −
= 29 4 8 + 18 3 12
2 2 3
− − − − −
= 9 8 + 18 9 2 12 +
2 3
− − −
= 9 8 9 18 30 89 10
2 3 2 3
+ − + + − − + = −
=27 22 27 22
2 3 2 3
−− = + =
81 + 44 125
6 6= u.a.
Portanto, a área limitada por 2( ) 6 e ( )y f x x y g x x= = + = = em [ ]2, 3− é 125
6
unidades de área.
Exemplo 7.24. Determinar a área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as
retas 1 e 3x x= = .
Resolução. Temos os seguintes passos.
Passo 1. Esboço da região.
22
1 1,5 2 2,5 3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
Passo 2. Os limites de integração são 1 e 3a b= = .
Passo 3. A área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as retas 1 e 3x x= =
será
( )3
3 3 22
1 1
5 5 3 2
x xA x x dx
= − = − ×
∫
= 3 2 3 23 3 1 1
5 53 2 3 2
− × − − ×
= 27 9 1 1
5 5 3 2 3 2
− × − − ×
= 45 1 5 18 45 2 15
92 3 2 2 6
− − − − − = −
= 27 13 27 13
2 6 2 6
− − − − = +
= 81 + 13 68 34 34
6 6 3 3
− − −= = = u.a.
Portanto, a área limitada pela curva 2( ) 5y f x x x= = − o eixo x e as retas 1 e 3x x= =
é 34
3
unidades de área.
� Exercícios propostos
20) Determinar a área da região limitada por 2( ) e ( )y f x x y g x x x= = = = − .
21) Determinar a área da região limitada por ( ) 1y f x x= = − + , o eixo x e as retas
2 e 0x x= − = .
22) Determinar a área da região limitada por 2( )y f x x= = e ( )y g x= 2 4x x= − +
23
23) Calcular a área da região limitada por 1
( )y f xx
= = , o eixo x e as retas
1 e 4x x= = .
Comprimento de arco
A seguir apresentaremos o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas
cartesianas. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [ , ]a b . Consideremos o
gráfico da função ( )y f x= .
y
y = f x( )
A ( ( ))= a,f a
B ( ( ))= b,f b
a b x
Sejam ( ), ( )A a f a e ( , ( ))B b f b dois pontos na curva ( )y f x= . Seja s o comprimento
da curva �AB do gráfico da função ( )y f x= . Então s é dado por
( )21 '( )b
a
s f x dx= +∫ .
Exemplo 7.20. Determinar o comprimento de arco da curva 12
xy = + , 0 3x≤ ≤ .
Resolução. Temos,
11 '
2 2
xy y= + ⇒ = .
Logo,
( )2
3
0
33
0
0
1 '( )
11
4
5 5 35.
4 4 2
b
a
s f x dx
dx
dx x
= +
= +
= = =
∫
∫
∫
Portanto, o comprimento de ( ) 12
xf x = + , para 0 3x≤ ≤ é dada por
35
2s = u.c.
� Exercícios propostos
24
Determine o comprimento das curvas dadas por:
24) 2 1
ln , 2 42 4
xy x x= − ≤ ≤ . 25) 3/ 2y x= de 0x = a 4x = .
26) ( )2ln 1y x= − de 1
4x = a
3
4x = . 27) 4
2
1 1
4 8y x
x= + de 1x = a 2x = .
28) ( )1
2
x xy e e−= + de 0x = a 1x = .
� Respostas1) a) 3 25 7
( ) 2 + 3 2
F x x x x K= − + .
b) 1
4( ) 4 F x x K−
= − + .
c) 1
2( ) 2 F x x K−
= − + .
d) ( ) ln ( 1)F x x K= − + .
e) 4
( )4
xeF x K= + .
2) a)
1 2
3( ) 3 2
xF x x K= + + e 3K = − .
b) 7
33
( ) 7
xF x x e K= + + e 1k = .
3) a) 5
38 16
5 3
xx x C− + + .
b)
1
3ln 6 x x C+ + .
c) 4
3
2
4 3 4
3
xC
xx
− − + .
d) 2 3
42 3
x xx C− − + .
e) 2
1
2C
x− + .
4) 31
2.
5) a) 21
4;
b) 2 1e − .
6) ( )2
4
7 -5C
x+ .
7) 1 C
x
−+ .
8) ( )3
2 21 1
6x C
−− + .
9) ( )25ln 4
2× .
25
10) 10 1− .
11) 2x xe x e C+ + .
12) 3
31ln
3 9
xx x C− + .
13) 3/ 2
3/ 22 4ln
3 9
xx x C− + .
14) ( )21ln
2x C+ .
15) x xx e e C− −− − + .
16) 2 .
17) 1
4− .
18) 2
π.
19) ∞ .
20) 4
3unidades de área.
21) 4 unidades de área.
22) 8
3 unidades de área.
23) 2 unidades de área.
24) 1
6+ ln2 6,1734
= u.c.
25) 21 1
ln5 2
−
u.c.
26) 123
32 u.c.
27) 1ln 2 ln 2 2 ln 2 3
2− + + + u.c.
28) ( )211
2e
e− u.c