OSTILA 85f

. 1

Ç LAMBAGEM DE BARRAS PRISMÁ TICAS

BARBA TO, Roberto Luiz de Arruda

I FLAMBAGEM DE BARRAS PRISMÁ TICAS

1. CONCEITOS BÁSICOS

Em relação a uma dada referência o equilíbrio de um sistema estrutural

pode ser, como se sabe, ou estável, ou instável, ou ainda, indiferente.

Para identificar cada uma das três formas de equilíbrio modifica-se a

configuração do sistema por meio de uma pequena perturbação e em seguida

analisa-se o que ocorre quando a causa perturbadora desaparece.

Se ao desaparecer a causa perturbadora o sistema retornar à sua

configuração inicial diz-se que o equilíbrio do sistema é estável. Se, por outro

lado, ao desaparecer a causa perturbadora o sistema se afastar cada vez mais de

sua configuração inicial diz-se que o equilíbrio do sistema é instável. Por fim, se o

sistema permanecer na configuração deslocada ao desaparecer o agente

perturbador diz-se que o equilíbrio do sistema é indiferente.

Para melhor fixar o conceito acima exposto considerem-se três barras

prismáticas e homogêneas como as que se mostram na figura 1 .1 .

A) '\ I •

·, I \I \ I - '

B)

FIGURA 1.1

c )

c' I

i \ \I \ \

\ 11

Percebe-se com clareza que as três barras estão igualmente em equilíbrio

na posição vertical. A forma de equilíbrio, todavia, é diferente. De fato, ao

desaparecer a causa que provocou o deslocamento angular, a barra A retorna à

sua posição inicial, a barra B se afasta de sua posição inicial e a barra C

permanece na posição deslocada (inclinada). Conclui-se, portanto, que o

equilíbrio da barra A é estável, da barra B é instável e da barra C é indiferente.

•"

"

Situação análoga ocorre com os cilindros A, B e C que repousam sobre a

superfície cilíndrica S, figura 1.2. Percebe-se facilmente que o equilíbrio do

cilindro A é estável, do cilindro B é instável e do cilindro C é indiferente.

s

FIGURA 1.2

Definidas as formas de equilíbrio- estável, instável e indiferente- pode­

se iniciar o estudo da flambagem de barras prismáticas.

Assim, para conceituar o fenômeno da flambagem considere-se uma barra

como a esquematizada na figura 1.3.

FIGURA 1.3

Suponha-se que o eixo da barra seja retilíneo, que a sua seção transversal

seja constante, que a carga P seja axial, que as articulações das extremidades

sejam ideais (sem atrito) e que o material empregado na construção da barra seja

perfeitamente homogêneo.

Sob estas condições pode-se dizer que a forma reta de equilíbrio

certamente existe. De fato, as tensões normais se distribuem uniformemente na

seção transversal e a sua resultante - a força normal N - passa pelo CG da

seção e equilibra a força P (caso de compressão uniforme, crA = N = P).

Embora exista, é necessário verificar se a configuração reta de equilíbrio é

estável. Para .isso, basta modificar levemente esta configuração de equilíbrio com

2

... . "

, I

•

uma causa perturbadora quarquer e analisar o que ocorre quando a causa

perturbadora desaparece.

Imagine-se então que a causa perturbadora provoque, momentaneamente,

a flexão da barra, figura 1.4 .

posição

deslocado

deslocamento

FIGURA 1.4

Nesta situação surgem dois momentos. Um deles é o momento externo Me

que tende a ampliar a curvatura da barra. O outro é o momento interno Mi

(momento fletor) gerado pelas tensões e que tende a retificar a barra.

Se o momento interno (resistente) for maior que o externo, isto é, Mi > Me,

retirada a causa perturbadora a barra volta a assumir a configuração reta de

equilíbrio. Neste caso o equilíbrio da forma reta é considerado estável.

Se o momento externo for maior que o interno, isto é, Mi < Me, retirada a

causa perturbadora a barra continua a se encurvar e afasta-se cada vez mais da

forma reta de equilíbrio. Neste caso o equilíbrio da forma reta é considerado

instável.

Se o momento interno for igual ao momento externo, isto é, Mi = Me,

retirada a causa perturbadora a barra fica em equilíbrio na forma fletida. Neste

caso o equilíbrio é considerado indiferente.

Lembrando que o momento interno Mi é dado por Elv" e observando que o

momento externo é igual a Pv, as três formas de equilíbrio são caracterizadas por:

Equilíbrio Instável: M · I < Me :. Elv 11 < Pv

Equilíbrio Estável: M· I > Me :. Elv 11 > Pv

Equilíbrio Indiferente: M· I = Me :. Elv 11 = Pv

3

• ..

;.-

A carga determinada com a condição de equilíbrio indiferente, isto é, Elv" = Pv, é designada por carga crítica ou carga de flambagem Pu. Assim, as três

formas de equilíbrio podem ser identificadas por:

Equilíbrio Estável: P <Pu

Equilíbrio Instável: P >Pu

Equilíbrio Indiferente: P =Pu

Do que foi exposto pode-se entender flambagem como sendo o fenômeno

que ocorre em uma estrutura, ou em um de seus elementos, quando sua forma

que era de equi líbrio estável passa ser de equilíbrio instável.

No caso da barra prismática considerada, a flambagem ocorre quando a

forma reta de equi líbrio torna-se instável (P > Pre ).

2. FLAMBAGEM DE EULER

Considere-se a barra prismática esquematizada na figura 2.1.

v(x)

v

FIGURA2.1

Sendo Mi = Elv" e Me = Pv, a condição de equilíbrio indiferente se

escreve:

Elv"(x) = -Puv(x) (2.1)

Admitindo-se módulo de elasticidade constante - o que vale para cr ::; crP = cree = cre5 , diagrama ( crxc) da figura 2.2-a, e para cr = crP = cre.e'

diagrama ( crxE) da figura 2.2-b- e fazendo

4

a - (P I EI )112 - fe z

tg ~=E

FIGURA 2.2

da equação (2.1 }, após integração, obtém-se

v(x) = cl sen( ax) + c2 cos( ax)

tg ~=E

(2.2)

(2.3)

Para determinar as constantes de integração· C1 e C2 usam-se, figura 2.1 ,

as condições de extremidade v = o para x = o e v = o para x = .e. Impondo-se a primeira condição à equação (2.3), tem-se

O = C1 sen(O) + C2 cos(O) (2.4)

donde

(2.5)

Sendo C2 igual a zero (C2 = O} a equação (2.3) da linha elástica fica:

v(x) = cl sen(ax) (2 .. 6)

Impondo-se a segunda condição de extremidade à equação (2.6}, obtém-

se:

o = cl sen( a.f.) (2.7)

5

•

I

Esta equação se verifica ou para C1 igual a zero ou para sen (ai) igual a

zero. Admitindo-se C1 = o conclui-se de (2.6) que v(x) = O. Este resultado,

v(x) = o, mostra que o equilíbrio se estabelece sem que a barra abandone a sua

configuração inicial. É equivalente dizer que a forma reta é uma configuração de

equilíbrio. Supondo então sen(al) =o, resulta

ae = eJ Prt = ntt (n = 0,1,2,3.) El2

donde:

(n = 0,1,2,3.)

(2.8)

(2.9)

Esta última expressão mostra que existem várias cargas de flambagem,

obtidas fazendo-se n = 1, 2, 3. Obviamente a carga a ser considerada como

carga crítica ou carga de flambagem é a que resulta de (2.9) com n = 1. Então:

2 p _ 1t EI2 fe- e2 (2.1 O)

Nesta expressão, recorde-se, E é o módulo de elasticidade do material da

barra e lz é o momento de inércia de sua seção transversal em relação a um dos

eixos centrais (principais) de inércia. O comprimento e é chamado de

comprimento de flambagem da barra. No caso estudado - barra com articulação

nas extremidades - o comprimento de flambagem é igual ao comprimento da

barra. Assim, pode-se escrever:

(2.11)

Empregando-se procedimento análogo pode-se obter a carga de

flambagem de barras com outros tipos de vínculos. Para os casos mais comuns,

figura 2.3, têm-se:

6

.e ·

I .. ., ...

L 1

~p

+-tp

: i

I Q I 1 ~I ~t.Q, :{2 ~I Qtl: 2

i I

+--! I

I

~ (o ) ( b) (c)

FIGURA2.3

(Pre )a 1t

2EI 1t2EI 1t

2EI (2.12) = z = z = z

(R re )2 (2e? 4!_2

(2.13)

(2.14)

É importante observar que a equação da linha elástica da barra fica

indeterminada. Este fato decorre do emprego da fórmula aproximada para descrever a curvatura da barra (K = v").

Conhecida a carga de flambagem da barra pode-se obter facilmente a sua

tensão de flambagem:

(2.15)

7

..

I ..

Definindo raio de giração da seção da barra e índice de esbeltez, da barra,

respectivamente, por

"' (2.16)

(2.17)

a tensão de flambagem, expressão (2.15), pode ser escrita:

(2.18)

A tensão de flambagem é o parâmetro que indica o campo de validade da

fórmula de Euler. De fato, como se viu, a fórmula de Euler foi deduzida admitindo­se proporcionalidade entre tensões e deformações ( cr = EE, cr :5: crP ).

Sendo então crp a tensão correspondente ao limite de proporcionalidade do

material da barra, figura 2.2, a condição para que se tenha flambagem de Euler se

expressa por

(2.19)

donde

(2.20)

Conclui-se então de (2.20) que ocorrerá flambagem de Euler, também chamada flambagem elástica (crp = cree), quando o índice de esbeltez da barra

superar o índice de esbeltez limite (J. ~ Ãp).

Note-se que para determinar o índice Ãp é necessário conhecer-se, para o

material da barra, o módulo de elasticidade E e a tensão de proporcionalidade crP.

8

I ~

· . ..

..

No caso de barras de aço, supondo-se

21 OkN/cm2, por exemplo, tem-se:

( )

1/2 "' - "' . - 21. 000 - 1 00 !l.p - 1\, fim - 1t =

21

3. FLAMBAGEM INELÁSTICA

E = 21 .000kN/cm2 e crp =

(2.21)

A flambagem é considerada inelástica quando a tensão crff é maior que a tensão limite de proporcionalidade cr P e menor que a tensão de escoamento do

material da barra cr ( cr ~cr~.~cr ), figura 2.2-b. É equivalente dizer-se que esp 1~ es

flambagem é inelástica quando o índice de esbeltez da barra está compreendido entre Àp e "-esC"-es ~ À ~ Àp)·

Nestas condições a tensão cr a é calculada por (AISC-ASD/1989)

(3.1)

Para calcular crfe por (3.1) é necessário conhecer-se as tensões cres e crP e

os índices de esbeltez correspondentes I..P e "-es·

Determinada a tensão de flambagem e conhecida a área da seção transversal da barra pode-se calcular facilmente a sua carga de flambagem Prt·

Tem-se então:

(3.2)

4. ESTADOS LIMITE E SEGURANÇA

Os elementos estruturais axialmente comprimidos podem atingir o estado

limite ou por flambagem elástica quando 1.. ~ "-P· ou por flambagem inelástica

quando "-es ~ 1.. ~ "-p ou ainda, por escoamento do material da barra quando 1.. ~

"-e (peças curtas).

9

•

t

Assim, tais elementos devem ser projetados de modo que a máxima tensão

de compressão neles reinante não ultrapasse a tensão admissível definida ou em função da tensão de escoamento cre5 , ou em função da tensão de flambagem.cru.

Estas duas condições se traduzem por

crmáx ::; cr = O'es (4.1) v

crmáx ::; cru = cru (4.2) v

O coeficiente de segurança v, sempre maior que a unidade, deve cobrir,

em princípio, todas as incertezas relativas ao projeto estrutural.

5. APLICAÇÕES NUMÉRICAS

No estudo das barras axialmente comprimidas surgem, como se sabe,

problemas de verificação e de dimensionamento.

Nos problemas de verificação procura-se determinar a máxima força que

pode ser aplicada a uma barra admitindo-se conhecidos o seu comprimento, a

sua seção transversal e também a sua vinculação.

Nos problemas de dimensionamento buscam-se as dimensmes da seção

transversal da barra supondo conhecidos o seu comprimento, a sua vinculação e,

obviamente, a força que solicita a barra.

Em ambos os tipos de problemas é necessário conhecer-se o coeficiente

de segurança e o diagrama tensão x deformação do material da barra.

EXEMPLO 1

Determinar a máxima força axial de compressão que pode ser aplicada à

barra de aço representada na figura a seguir. Supor E = 21 OOOkN/cm2,

cr P = cr et = 22 kN I cm2 e v = 2.

10

ap=CJés

tg ~=E

~=4m :..:.__ _ _ -}1-- E:=E: e: p es

O momento de inércia, 6 raio de giração e o índice de esbeltez da barra

são dados por:

. (I )112 ·( 216 )1/2 1 = - = -- = 1 732 em

A 6x12 '

Â= fte =!:_= 400 =230 95

i i 1, 732 '

O índice de esbeltez limite Âp é dado por

Comparando-se os valores de à pode-se concluir que o estado limite será atingido por flambagem elástica (à = 231 > ÃP = 97).

Deste modo tem-se:

crmáx ::;; cru - cru - 3' 89

- 1, 95kN I cm2

v 2

11

.. r

A máxima força de compressão que pode ser aplicada à barra é

aproximadamente igual a 140kN.

O mesmo resultado é obtido por:

= n2x21. 000x216 = 280 kN

( 400)2

Fmáx = Fu = Fu = 280 = 140kN v 2

EXEMPLO 2

Calcular a máxima força de compressão que pode ser aplicada á viga de

aço representada na figura abaixo. Admitir E = 20.000kN/cm2,

crP = cree = cres = 18kN I cm2 e v= 2.

p

~-drm . ~

1 1=2m l

1

Sendo I= 512cm4, i= 2,309cm, /.. = 86,61 e /..P = 104,72, conclui-se que a

carga máxima será calculada em função da tensão de escoamento cr es (/.. = 86 ::;; /..P = 1 05). Tem-se então:

crmáx s cr = cres = _!! = 9kN I cm2

v 2 /

Fmáx = crmáxA = crA = 9x96 = 864kN

A máxima força de compressão que pode ser aplicada à viga é de 864kN.

EXEMPLO 3

12

..

., I

Calcular a máxima carga que pode ser aplicada ao pilar de aço

representado na figura a seguir. Admitir E = 20.000kN/cm2,

crp = cree = 21kN I cm2 , À.es = 30 e v= 2,5.

~p -,!<----

Ir 18 ~

E c:o N u

1 1 -.-=tscm <::>-{

Neste caso o comprimento de flambagem .eff. é igual a 5,6m (barra

engastada-! ivre).

Assim, tem-se:

3 I= lSxS = 768cm4

12

-- (768)112

144 = 2, 309cm

À. = 560 = 242 53 2,309 '

'"( 202. 0100 )112

À.p =" = 96,95

Os valores de À. mostram que o estado limite será atingido por flambagem

elástica.

Resultam assim:

= n2x20. 000 = 3, 35kN I cm2 (242, 53)2

13

cr máx ~ O' fl = 3,35

2,5 = 1, 34kN I cm2

A máxima carga que pode ser aplicada à barra é de 193kN.

Ao mesmo resultado chega-se por

p 1 Pmáx = Pu - _R -

v 2,5

EXEMPLO 4

n2x20 . 000x768 ------~-- = 193kN

(2x280)2

Determinar a máxima carga que pode ser aplicada ao pilar de aço da figura

abaixo. Adotar os dados do exemplo 3.

E ......

" ~

Sendo À= (200/2,309) = 86,62 , Àp = 96,95 e Àes = 20, conclui-se que o

estado limite se dará por flambagem inelástica. As tensões cru e cru são dadas por

= 30- ·(86

, 62

-20

)2

(30- 21) = 23 25kN I cm2

crff 96,95-20 '

cr · 23,25 crre - ___R - = 9, 3kN I cm2

v 2,5

Sendo crmáx:::::; cru, obtém-se a carga máxima por:

P o = cr o A = crr··A = 9 3x144 = 1 339kN max max <- , •

14

'1.

-~

I

EXEMPLO 5

Determinar a máxima carga que pode ser aplicada à barra de aço

esquematizada na figura a seguir. Adotar os dados do exemplo 3.

• 18 • l I 1----J.-~~Cm

I

-J<- --

Neste caso de barra bi-engastada o comprimento de flambagem é igual a

40cm (lre = l/2). Sendo então À. = (40/2,309) = 17,32, Â.p = 96,95 e Â.es = 20, chega-se à

conclusão que o estado limite se dará por escoamento do material da barra.

Deste modo, tem-se

crmáx = cr = _2.Q_ = 12kN I cm2

2,5

Pmáx = crmáxA = crA = 12x144 = 1728kN I cm2

EXEMPLO 6

O pilar de aço representado na figura abaixo deve suportar uma carga axial

máxima de 48kN. Sendo E = 20.000kN/cm2, crP = cree = 20kN I cm2 cres =

30kN/cm2, Â.p = 99,34, Â.es = 30 e v = 2,5, determinar as dimensões da seção

transversal do pilar

~P=48kN (J'

~~~ :t- O"es

~ I ~=P (J'p = ~!

l I tg~= E

15

·.

(

Como não é possível saber-se de que forma a barra atingirá o estado limite

(não se conhece o índice de esbeltez), o problema só pode ser resolvido por

tentativas. Arbitra-se o intervalo de variação de À( À < Àes• por exemplo), calculam­

se as dimensões da seção, determina-se À e verifica-se se o À obtido está no

intervalo arbitrado. As tentativas terminam quando o À obtido pertencer ao

intervalo arbitrado.

Supondo-se, como primeira hipótese, que À ~ Àes = 30, tem-se

O"máx ~ cr = O"es = _2Q_ = 12kN I cm2

v 2,5

donde:

a= lcm

. . Este valor (a = 1 em) mostra que a hipótese feita não está correta. De fato,

para a = 1 em tem-se i = 0,289cm e À = 4.157 > Àes = 30. Supondo-se então, como segunda hipótese, À> ÀP = 99,34, tem-se:

4a4 a4

l=-=-12 3

1/2 ( 4 )1/2 i=(~) = I;a2 = Ju

À = 2.R = 2t-J12 1 a

16

J I

J 1 .,

·-I ..

p ' p ' 48 A = max = max = ___ _ crmáx crfl O, 00457a2

Observando que A = 4a2, resulta

48 4 a 2 = -------:-

0, 00457a2

donde:

a == 7, 16cm

Com este valor de ª obtém-se À. = 580,76 e conclui-se que a hipótese formulada (À > Àp) está correta.

Assim, a seção transversal da barra deverá ter 7, 16cm de largura e

28,64cm de altura (7, 16x28,64cm2).

6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EXERCÍCIO 1

Determinar a seção transversal do pilar representado na figura abaixo.

Adotar os dados do exemplo 6.

E .....

+ p = 7500 kN . I

~=l -+--;+

17

I

t l

·~

EXERCíCIO 2

Determinar a seção transversal do pilar esquematizado na figura a seguir.

Adotar dados do exemplo 6.

1

E 1'") .

" ~ I

I i ~

EXERCÍCIO 3

(J

Calcular a máxima carga de compressão que pode ser aplicada à coluna representada na figura abaixo. Supor E = 20.000kN/cm2, crP =12,5kN/cm2, cres =

25kN/cm2, À.es = 20 e v= 2

E. <r

" ~

EXERCÍCIO 4

E u o N

L lOcm L

1 1 =~= perfil I8"

-z

i y 1 2,11 cm4

i z 1 8,30cm4

As 34,8cmZ

Verificar se é possível construir a treliça mostrada na figura abaixo

empregando dupla cantoneira de aço (50x50x5). Supor E = 20.500kN/cm2,

crp = cre1= 12,5kN/cm2, cres = 25kN/cm2, À.es = 20 e v= 2.

18

( ~ 2 kN ~ 4 kN ~ 4 kN l4 kN l2kN

/7777?

l 2Pm J_ 2,0 m l 2,0m l 2,0 m l 1 I 1 l 1

A = 9,16 cm2

i : l 58 cm4 z , iy = 2,30 cm4

k 5 em L

f 1

1r~-=fo.s,. y ~

7. BIBLIOGRAFIA

tgp =E

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19