Capítulo 5

Potenciação e radiciação 2

Capítulo 6

Frações 28

Capítulo 7

Polígonos 56

Volume 2

©Shutterstock/Ryan Rodrick Beiler

capí

tulo

Potenciação e radiciação 5

Conceito de potência

Potência de base 10

Radiciação

Relações entre

potenciação e radiciação

Expressões numéricas

o que vocêvai conhecer

No meio de uma praça ou em um shopping center,

uma música começa a tocar. Sem aviso, algumas pessoas

começam a dançar e, de repente, um grande grupo está

apresentando uma coreografia ensaiada, surpreendendo

os frequentadores do lugar. É um flashmob! Feito para ce-

lebrar datas ou ocasiões especiais, esse tipo de evento en-

volve um grande número de pessoas e exige preparação e

ensaio. Você sabe como se organiza um flashmob?

2

Matemática

Conceito de potência

Para comemorar o aniversário da escola, todos

os seus 363 alunos resolveram ensaiar um flashmob.

O professor de Educação Física criou uma coreogra-

fia e convidou 3 alunos para aprender a sequência de

passos. No segundo dia, cada um dos 3 alunos con-

vidou 3 amigos para fazer o mesmo. Assim, mais 9

pessoas aprenderam a coreografia nesse dia.

A figura que mostra como foi organizado o

flashmob é chamada de árvore de possibilidades.

O professor criou uma tabela para saber quantos

dias seriam necessários para todos os alunos apren-

derem os passos. Ao final do quinto dia, todos os 363

alunos da escola já sabiam a coreografia.

Dia Pessoas que aprenderam a coreografia Pessoas que sabem a coreografia

0 1 1

1 3 1 + 3 = 4

2 9 1 + 3 + 9 = 13

3 27 1 + 3 + 9 + 27 = 40

4 81 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

5 243 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364

Observe que, para calcular quantas pessoas aprenderam a coreografia em cada dia, basta

multiplicar o número de pessoas que aprenderam no dia anterior por 3.

No dia 0, o professor criou a coreografia. Então, apenas ele (1 pessoa) sabia dançá-la.

Associar potência à multiplicação de fatores iguais e identificar seus elementos.

Identificar números quadrados perfeitos, números cúbicos e potências decimais.

Compreender a radiciação como operação inversa da potenciação.

Identificar a ordem para a resolução das operações que formam uma expressão numérica.

Resolver expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais, a poten-ciação e a radiciação.

objetivos do capítulo

Die

go Munhoz. 2

014. Dig

ital.

3

No primeiro dia, por exemplo, 3 pessoas aprenderam a coreografia. Logo, 4 pessoas sabiam

os passos: 1 (professor) + 3 (alunos) = 4 (pessoas).

No segundo dia, foram 3 × 3, ou seja, 9 pessoas. Como 4 já sabiam os passos, eram

+ 3 + 9 = 13.

E assim se seguiram o terceiro e o quarto dias. No quinto dia, aprenderam a coreografia

3 × 3 × 3 × 3 × 3 pessoas, ou seja, 243 pessoas. Como no quarto dia 121 pessoas já co-

nheciam a coreografia (reveja a tabela), o total de pessoas que sabiam os passos era de

121 + 243 = 364, ou seja, 363 alunos e 1 professor.

Note que a quantidade indicada em cada linha na segunda coluna da tabela representa

sempre o triplo da quantidade expressa na linha anterior: na linha 0 temos o número 1, na

linha 1, o número 3, na linha 2, o número 9, e assim por diante, até a linha 5, em que temos o

número 243.

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Observe que, nessa multiplicação, o fator 3 se repete cinco vezes.

Em uma multiplicação de fatores iguais, pode-se utilizar a seguinte representação:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243

Uma multiplicação de fatores iguais é uma operação chamada de potenciação.

Cinco fatores iguais

Na potenciação:

expoente

43 = 4 × 4 × 4 = 64base potência

Base é o fator que se

repete.

Expoente é o número que

indica quantas vezes o fator

se repete.

Potência é o resulta-

do da operação chamada

potenciação.

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

COMO FAZEMOS A LEITURA DESSA NOVA OPERAÇÃO,

PROFESSORA?

BOA PERGUNTA! PODEMOS LER DA SEGUINTE MANEIRA:

QUATRO ELEVADO À TERCEIRA POTÊNCIA

4

Matemática

O quadrado de um número

A potenciação é uma operação que aparece em muitas situações do dia a dia.

Observe como construir quadrados utilizando quadradinhos. A quantidade de quadradi-

nhos usados para fazer um quadrado novo representa geometricamente números elevados

à potência 2.

Os números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49... pertencem a uma sequência numérica denominada

números quadrados perfeitos. Pode-se fazer a leitura das potências de expoente 2 da se-

guinte forma:

1² → um ao quadrado ou um elevado à segunda potência.

2² → dois ao quadrado ou dois elevado à segunda potência.

3² → três ao quadrado ou três elevado à segunda potência.

O cubo de um número

Observe os cubos construídos com cubinhos. A quantidade de cubinhos usados para fa-

zer um cubo novo representa geometricamente números elevados à potência 3.

42 = 4 × 4 = 16 12 = 1 × 1 = 1 22 = 2 × 2 = 4 32 = 3 × 3 = 9

3³ = 3 � 3 � 3 = 271³ = 1 � 1 � 1 = 1 2³ = 2 � 2 � 2 = 8

Os números 1, 8, 27, 64... pertencem a uma sequência numérica denominada números

cúbicos. É possível fazer a leitura das potências de expoente 3 da seguinte forma:

1³ → 1 ao cubo ou 1 elevado à terceira potência.

2³ → 2 ao cubo ou 2 elevado à terceira potência.

3³ → 3 ao cubo ou 3 elevado à terceira potência.

5

atividades

1 Utilizando papel quadriculado, verifique, por meio de desenhos, se é possível formar um quadrado com as quantidades de quadradinhos indicadas a seguir.

a) 5

b) 6

c) 10

d) 12

e) 16

f) 20

g) 25

h) 36

2 Em cada item, está indicada a quantidade de quadradinhos que formam um quadrado. Represente-a por meio de uma multiplicação de dois fatores iguais e por meio de uma potenciação.

a) 1

b) 4

c) 9

d) 16

e) 25

f) 36

Quantas vezes os fatores de cada multiplicação se repetem?

3 Escreva como se lê cada potência.

a) 56

b) 42

c) 105

d) 131

4 Complete a tabela.

Base Expoente Potenciação

2 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

5 4

73 = 7 × 7 × 7 = 343

2 142 = 14 × 14 = 196

35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

5 Represente as potências na forma de multiplicação de fatores iguais.

a) 64 =

b) 103 =

c) 35 =

d) 72 =

e) 06 =

f) 122 =

6 Use a potenciação para representar as multiplicações e apresente o resultado de cada item.

a) 4 × 4 × 4 × 4 =

b) 12 × 12 × 12 =

c) 5 × 5 × 5 × 5 =

d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 =

e) 10 × 10 =

f) 7 =

6

Matemática

7 Em cada item, escreva uma potenciação cujo resultado seja o valor indicado.

a) 81

b) 512

c) 125

d) 1 000

e) 64

f) 100 000

8 Observe as representações a seguir e complete os espaços em branco.

Analise os resultados obtidos e registre o que pode ser observado nas potenciações com os ex-poentes indicados a seguir.

• Todo número natural elevado a 1 é igual ao próprio número.

21 = 2 41 = 4 101 = 10

• Todo número natural, diferente de 0, elevado a 0 é igual a 1.

10 = 1 50 = 1 170 = 1

24 = 16

÷2

23 =

÷2

22 = 4

÷2

21 =

÷2

20 =

54 = 625

÷5

53 =

÷5

55 = 25

÷5

51 =

÷5

50 = 1

34 = 81

÷3

33 =

÷3

32 = 9

÷3

21 =

÷3

30 =

9 Determine o valor da potência com:

a) base 4 e expoente 3.

b) base 12 e expoente 2.

c) base 5 e expoente zero.

d) base 1 e expoente 20.

Expoente 1. Expoente 0.

7

©S

hu

tte

rsto

ck/D

ais

y D

ais

y

Potência de base 10

As potências de base 10 são muito úteis em diversas áreas do conhecimento. Uma de suas

aplicações consiste em reescrever números muito grandes, deixando a escrita mais simples.

A quantidade de lixo que produzimos todos os dias é cada vez maior, e grande parte dele vai

parar nos oceanos. Um dos grandes vilões da poluição ambiental são os canudinhos plásticos.

Leia o texto a seguir sobre a tendência mundial de banir esses objetos.

Em uma potência de base 10, o expoente indica a quan-

tidade de zeros existentes após o algarismo 1. Por exemplo:

1 000 000 = 106 e 100 000 = 105

1 Utilizando a potência de base 10, represente os números a seguir.

a) 10 000 000 =

b) 100 000 000 =

c) 100 000 000 000 =

d) 203 000 000 =

e) 5 200 =

f) 1 280 000 =

g) 73 400 000 =

h) 4 100 000 000 =

atividades

Os números impressionam: só nos Estados Unidos, mais de 500 milhões de canudos plásticos são utiliza-dos diariamente, de acordo com uma pesquisa do gover-no. O  Fórum Econômico Mundial relata a existência de 150  milhões de toneladas [...] de plásticos nos oceanos. Caso o consumo de plástico siga no mesmo ritmo de hoje, cientistas preveem que haverá mais plástico do que peixes no oceano até 2050.

POR QUE o canudo de plástico virou o inimigo número 1 do meio ambiente. Disponível em: <https://epocanegocios.globo.com/Mundo/noticia/2018/07/por-que-o-canudo-de-plastico-virou-o-inimigo-numero-1-do-meio-ambiente.html>. Acesso em: 12 set. 2018.

Observe que esses dois valores citados no texto também podem ser escritos do seguinte

modo:

500 milhões = 500 000 000 150 milhões = 150 000 000

Agora, veja como esses mesmos números podem ser escritos quando se utilizam

potências de base 10:

500 000 000 = 5 × 100 000 000 = 5 × 108 150 000 000 = 15 × 10 000 000 = 15 × 107

8

Matemática

IBGE. Nomes no Brasil. Disponível em: <https://censo2010.ibge.gov.br/nomes/#/search>. Acesso em: 13 set. 2018.

a) Complete a tabela.

Quantidade aproximada

Com algarismos e palavras

Somente com algarismos

Com uma multiplicação de potência de base 10

Habitantes no Brasil

Número de nomes diferentes

b) Assinale o número que mais se aproxima do número de habitantes:

com o nome Maria.

( ) 10 milhões

( ) 12 milhões

( ) 17 milhões

com o nome José.

( ) 4 milhões

( ) 7 milhões

( ) 6 milhões

c) Represente, por meio de uma potência de base 10, a quantidade de pessoas batizadas com o nome Maria, com a aproximação para a unidade de milhar.

Antes da década de 1930:

Na década de 1960:

Na década de 1990:

2 Responda às questões com base nas informações do texto.

Nomes no Brasil

“No Brasil, de acordo com o Censo Demográfico 2010, existem cerca de 200 milhões de ha-bitantes com mais de 130 mil nomes diferentes.”

De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), na época do Censo havia 11 734 129 brasileiras com o nome Maria, o mais comum. O segundo nome em populari-dade, José, foi adotado por 5 754 529 pessoas.

Antes da década de 1930, o nome Maria foi dado a 336 477 pessoas. Na década de 1960, as Marias chegaram ao auge da popularidade: 2 495 491 meninas receberam esse nome no período. Depois disso, o número de crianças batizadas de Maria diminuiu um pouco, até chegar a 544 296 na década de 1990.

Atualmente, em alguns estados do Nordeste brasileiro, um em cada dez habitantes se cha-ma Maria.

9

3 Escreva o número formado somente por algarismos que é representado por:

a) 3 × 103

b) 24 × 105

c) 12 × 104

d) 5 × 102

4 Assinale o número que mais se aproxima das quantias a seguir.

a) R$ 1.635.427,00

( ) 1 milhão

( ) 2 milhões

( ) 600 mil

b) R$ 248.000.000,00

( ) 300 milhões

( ) 200 milhões

( ) 250 milhões

c) R$ 452.343,10

( ) 450 mil

( ) 455 mil

( ) 460 mil

d) R$ 35.470,00

( ) 35 mil

( ) 40 mil

( ) 30 mil

e) R$ 1.100.000.000,00

( ) 11 milhões

( ) 100 milhões

( ) 1 bilhão

f) R$ 2.022.416,00

( ) 202 mil

( ) 2 milhões

( ) 20 milhões

5 Leia o texto a seguir e responda às questões.

a) Quais são os números citados no texto?

b) Entre os números citados no texto, escreva em forma de uma multiplicação de potência de 10:

O menor número:

O maior número:

c) Escreva os cinco menores números citados no texto em ordem crescente.

Você acredita que existem mais estrelas no céu do que grãos de areia em todas as praias? De acordo com os cálculos do físico Roberto Costa, devem existir aproximadamente 700 trilhões de m³ de areia nas praias da Terra, algo como 5 sextilhões de grãos. [...] "O número de estrelas também pode ser apenas estimado: em nossa galáxia, a Via Láctea, existem de 200 bilhões a 400 bilhões de estrelas. Estimando o número total de galáxias em 100 bilhões (mas talvez seja muito mais, talvez 500 bilhões!), tem-se no mínimo 10 sextilhões de estrelas, mas talvez chegue a 100 sextilhões! Portanto existem mais estrelas no universo do que grãos de areia na Terra."

QUAL O TAMANHO da Terra perto do resto do Universo? Confira estas comparações. Disponível em: <https://noticias.uol.com.br/ciencia/album/2015/03/27/estrelas-gigantes-sao-pontinhos-minusculos-no-espaco-veja-dimensoes-do-universo.htm>. Acesso em: 6 fev. 2019.

10

Matemática

Radiciação

De modo geral, quando se efetua uma operação matemática, é possível verificar se

ela está correta utilizando-se a operação inversa à primeira.

O boxe

O boxe foi por muito tempo chamado de “a nobre arte”. Talvez pela elegância dos movi-

mentos dos boxeadores quando estão sobre o ringue, esquivando dos golpes do adversário.

Como regra geral, só é permitido acertar socos nos adversários da cintura para cima. O espor-

te é organizado em uma série de torneios divididos por categorias, limitadas por peso.

O objetivo de um pugilista é acertar o maior número possível de golpes no seu adversário

e se defender para não ser atacado. O vencedor é aquele que somar o maior número de gol-

pes perfeitos no final de todos os assaltos ou provocar o nocaute do oponente.

[...]

O ringue é um quadrado com medidas

entre 4,9 e 7 metros em cada um dos qua-

tro lados.

[...]

As quatro cordas elásticas, com diâme-

tro entre 3 e 5 centímetros cada, devem en-

volver o ringue. São penduradas nos postes

a 41 centímetros, 71 centímetros, 102 cen-

tímetros e 132 centímetros de altura.

Vamos calcular o comprimento total de uma corda que en-

volve um ringue de boxe de tamanho máximo. Observe a visão

aérea desse ringue na imagem ao lado.

O comprimento da corda corresponde ao perímetro desse

quadrado e também pode ser calculado por meio de uma multi-

plicação de dois fatores.

4 × 7 m = 28 m

Para verificarmos se uma multiplicação foi efetuada corretamente, podemos efetuar

uma divisão. Observe:

4 × 7 m = 28 m

28 m : 4 = 7 m

Dividindo o resultado da multiplicação por um dos fatores, devemos obter o outro fator.

Isso comprova que a multiplicação foi feita corretamente.

@1

23

RF/

Ja

me

s S

teid

l

BOXE: conheça as regras e a história da modalidade. Disponível em: <http://www.ebc.com.br/esportes/rio2016/2016/07/boxe-conheca-regras-e-historia-da-modalidade>. Acesso em: 29 nov. 2018; REGRAS do boxe e boxe olímpico. Disponível em: <http://travinha.com.br/2010/02/12/boxe-a-luta/>. Acesso em: 29 nov. 2018.

7 m

7 m

11

Conceito de raiz quadrada

O judô

Outra modalidade de luta presente nos Jogos Olímpicos é o judô. Nesse esporte o lutador

usa a força do adversário para derrubá-lo. Não são permitidos chutes nem socos entre os

lutadores.

O judô é praticado sobre o tatame, local que apresenta em seu interior um material que

absorve o impacto. Ele tem a forma de um quadrado, cujos lados podem variar de 14 a 16

metros, e está dividido em três partes:

• Área de combate: Localizada dentro do quadrado vermelho, cada um dos seus lados deve

ter de 8 a 10 metros. Conhecido também por dojô, esta área conta com duas marcações

que são os locais onde os judocas iniciam e terminam as lutas.

• Área de perigo: É a parte pintada de vermelho. Esta área tem 1 metro de largura e serve

para quando os oponentes chegarem a ela, devem tentar voltar à área de combate ou

então encaixar o golpe no adversário.

• Área de segurança: É a área que fica fora do quadrado vermelho. Esta área mede 3 me-

tros de largura e os golpes aplicados nela não valem pontos.

REGRAS do judô. Disponível em: <http://travinha.com.br/2010/02/12/judo-a-luta/>. Acesso em: 29 nov. 2018.

A área do tatame depende da medida do lado do polígono que o representa. Como ele

tem o formato quadrado, basta elevar a medida do lado ao quadrado para determinar sua

área. Por exemplo, a área de um tatame de 14 m de lado é:

14 m × 14 m = 142 m2 = 196 m2

Para verificar se o cálculo da área do tatame está correto, pode-se calcular a medida de

seu lado a partir da área encontrada, realizando a operação inversa da potenciação, que é a

radiciação.

196 14, pois 142 = 196

Zona perigosa

Área de combate

Competidor

Competidor

Árbitro

Juiz

Juiz

14 a 16 m 14 a 18 m

8 m a 10 m 8 m a 10 m

3 m3 m

1 m

Área de segurança

Diego Munhoz. 2019. Digital.

12

Matemática

Para indicar uma raiz, utiliza-se o símbolo , denominado

de radical.

O índice mostra quantas vezes queremos que o número

seja multiplicado por ele mesmo.

Quando o índice é 2, como no exemplo, dizemos

que estamos calculando a raiz quadrada. Usual-

mente, indica-se a raiz quadrada de um número sem

escrever o índice no radical. Por exemplo:

9 3 → raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois

32 = 3 × 3 = 9.

Se a raiz tiver índice diferente de 2, será neces-

sário indicá-lo. Veja:

8 23 → raiz cúbica de 8 é igual a 2, pois

23 = 2 × 2 × 2 = 8.

Números quadrados perfeitos

Nem todo número natural é quadrado de outro. O número 11, por exemplo, não

é quadrado de nenhum outro número natural, pois não existe um número natural que

multiplicado por si mesmo resulte em 11.

Os números naturais quadrados de outros são chamados de números quadrados

perfeitos.

Estes são alguns números quadrados perfeitos:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

Relações entre potenciação e radiciação

Considere agora um tatame maior, que tem 225 m2 de área. Qual é a medida de seu lado?

É a operação inversa da potenciação, a radiciação, que nos permite calcular a medida do lado

do tatame. Nesse exemplo, a medida do lado do tatame cuja área tem 225 m2 é o número

natural que, elevado ao quadrado, resulta em 225. Ela é representada da seguinte forma:

Índice

Radicando Raiz quadrada

225 1522 2

m225 m2?

A PALAVRA "RAIZ" VEM DO LATIM RADIX, RADICIS. DAÍ O

NOME RADICAL.

13

atividades

1 Complete as tabelas considerando a relação entre potências e raízes.

RadicandoRaiz

quadradaBase Expoente Potência

49 7 72 2

225 15 152 225

2 Calcule e justifique o resultado.

a) 16 =

b) 169 =

c) 64 =

d) 256 =

e) 100 =

f) 400 =

g) 196 =

h) 9 =

3 A raiz quadrada de um número natural é 8. Que número é esse?

4 Laura reformou a sala de estar de seu apartamento. A sala tem a forma quadrada e sua área é igual a 25 m2.

a) Qual é a medida do lado dessa sala?

b) O arquiteto responsável pela reforma projetou uma estante que ocupará 2

5 do comprimento de

uma das paredes. Qual será o comprimento dessa estante?

14

Matemática

5 Responda às questões propostas.

a) Quantas faces tem o cubo?

b) Qual é o polígono que representa cada face de um cubo?

c) Sabendo que a soma das áreas das faces de um cubo é igual a 96 cm², qual é

a área de cada face?

Quanto mede cada aresta (borda) do cubo?

O senhor Manuel se interessou pelo anúncio e adquiriu a chácara, que

tem forma quadrada. Ele reservou um quarto 1

4

���

��� de toda a área para

a construção de sua residência (conforme a figura ao lado), e o restan-te da área será dividido igualmente entre seus quatro filhos.

Área doSr. Manuel

6 Em virtude do aumento da violência e dos altos índices de poluição registrados na maioria dos grandes centros urbanos, parte da população que vive nas grandes cidades busca imó-veis como fazendas, chácaras e sítios. Consultando os classifi-cados de um jornal, o senhor Manuel encontrou este anúncio:

a) Qual é a medida de cada lado do terreno da chácara?

b) A que fração da chácara corresponde a parte a ser dividida entre os filhos?

c) Quantos metros quadrados o senhor Manuel destinou para a construção de sua residência e quantos metros quadrados serão divididos entre os filhos?

d) Pinte na figura anterior as partes do terreno que cabem aos filhos, de maneira que tenham a mesma forma geométrica.

e) Agora, calcule o perímetro e a área do terreno de cada filho.

Perímetro: Área:

15

Como podemos extrair a raiz quadrada de números quadrados perfeitos sem utilizarmos

exaustivamente a forma de “tentativa e erro”?

Embora não exista uma maneira “mais fácil” de respondermos a esta questão, existem di-

versos métodos baseados em observações dos números e suas propriedades que podem nos

ajudar a resolver de forma eficiente algumas contas.

Por exemplo, vamos descobrir o valor de 4225 .

1º. Passo: Quantos algarismos tem a resposta?

Basta separarmos o número de dois em dois algarismos, da direita para a esquerda. A quan-

tidade de grupos formados é a quantidade de dígitos do resultado.

4225 42 25

Logo, 4225 tem dois dígitos, ou seja, 4225 ? ? .

2º. Passo: Qual é o último algarismo?

Quando tomamos um número e aplicamos a operação inversa da raiz quadrada, ou seja,

elevamos este número ao quadrado, ele nunca terminará em 2, 3, 7 ou 8! Teste esta afirmação

com alguns números e compare seus resultados na tabela a seguir.

Se um número terminar em... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

O quadrado deste número terminará em... 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Observe que, se um número foi elevado ao quadrado e terminou em 5, a única possibilidade

de isto acontecer é se este número também terminar em 5. Logo:

4225 5?

3º. Passo: Qual é o algarismo restante?

Esta parte necessita de um pouco mais de esforço para se compreendê-la bem. Observe

que o primeiro grupo que separamos em 4 225 (que é 42) está entre dois quadrados perfeitos

consecutivos, o 62( = 36) e o 72( = 49).

62 < 42 < 72

Portanto, os candidatos à resposta de 4225 são 65 ou 75. Testando estes dois valores,

concluímos finalmente que:

4225 65

Veja que, entre várias possibilidades iniciais, acabamos tendo que apenas testar duas delas

para chegarmos ao resultado. Muitas vezes refletir sobre um problema antes de "atacá-lo com

força bruta" pode facilitar (e muito) os cálculos e poupar tempo.

É com base nesses tipos de observações que programadores e cientistas da computação

conseguem desenvolver softwares cada vez mais rápidos.

conectado

16

Matemática

Expressões numéricas

Júlia comprou três calças a R$ 80,00

cada e dois pares de tênis a R$ 100,00 cada.

Deu uma entrada de R$ 50,00 e vai pagar o

restante em duas parcelas iguais. Observe a

expressão que Júlia resolveu para determi-

nar o valor a pagar em cada parcela.

[(3 × 80 + 2 × 100) – 50] ÷ 2 =

= [(240 + 200) – 50] ÷ 2 =

= [440 – 50] ÷ 2 =

= 390 ÷ 2 = 195

Nessa expressão, foi utilizado um novo sinal de associação, que permite resolvê-la de

maneira correta: os colchetes [ ].

Em expressões numéricas que apresentam parênteses e colchetes, as operações devem

ser resolvidas na seguinte ordem: primeiro as operações que estão entre parênteses e de-

pois as que estão entre colchetes.

Para resolver as operações indicadas nas expressões numéricas, também existe uma ordem:

1º. ) operações de potenciação e radiciação;

2º. ) operações de multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem, da esquerda

para a direita;

3º. ) operações de adição e subtração, na ordem em que aparecem, da esquerda para

a direita.

A seguir, observe um exemplo de resolução de expressões numéricas.

Adicione 7 elevado à terceira potência ao dobro de 20.

©S

hu

tte

rsto

ck/Z

ori

an

a Z

ait

sev

a

1º. ) Escreve-se a expressão em linguagem matemática. →

2º. ) É resolvida a operação de potenciação. →

3º. ) Resolve-se a operação que está entre parênteses. →

4º. ) É resolvida a operação de adição. →

7³ + (2 × 20) =

= 343 + (2 × 20) =

= 343 + 40 =

= 383

Observe os exemplos a seguir, que envolvem radiciação.

a) b) 5 5 12 144

25 5 144 12

5

2 2

: :

: :

� �� ���

12

17

�

� �� ��

1 3 25 2 169 4 2

1 9 5 2 13 4

2 1 4 � � � �

� � � �� �

:

:

� �� �� ��� ���

� ���� ����

�

16

1 2 9 16

28

17

atividades

1 Um pequeno agricultor dedica parte de seu tempo ao cultivo de variados tipos de legumes e vegetais. Para o cultivo de to-mates, ele reservou uma superfície quadrada de 25 m2. Satis-feito com os resultados obtidos com a plantação desse fruto, ele resolveu ampliar essa região em 4 m no comprimento e em 3 m na largura, conforme mostra a figura.

a) Que tipo de operação matemática devemos utilizar para encontrar a medida do lado da superfície reservada para o cultivo de tomates antes do aumento da região de plantio?

b) Qual é a raiz quadrada que representa a medida do lado da região de cultivo de tomates antes

do aumento?

c) Sem efetuar as operações, escreva as expressões numéricas que indicam:

o comprimento da nova região.

a largura da nova região.

d) Ainda sem efetuar as operações, escreva expressões numéricas que representem:

a área total da região com o aumento.

o perímetro da região com o aumento.

e) Considerando a área total depois do aumento das medidas, determine a área e o perímetro da região.

Área: Perímetro:

2 Escreva o valor correspondente a cada uma das expressões.

a) O quadrado de 6 adicionado a 3 elevado à quarta potência.

b) Três ao quadrado adicionado ao dobro de 3.

c) O quociente de 5 ao cubo por 5 elevado à primeira potência.

18

Matemática

3 Resolva as expressões a seguir.

a) 2³ × [20 + (4 × 7 ÷ 2²)]

b) 34 – (32 ÷ 8) × 5

c) 26 + (42 ÷ 3) × 4 + 30

d) 6³ – [2 + (4² – 3) × 5]

4 Um número natural x é expresso por (30 – 52) + (70 × 100 – 102). Determine o valor de x.

5 Determine o cubo do valor da expressão 125 144 3 81 1 20 3� � � � : .

6 (CMBH) Ricardo precisa digitar uma senha para ter acesso ao seu computador. Essa senha será o

resultado final da expressão:

25 3 17 10 6 8 4 2 2 3 4 4 5� � � � � � � �� �� � �� ��A senha que Ricardo deverá digitar é:

a) 1 b) 21 c) 19 d) 20 e) 5

7 (CMS) O resultado da expressão: 11 + 8 × 9 + 10 + 14 ÷ 7 + 2 × 3 + 2 é igual a:

a) 102 b) 103 c) 191 d) 192 e) 1930

19

8 Resolva as expressões numéricas a seguir.

a) 9 3 1�

b) 2 49 100� �

c) 2 16 52 �

d) 9 8 36 6 12 42 � � � �:

e) 169 144 1 22 �

f) 49

71 3 42� � �

9 2 × 3 + (43

Ele a resolveu da seguinte forma:2 × 3 + (43

Resolva a expressão e descubra quais foram os erros que ele cometeu.

20

Matemática

o que já conquistei

1 O texto a seguir apresenta informações sobre processo de fabricação de alguns alimentos, em es-pecial o iogurte. Leia o texto e, em seguida, destaque as informações sobre o iogurte.

As bactérias são seres vivos que se repro-duzem dividindo-se ao meio. Cada parte se torna uma nova bactéria. Uma divisão pode ocorrer a cada 20 minutos, e isso faz com

que o número de bactérias em uma colônia aumente muito rápido!

Observe o esquema do número de bacté-

rias que se reproduziram durante o período de uma hora.

a) Quantas bactérias haverá após 1 hora e

20 minutos?

b) Como podemos representar esse número por uma potência de base 2?

c) Qual é a potência que representa o número de bactérias após 3 horas?

d) Após 3 horas, haverá mais ou menos de 100 bactérias?

1

2 = 21

4 = 22

8 = 23

Do que é feito o iogurte?

As bactérias são organismos bem simples que são encontrados em prati-camente todos os locais do planeta. Co-nhecidas principalmente por causarem doenças, tais como pneumonia, tétano e tuberculose, esses seres vivos não cau-sam apenas prejuízos ao homem.

As bactérias também são importan-tes para a fabricação de alimentos, tais como os iogurtes, queijos, coalhadas e vinagres; na produção de insulina, que é usada no tratamento de diabetes, e até em tratamentos estéticos, como o Botox. Além disso, possuem importância ecológica, pois atuam na fixação de nitrogênio e na decomposição de organismos mortos.

No que diz respeito ao iogurte, elas são usadas para transformar o açúcar encontrado no leite (lactose) em ácido lático, que é responsável por coagular o leite. Esse processo é conhecido como fermentação.

SANTOS, Vanessa dos. Do que é feito o iogurte. Disponível em: <https://escolakids.uol.com.br/do-que-e-feito-o-iogurte.htm>. Acesso em: 21 set. 2018.

©S

hu

tte

rsto

ck/N

ew

Afr

ica

21

2 Calcule as potências a seguir. Depois, compare-as, utilizando os símbolos de maior (>), menor (<) ou

a) 34 e 43 , logo 34 43

b) 25 , logo 25 52

c) 70 e 17 , logo 70 17

d) 122 e 28 , logo 122 28

e) 73 e 27 , logo 73 27

f) 2040 e 2050 , logo 2040 2050

3 Em cada uma das igualdades, determine o expoente.

a) 7

b) 2

c) 99

d) 10

4 Observe o exemplo a seguir.

3 9

3 3 3 3 9 9 9

4 3

3 3 3 3 3 3

�� � � � � �

� � �

3 3 3 3 3 � � � � �

3 3 3 3 3

3 3

81 729

4 6

� � � �

��

Agora, compare os números 210 e 46. Qual deles é maior?

5 (ETEs - adaptado) Os microprocessadores usam o sistema binário de numeração para tratamento de

dados. Observe como funciona:

No sistema binário, cada dígito (0 ou 1) denomina-se bit (binary digit).

Bit é a unidade básica para armazenar dados na memória do computador.

Cada sequência de 8 bits, chamada de byte (binary term), corresponde a um determinado ca-ractere. Por exemplo, o caractere “a”, que corresponde à sequência 01100001, ocupa 1 byte; a

palavra “matemática” ocupa 10 bytes, e assim por diante.

Um quilobyte (Kb) corresponde a 1 000 bytes.

Um megabyte (Mb) corresponde a 1 000 Kb.

Um gigabyte (Gb) corresponde a 1 000 Mb.

Um terabyte (Tb) corresponde a 1 000 Gb.

Atualmente, existem computadores que permitem guardar 500 Gb de dados. Qual é o valor má-ximo, em bytes, que um computador deste tipo permite armazenar? Escreva a resposta como um produto de números e potências de 10.

22

Matemática

6 Sabendo que a área do quadrado branco é de 36 cm2 e que todas as partes da figura são quadrados, calcule a área total.

7 Calcule o perímetro dos quadrados abaixo a partir das áreas dadas.

121 cm281 cm2441 cm2

8 Considere o quadrado ABCD e as áreas de 36 cm2 e 169 cm2, referentes a dois

outros quadrados, como mostra a figura.

a) Calcule a medida do lado do quadrado que tem 36 cm2 de área.

b) Calcule a medida do lado do quadrado que tem 169 cm2 de área.

c) Determine a medida do lado do quadrado ABCD.

d) Qual é a área do quadrado ABCD?

e) Qual operação possibilita confirmar que a área obtida no item anterior está correta?

36 cm2

169 cm2

A B

D C

23

9 O número 1 285 pode ser escrito como uma expressão numérica formada com os algarismos que o compõem. Observe:

1 285 = (1 + 28) x 5Crie expressões numéricas com os algarismos que formam os números a seguir, na ordem em que se apresentam, de forma que o resultado seja o próprio número. Dica: todas as expressões envol-vem potências.

a) 2 502 =

b) 343 =

c) 736 =

d) 2 592 =

10 Um quilômetro corresponde a mil metros e um quilograma tem mil gramas. O prefixo quilo indica que devemos multiplicar a unidade, metro ou grama, por 1 000. Existem outros prefixos que indi-cam por quanto devemos multiplicar uma unidade para obter outra.

Fator Nome Símbolo

101 deca da

102 hecto h

103 quilo k

106 mega M

109 giga G

Fator Nome Símbolo

1012 tera T

1015 peta P

1018 exa E

1021 zetta Z

1024 yotta Y

O "byte" é uma unidade de medida de armazenamento de dados em um computador. A seguir, es-creva em bytes as quantidades equivalentes às indicadas, conforme os prefixos usados.

a) 16 megabytes =

b) 8 gigabytes =

c) 1,5 terabyte =

d) 1 petabyte =

11 Na figura, estão representados dois quadrados sobrepostos. O menor tem 81 cm2 de área. A medida do lado do quadrado menor é igual a um terço da medida do lado do quadrado maior. Com base nessas informações, responda às questões a seguir.

a) Qual é a medida do lado do quadrado menor?

b) Qual é a medida do lado do quadrado maior?

24

Matemática

c) Calcule a área do quadrado maior.

12 Dado um quadrado ABCD com 144 cm2 de área, responda ao que se pede.

a) Qual é a medida do lado desse quadrado?

b) Qual é a área do menor triângulo visível nessa figura?

13 Complete a tabela que relaciona a área de um quadrado com a medida de seu lado.

Área (cm2) 121 225 64

Lado (cm) 11 13 21 10

14 Resolva as expressões.

a) 100 10 22 �

b) 3 49 64� �

c) 3 3 813 � �

d) 121 2 3 5 102� � � �

e) 10 400 2 102 � � �

f) 3 81 9 6 36 2 50� � � �:

B C

A D

M

d) Qual é a área da superfície pintada de vermelho?

25

15 Resolva as expressões.

a) 5² – 20 + 3³

b) 10² ÷ 10 – 4 × 2¹ + 1

c) 8 + 2² ÷ 4 + (50 × 3³)

d) 4² + [2³ ÷ 4 – 2 + 5] + 3²

16 Determine o valor de cada potência.

a) Cinco ao cubo.

b) Sete ao quadrado.

c) Dois elevado à sexta potência.

d) Dezoito elevado a zero.

e) A sexta potência de dez.

f) Zero elevado à quinta potência.

17 Calcule:

a) a soma do quadrado de 9 com o dobro de 9.

b) a diferença entre o cubo de 3 e o triplo de 3.

c) o produto do quádruplo de 1 pela quarta potência de 1.

d) o quociente entre o quadrado de 9 e o triplo de 3.

18 Calcule e escreva o resultado de duas formas: um número natural e por meio de uma potenciação.

a) 10³ × 10²

b) 25 : 24

c) 6³ : 6¹

d) 35 : 33

26

Matemática

19 (OBM) Um quadrado de área 144 cm2 pode ser decomposto em seis quadrados de lados inteiros, não todos iguais. Qual é a soma dos perímetros de todos os seis quadrados?

a) 36 cm b) 84 cm c) 96 cm d) 112 cm e) 164 cm

20 Um número pode terminar com um dos algarismos 0, 1, 2, ..., 9. Analise o último algarismo de um número ao ser elevado ao quadrado.

Último algarismo do Nº. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Último algarismo do (Nº.)2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Observe, por exemplo, que o último algarismo de um número que termina em 9, elevado ao quadra-do, é 1. A conta genérica a seguir ilustra a afirmação.

8

* * * 9

× * * * 9

* * * 1

O símbolo * representa um algarismo qualquer. Afirme se os números a seguir têm a possibilidade de serem quadrados perfeitos. Justifique sua resposta.

a) ** 76

b) ** 28

c) ** 25

d) ** 77

e) *** 2

Que afirmações se pode concluir dos quadrados perfeitos?

27

©Shutterstock/LucVi

capí

tulo

Frações6

Ideias relacionadas

às frações

Problemas com frações

Frações equivalentes

Comparação de frações

Simplificação de frações

o que vocêvai conhecer

A música está em todo lugar! Há vários estilos e ritmos,

bem como uma grande variedade de instrumentos musi-

cais. Há muita matemática na música, o que podemos per-

ceber melhor ao examinar uma partitura.

Quais são os padrões matemáticos que existem em

uma música? O que podemos reconhecer ao analisar uma

partitura?

28

Matemática

Ideias relacionadas às frações

Todo mundo gosta de algum tipo de música! Al-

guns gostam tanto que resolvem aprender a tocar

um instrumento musical. Para saberem como execu-

tar uma certa música, os instrumentistas utilizam as

partituras.

Numa partitura, é possível encontrar todas as

notas musicais e o tempo em que serão tocadas,

além de alguns sinais (pausas), que são os momen-

tos de silêncio. Cada nota musical representa um

som. Observe que em uma partitura há um grupo

de linhas, chamado de pauta, e a posição das bo-

linhas na pauta indica quais são as notas musicais

a serem tocadas.

Veja a seguir a partitura da canção Parabéns a você.

©Shutterstock/bioraven

sol sol sol solsol sol résidólá lá

sol sol sol résidó dó dó dómi milá fá fá

Observe que a pauta está dividida em espaços mais ou menos do mesmo tamanho. Eles

servem para marcar o tempo de execução das notas.

partituras: representações escritas das partes de obras musicais.

Identificar numerador e denominador de uma fração e relacioná-la à sua representação por meio de desenho.

Resolver corretamente problemas envolvendo frações.

Identificar e obter frações equivalentes a uma fração dada.

Usar equivalência para poder comparar frações.

Usar a simplificação de frações para obter uma fração na forma irredutível.

objetivos do capítulo

29

Die

go

Mu

nh

oz.

20

18

. Dig

ita

l.

Para indicar a duração dos sons, as notas têm sete formas diferentes.

Nome da forma

Forma Fração da nota que representa a duração do tempo

Semibreve 1

Mínima1

2

Semínima1

4

Colcheia1

8

Semicolcheia1

16

Fusa1

32

Semifusa1

64

Em um intervalo de tempo, que pode demorar um ou mais segundos, dependendo da

música, o instrumentista executa as notas indicadas na partitura.

HÁ OUTRAS DIFERENÇAS

ENTRE AS NOTAS! VEJA!

ALGUMAS NOTAS TÊM BOLINHAS

CHEIAS E OUTRAS TÊM BOLINHAS VAZADAS. POR

QUE SERÁ?

30

Matemática

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

Em uma fração:

o número que fica abaixo do traço é o denominador, o qual indica em quantas partes

iguais o todo foi dividido, por isso é sempre diferente de zero;

o número que fica acima do traço é o numerador, o qual indica quantas partes iguais

são consideradas.

Observe um exemplo: o tempo de duração de uma colcheia é 1

8 do tempo de duração

da semibreve. Isso significa que o tempo de duração da semibreve foi dividido em oito

partes iguais e que se considerou uma dessas partes.

�min

1

8

Numerador

Deno ador

Uma semibreve tem a duração de todo um espaço de

tempo. Na partitura, ela aparece sozinha entre duas mar-

cações de espaço.

Dizemos que o tempo de uma mínima representa

metade 1

2

�

��

�

�� do tempo de uma semibreve, então, duas

mínimas formam uma semibreve.

O tempo de uma semínima representa um quarto

1

4

�

��

�

�� do tempo de uma semibreve.

Observando as formas e as frações relacionadas ao tempo de duração, responda às

perguntas.

a) Quantas colcheias cabem em um es-

paço de tempo?

b) E quantas semicolcheias cabem em

um espaço de tempo?

c) Uma semínima equivale a quantas

colcheias?

d) Uma mínima equivale a quantas col-

cheias?

Note que, na tabela, as notas musicais também estão representadas como uma fração do es-

paço de tempo. A palavra "fração" significa “parte”. Assim, sempre que dividimos algo em partes

menores do que um inteiro, podemos usar frações para representar o tamanho dessas partes.

As frações sempre podem ser representadas geometricamente como uma figura (o todo)

dividido em partes iguais, por exemplo:

3

8

2

6

1

3

4

7

A UNIDADE DE VALOR É A

SEMIBREVE. CADA NOTA VALE METADE DA ANTECESSORA

31

A seguir, veja como ler uma fração por meio dos exemplos dados.

LEITURA DE FRAÇÕES COM

DENOMINADORES MENORES QUE 10

LEITURA DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES

IGUAIS A 10 OU MAIORES QUE 10

Fração Denominador Leitura Fração Denominador Leitura

1

11 Um inteiro

2

1010 Dois décimos

1

22 Um meio

9

1111 Nove onze avos

3

22 Três meios

3

1515

Três quinze

avos

5

33 Cinco terços

45

6363

Quarenta e cinco e sessenta

e três avos

3

44 Três quartos

1

100100 Um centésimo

3

55 Três quintos

3

10001 000 Três milésimos

2

66 Dois sextos

7

10001 000 Sete milésimos

4

77 Quatro sétimos

20

100000100 000

Vinte

centésimos de milésimos

6

88 Seis oitavos

10

1000010 000

Dez décimos de

milésimos

1

99 Um nono

5

10000001 000 000

Cinco milésimos de milésimos

Observe que, na tabela, aparece a palavra avos. Esse termo é utilizado quando o todo

é dividido em mais de dez partes iguais. Assim, quando o denominador for maior que 10 e

diferente de 100, 1 000, 10 000, etc., deve-se ler o denominador seguido da palavra avos.

Uma fração com denominador 1 000 000 também pode ser lida como “milionésimo”.

32

Matemática

atividades

1 Escreva a fração que representa a parte colorida de amarelo, considerando que cada figura foi divi-dida em partes iguais.

a) b) c)

2 Preencha a cruzadinha escrevendo como se lê cada fração indicada.

3 Escreva a fração que representa:

a) dez minutos de uma hora.

b) um bimestre do ano.

c) um ano de uma década.

d) doze horas do dia.

2

12

20

1313

10 3

5

3

7

6

6

1

10

33

a) Aninha vendeu um terço do bolo que fez.

b) Marcela comeu três quintos de seu chocolate.

c) Caio percorreu dois sextos do corredor pulando em um pé só.

d) Júlia nadou quatro sétimos do compri-mento da piscina.

5 Marcos comprou um litro de suco de morango e tomou 200 mL no lanche. Que fração representa a quantidade de mililitros de suco que ele ingeriu?

4 Represente cada fração numericamente e por meio de um desenho.

6 Assinale as figuras que têm exatamente sua metade colorida.

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )

7 Uma doceria monta diversas embalagens com doces para vender. Nestas embalagens, para cada 1 pirulito, existem 2 chicletes, e para cada chiclete, existem 3 balas. Se em determinado dia a doceria

fizer uma embalagem com 30 pirulitos, responda:

a) quantos chicletes terão neste conjunto?

b) quantas balas terão neste conjunto?

c) qual é a fração que representa o número de chicletes desta embalagem?

d) qual é a fração que representa o número de balas e pirulitos, juntos, desta embalagem?

34

Matemática

8 Estes são os moradores de apenas um prédio. Entre eles, 3

4 utilizam a área de lazer diariamente.

©S

hu

tte

rsto

ck/K

ali

nin

Ily

a

a) Pinte a quantidade de figu-ras que corresponde a essa fração. Quantas pessoas você pintou?

b) Quantas pessoas não utili-zam a área de lazer diaria-mente?

c) Que fração corresponde ao número de pessoas do prédio que não utilizam diariamente a área de lazer?

9 Em uma classe do 6º. ano há 35 alunos, dos quais 17 são meninas. Que fração representa a quantidade de meninos que há nessa classe?

10 Leda faz biscoitos para vender.

Escreva a fração que representa a quantidade de biscoitos que não são de chocolate.

11 O time de futebol em que Tiago é goleiro disputou 38 partidas

em um campeonato e venceu 27 delas. Escreva a fração que representa a quantidade de:

a) partidas vencidas.

b) partidas perdidas ou empates.

FIZ 250 BISCOITOS

PARA VENDER E, DESTES,

120 SÃO DE CHOCOLATE.

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

35

12 Um grupo de 30 turistas foi visitar o Museu Oscar Niemeyer, na cidade de Curitiba, no estado do Paraná.

Sabendo que, do total de turistas, 12 já haviam visitado o museu, escreva a fração desse grupo que representa:

©S

hu

tte

rsto

ck/R

.M. N

un

es

a) a quantidade de turistas que já haviam visitado o museu.

b) a quantidade de turistas que visitaram o

museu pela primeira vez.

13 A professora de uma escola de música fez uma pesquisa com seus alunos sobre o gênero musical preferido de cada um. O gráfico a seguir apresenta os resultados.

a) Quantos alunos responderam a essa pesquisa?

b) Que fração do total de alunos escolheu MPB?

c) Qual gênero musical representa a maior fração de alunos?

d) Que fração do total de alunos não escolheu rock?

e) Qual fração do total de alunos não escolheu sertanejo?

Rock Pop Sertanejo MPB Rap

2

0

4

6

8

10

12

14

16

Quantidadede alunos

Gênero

Gênero musical

36

Matemática

Problemas com frações

Considere as situações a seguir.

Situação 1

Luciana fez 35 quindins e já vendeu 1

5 dessa

quantidade. Quantos quindins ela já vendeu?

1

535 35 5 7de �

Luciana já vendeu 7 quindins.

Situação 2

quindins: tipo de doce feito de coco, gemas de ovos e açúcar.

Carina é professora de Arte e vai acompanhar seus alunos em uma visita a um museu.

Dos 24 alunos, 2

3 nunca visitaram um museu. Essa fração representa quantos alunos?

24 alunos

8 alunos8 alunos 8 alunos

Portanto, 16 alunos nunca visitaram um museu.

Situação 3

Em uma empresa, 4 funcionários não foram trabalhar, o que corresponde a 2

9 do total de

empregados. Quantos funcionários trabalham nessa empresa?

Considere que este retângulo representa o total de funcionários:

Dividindo-o em 9 partes iguais, temos:

2

9

2

9 correspondem a 4 funcionários

1

9

1

9 corresponde a 2 funcionários

9

9

2 2 2 2 2 2 2 2 2

9

9 correspondem a 18 funcionários

2

324

24 3 8

de alunos correspondem a:

� � e 8 2 16

Ce

sar

Sta

ti. 2

01

4. D

igit

al.

37

1 Fátima comprou uma caixa de ovos igual à que está representada na imagem a seguir. Ela usou 2

3 do

total de ovos que comprou para fazer um bolo de chocolate. Quantos ovos ela utilizou na receita?

Ce

sar

Sta

ti. 2

01

4. D

igit

al.

Se 2

9 correspondem a 4 funcionários, então:

1

9 corresponde a 2 funcionários, pois 4 ÷ 2 = 2 e

9

9 correspondem a 18 funcionários, pois 2 × 9 = 18.

Observe que as três situações apresentadas se utilizaram das frações por diferentes

métodos.

• Para calcularmos a fração de uma quantidade, devemos dividi-la pelo número que está

no denominador e, em seguida, multiplicar o resultado pelo numerador. Por exemplo,

2

324 24 3 2 16de � � � .

• Quando é dado um número correspondente de uma quantidade, para obter o todo, basta

dividir o número pelo numerador e, em seguida, multiplicar o resultado pelo denomina-

dor. Por exemplo, se 12 é 3

5 de uma quantidade, fazemos 12 ÷ 3 = 4, ou seja, obtemos

1

5

desta quantidade. Portanto, fazemos 5 × 4 = 20 para obtermos a quantidade total.

atividades

38

Matemática

2 Paulo é gerente de uma pizzaria que se diferencia das demais por servir pizzas quadradas. Um grupo de amigos que foi à pizzaria pediu 3 pizzas: 2 médias (1 de calabresa e 1 de milho) e 1 grande (de muçarela).

a) Em quantos pedaços iguais foi dividida cada pizza?

Calabresa: Milho: Muçarela:

b) Sabendo que André comeu somente um pedaço da pizza de milho, que fração dessa pizza ele comeu?

c) Aninha comeu um pedaço da pizza de muçarela. Que fração dessa pizza ela comeu?

d) Pode-se afirmar que André e Aninha comeram a mesma quantidade de pizza? Justifique sua resposta.

e) Júlia comeu 2

8 da pizza de milho e Kaio,

1

4 da pizza de calabresa. Quem comeu mais: Kaio ou

Júlia? Justifique sua resposta.

f) Sabendo que a pizza grande custa R$ 48,00, determine qual seria o preço de:

Ja

ck A

rt. 2

00

6. D

igit

al.

Calabresa Milho Muçarela

1

8 dessa pizza.

2

4 dessa pizza.

g) Quanto custa a pizza média, levando em consideração que seu valor equivale a 3

4 do preço da

pizza grande?

39

3 Na sala de Marina, há seis alunos que vêm para a escola a pé, o que corresponde a 2

5 do total de

estudantes. Quantos alunos estudam nessa turma?

5 (SARESP) Dois terços da população de um município correspondem a 36 000 habitantes.

Pode-se afirmar que esse município tem

a) ( ) 18 000 habitantes.

b) ( ) 36 000 habitantes.

c) ( ) 48 000 habitantes.

d) ( ) 54 000 habitantes.

6 Laura tinha em sua carteira R$ 120,00 e passou por três lojas para fazer compras. Na primeira loja, gas-

tou metade do que tinha. Na segunda loja, gastou um terço do que sobrou. Por fim, na última loja, gas-tou a quarta parte do que restou da compra anterior. Ao fim do passeio, quanto de dinheiro sobrou na

carteira de Laura?

4 Para a festa de aniversário de Paula foram convidadas 35 pessoas, das quais 3

7 eram colegas da

escola. Quantos convidados não eram colegas da escola?

40

Matemática

Frações equivalentes

Bernardo e Lucas vendem frutas na feira e sempre têm melancias fatiadas para quem quer

fazer um lanchinho rápido. Como eles recebem as melancias de um mesmo produtor, elas têm

aproximadamente o mesmo tamanho. No início do dia, Bernardo pega uma melancia madura e a

divide em 8 fatias iguais. Assim, cada fatia representa 1

8 de uma melancia inteira.

Os clientes de Lucas preferem fatias menores, então, no início do dia, ele divide uma

melancia, que tem o mesmo tamanho da que Bernardo vende, em 16 fatias iguais. Cada fatia

representa 1

16 de uma melancia inteira.

Certo dia, na hora do almoço, Bernardo notou que havia vendido 4 das 8 fatias que tinha,

e Lucas viu que havia vendido 8 de suas 16 fatias. Eles perceberam que ambos haviam vendi-

do exatamente a metade do que tinham.

Cada um havia vendido 1

2 de uma melancia. As fatias vendidas por Bernardo correspon-

diam a 4

8 de sua melancia, e as fatias vendidas por Lucas, a

8

16 da melancia que havia dividido.

As frações 1

2

4

8

8

16, e são equivalentes, pois representam a mesma quantidade.

Ilu

stra

çõe

s: ©

Sh

utt

ers

tock

/Uil

iaa

a

Duas ou mais frações são equivalentes quando representam a mesma parte de um

todo. Observe como é possível obter frações equivalentes.

Para encontrar uma fração equivalente a outra, devem-se multiplicar ou dividir o

numerador e o denominador da fração por um mesmo número, diferente de 0.

3

5

6

10

3

5

9

15

15

25

3

5

27

45

3

5

× 2 × 3 ÷ 5 ÷ 9

× 2 × 3 ÷ 5 ÷ 9

41

b) Quem bebeu mais água?

1 Quais pares de frações a seguir são equivalentes? Justifique sua resposta.

a) 2

3

10

15e b)

24

36

4

12e c)

8

9

64

72e d)

48

54

8

9e

2 Complete as frações com o número adequado para que se tornem equivalentes.

a) 6

8 56e

b) 12

100 25e

c) 44

88

4e

d) 3 15

125e

e) 200

2

20e

f) 20

25 5e

3 Escreva uma fração com denominador 30 que seja equivalente à fração 5

6.

atividades

4 Escreva duas frações equivalentes a:

a) 1

3 b)

12

48

5 Em uma corrida, estavam sendo distribuídas garrafas de água mineral para os participantes. Paloma

recebeu uma garrafa e bebeu 1

5 do conteúdo. Márcia recebeu uma garrafa igual e bebeu

2

10 da água

que havia nela.

a) Represente com desenhos a quantidade de água que cada uma delas bebeu.

42

Matemática

Comparação de frações

Considere as situações a seguir.

Situação 1

Márcio e Andreia fizeram uma viagem de carro. Márcio dirigiu por 3

7 do trajeto e Andreia

conduziu o carro por 4

7 do percurso. Quem ficou na direção durante a maior parte da viagem?

Observe a figura com a representação geométrica das partes do trajeto em que cada um

dirigiu.

3

7

4

7

Quando os denominadores das frações são iguais, a maior fração é a que tem o

maior numerador.

7

8

2

3

Situação 2

Vamos utilizar a representação geométrica para comparar duas frações com denominadores

diferentes: 7

8

2

3e . Para fazermos essa comparação, precisamos considerar duas barras do mes-

mo tamanho. Em cada uma vamos representar uma das frações, dividindo a barra no número de

partes indicado no denominador e colorindo a quantidade indicada no numerador.

Observe as frações e a parte colorida que as representa em cada figura.

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

Pela figura, podemos perceber que 3

7

4

7 (três sétimos é menor que quatro sétimos).

Logo, foi Andreia quem dirigiu durante a maior parte do trajeto.

PARA COMPARARMOS ESSAS FRAÇÕES, TAMBÉM

PODEMOS ENCONTRAR FRAÇÕES EQUIVALENTES

A 78

23

E QUE TENHAM O

MESMO DENOMINADOR.

43

Observe que:

tanto 7

8 como

2

3 são partes de um inteiro de mesmo tamanho;

em relação a 7

8, falta

1

8 para completar uma unidade;

em relação a 2

3, falta

1

3 para completar uma unidade.

O que falta à fração 7

8para completar uma unidade é menor do que o que falta à fração

2

3. Por isso,

7

8 é maior que

2

3. Logo: 7

8

2

3.

Observe, então, como determinar frações equivalentes a 7

8

2

3e .

7

8

14

16

28

32

2

3

4

6

6

9

8

12

10

15

12

18

14

21

21

24

16

24

Considerando as frações destacadas equivalentes às primeiras com o mesmo denomina-

dor e comparando-as, podemos dizer que:

21

24

16

24

7

8

2

3, ent oã

Quando temos duas frações com denominadores diferentes, nem sempre é possível

fazer a comparação imediatamente, isto é, estabelecer uma relação de desigualdade. Nesse

caso, podemos substituir as frações dadas por frações equivalentes, de maneira que ambas

tenham o mesmo denominador e, em seguida, compará-las.

Observe a comparação entre as frações 2

3

4

5e .

2

3

4

6

6

9

8

12

10

15

4

5

8

10

16

20

20

25

12

15

Quando obtemos frações equivalentes às frações dadas e com denominadores iguais,

fica mais fácil compará-las.

2

3

10

15

4

5

12

15

10

15

12

15

�

���

���

� , então 2

3

4

5.

44

Matemática

1 Sabendo que cada par de frações se refere ao mesmo inteiro, em seu caderno represente cada fra-ção com um desenho. Depois, complete os espaços com os sinais de maior que (>), menor que (<) ou

igual a (=).

a) 4

6

5

6b)

7

15

5

15c)

20

25

4

5

2 Jonas é dono de duas academias: A e B. Na academia A, a fração que representa o número de

mulheres é 7

12 de seu total e, na B,

9

20 de seu total. Em qual academia há maior quantidade de

mulheres?

atividades

3 (OBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?

a) ( ) 7

18

b) ( ) 4

9

c) ( ) 1

3

d) ( ) 5

9

e) ( ) 1

2

4 Escreva as frações 4

3

9

5

7

10

1

6, , e em ordem decrescente.

45

5 Todo mês, Marcos cria um gráfico para registrar as despesas da família. Observe o gráfico do mês de maio e responda às perguntas a seguir.

b) Se os gastos com saúde e educação foram iguais, escreva a fração do orçamento que representa o gasto com educação.

Simplificação de frações

Quando o numerador e o denominador de uma fração são divididos pelo mesmo número

(diferente de zero), outra fração equivalente à primeira é determinada, com termos menores. Ao

fazermos isso sucessivamente, estamos simplificando essa fração, até não haver mais um divisor

comum. Quando uma fração não pode ser simplificada, dizemos que é uma fração irredutível.

Observe o exemplo a seguir.

A fração 3

4 é a forma irredutível de

54

72.

c) Se os gastos com transporte, diversão e vestuário foram iguais, escreva a fração do orçamento que representa o gasto com vestuário.

a) Escreva a fração do orçamento que representa o gasto com moradia.

÷ 2 ÷ 3 ÷ 3

÷ 2 ÷ 3 ÷ 3

54

72

27

36

9

12

3

4

Moradia

Alimentação

Transporte

Diversão

Vestuário

Saúde

Educação

DESPESAS DE MAIO

46

Matemática

1 Mauro é maestro de uma orquestra sinfônica composta por 70 músicos. Observe como os músicos

e seus instrumentos ficam dispostos.

atividades

a) Escreva uma fração que represente o número de instrumentistas que tocam violas em relação

ao total de músicos.

b) Complete a tabela.

INSTRUMENTOS

Piano Trompa Fagote Violoncelo Oboé Violino

Fração irredutível que representa

cada instrumento

em relação ao todo

c) Quantos instrumentos correspondem a:

3

7 dos instrumentos da orquestra?

6

7 dos instrumentos da orquestra?

Ja

ck A

rt.

20

06

. D

igit

al.

Co

rel.

47

2 Em cada item, encontre uma fração equivalente com o menor denominador possível.

a) 45

75

b) 144

60

c) 14

18

d) 24

36

1 (SARESP) Em uma turma há 10 meninos e 15 meninas. A fração que pode representar a relação en-tre o número de meninos e o total de estudantes dessa turma é:

a) ( ) 10

15b) ( )

15

10c) ( )

10

25d) ( )

25

10

o que já conquistei

2 Assinale com um X os pares de frações equivalentes.

a) ( ) 2

3

10

12e

b) ( ) 42

58

6

8e

c) ( ) 4

5

28

35e

d) ( ) 33

99

11

9e

e) ( ) 3

7

24

56e

f) ( ) 35

60

7

12e

3 Escreva na forma irredutível a fração que representa:

a) 25 cm em relação a 1 m.

b) 20 m em relação a 1 km.

c) 30 segundos em relação a 1 hora.

d) 4 horas em relação a 1 dia.

3 No Brasil, existem várias orquestras sinfônicas. Considere uma formada por 80 instrumentistas, dos quais 48 perten-cem à família das cordas. Que fração, na forma simplifica-da, representa esses instrumentistas?

48

Matemática

4 Um eficiente sistema de conservação de alimentos é o congelamento. Ele não só evita que micro--organismos se desenvolvam como mantém inalteradas as características dos alimentos, desde que submetidos a boas condições de armazenamento.

Na instrução de preparo de um peixe, encontra-se a seguinte indicação: deixar descongelar por

1

2 hora e colocar em forno quente para assar durante

1

4 de hora. Gasta-se mais tempo para descon-

gelar ou para assar o peixe? Justifique sua resposta.

5 (PROVA BRASIL) Observe as figuras:

José Pedrinho

7 A parte colorida representa que fração irredutível da figura?

Pedrinho e José fizeram uma aposta para ver quem comia mais pedaços de pizza. Pediram duas pizzas de igual tamanho. Pedrinho dividiu a sua em oito pedaços iguais e comeu seis. José dividiu a sua em doze pedaços iguais e comeu nove. Então,

a) ( ) Pedrinho e José comeram a mesma quantidade de pizza.

b) ( ) José comeu o dobro do que Pedrinho comeu.

c) ( ) Pedrinho comeu o triplo do que José comeu.

d) ( ) José comeu a metade do que Pedrinho comeu.

6 Encontre uma fração equivalente a 3

8 cuja soma do seu numerador com seu denominador seja 55.

49

8 Uma parte da água de que nosso corpo necessita pode ser encontrada nos alimentos.

Observe a tabela com a quantidade aproximada de água em alguns alimentos e responda às per-guntas a seguir, justificando suas respostas.

Alimento Volume de água Alimento Volume de água

Acerola9

10Leite

91

100

Alface96

100Manteiga

1

8

Arroz integral

cozido

7

10Ovo

3

4

Cenoura90

100Pepino

19

20

Fonte: SANTOS, Vanessa S. dos. Água dos alimentos. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/biologia/Agua-dos-alimentos.htm>. Acesso em: 25 set. 2018.

a) Qual alimento tem mais água: o leite ou a cenoura?

b) Qual alimento tem mais água: a acerola ou a cenoura?

c) Em qual dos alimentos presentes na ta-bela a água representa menos da metade do seu volume?

d) Qual dos alimentos listados tem a maior quantidade de água?

9 (PROVA BRASIL) Um dia tem 24 horas, uma hora tem 60 minutos e 1 minuto tem 60 segundos.

A fração da hora que corresponde a 35 minutos é:

a) ( ) 7

4b) ( )

7

12c) ( )

35

24d) ( )

60

35

50

Matemática

10 Escreva uma fração irredutível que corresponda à parte pintada em cada desenho.

a)

b)

c)

d)

11 Marcelo percorre diariamente 4

5 do trajeto de casa até o trabalho de ônibus e o restante

a pé. Sabendo que todo o caminho tem 8 km, calcule quantos metros ele percorre a pé.

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

12 O teatro da escola em que Murilo estuda tem 400 lugares. Esse número corresponde a 5

8 do total

de alunos. Quantos estudantes há nessa escola?

13 Em um grupo de 120 crianças, 36 são filhos únicos. Essa quantidade corresponde a que fração irre-dutível do total de crianças?

51

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

14 Dois times de futebol estão disputando o mesmo campeonato. Até agora, o time verde participou de 8 partidas e venceu 6, e o time amarelo participou de 6 partidas e venceu 5. Qual dos times teve o melhor aproveitamento até agora?

15 O professor de Matemática de Lucas lhe deu uma lista com 30 questões. Do total delas, 1

3 envolvia

frações, 2

5 eram de porcentagem e o restante tratava de potenciação.

Calcule quantas questões de cada assunto havia.

Frações:

Porcentagem:

Potenciação:

16 Escreva uma fração equivalente a:

a) 3

7 que tenha denominador 21.

b) 1

2 que tenha denominador 12.

c) 4

12 que tenha numerador 16.

d) 12

36 que tenha denominador 6.

e) 25

100 que esteja na forma irredutível.

f) 35

49 que tenha numerador 5.

17 Em um concurso, havia 64 candidatos inscritos, dos quais apenas 48 compareceram. Represente, na forma de fração irredutível, os candidatos que faltaram em relação ao total de candidatos inscritos.

52

Matemática

19 Dona Soraia nasceu e viveu 1

4 de sua vida em Recife, depois se mudou com a família para o Rio de

Janeiro, onde permaneceu por mais 1

4 de sua vida, até mudar-se para João Pessoa. Nessa cidade ela

viveu até falecer, aos 80 anos. Quantos anos dona Soraia viveu em João Pessoa?

18 A maior parte do telhado de um quiosque, que tem a forma de um hexá-gono, já foi pintada de marrom-escuro. Considere a divisão do telhado em partes iguais e responda: qual fração do telhado ainda não foi pinta-da de marrom-escuro?

20 O painel abaixo é feito de azulejos coloridos.

a) Que fração do painel representa o azulejo azul?

b) Que fração irredutível representa os azulejos amarelos

que compõem o painel?

c) Que fração irredutível representa os azulejos vermelhos?

d) Que fração irredutível representa os azulejos verdes?

e) Que fração irredutível representa os azulejos

alaranjados?

21 (OBMEP) Os pontos destacados nos quadrados abaixo são pontos médios dos lados.

Quantos desses quadrados têm área sombreada igual a 1

4 de sua área?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

53

23 Considere dois jarros, onde um está com 5L de água e o outro está com 5L de vinho. Uma pessoa retira 1L do jarro com água e despeja no jarro com vinho, depois retira 1L do recipiente com a mis-tura e despeja no recipiente com água. Após esta ação, existirá mais água no jarro de vinho ou mais vinho no jarro de água? Justifique sua resposta.

24 O retângulo ABCD foi dividido em partes iguais. A área do triângulo BED representa que fração da área do retângulo? Explique seu raciocínio.

22 Sabendo que a área do retângulo a seguir é de 20 cm2, e que os pontos destacados dividem os lados do retângulo ao meio, quanto vale a área sombreada?

A B

D CE

54

Matemática

O jogo das frações

Recorte do material de

apoio os dados amarelo e

azul e as peças coloridas para

comparação de frações.

Para jogar, devem ser ob-

servadas as regras a seguir.

Número de jogadores:

2 a 4.

Material: um dado amarelo;

um dado azul; peças para com-

paração de frações; papel; lápis.

Como jogar

Em uma folha de papel, cada jogador deve desenhar uma tabela para marcar seus pon-

tos, como no modelo abaixo.

VITÓRIAS

Cada jogador, na sua vez, deve jogar os dados e observar o resultado. O dado azul indica o

denominador de uma fração, e o dado amarelo, o numerador. O jogador deve anotar sua

fração em uma folha de papel. Por exemplo, se as faces sorteadas forem as mostradas

na figura a seguir, a fração a ser anotada será 3

5.

Caso um jogador obtenha uma fração em que o denominador seja menor que o

numerador, como 5

3, deverá anotar a fração inversa, ou seja, trocar o numerador pelo

denominador. Nesse exemplo, a fração a ser anotada seria 3

5.

Depois de todos os jogadores terem lançado os

dados e anotado suas frações, é hora de comparar

os resultados. Os jogadores podem usar as fichas

de comparação para representar as frações e

verificar quem obteve a maior fração. Esse será o

vencedor da rodada. As fichas de comparação podem

ser dispensadas caso os alunos considerem que

conseguem fazer a comparação sem elas.

A cada rodada, o vencedor deve marcar um X em sua tabela. Ganha o jogo quem completar

primeiro a própria tabela.

VITÓRIAS X

= 1 inteiro1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

1

3

1

4

1

4

1

4

1

4

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

criar e resolver problemas

55

©Shutterstock/kentoh

capí

tulo

Polígonos7

Conceito de polígono

Classificação e

nomenclatura de polígonos

o que vocêvai conhecer

Os filmes de animação estão ficando cada vez mais

próximos da realidade. Embora não consigamos perceber

ao olhar apenas as imagens finalizadas, por trás de cada

desenho estão formas geométricas simples, que o com-

putador altera milhares de vezes para enganar nossos

olhos e nos dar uma ilusão de movimento. Qual seria a

vantagem de usar linhas retas em vez de linhas curvas em

uma animação?

56

Conceito de polígono

Ao criarem personagens e objetos em um filme de animação, os desenhistas trabalham

com linhas poligonais, ou seja, linhas formadas apenas por segmentos de reta.

Uma linha poligonal pode ser fechada ou aberta.

Fechadas:

Abertas:

Polígono é uma figura geométrica plana formada por uma linha poligonal fechada

na qual dois lados não consecutivos não se cruzam nem se encostam.

São exemplos de polígonos:

Não são polígonos:

Ilu

stra

çõe

s:

Die

go

Mu

nh

oz.

20

14

. Dig

ita

l.

Reconhecer um polígono, seus elementos e diferenciar polígono convexo de não convexo.

Identificar polígonos regulares.

Classificar quadriláteros e triângulos de acordo com suas propriedades.

Identificar as particularidades de paralelogramos notáveis – losango, retângulo e qua-drado – e suas relações.

objetivos do capítulo

57

Elementos do polígono

Considere o polígono ABCD representado ao lado. Seus

principais elementos são:

Vértices: pontos comuns a dois lados do polígono (A, B, C, D).

Lados: segmentos de reta que contornam o polígono

( , , , )AB BC CD AD .

Ângulos internos: aberturas apresentadas por dois lados consecutivos ( , , , )A B C D� � � � .

A figura do exemplo dado representa um quadrilátero, que é um polígono com quatro

lados, quatro vértices e quatro ângulos internos.

Diagonais: são os segmentos de reta que ligam dois vértices que não formam um lado

do polígono. Por exemplo, o polígono ABCD tem duas diagonais (AC e BD).

A B

D

Ângulo D

Lado BC

Vértice CC

Dizemos que dois ângu-

los são congruentes quando

eles têm a mesma medida.

Por exemplo, no polígono

ABCD, que é um paralelogra-

mo, os ângulos A e C são con-

gruentes. Os ângulos B e C

não são congruentes (o ângu-

lo B tem uma medida menor

que a do ângulo C).

Desenhe um triângulo ABC qualquer numa folha de papel.

Coloque seu lápis sobre um dos lados desse triângulo (no nos-

so caso, vamos colocar sobre o lado AC, como mostra a figura).

A C

B

A C

B

Agora, gire o lápis em torno do vértice A até que ele esteja

sobre o lado AB.

©S

hu

tte

rsto

ck/N

iwa

t si

ng

sam

arn

EM QUALQUER POLÍGONO, O NÚMERO DE LADOS É IGUAL AO NÚMERO DE VÉRTICES.

58

Matemática

1 Observe as linhas apresentadas a seguir.

a) c) e) g)

b) d) f) h)

Quais dessas linhas representam poligonais fechadas?

atividades

Depois, gire o lápis em torno do vértice B até que ele

esteja sobre BC.

Por fim, gire o lápis em torno do vértice C até que

ele esteja sobre CA, que é o lado pelo qual iniciamos a

experiência.

Responda às questões a seguir.

1 O lápis está na mesma posição original?

2 Em quantos graus foi rotacionado o lápis desde o início da experiência até o final?

3 Compare o resultado com o de seu colega. O triângulo desenhado foi o mesmo?

4 O que se pode concluir sem essa experiência?

A C

B

A C

B

59

2 Assinale com um X as figuras que representam polígonos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Agora, explique por que você não assinalou todas as figuras.

Classificação e nomenclatura de polígonos

Nas figuras abaixo, estão traçados os segmentos que unem alguns pontos no interior

de cada polígono. Analisando cada segmento, podemos concluir que parte dos segmentos

EF KN KL, , está fora dos polígonos.

A

1

4 5

2 3

BC

D

E

FG

HI

J

K

L

M

N

O

P

Q

Os polígonos podem ser classificados em convexos ou não convexos.

São convexos quando qualquer segmento de reta unindo dois de seus pontos ficar intei-

ramente contido nesse polígono.

São polígonos não convexos se, ao se unirem dois de seus pontos, algum segmento de

reta não estiver completamente contido no polígono.

Os polígonos 1, 3 e 5 são convexos.

Os polígonos 2 e 4 são não convexos.

60

Matemática

Os polígonos recebem o nome de acordo com o número de lados e, consequentemente,

de vértices e ângulos que apresentam, como indicado no quadro a seguir.

Lados Número de vértices

Número de ângulos

Denominação Exemplo

3 3 3 triângulo

4 4 4 quadrilátero

5 5 5 pentágono

6 6 6 hexágono

7 7 7 heptágono

8 8 8 octógono

9 9 9 eneágono

10 10 10 decágono

11 11 11 undecágono

12 12 12 dodecágono

Além desses polígonos, há o pentadecágono, com 15 lados, o icoságono, com 20 lados,

entre outros.

61

Polígonos regulares

Existem muitas maneiras de revestir uma superfície plana com polígonos. Veja algumas

delas abaixo.

Observe os polígonos utilizados.

RETÂNGULOS OCTÓGONOS HEXÁGONOS LOSANGOS

©S

hu

tte

rsto

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Um polígono é regular quando apresenta todos os lados congruentes (de mesma

medida) e todos os ângulos internos também congruentes.

Veja a seguir alguns exemplos de polígonos regulares.

As medidas dos lados são iguais no hexágono e no losango. O hexágono, além de

apresentar essas características, este hexágono é chamado de polígono regular.

5 cm 5 cm

15 cm

15 cm

7 cm

7 cm

7 cm

7 cm

7 cm

7 cm120o 120o

120o 120o

120o 120o

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

10 cm

10 cm270°

270°

120°

120°

60°

7 cm

7 cm7 cm

7 cm

60°

62

Matemática

1 Observe a figura abaixo.

atividades

a) Quantos polígonos você consegue identificar nessa figura?

b) O polígono que tem o maior número de lados é formado por quantos seg-mentos?

c) Quantos são os polígonos convexos dessa figura?

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h

2 Considere um polígono convexo ABCDEF.

a) Quais são os lados desse polígono?

b) Quais são os ângulos internos?

A

B

C

D

E

F

3 Escreva o nome dos polígonos que podem ser identificados nas faces das embalagens a seguir.

a) b) c)

©Shutterstock/Simple B

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da

©Shutterstock/IRIT

63

4 Considere que a malha a seguir é formada por triângulos equiláteros.

A

B

C

D

E

F

Observando os polígonos, responda às questões propostas.

a) Qual das regiões tem o maior número de lados?

b) Quais são os polígonos que têm todos os lados com a mesma medida?

c) De acordo com o número de lados, qual é o nome de cada polígono?

Polígono A:

Polígono B:

Polígono C:

Polígono D:

Polígono E:

Polígono F:

5 Observe a representação de duas placas de regulamentação de trânsito, cuja finalidade é comuni-car aos usuários condições, proibições, restrições ou obrigações no uso das vias. Escreva o nome do

polígono que podemos associar a cada placa.

a) Placa A:

b) Placa B:

Qual é o significado de cada uma dessas placas de trânsito?

A B

64

Matemática

6 A malha a seguir é formada por polígonos. Crie um padrão e pinte-o, usando pelo menos três polígonos de cores diferentes.

Descoberta histórica de ‘ladrilho' dá um chacoalhão no mundo

da matemática

Uma equipe de matemáticos surpreendeu o mundo da ciência com a descoberta de um novo tipo de pentágono capaz de “ladrilhar uma su-perfície” – ou seja, cobrir totalmente uma super-fície plana sem que haja sobreposições ou espa-ços vazios.

Seria somente o 15º. pentágono do tipo en-contrado, e o primeiro encontrado em 30 anos.

Achar uma forma geométrica dessas é como descobrir uma nova partícula atômica, disse num comunicado Casey Mann, professor as-sociado de matemática da Universidade de Washington, em Bothell, e integrante da equipe responsável pela descoberta.[...]

Os matemáticos já provaram que não é possível ladrilhar uma superfície plana com polígonos convexos de mais de seis lados, segundo Mann. Isso é possível com todos os triângulos e quadrados, além de três tipos de hexágono. Sabe-se que pentágonos regulares (que têm ângulos e lados iguais) também não ladrilham uma superfície plana.

DESCOBERTA histórica de ‘ladrilho' dá um chacoalhão no mundo da matemática. Disponível em: <https://www.huffpostbrasil.com/2015/09/03/descoberta-historica-de-ladrilho-da-um-chacoalhao-no-mundo-da_a_21684256/>. Acesso em: 19 set. 2018.

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7 A seguir, leia uma notícia sobre um novo polígono que surpreendeu os matemáticos.

65

a) Quantos lados tem o novo polígono descoberto?

b) O que faz com que esse polígono esteja em destaque no texto?

c) Ele é um polígono regular? Por quê?

d) Marque os polígonos que, segundo a notícia, podem ser usados para cobrir uma superfície plana sem deixar falhas.

Triângulos

Triângulos são polígonos que apresentam apenas três lados. Eles

podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados ou

de seus ângulos internos.

Observe os triângulos destacados nos poliedros a seguir.

Com relação à medida dos lados, podemos observar que o triângulo:

ABC tem dois lados com medidas iguais e um lado com medida diferente;

DEF tem os três lados com medidas diferentes;

GHI tem os três lados com medidas iguais.

A

B C

A

B

3 cm 3 cm

2 cm C

D F

E

D F

E

3 cm

2,5 cm 2,3 cm

G H

I

G H

I

2 cm 2 cm

2 cm

Pirâmide de base quadrada Prisma de base triangular Pirâmide de base triangular

poliedros: sólidos geométricos que apresentam todas as faces planas. As faces dos poliedros têm a forma de polígonos. Suas arestas e seus vértices correspondem,

respectivamente, aos lados e aos vértices dos polígonos.

66

Matemática

De acordo com a medida dos lados, podemos classificar os triângulos em:

isósceles – tem dois lados com a mesma medida;

equilátero – tem os três lados com a mesma medida;

escaleno – tem os três lados com medidas diferentes.

Considere agora as medidas dos ângulos internos dos triângulos a seguir.

Apresenta três ângulos agudos.

Apresenta um ângulo reto.

Apresenta um ângulo obtuso.

De acordo com a medida dos ângulos internos, podemos classificar os triângulos em:

60o

60o 60o

60o

30o

30o120o

30o

acutângulo – todos os seus ângulos são agudos;

retângulo – apresenta um ângulo reto;

obtusângulo – apresenta um ângulo obtuso.

Quadriláteros

O origâmi é a arte japonesa de fazer dobraduras em papel. ©

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67

Com essa técnica, é possível construir figuras de animais, barcos, aviões, caixas e ou-

tras formas decorativas. Algumas são bem simples de fazer, enquanto outras são bastante

complexas.

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Para criar um origâmi, o papel deve

ser dobrado várias vezes, em uma série

de passos. A cada etapa, é necessário

observar se a forma obtida está correta,

o que pode ser feito verificando-se os

polígonos que se formam: triângulos,

quadriláteros, pentágonos, etc.

Utilizando uma folha no formato de um quadrado, vamos construir um peixe com dobra-

duras, conforme o esquema abaixo.

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68

Matemática

Ao construirmos esse origâmi, identificamos três polígonos com quatro lados.

No passo 1, começamos com um pedaço de papel na forma de um

quadrado, pois todos os lados do polígono têm a mesma medida e todos os

ângulos são retos.

No passo 2, ao dobrarmos o quadrado ao meio, obtemos um retângulo.

Ainda há quatro ângulos retos, mas os lados são iguais dois a dois.

No passo 5, obtemos outro polígono com quatro lados, mas dois de seus

ângulos são retos, um é obtuso e um é agudo.

Os polígonos de quatro lados são chamados de quadriláteros. Alguns deles têm nomes

particulares por apresentarem características específicas. A seguir, veja como esses polígo-

nos são definidos.

Paralelogramos: são quadriláteros que apresentam lados

opostos paralelos e de mesma medida (congruentes).

No paralelogramo ABCD, os segmentos AB e CD são paralelos, assim como AD e BC.

Dizemos que dois segmentos são paralelos quando mantêm sempre a mesma distância entre

si. Os paralelogramos descritos a seguir recebem nomes especiais.

Retângulo: os quatro ângulos são retos (90°).

Losango: os quatro lados têm a mesma medida (congruentes).

Quadrado: os quatro ângulos são retos e os quatro lados têm a mesma medida (congruentes).

A B

D C

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69

Trapézio: é um quadrilátero que tem um único par de lados

paralelos.

No trapézio EFGH, esse par é formado pelos lados EF e GH. Quando EH e FG são

congruentes, dizemos que EFGH é um trapézio isósceles.

Os trapézios também podem apresentar as seguintes formas:

E F

H G

1 Classifique os triângulos abaixo quanto à medida dos lados.

atividades

A:

B:

C:

D:

E:

F:

2 Utilize a legenda para desenhar, na malha quadriculada, os polígonos a seguir.

DCB

AFE

Losango Pentágono Quadrado Hexágono Triângulo Retângulo

70

Matemática

3 Com base nos polígonos representados na malha quadriculada, classifique cada uma das afirma-ções como verdadeira (V) ou falsa (F).

A

C

B

D

a) ( ) Todos são paralelogramos.

b) ( ) O polígono C é um trapézio.

c) ( ) Os polígonos A, B e D são paralelogramos.

d) ( ) O polígono B é um trapézio.

e) ( ) O polígono B também é um retângulo.

4 Padrões geométricos são usados em barrados de azulejos, papéis de parede, toalhas, lençóis, etc. Os polígonos aparecem em muitos deles. Observe o padrão a seguir.

a) Que polígonos estão representados nesse padrão?

b) Que tipos de triângulos compõem esse padrão?

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5 Observe o padrão da faixa decorativa a seguir e complete-a na malha quadriculada.

a) Quais polígonos podem ser identificados nessa faixa decorativa?

71

b) Crie um padrão e construa uma faixa decorativa na qual apareçam, no mínimo, dois polígonos diferentes.

7 Com base na figura, responda às questões propostas.

A B

D

C

c) Quais polígonos podem ser identificados na faixa que você construiu?

6 Classifique os triângulos a seguir quanto às medidas dos ângulos.

a) b) c)

a) Qual é o nome desse quadrilátero?

b) Escreva os segmentos que representam o par de lados paralelos desse quadri-látero.

8 Com relação às características particulares apresentadas pelos paralelogramos, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas, justificando suas respostas em seguida.

a) ( ) Podemos afirmar que todo quadrado é retângulo.

b) ( ) Todo retângulo é quadrado.

c) ( ) O quadrado também é losango.

30°140°

10°

80°

60° 40°

60°

30°

72

Matemática

d) ( ) O losango é um quadrado porque apresenta os quatro lados iguais.

Construindo um triângulo equilátero com régua e compasso

A B1. Usando a régua, trace o segmento AB que

será um dos lados do triângulo.

A B

2. Coloque a ponta-seca do compasso no

ponto A e regule a abertura para que a

outra ponta fique sobre o ponto B. Trace

um arco de circunferência que comece no ponto B, continuando até que o arco ultrapasse o meio de AB.

A B

C

3. Em seguida, coloque a ponta-seca no ponto B, mantenha a mesma abertura sobre o ponto A e trace outro arco, de forma que ele cruze o arco anterior em um ponto que chamaremos de C.

A B

C

4. Com a régua, trace os segmentos AC e BC. Pronto! Você já sabe como desenhar um

triângulo equilátero!

9 No espaço abaixo, desenhe um triângulo equilátero com lado de 3 cm.

ponta-seca: a ponta do compasso com a qual não se escreve, dotada apenas de uma agulha que

serve para fixar o compasso

enquanto a outra ponta traça o desenho.

73

Construindo um quadrado com o transferidor

4. Com a régua, trace o lado que falta. Está pronto o quadrado!

10 No espaço abaixo, desenhe um quadrado com lado igual a 6 cm.

6 cm

1. Utilizando a régua, trace um dos lados

do quadrado com a medida desejada.

Você usará essa medida nos demais

passos também.

90 °

2. Utilizando o transferidor, trace, em cada ponta do segmento, um segmento em ângulo de 90° com o primeiro lado desenhado.

3. Depois de traçados os dois lados em

ângulo reto com o primeiro, utilize a

régua, com a mesma medida usada no

passo 1, para marcar a medida desses

lados.

74

Matemática

Construindo um hexágono regular com régua e compasso

11 Em seu caderno, desenhe um hexágono regular de lado 5 cm

1. Usando o compasso, desenhe uma

circunferência completa.

4. Mova a ponta-seca do compasso para

a marca que você fez e, sem alterar a

abertura, faça uma nova marca, à mesma

distância.

2. Sem alterar a abertura do compasso, mova a ponta-seca para um ponto sobre a circunferência.

5. Continue movendo a ponta-seca para cada marca feita e criando uma nova marca, até completar toda a volta do círculo e retornar à primeira marca.

3. Com a outra ponta do compasso, faça uma

marca em outro ponto da circunferência, mantendo a abertura inicial.

6. Com a régua, trace os segmentos que

unem os seis pontos da circunferência que você marcou. Pronto! Você

desenhou um hexágono regular!

75

12 Leia o texto referente à importância das bandeiras.

AGUIAR, Janderson J. B. A. A história das bandeiras. Disponível em: <http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/jornal/novembro2009/materias/cultura.html>. Acesso em: 8 fev. 2019.

Pesquise e escreva os nomes dos países cujas bandeiras são apresentadas a seguir. Contorne quais destas bandeiras são formadas apenas por polígonos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Há bandeiras nos esportes, bandeiras sinalizadoras na aviação, na marinha mercante e de guerra e em várias entidades, organizações. Em especial, uma bandeira é símbolo bastante re-presentativo da soberania de uma nação. Muitas vezes, seu conteúdo representa a história, lutas, convicções e esperanças de um povo. [...]

Estrelas, lua, sol, e objetos astronômicos, em geral, são comuns nas bandeiras de diversos países. A bandeira do Nepal, por exemplo, tem um sol e uma lua, que significa que o país exis-tirá enquanto os dois astros existirem. Entretanto, na maioria das vezes, não há significado astronômico em seu uso, representando, em geral, estados que formam o país (como as 49 estrelas na bandeira dos Estados Unidos); algum tipo de aliança racial (como as 4 estrelas na bandeira da República Popular da China que representam os 4 povos que formam este país); caráter religioso (como a presença da Lua Crescente em bandeiras de países islâmicos); e lín-guas faladas no país (como a estrela de 4 pontas da bandeira de Aruba que representa as quatro principais línguas faladas no país). [...]

Várias bandeiras serviram de inspiração para as bandeiras de outros países ou estados (en-tidades subnacionais).[...] A bandeira do Brasil serviu de inspiração às bandeiras dos estados norte-americanos do Arkansas, de Delaware e dos estados brasileiros do Ceará, Mato Grosso, Paraná e Santa Catarina.[...]

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76

Matemática

1 Em cada malha já estão marcados alguns pontos. Crie o ponto que falta e trace os segmentos para criar a figura indicada em cada caso.

o que já conquistei

A B

C

A

B

C

A

B

C

A B

C

A B A

B

C

D

QUADRADO

LOSANGO

TRIÂNGULO ISÓSCELES

QUADRADO

LINHA POLIGONAL ABERTA

POLÍGONO NÃO CONVEXO

77

2 Observe o seguinte passo a passo de uma construção de origâmi de coração. Para reproduzi-lo, basta usar um papel em formato quadrado.

• Siga as instruções:

1. Dobre duas vezes ao meio para marcar e desdobre;

2. Dobre para a frente na linha pontilhada, fazendo o vér-tice do quadrado coincidir com seu centro;

3. Dobre para a frente na linha pontilhada, fazendo o vértice do quadrado coincidir com o ponto médio da dobra anterior;

4. Dobre cada metade da figura para a frente nas linhas pontilhadas correspondentes, fazendo os lados que passam pelo centro da figura tocarem um no outro;

5. Dobre para trás as pontas laterais nas linhas pontilhadas;

6. Repita o passo 5, desta vez dobrando para trás as pon-tas de cima;

7. Seu modelo está pronto!

DOBRADURA de coração: como fazer. Disponível em: <https://www.artesanatopassoapassoja.com.br/dobradura-de-coracao/>. Acesso em: 8 fev. 2019.

Responda às questões a seguir.

a) Ao se realizar o passo 2, qual foi o polígono que surgiu considerando o contorno da figura?

b) Ao se realizar o passo 3, qual foi o polígono que surgiu considerando o contorno da figura?

c) Qual é o polígono que toma a forma de um coração ao final do passo 7?

3 Foram desenhados dois trapézios, um em uma malha triangular e outro em uma malha quadrada.

a) Quanto mede cada ângulo do trapézio ABCD?

b) Quanto mede cada ângulo do trapézio MNOP?

1

3

5

7

4

6

2

A

B

C

D

P

ON

M

78

Matemática

4 As faces dos sólidos geométricos apresentados a seguir são polí-gonos. Escreva os nomes desses polígonos.

A:

B:

C:

D:

5 Observe os polígonos regulares abaixo. No centro de cada um está a soma de todos os seus ângulos internos.

Responda às questões a seguir.

a) Quanto vale a medida de cada ângulo interno do octógono regular?

b) Considerando a sequência formada pela soma dos ângulos internos de cada polígono regular, quanto vale a soma dos ângulos internos de um polígono regular de 9 lados?

c) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um polígono regular de 16 lados?

180°360° 540° 720° 900° 1 080°

A

C

B

D

79

6 O revestimento de pisos e calçadas apresenta diferentes formatos. Qual polígono pode ser identi-ficado em cada uma das imagens a seguir?

Nome do polígono: Nome do polígono:

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Nome do polígono: Nome do polígono:

7 Escreva o nome de cada um dos polígonos a seguir.

80

Matemática

8 As figuras abaixo são formadas com as sete peças do tangram.

a) Escreva o nome do polígono que pode ser identificado pelo contorno de cada uma das figuras abaixo.

b) Qual das figuras acima é um polígono regular? Por quê?

c) Quais dessas figuras são quadriláteros?

81

9 (SARESP) Um artista plástico está construindo um painel com ladri-lhos decorados. Ele fez um esquema desse painel mostrado na figura e utilizou as formas de

a) quadrados e hexágonos

b) triângulos e quadrados

c) triângulos e pentágonos

d) triângulos e hexágonos

10 (SARESP) A outra metade desta folha contém o mesmo desenho. Des-dobrando-a, que figura aparecerá no centro do retângulo?

a) Quadrado.

b) Losango.

c) Retângulo.

d) Trapézio

11 Observe o molde para a montagem de uma caixa.

a) Em quantas partes o molde está dividido?

b) Quantas dessas partes são polígonos e quantos lados têm?

c) Por que as outras partes não são polígonos?

12 (OBMEP) Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Quantos palitos ela vai usar para construir o quinto triângulo da sequência?

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1.o 2.o 3.o

a) 36

b) 39

c) 42

d) 45

e) 48

82

Matemática

13 Os chamados sólidos de Platão são cinco sólidos geométricos que apresentam faces iguais forma-das apenas por polígonos regulares. Identifique os polígonos que compõem cada um desses sólidos geométricos.

14 Usando-se 36 pontos como vértices, foram criados 9 quadrados.

Note que todos os pontos são vértices de algum quadrado.

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©Erich Friedman, 2000. Disponível em: <https://www2.stetson.edu/~efriedma/puzzle/dots/>. Acesso em: 20 set. 2018.

Agora é a sua vez! Você consegue formar 7 quadrados com esses 28 pontos como vértices?

83

POLÍGONO CONVEXO COM O MAIOR NÚMERO DE LADOS POSSÍVEL

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

HEXÁGONO REGULAR TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO

PENTÁGONO QUADRADO

a)

b)

c)

d)

e)

f)

15 O eneágono é um polígono que apresenta:

a) 10 lados. b) 8 lados. c) 9 lados. d) 11 lados. e) 15 lados.

16 Unindo os pontos com segmentos, forme os polígonos indicados.

84

Material de apoio6°. ano – Volume 2

Matemática

Capítulo 6 – Página 55 – O jogo das frações

= 1 inteiro1

1

1

2

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2

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3

1

3

1

3

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1

4

1

4

1

4

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5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1