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10 Equações Paramétricas

e Coordenadas Polares

James Stewart – Cálculo – Volume 2

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10.5 Seções Cônicas

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Seções Cônicas

Nesta seção apresentadas as definições

geométricas de parábolas, elipses e hipérboles e

deduziremos suas equações padrão. Elas são chamadas

seções cônicas, ou cônicas, porque resultam da

intersecção de um cone com um plano, como mostrado na

Figura 1.

Cônicas

Figura 1

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Parábolas

5

Parábolas

Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano

cujas distâncias a um ponto fixo F (denominado foco) e

uma reta fixa (denominada diretriz) são iguais. Essa

definição é ilustrada pela Figura 2.

Figura 2

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Parábolas

Observe que o ponto na metade do caminho entre o

foco e a diretriz está na parábola; ele é conhecido como

vértice.

A reta que passa pelo foco e é perpendicular à

diretriz é intitulada eixo da parábola.

No século XVI, Galileu mostrou que a trajetória de

um projétil atirado no ar com um certo ângulo em relação

ao solo é uma parábola. Desde essa época, os formatos

parabólicos têm sido usados para desenhar faróis de carro,

telescópios refletores e pontes suspensas.

7

Parábolas

Obteremos uma equação da parábola de modo simples se

colocarmos o vértice da parábola na origem O do sistema

Cartesiano e sua diretriz paralela ao eixo x, como na

Figura 3.

Figura 3

8

Parábolas

Se o foco for o ponto (0, p), então a diretriz tem a equação

y = –p. Se P (x, y) é qualquer ponto na parábola, então a

distância de P até o foco é de

| PF | =

e a distância de P até a diretriz é | y + p |. (A Figura 3 ilustra

o caso onde p > 0.) A propriedade de definição de uma

parábola é que essas distâncias são iguais:

= | y + p |

9

Parábolas

Obtemos uma equação equivalente elevando ao

quadrado e simplificando:

x2 + (y – p)2 = | y + p |2 = (y + p)2

x2 + y2 – 2py + p2 = y2 + 2py + p2

x2 = 4py

Se escrevermos a = 1/(4p), então a equação padrão de

uma parábola torna-se y = ax2.

10

Parábolas

A concavidade é para cima se p > 0 e para baixo se p < 0

[veja a Figura 4, partes (a) e (b)].

(a) x2 = 4py, p > 0

Figura 4

(b) x2 = 4py, p < 0

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Parábolas

O gráfico é simétrico em relação ao eixo y porque não

muda quando x é trocado por –x.

Se trocarmos x e y em , obteremos

que é uma equação da parábola com foco (p, 0) e diretriz

x = –p. (Trocar x e y significa refletir em relação à linha

diagonal y = x.)

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Parábolas

A parábola abre para a direita se p > 0 e para a esquerda

se p < 0 [veja a Figura 4, partes (c) e (d)].

Em ambos os casos, o gráfico é simétrico em relação ao

eixo x, que é o eixo da parábola.

(c) y2 = 4px, p > 0 (d) y2 = 4px, p < 0

Figura 4

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Exemplo 1

Encontre o foco e a diretriz da parábola y2 + 10x = 0

e esboce o gráfico.

SOLUÇÃO: Se escrevermos a equação como y2 = –10x e

a compararmos com a Equação 2, veremos que 4p = –10,

assim, p = Então, o foco é (p, 0) = ( , 0) e a diretriz é

x =

14

Exemplo 1 – Solução

O esboço é mostrado na Figura 5.

continuação

Figura 5

15

Elipses

16

Elipses

Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja

soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é uma

constante (veja a Figura 6).

Esses dois pontos são chamados focos. Uma das Leis de

Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são

elipses com o Sol em um dos focos.

Figura 6

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Elipses

Para obtermos a equação mais simples para uma elipse,

colocamos os focos no eixo x nos pontos (– c, 0) e (c, 0)

como na Figura 7, de modo que a origem esteja na metade

do caminho entre os focos.

Figura 7

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Elipses

Seja a soma das distâncias de um ponto ma elipse até os

focos 2a > 0. Então P (x, y) é um ponto na elipse quando

| PF1 | + | PF2 | = 2a

isto é,

ou

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Elipses

Elevando ao quadrado ambos os lados, temos

x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a + x2 + 2cx + c2 + y2

que é simplificada para

Elevamos ao quadrado novamente:

a2(x2 + 2cx + c2 + y2) = a4 + 2a2cx + c2x2

que se torna (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)

A partir do triângulo F1F2P na Figura 7, vemos que 2c < 2a,

assim, c < a e, portanto, a2 – c2 > 0. Por conveniência,

seja b2 = a2 – c2.

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Elipses

A equação da elipse torna-se b2x2 + a2y2 = a2b2, ou,

se ambos os lados forem divididos por a2b2,

Como b2 = a2 – c2 < a2, segue que b < a. As interseções com

o eixo x são encontradas fazendo y = 0: x2/a2 = 1, ou x2 =

a2, assim x = a. Os pontos correspondentes (a, 0) e (–a, 0)

são chamados vértices da elipse, e o segmento de reta

que une os vértices é dito eixo maior. Para encontrarmos

as interseções com o eixo y fazemos x = 0 e obtemos y2 =

b2, ou seja, y = b. O segmento de reta unindo os pontos

(0, b) e (0, –b) é chamado eixo menor.

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Elipses

A Equação 3 não muda se x for trocado por –x ou y

for trocadodo por –y, logo, é simétrica em relação a ambos

os eixos. Observe que, se os focos coincidirem, então c =

0, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio

r = a = b.

Resumimos essa discussão a seguir (veja também a

Figura 8).

Figura 8

22

Elipses

Se os focos de uma elipse estiverem localizados no

eixo y em (0, c), então podemos encontrar sua equação

trocando x e y em (Veja a Figura 9.)

Figura 9

23

Elipses

24

Exemplo 2

Esboce o gráfico de 9x2 + 16y2 = 144 e localize os focos.

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os lados da equação por 144:

A equação está agora na forma padrão para uma elipse,

e assim temos a2 = 16, b2 = 9, a = 4, e b = 3. As

intersecções com o eixo x são 4 e as intersecções com o

eixo y são 3.

25

Exemplo 2 – Solução

Além disso, c2 = a2 – b2 = 7, portanto c = 7 e os focos são

( , 0). O gráfico é esboçado na Figura 10.

continuação

9x2 + 16y2 = 144

Figura 10

26

Hipérboles

27

Hipérboles

Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos em

um plano cuja diferença entre as distâncias a dois pontos

fixos F1 e F2 (os focos) é uma constante. Essa definição é

ilustrada na Figura 11.

Figura 11

P está na hipérbole quando

| PF1 | – | PF2 | = 2a.

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Hipérboles

Observe que a definição de uma hipérbole é similar

àquela de uma elipse; a única mudança é que a soma das

distâncias torna-se uma diferença das distâncias. De fato,

a dedução da equação de uma hipérbole é também similar

àquela dada anteriormente para uma elipse. Quando os

focos estão no eixo x na (c, 0) e a diferença das

distâncias for | PF1 | – | PF2 | = 2a, então a equação da

hipérbole é

com c2 = a2 + b2.

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Hipérboles

Observe que as interseções com o eixo x são

novamente a, e os pontos (a, 0) e (–a, 0) são os vértices

da hipérbole. Mas, se colocarmos x = 0 na Equação 6,

teremos y2 = –b2, que é impossível; dessa forma, não existe

intersecção com o eixo y. A hipérbole é simétrica em

relação a ambos os eixos.

Para analisarmos a hipérbole um pouco mais,

olhamos a Equação 6 e obtemos

Isso mostra que x2 a2, de modo que | x | =

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Hipérbole

Portanto, temos x a ou x –a. Isso significa que a

hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos.

Quando desenhamos uma hipérbole é útil desenhar

primeiro as assíntotas, que são as linhas pontilhadas

y = (b/a)x e y = –(b/a)x mostradas na Figura 12.

Figura 12

31

Hipérboles

Ambos os ramos da hipérbole atingem as assíntotas; isto

é, eles se tornam arbitrariamente perto das assíntotas.

32

Hipérboles

Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então,

trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte

informação, que é ilustrada na Figura 13.

Figura 13

33

Exemplo 4

Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole

9x2 – 16y2 = 144 e esboce seu gráfico.

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os lados da equação por 144:

que é a forma dada em com a = 4 e b = 3.

34

Exemplo 4 – Solução

Com c2 = 16 + 9 = 25, os focos são (5, 0). As assíntotas

são as retas y = e y = – . O gráfico é visto na Figura

14.

continuação

Figura 14

9x2 – 16y2 = 144

35

Cônicas Transladadas

36

Cônicas Transladadas

Transladamos as cônicas tomando as equações-padrão

e e trocando x e y por x – h e y – k.

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Exemplo 6

Encontre uma equação para a elipse com focos (2, –2),

(4, –2) e vértices (1, –2), (5, –2).

SOLUÇÃO: O eixo maior é o segmento de reta que une os

vértices (1, –2), (5, –2) e tem comprimento 4; assim, a = 2.

A distância entre os focos é 2, e assim, c = 1. Então,

b2 = a2 – c2 = 3. Como o centro da elipse é (3, –2),

trocamos x e y em por x – 3 e y + 2 para obter

como a equação da elipse.

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Exemplo 7

Esboce a cônica 9x2 – 4y2 – 72x + 8y + 176 = 0 e ache seus

focos.

SOLUÇÃO: Completamos os quadrados como a seguir:

4(y2 – 2y) – 9(x2 – 8x) = 176

4(y2 – 2y + 1) – 9(x2 – 8x + 16) = 176 + 4 – 144

4(y – 1)2 – 9(x – 4)2 = 36

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Exemplo 7 – Solução

Isso está na forma de , exceto que x e y estão trocados

por x – 4 e y – 1. Então, a2 = 9, b2 = 4, e c2 = 13. A

hipérbole está deslocada quatro unidades para a direita e

uma unidade para cima.

continuação

40

Exemplo 7 – Solução

Os focos são (4, 1 + ) e (4, 1 – ) e os vértices são

(4, 4) e (4, –2). As assíntotas são y – 1 = A

hipérbole é esboçada na Figura 15.

continuação

Figura 15

9x2 – 4y2 – 72x + 8y + 176 = 0

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Exercícios recomendados

1 ao 8, 11 ao 16, 19 ao 24, 25 ao 30.