376 Capítulo12:IntegraisMúltiplas

II'""

~

'~

I~:~~

,

,',

"I I!'

~I

I

~t

,1u

Solução Esboçamos a região e incluímos detalhes suficientes para deter-minar os limites de integração (Figura 12.23). Fazemos então (, igual a 1 eresolvemos as fórmulas apropriadas da Tabela 12.1:

fl

fx

fI

fI

[

2 3

Jl 1

M = 1 dy dx = [y]~:~ dx = (x - X2)dx = ~ - ~ =-Or o o 2306

fl

fx

fI

[y2

J

Y=X

Mx = y dy dx = "2 dxo r o y=r

= f (~2 - ~4) dx = [~ - ~a ~ /5

fl

fx

fI

fI

[3 4

Jl 1

My = o r x dy dx = o [xy]~:~ dx = o (X2- X3)dx = ~ - ~ o = 12'

y

.'

x FIGURA12.23 No Exemplo 6, encontramoso centróide da região mostrada aqui.

,I

.I~1

II

I'

J

A partir desses valores de M, Mx e My, encontramos..1

~I

.i

1I~':..._--

- My 1/12 1x=-=-=-

M 1/6 2

O centróide é o ponto (1/2, 2/5).

- Mx 1/15_l.y = M = 176 - 5'

e

'1'-- - - ---- '-- .: 1EXERCICIOS12.2

Área por Integração DuplaNos exercícios1-8, esbocea regiãolimitadapelas retas e curvasdadas.Depoisexpressea áreada regiãocomouma integralduplaiteradae calculea integral.

1. Os eixos coordenados e a reta x + y = 2.2. As retasx = O,Y = 2xe y = 4.

3. A parábolax = -l e a reta y = x + 2.

4. A parábola x = y -l e a retay = -x.

S. A curva y = li' e as retas y = O,x = Oe x = ln 2.

6. As curvas y = ln x e y = 2ln x e a reta x = e, no primeiro qua-drante.

7. As parábolas x = l e x = 2y - l.8. As parábolas x = l-I e x = 2y2 - 2.

Identificando a Regiãode IntegraçãoAs integrais e somas de integrais nos exercícios 9-14 fornecem asáreasde regiõesno planoxy. Esbocecadaregião,identifiquecada

curva-limite com sua equação e dê as coordenadas dos pontos ondehá intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.

f6

f~'

f3

f~~

9. o l/3 dx dy 10. o -x dy dx

f'TT'4

fcos x

11. dy dxo senx f

2

fY+2

12. dx dy-I l

13. fo

f l-x dy dx + f2

f l-x dy dx-I -2x o -xl2

f2

fo

f4

fyi;:

14. dy dx + dy dxo x2-4 o o

Valores Médios15. Encontre o valor médio de f(x, y) = sen(x + y) sobre:

(a) O retângulo 0:5 X :5 1T, 0:5 Y :5 1T

(b) O retângulo O :5x :5 1T, 0:5 Y :5 1T12

16. O que você acha que será maior, o valor médio def(x, y) = xysobre o quadrado O :5 X :5 1, O :5 Y :5 1 ou o valor médio def

sobre o quarto de círculo X2 + y2 ::; 1 no primeiro quadrante?Calcule-os para descobrir.

17. Encontre a altura média do parabolóide z = X2 + y2 sobre oquadrado O::; x ::; 2, O::; y ::; 2.

18. Encontre o valor médio def(x, y) = 1I(.xy)sobre o quadrado ln 2::;x ::; 2 ln 2, ln 2 ::; y ::; 2 ln 2.

Densidade Constante19. Encontrandoo centrode massa Encontre o centro de massa de

uma placa fina de densidade 8 = 3 limitada pelas retas x = O,Y= x epelaparábolay = 2 - X2no primeiro quadrante.

20. Encontrandomomentos de inérciae raiosde rotação Encontre osmomentos de inércia e os raios de rotação em relação aoseixos coordenados de uma placa retangular fina de densidadeconstante 8 limitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiroquadrante.

21. Encontrandoum centróide Encontre o centróide da região noprimeiro quadrante limitada pelo eixo x , pela parábola l = 2xe pela reta x + y = 4.

22. EncontrandoumcentróideEncontre o centróide da região trian-gular cortada d.oprimeiro quadrante pela reta x + y = 3.

23. Encontrandoum centróideEncontre o centróide da região semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y = ~.

24. Encontrandoum centróide A área da região no primeiro qua-drante limitada pela parábola y = 6x - r e pela reta y = x é125/6 unidades quadradas. Encontre o centróide.

25. Encontrando um centróide Encontre o centróide da região corta-da do primeiro quadrante pela circunferência X2 + y2 = a2.

26. Encontrando um centróide Encontre o centróide da região entreo eixo x e o arco y = sen x, O.::; x ::; 'TT.

27. Encontrandomomentosde inércia Encontre o momento de inér-cia em relação ao eixo x de uma placa fina de densidade 8 = 1limitada pela circunferência r + y2 = 4. Depois use seu resul-tado para encontrar Iy e 10 para a placa.

28. Encontrandoum momento de inércia Encontre o momento deinércia em relação ao eixo y de uma folha fina de densidadeconstante 8 = 1 limitada pela curva y = (sen2 x)/x2 e pelointervalo 'TT::; X ::; 2'TTdo eixo x.

29. Ocentróide de uma regiãGinfinita Encontre o centróide da regiãoinfinita no segundo quadrante limitada pelos eixos coordena-

dos e pela curva y = eX. (Use integrais impróprias nas fórmu-las de massa e momento.)

30. Oprimeiromomento de uma placa infinita Encontre o primeiromomento em relação ao eixo y de uma placa fina de densidadeô(x,y) = 1 que cobre a região infinita sob a curva y = e-~/2 noprimeiro quadrante.

DensidadeVariável

31. Encontrando um momento de inércia e o raio de rotação Encontreo momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo xdeuma placa fina limitada pela parábola x = y - l e pela retax + y = Ose 8(x, y) = x + y.

32. Encontrandoa massa Encontre a massa de uma placa fina queocupa a região menor cortada da elipse X2 + 4l = 12 pela

12.2 Áreas,Momentos e Centrosde Massa 377

parábola x = 4l se 8(x, y) = 5x.

33. Encontrandoumcentrodemassa Encontre o centro de massa de

uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retasy = x e y = 2 - x se 8(x, y) = 6x + 3y + 3.

34. Encontrandoum centrodemassae momentodeinérciaEncontre ocentro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo xde uma placa fina limitada pelas curvas x = y2 e x = 2y - lse a densidade no ponto (x, y) for 8(x, y) = y + 1.

'I>

35. Centrode massa, momento de inérciae raiode rotação Encon-tre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotaçãoem relação ao eixo y de uma placa fina retangular cortadado primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se 8(x, y)=x+y+1.

36. Centrode massa,momentode inérciae raiode rotação Encontre ocentro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação emrelação ao eixo y de uma placa fina limitada pela reta y = 1 epela parábola y = X2se a densidade for 8(x, y) = y + 1.

37. Centrodemassa,momentode inérciae raiode rotaçãoEncontre ocentro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação emrelação ao eixo y de uma placa fina limitada pelo eixo x, pelasretas x = :!:1 e pela parábola y = X2se 8(x, y) = 7y + 1.

38. Centrode massa,momentode inérciae raiode rotaçãoEncontre ocentro de massa, o momentq de inércia e o raio de Iotaçãoem relação ao eixo x de uma placa fina retangular limitadapelas retas x = O,x = 20, y = -1 e y = 1 se 8(x, y) = 1 +(xI20).

39. Centrodemassa,momentosde inércipe raiosderotação Encontreo centro de massa, o momento de inércia e os raios de rotaçãoem relação aos eixos coordenados e o momento de inérciapolar e o raio de rotação de uma placa fina triangular limitadapelasretasy = x,y = -xey = 1se 8(x,y) = y + 1.

40. Centro de massa, momentos de inércia e raio de rotação Repita oExercício39para 8(x,y) = 3r + 1:

Teoriae Exemplos41. Populaçãode bactériasSe f(x, y) = (lO.OOOeY)/(l+ 1x 1/2)

representar a 'densidade populacional' de um certo tipo debactéria no plano .xy,onde x e y são medidos em centímetros,encontre a população total de bactérias dentro do retângulo-5::; x::; 5 e -2::; y::; O.

42. PopulaçãoregionalSef(x, y) = 1O0(y+ 1)representara densi-dade populacional de uma região plana na Terra, onde x e.ysão medidos em milhas, encontre o número de pessoas naregião limitada pelas curvas x = y2 e x = 2y - y2.

43. Projeto de um eletrodoméstico Quando fazemos o projeto de umeletrodoméstico, uma das preocupações é que seja difícil detombar. Quando inclinado para o lado, ele voltará à posiçãonormal desde que seu centro de massa esteja do lado certo doapoio, o ponto no qual o aparelho se equilibra. Suponha que operfil de um aparelho de densidade aproximadamente constan-te seja parabólico, como um rádio antigo. Ele preenche a regiãoO ::; y ::; a(l - r), -1 ::; x ::; 1, no plano .xy (veja a figura aseguir). Quais valores de a garantirão que o aparelho terá queser inclinado mais que 45 graus para tombar?

\

378 Capítulo 12: Integrais Múltiplas

y

x

44. Minimizandoum momento de inérciaUma placa retangular dedensidade constante 8(x, y) = 1 ocupa a região limitada pelasretas x = 4 e y = 2 no primeiro quadrante. O momento de inér-cia Iado retângulo em relação à reta y = a é dado pela integral

11:It-

li!I

'~'

!IIIII

Ia = f04f02 (y - a)2'dy dx.

Encontre o valor de a que minimiza Ia.

45. Centróidede regiãonãolimitadaEncontre o centróide da regiãoinfinita no plano xy limitada pelas curvas y = 1r~ ,y = -1/~ e pelas retas x = O,x = 1.

46. Raiode rotaçãode uma varafina Encontre o raio de rotação deuma vara fina de densidade linear constante 8 g/cm e compri-mento L cm em relação a um eixo:

(a) Que passa pelo centro de massa da vara e é perpendicularao eixo desta.

.1li.

III

I~f. (b) Perpendicular ao eixo da vara em uma de suas

extremidades.~ .'

47. (Continuação do Exercício 34) Uma placa fina de densidadeagora constante 8 ocupa a região R no plano xy limitada pelascurvas x = y2 e x = 2y - y2.

(a) Densidade'constanteEncontre 8 tal que a placa tenha amesma massa que a placa do Exercício 34.

(b) Valormédio Compare o valor de 8 encontrado no item (a)com o valor médio de 8(x, y) = y + 1 sobre R.

48. Temperaturamédiano TexasDe acordo com o Texas Almanac, oTexas tem 254 condados e uma estação do Serviço Nacionalde Meteorologia em cada condado. Considere que no instanteto cada uma das 254 estações meteorológicas registrou a tem-peratura local. Encontre uma fórmula que daria uma aproxima-ção razoável para a temp~ratura média no Texas no instante to.Sua resposta deve envolver informações que se espera queestejam disponíveis no Texas Almanac.

Teoremado EixoParaleloSeja Lc.m.uma reta no plano xy que passa pelo centro de massa deuma placa fina de massa m que cobre uma região no plano. SejaL uma reta no plano paralela a Lc.m.e a uma distância de h unida-des desta. O Teorema do Eixo Paralelo diz que, sob essas condi-ções,os momentosde inérciah e Ic.m. da placa em relação a L eLc.m.satisfazem a equação

IL = Ic.m. + mh2.

Essa equação fornece uma maneira rápida de calcular ummomento quando o outro momento e a massa são conhecidos.

49. Provado TeoremadoEixoParalelo

(a) Mostre que o primeiro momento de uma placa fina e planaem relação a qualquer reta no plano da placa que passepelo centro de massa desta é zero. (Dica: Coloque o cen-tro de massa na origem com a reta ao longo do eixo y. Oque a fórmula x = MyIM então lhe diz?)

(b) Use o resultado do item (a) para deduzir o Teorema doEixo Paralelo. Considere que o plano tenha coordenadastais que a reta Lc.m.seja o eixo y e L seja a reta x = h. De-pois expanda o integrando da integral para ILpara reescre-ver a integral como a soma de integrais cujos valores vocêreconheça.

50. Encontrandomomentosdeinércia

(a) Use o Teorema dos Eixos Paralelos e os resultados doExemplo 4 para encontrar os momentos de inércia daplaca no Exemplo 4 em relação às retas vertical e horizon-tal que passam pelo centro de massa da placa.

(b) Use os resultados do item (a) para encontrar os momentosde inércia em relação às retas x = 1 e y = 2.

Fórmulade PappusPappus sabia que o centróide da união de duas regiões planas nãosobrepostas está no segmento de reta que une os centróides indivi-duais dessas regiões. Mais especificamente, suponha que mI e lnJ.sejam as massas das placas finas PIe P2 que cobrem regiões nãosobrepostas no plano xy. Sejam CIe C2os vetores que vão da ori-gem aos respectivos centros de massa de PI e P2.Então o centrodemassa da união PI U P2das duas placas é determinado pelo vetor

mIcI + m2c2c=m I + m2 . (9)

A equação (9) é conhecida como Fórmula de Pappus. Para maisdo que duas placas não sobrepostas, desde que seu número sejafinito, a fórmula é generalizada para

mIcI + m2c2+ ... + mnCnc=mI + m2 + ...+ mn

(10)

Essa fórmula é especialmente útil para encontrar o centróide deuma placa de formato irregular feita de pedaços de densidade cons-tante cujos centróides conhecemos da geometria. Encontramos ocentróide de cada pedaço e aplicamos a equação (10) para encon-trar o centróide da placa.

51. Deduza a fórmula de Pappus (equação (9». (Dica: Esboce asplacas como regiões no primeiro quadrante e identifique ocentro de massa de cada uma delas como (XI,YI) e (X2,Y2)'Quais são os momentos de P I U P2 em relação aos eixoscoordenados ?)

52. Use a equação (9) e indução matemática para mostrar que aequação (10) é verdadeira para qualquer inteiro positivo n > 2.

53. Sejam A, B e C os formatos indicados na Figura 12.24a. Use afórmula de Pappus para encontrar o centróide de .

12.3 Integrais Duplasna FormaPolar 379

x2

O

55. Um triânguloisóscelesT tembase2a e alturah.A baseencon-tra-se ao longo do diâmetro de um disco semicircular D de raioa de tal maneira que os dois juntos têm um formato parecidocom um sorvete de casquinha. Que relação devem ter a e hpara que o centróide de T U D fique na fronteira comum de Te1}J:"'b1reltau1tt: "1"!

56. Um triângulo isósceles T de altura h tem sua base em um ladode um quadrado Q cujas arestas têm comprimento s. (O qua-drado e o triângulo não se sobrepõem.) Que relação devem terh e s para que o centróide de TU Q fique na base do triângulo?Compare esta resposta com a resposta do Exercício 55.

(a) A U B

(c) B U C

(b) A U C

(d) A U B U C.

54. Localizandoo centro de massa Localize o centro de massa doesquadro na Figura 12.24b.

.Y'Cp-ol)

~11+-l,5 pol12

(7,2)

7 24 . x (pol)

(b)

FIGURA12.24 As figuras para os exercícios 53 e 54.

l1li Integrais Duplas na Forma PolarIntegraisem CoordenadasPolares. EncontrandoLimitesde Integração. Mudando Integrais Cartesianaspara IntegraisPolares

As integrais algumas vezes são mais fáceis de calcular se mudarmos para coor-denadas polares. Esta seção mostra como fazer a mudança e como calcular inte-grais sobre regiões cujas fronteiras são dadas por equações polares.

Integrais em Coordenadas Polares

Quando definimos a integral dupla de uma função sobre uma região R no planoxy, começamos cortando R em retângulos cujos lados eram paralelos aos eixoscoordenados. Estes eram os formatos naturais para usar porque seus lados têmvalores constantes de x ou y. Em coordenadas polares, o formato natural é um'retângulo polar' cujos lados têm valores constantes de r e o.

Suponha que uma função f(r, O)seja definida sobre uma região R que élimitada pelos raios O = a e O = {3e pelas curvas contínuas r = gl(O) er = g2(O).Suponha também que O :::;gI(O) :::;g2(O) :::;a para todo valor de Oentre a e {3.Então R está em uma região com formato de leque Q definida pelasdesigualdades O:::;r:::;a e a :::;O:::;{3.Veja a Figura 12.25.

8=0

I

I

I

,

I

I

8 = 7T' o

FIGURA12.25 A região R: gl(O) :::;r:::;g2(0), a:::; O:::;{3,está contida na regiãoem formato de leque Q: O :::;r:::;a, a :::;O:::;{3.A divisão de Q por arcos circu-lares e raios induz uma divisão de R.

'.Yt

543

O 2 4

(a)