Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

М.Б. Гитман

ВВЕДЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКУЮ ОПТИМИЗАЦИЮ

Учебное текстовое электронное издание

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

1 электронный оптический диск

© ПНИПУ, 2014 Издание 2-е, стереотипное ISBN 978-5-398-01285-9

99

УДК 519.856(075.8) ББК 22.171я73

Г51

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Н.А. Труфанов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

канд. физ.-мат. наук О.Л. Калинина (Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет)

Гитман, М.Б.

Г51 Введение в стохастическую оптимизацию: учеб. пособие [элек-тронный ресурс] / М.Б. Гитман. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 104 с. – 1 электрон. опт. диск.

ISBN 978-5-398-01285-9

Приведена общая постановка задачи стохастической оптимизации.

Рассмотрены подходы к решению этой задачи. Приведены примеры по-становки, алгоритма и решения задачи стохастической оптимизации для некоторых процессов пластического деформирования металлов.

Предназначено для студентов технических вузов. Может быть также рекомендовано для подготовки магистров математического и информационно-математического направлений.

УДК 519.856(075.8) ББК 22.171я73

Электрон. текст. изд. (6,93 Мб). – 1 электрон. опт. диск. – Систем.

требования: Pentium 200; оперативная память 256 Мб; операционная система Windows (98, МЕ, NT, 2000, XP, Vista, W7); Adobe Acrobat 5.0; привод CD-ROM; рекомендуемое разрешение экрана 1024×768.

Редактор и корректор И.Н. Жеганина Компьютерная верстка Л.В. Черных Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета. Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел. (342) 219-80-33, e-mail: 2198033@mail.ru

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ââåäåíèå ................................................................................................................. 4

Ãëàâà 1. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ â óñëîâèÿõ

íåîïðåäåëåííîñòè ïàðàìåòðîâ................................................................. 6

1.1. Êëàññèôèêàöèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè

â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè ........................................................ 6

1.2. Êëàññèôèêàöèÿ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé

îïòèìèçàöèè..................................................................................... 13

1.3. Îñîáåííîñòè çàäà÷ èññëåäîâàíèÿ ïëàñòè÷åñêîãî

äåôîðìèðîâàíèÿ ìåòàëëîâ ............................................................. 13

1.4. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé

îïòèìèçàöèè..................................................................................... 16

1.5. Çàäà÷à óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññîâ óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî

äåôîðìèðîâàíèÿ â ñòîõàñòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå ........................... 27

1.6. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è

ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ......................................................... 41

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................... 49

Ãëàâà 2. Ïðèêëàäíûå çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè................................. 52

2.1. Çàäà÷à çíàêîïåðåìåííîãî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî èçãèáà ............. 52

2.2. Çàäà÷à îõëàæäåíèÿ äëèííîìåðíîãî ïðîôèëÿ ............................... 58

2.3. Çàäà÷à âîëî÷åíèÿ ............................................................................. 71

2.4. Çàäà÷à îñàäêè ñïëîøíîãî öèëèíäðà .............................................. 76

2.6. Âûáîð ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ äåôîðìèðîâàíèÿ â çàäà÷àõ

ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ........................................................ 86

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................... 97

Çàêëþ÷åíèå ............................................................................................................. 99

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ................................................................................................ 100

3

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ èçó÷åíèÿ äèñöèïëèíû

«Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ».

 ïðîöåññå èçó÷åíèÿ êóðñà ñòóäåíò äîëæåí îñâîèòü ñëåäóþùèå

ó÷åáíûå äèñöèïëèíû: ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç,

òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ

ïðîöåññîâ, ìåòîäû îïòèìèçàöèè, òåîðèÿ èãð è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé,

òåîðèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà.

 ðåçóëüòàòå èçó÷åíèÿ äèñöèïëèíû «Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ»

ñòóäåíò äîëæåí:

– èìåòü ïðåäñòàâëåíèå î ìåòîäàõ îïòèìèçàöèè â óñëîâèÿõ íåîïðå-

äåëåííîñòè, óìåòü êëàññèôèöèðîâàòü çàäà÷è ïî ôîðìàì èìåþ-

ùåéñÿ íåîïðåäåëåííîñòè, ñòàâèòü è ðåøàòü îïòèìèçàöèîííûå çà-

äà÷è â óñëîâèÿõ íå÷åòêîñòè èñõîäíîé èíôîðìàöèè;

– çíàòü êîëè÷åñòâåííûå ìåòîäû îöåíêè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, âåëè-

÷èí, ñèñòåì âåëè÷èí, ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò îáðàáîòêè ñòàòè-

ñòè÷åñêèõ äàííûõ;

– óìåòü âûïîëíÿòü îïòèìèçàöèîííûå ðàñ÷åòû ïðè àíàëèçå è ñèíòå-

çå ðåàëüíûõ ñèñòåì;

– âëàäåòü îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè è ìåòîäàìè ñòîõàñòè÷åñêîé îïòè-

ìèçàöèè, óäåëÿÿ îñíîâíîå âíèìàíèå èõ ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíå-

íèþ;

– èìåòü íàâûêè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è îïòèìèçà-

öèè ðàçëè÷íûõ ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ â óñëîâèÿõ ñòîõàñòè÷íîñòè.

Ñòðóêòóðà ïðåäëàãàåìîãî ïîñîáèÿ ïîçâîëÿåò ñòóäåíòàì âíà÷àëå âîñ-

ïðîèçâåñòè îñíîâíîå ñîäåðæàíèå òåì ó÷åáíèêà, çàòåì ïîçíàêîìèòüñÿ

ñ ïðèíöèïàìè ïîñòàíîâîê è àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çàäà÷, îçíàêîìèòüñÿ

ñ ðåøåííûìè ïðèìåðàìè è, íàêîíåö, «ïðîèãðàòü» ñîáñòâåííîðó÷íî ñîç-

äàííóþ ìîäåëü èññëåäóåìîãî ÿâëåíèÿ (ïðîöåññà). Ïîäîáíàÿ îðãàíèçà-

öèÿ ïîñîáèÿ ïîçâîëÿåò ãëóáæå óñâîèòü ó÷åáíûé ìàòåðèàë íà îñíîâå åãî

ëîãè÷åñêîãî îñìûñëåíèÿ è ïðàêòè÷åñêîãî îñâîåíèÿ.

4

Ñòîõàñòè÷åñêèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè âêëþ÷àþò, ïðåæäå âñåãî, îïòè-

ìèçàöèþ îáðàáîòêè íàáëþäåíèé ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòåé ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ íàèëó÷øèõ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå èõ îöåíîê

èëè îöåíîê íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ïîðîæäàþùèõ

ýòè ïðîöåññû.

Äðóãîé êðóã çàäà÷ ñâÿçàí ñ îïðåäåëåíèåì îïòèìàëüíûõ çàêîíîâ

óïðàâëåíèÿ (ñòðóêòóðû è ïàðàìåòðîâ), îáåñïå÷èâàþùèõ íàèëó÷øåå

â îïðåäåëåííîì ñìûñëå êà÷åñòâî óïðàâëåíèÿ è êîíå÷íûé ðåçóëüòàò.

Ôîðìóëèðîâêà è ðåøåíèå òàêèõ ñòîõàñòè÷åñêèõ çàäà÷ îñóùåñòâëÿåòñÿ

íà îñíîâå âåðîÿòíîñòíûõ êðèòåðèåâ, êîòîðûå, â îòëè÷èå îò äåòåðìèíè-

ðîâàííûõ, ÷àùå âñåãî ñîäåðæàò äîïîëíèòåëüíóþ îïåðàöèþ ñòàòèñòè÷å-

ñêîãî îñðåäíåíèÿ è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ áîëåå ñëîæíûìè.

Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óêàçàííûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ çàäà÷ äîñòèãàåò-

ñÿ ñîâðåìåííûìè ìåòîäàìè òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêèõ îïòèìàëüíûõ ðåøå-

íèé (ñòàòèñòèêà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì).

Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ áàçèðóåòñÿ íà ïðîèçâîëüíûõ áàéåñîâñêèõ êðè-

òåðèÿõ óñëîâíîãî ðèñêà è âàðèàöèîííîì ïðèíöèïå îïòèìèçàöèè. Äëÿ ðå-

øåíèÿ çàäà÷ îöåíèâàíèÿ íåïðåðûâíûõ è äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåñ-

ñîâ ðàçâèòû àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ôèëüòðîâ íà îñíîâå ðà-

áîò À. Í. Êîëìîãîðîâà, Í. Âèíåðà, Ð. Êàëìàíà, Â. Ñ. Ïóãà÷åâà.

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îïðåäåëåíèÿ

ñòðóêòóðû çàêîíà óïðàâëåíèÿ è åãî ïàðàìåòðîâ ðàçðàáîòàíû âàðèàöèîí-

íûå ìåòîäû íà îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà è äèíàìè÷åñêîãî

ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

Àâòîð íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò ÷èòàë êóðñ ëåêöèé «Ñòîõàñòè÷åñêàÿ

îïòèìèçàöèÿ» äëÿ ñòóäåíòîâ íàïðàâëåíèÿ 010500 («Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìà-

òèêà è èíôîðìàòèêà») ïî ìàãèñòåðñêîé ïðîãðàììå 010502.68 («Ìàòåìà-

òè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå»), ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ ïî ïðîôèëþ ìåõàíèêè

ñïëîøíûõ ñðåä. Ïîýòîìó â ïðèâåäåííûõ ïîñòàíîâêàõ çàäà÷ è ðàññìàòðè-

âàåìûõ ïðèìåðàõ ïðåîáëàäàþò çàäà÷è ìåõàíèêè. Îäíàêî âåñü ðàññìàò-

ðèâàåìûé ìàòåðèàë ìîæåò áûòü óñïåøíî ïðèìåíåí äëÿ ïîñòàíîâîê è ðå-

øåíèÿ çàäà÷ â ðàìêàõ ëþáîãî äðóãîãî íàó÷íîãî íàïðàâëåíèÿ.

Ãëàâà 1

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ

ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÎÍÍÛÕ ÇÀÄÀ× Â ÓÑËÎÂÈßÕ

ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ

Ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ïðîåêòèðîâàíèÿ êîíñòðóêöèé è ðàç-

ðàáîòêè íîâûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îäíîé èç îñíîâíûõ ÿâëÿåòñÿ

ïðîáëåìà âûáîðà îïòèìàëüíûõ â íåêîòîðîì ñìûñëå ïàðàìåòðîâ. Ñ ìàòå-

ìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è

îïòèìèçàöèè.

Îäíîé èç îñíîâíûõ òðóäíîñòåé, âîçíèêàþùèõ ïðè ðåøåíèè çàäà÷

îïòèìèçàöèè òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ íå-

îïðåäåëåííîñòü, êîòîðàÿ îáÿçàòåëüíî ïðèñóòñòâóåò òåì èëè èíûì îáðà-

çîì â ïîñòàíîâêå îïòèìàëüíîé çàäà÷è. Ïðèðîäà ýòîé íåîïðåäåëåííîñòè

ìîæåò áûòü ðàçëè÷íà. Ïîíÿòíî, ÷òî áåç ó÷åòà ýòîãî âèäà íåîïðåäåëåííî-

ñòè ðåøåíèå îïòèìàëüíîé çàäà÷è ìîæåò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò ðå-

àëüíîé êàðòèíû, íàáëþäàåìîé ýêñïåðèìåíòàëüíî.

1.1. Êëàññèôèêàöèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè

â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè

 îáùåì ñëó÷àå îïòèìèçàöèîííûå çàäà÷è ìîãóò áûòü ðàçáèòû íà

òðè áîëüøèå ãðóïïû: äåòåðìèíèðîâàííûå, çàäà÷è, ðåøàåìûå â óñëîâèÿõ

íåïîëíîòû èíôîðìàöèè, è ñóùåñòâåííî ñòîõàñòè÷åñêèå çàäà÷è.

Äåòåðìèíèðîâàííûå çàäà÷è îïåðèðóþò ñ ïîëíîñòüþ îïðåäåëåííîé

èíôîðìàöèåé, ò. å. èìååòñÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûé êðèòåðèé îïòèìè-

çàöèè (öåëåâàÿ ôóíêöèÿ) è îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà îãðàíè÷å-

íèé. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ðàçðàáîòàííûìè [2,

3, 4, 30, 33, 38, 40 è äð.].

Íà äðóãîì ïîëþñå íàõîäÿòñÿ çàäà÷è, ðåøàåìûå â óñëîâèÿõ íåîïðå-

äåëåííîñòè (èëè íåïîëíîòû èíôîðìàöèè), îòëè÷àþùèåñÿ òåì, ÷òî ñòî-

õàñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè èçó÷àåìîé ñèñòåìû (îáúåêòà) íå ìîãóò áûòü

6

ïîëó÷åíû.  çàâèñèìîñòè îò óðîâíÿ íåîïðåäåëåííîñòè çàäà÷à îïòèìèçà-

öèè ìîæåò ðåøàòüñÿ â óñëîâèÿõ èíòåðâàëüíîãî îïèñàíèÿ ïàðàìåòðîâ [1]

èëè ñ ïîçèöèé òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ [10, 17, 55].

Èíòåðâàëüíîå îïèñàíèå èñïîëüçóåòñÿ òîãäà, êîãäà íåîïðåäåëåííûå

ïàðàìåòðû çàäàíû òîëüêî äèàïàçîíàìè âîçìîæíûõ çíà÷åíèé (âåðõíèå

è íèæíèå ãðàíèöû), ïðè÷åì ñëó÷àéíûé ïàðàìåòð ìîæåò ïðèíèìàòü ëþ-

áîå çíà÷åíèå âíóòðè èíòåðâàëà, ïðè ýòîì åìó íå ïðèïèñûâàåòñÿ íèêàêàÿ

âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà.

Îïèñàíèå ñ ïîçèöèé íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íåîïðåäå-

ëåííûå ïàðàìåòðû çàäàþòñÿ íåêîòîðûìè ìíîæåñòâàìè âîçìîæíûõ çíà÷å-

íèé è õàðàêòåðèçóþòñÿ òîé èëè èíîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè ñîîòâåò-

ñòâóþùèì çíà÷åíèÿì ìíîæåñòâà (ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè).

Ïðè ýòîì ïîëíàÿ ïðèíàäëåæíîñòü ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ôóíêöèè ïðè-

íàäëåæíîñòè ðàâíîìó «1», à ïîëíàÿ íåïðèíàäëåæíîñòü — «0» [10].

Ìåòîäû ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåí-

íîñòè íàèìåíåå ðàçðàáîòàíû, îäíàêî îáùåïðèçíàíî, ÷òî çàäà÷è ïîäîá-

íîãî òèïà íåîáõîäèìî ðåøàòü, èñïîëüçóÿ êîìïëåêñíûé ïîäõîä, ò. å. ïðè-

ìåíÿÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû è èõ êîìáèíàöèè. Êîìïëåêñíûé ïîäõîä âêëþ-

÷àåò ñëåäóþùèå îñíîâíûå ýòàïû [11]:

– îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà óñëîâèé, õàðàêòåðèçóþùèõ ìîäåëü, è ôîð-

ìèðîâàíèå íà èõ îñíîâå îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, ñ òîé èëè èíîé

ñòåïåíüþ àäåêâàòíîñòè îïèñûâàþùèõ îáúåêò;

– ðåøåíèå ñôîðìóëèðîâàííûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, íàõîæäå-

íèå çîíû íåîïðåäåëåííîñòè äëÿ êàæäîãî èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé;

– àäàïòàöèÿ êàæäîãî èç ðåøåíèé ê ðàçëè÷íûì êîìáèíàöèÿì èñõîä-

íûõ äàííûõ;

– íàõîæäåíèå ðåøåíèé â çîíå íåîïðåäåëåííîñòè.

Òàêîé ïîäõîä, íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ åãî óíèâåðñàëüíîñòü, íå ïî-

çâîëÿåò ðåøàòü ðåàëüíûå çàäà÷è îïòèìèçàöèè â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåí-

íîñòè, ò. ê. ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè òðåáóåò çíà÷èòåëüíûõ âðåìåííûõ çà-

òðàò. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå [29].

Ïóñòü ðåøàåòñÿ çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ â óñëîâèÿõ èí-

òåðâàëüíîãî çàäàíèÿ ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé ôîðìû: � �c c c ii i i� �min max, . Äëÿ

ôîðìèðîâàíèÿ ìíîæåñòâà çàäà÷, îòðàæàþùèõ ìíîæåñòâî óñëîâèé, õà-

ðàêòåðèçóþùèõ îáúåêò (âàðèàíòû), íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü 2n ëèíåéíûõ

ôîðì, ãäå n — ðàçìåðíîñòü âåêòîðà íåèçâåñòíûõ, ò. å. íåîáõîäèìî ðå-

øàòü 2n çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

7

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äàæå ïðè íåáîëüøîì n ÷èñëî ðåøàåìûõ çàäà÷

áóäåò âåñüìà áîëüøèì. Ïîýòîìó âåñüìà àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ôîðìèðî-

âàíèå ìèíèìàëüíîãî ìíîæåñòâà çàäà÷ (âàðèàíòîâ), äîñòàòî÷íî àäåêâàò-

íî îòðàæàþùåãî ðåàëüíûå óñëîâèÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îáúåêòà.

 îáùåì ñëó÷àå â êà÷åñòâå ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè â óñëîâèÿõ

íåîïðåäåëåííîñòè ñëåäóåò ïðèíèìàòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ.

Ïðèíöèïû âûáîðà «ñîãëàñîâàííûõ» ðåøåíèé äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè

íå èññëåäîâàíû è â áîëüøåé ñòåïåíè çàâèñÿò îò «èíòóèòèâíûõ ïðåäïî-

ñûëîê ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèÿ (ËÏÐ)» [10].

Îáùèå ðåêîìåíäàöèè ïî ðåøåíèþ íå÷åòêî ñôîðìóëèðîâàííûõ çà-

äà÷ îïòèìèçàöèè äàíû Ë. À. Çàäå [26, 55] è ñîñòîÿò â ðåàëèçàöèè ïðîöå-

äóð ïîñòðîåíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ öåëè è íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ âûáîðîâ

è îáëàñòè (ìíîæåñòâà) èõ ïåðåñå÷åíèÿ (÷òî è áóäåò ðåøåíèåì). Îäíàêî

â öåëîì ðÿäå ñëó÷àåâ ýòè ðåêîìåíäàöèè ñîïðÿæåíû ñ ïðàêòè÷åñêè íåïðå-

îäîëèìûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè è íå ïîçâîëÿþò âûïîëíèòü

ñèíòåç êîíñòðóêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ðåàëüíûõ ïðèêëàäíûõ íå-

÷åòêî ñôîðìóëèðîâàííûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè.

Îñíîâíîé êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè çàäà÷ — ýòî çàäà÷è ìåõàíè-

êè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà (ÌÄÒÒ). Ýòè çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ çàäà÷à-

ìè ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûìè (â îáùåì ñëó÷àå ïðèñóòñòâóåò ãåîìåòðè-

÷åñêàÿ è ôèçè÷åñêàÿ íåëèíåéíîñòü), ïîýòîìó ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì îïèñà-

íèè â êà÷åñòâå ðàñ÷åòíîé ìîäåëè çàäà÷è íåëèíåéíîé îïòèìèçàöèè

ïðèíèìàåòñÿ çàäà÷à íåëèíåéíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ

ñ íå÷åòêèìè ïåðåìåííûìè.

Ñïåöèôèêà ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè

ñ íå÷åòêèìè ïåðåìåííûìè, ñîñòîÿùàÿ â ïîñòðîåíèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ

öåëè è äîïóñòèìûõ âûáîðîâ è èõ ïåðåñå÷åíèÿ, êðîìå ÷ðåçâû÷àéíî âûñî-

êîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñëîæíîñòè, íå óñòðàíÿåò íåîïðåäåëåííîñòè â âûáî-

ðå ðåøåíèÿ, äàæå åñëè â ñèëó ôèçè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ìîäåëè ðåøåíèå

äîëæíî áûòü òîëüêî îäíîçíà÷íûì.

Ô. Ãèëë è Ó. Ìþððåé [16] îòìå÷àëè, ÷òî íè îäèí èç ñòðîãèõ ôîð-

ìàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ íåëèíåéíîãî ïðîãðàì-

ìèðîâàíèÿ íå ãàðàíòèðóåò â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ ãëîáàëüíîãî ìè-

íèìóìà. Ïîýòîìó â ñâîåé ðàáîòå îíè óòâåðæäàþò, ÷òî îñíîâíîå âíèìà-

íèå ðàçðàáîò÷èêîâ àëãîðèòìîâ è ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ íåëèíåéíîé

îïòèìèçàöèè äîëæíî áûòü îáðàùåíî íà ýâðèñòè÷åñêèå ìåòîäû. Åùå

áîëüøå ýòî ïîëîæåíèå ìîæåò áûòü îòíåñåíî ê çàäà÷àì íåëèíåéíîé îïòè-

ìèçàöèè ñ íå÷åòêèìè ïåðåìåííûìè.

8

 íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ øèðîêîå ïðèìåíå-

íèå ïîëó÷èë ïðèíöèï ýâðèñòè÷åñêîé ñàìîîðãàíèçàöèè, îñíîâíûå ïîëî-

æåíèÿ êîòîðîãî ñôîðìóëèðîâàíû À. Ã. Èâàõíåíêî [27]. Â îñíîâó ýâðè-

ñòè÷åñêîé ñàìîîðãàíèçàöèè ïîëîæåí ïðèíöèï íåîêîí÷àòåëüíîñòè ðåøå-

íèé, êîòîðûé âïåðâûå áûë âûñêàçàí àìåðèêàíñêèì ïñèõîëîãîì

Ô. Ðîçåíáëàòîì ïðè àíàëèçå ïåðöåïòðîíîâ — óñòðîéñòâ, ïðåäíàçíà÷åí-

íûõ äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ.

Ïðèíöèï íåîêîí÷àòåëüíîñòè ðåøåíèé ìîæíî ïîÿñíèòü ñëåäóþùèì

îáðàçîì [29]. Ïóñòü çàäà÷åé èññëåäîâàòåëÿ ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ;

ýòî ðåøåíèå ìîæíî ïðèíÿòü ëèáî ñðàçó, ëèáî â íåñêîëüêî ïðèåìîâ, ïî-

ñëåäîâàòåëüíî óëó÷øàÿ (èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, íå óõóäøàÿ) åãî. Â ñîîò-

âåòñòâèè ñ ðàññìîòðåííûì ïðèíöèïîì íà êàæäîì øàãå îòáèðàåòñÿ

íå åäèíñòâåííîå (íàèëó÷øåå) ðåøåíèå (íàïðèìåð, â òåîðèè ñòàòèñòè÷å-

ñêèõ ðåøåíèé âñåãäà îòáèðàåòñÿ òîëüêî îäíî íàèëó÷øåå ðåøåíèå), à íå-

êîòîðîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ïðèìåðíî 20–35 % íàèáîëåå ïðàâäîïîäîá-

íûõ ðåøåíèé. Ïðèíöèï íåîêîí÷àòåëüíûõ ðåøåíèé äàåò âîçìîæíîñòü

ìíîãîêðàòíî ïðèìåíÿòü ýâðèñòè÷åñêèå êðèòåðèè äëÿ âûáîðà ðåøåíèÿ íà

êàæäîì øàãå, ïðè íåîáõîäèìîñòè êîððåêòèðîâàòü è ðåøåíèÿ, è êðèòå-

ðèè. Òåì ñàìûì èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ñ âûñîêîé ñòå-

ïåíüþ òî÷íîñòè.

Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè. Çà-

äà÷à îïòèìèçàöèè ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé, åñëè ïàðàìåòðû, îïèñûâàþ-

ùèå èññëåäóåìûé îáúåêò (ïðîöåññ, êîíñòðóêöèþ è ò. ä.), íîñÿò âåðîÿòíî-

ñòíûé (ñëó÷àéíûé) õàðàêòåð. Ïðè ýòîì äîëæíà áûòü çàäàíà ïëîòíîñòü

ðàñïðåäåëåíèÿ (ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ) ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ

âåëè÷èí, èëè ïîñëåäíèå ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ ìîìåíòîâ ðàçëè÷íûõ

ïîðÿäêîâ.

×àñòíûì ñëó÷àåì ñòîõàñòè÷åñêîãî ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîå îïèñà-

íèå. Ýòà ôîðìà îïèñàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ òîãäà, êîãäà óäàåòñÿ îöåíèòü

ëèøü âûáîðêó íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ

òàê ÷àùå âñåãî è áûâàåò), íà îñíîâàíèè êîòîðîé è ñòðîÿòñÿ ñîîòâåòñò-

âóþùèå ýìïèðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè (ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíê-

öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ è ò. ä.).

Ââåäåì íåêîòîðóþ êëàññèôèêàöèþ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçà-

öèè [12, 24, 25, 42].

 ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ âîçíèêàþò ñèòóàöèè, êîãäà ðå-

øåíèå äîëæíî áûòü ïðèíÿòî îïåðàòèâíî, äî ðåàëèçàöèè è íàáëþäåíèÿ

9

íåêîòîðûõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ. Îäíàêî ïðè ýòîì ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæ-

íîñòü â ïîñëåäóþùåé ïî ìåðå íàêîïëåíèÿ èíôîðìàöèè êîððåêòèðîâàòü

ïðåäâàðèòåëüíî ïðèíÿòîå ðåøåíèå è êîìïåíñèðîâàòü òàêèì îáðàçîì âîç-

íèêàþùèå íåâÿçêè. ßñíî, ÷òî ñóììàðíûå çàòðàòû ïðè ýòîì áóäóò ìèíè-

ìàëüíû, åñëè ïðè ðàçðàáîòêå ïðåäâàðèòåëüíîãî ïëàíà ìîæåò áûòü èñ-

ïîëüçîâàíà íåïîëíàÿ èíôîðìàöèÿ î ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèêàõ

ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðè-

âàòü ðàçðàáîòêó ïðåäâàðèòåëüíîãî ïëàíà è êîìïåíñàöèþ îïðåäåëÿåìûõ

èì íåâÿçîê êàê äâà ýòàïà ðåøåíèÿ îäíîé çàäà÷è. Òàêèå çàäà÷è íàçûâàþò-

ñÿ äâóõýòàïíûìè çàäà÷àìè ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [5]. Åñ-

òåñòâåííûì îáîáùåíèåì äâóõýòàïíûõ çàäà÷ ÿâëÿþòñÿ ìíîãîýòàïíûå çà-

äà÷è, êîãäà â ïðîöåññå îïðåäåëåíèÿ óïðàâëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî íàáëþ-

äàþòñÿ ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ óñëîâèé çàäà÷è è êàæäûé ðàç,

êîãäà ýòî ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì, â ñîîòâåòñòâèè ñ âíîâü íàêîï-

ëåííîé èíôîðìàöèåé êîððåêòèðóåòñÿ ðåøåíèå.

Ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïî

âîçìîæíîñòè ïðîâåäåíèÿ èñïûòàíèÿ (íàáëþäåíèÿ) íàä ñîîòâåòñòâóþ-

ùèì ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì äî âûáîðà (ïðèíÿòèÿ) ðåøåíèÿ. Òàê, íà-

ïðèìåð, â ìåäèöèíñêîé ïðàêòèêå ðåøåíèå î ñïîñîáå ëå÷åíèÿ áîëüíîãî

ïðèíèìàåòñÿ ïîñëå ïðåäâàðèòåëüíîãî àíàëèçà åãî ñîñòîÿíèÿ (òåìïåðà-

òóðû, àíàëèçîâ è ò. ä.), â îïåðàòèâíî-êàëåíäàðíîì ïëàíèðîâàíèè ðåøå-

íèå ïðèíèìàåòñÿ íà îñíîâå íàáëþäàåìîé ñèòóàöèè è ò. ä. Åñëè òàêàÿ

âîçìîæíîñòü ñóùåñòâóåò, òî çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ÿâëÿ-

åòñÿ çàäà÷åé îïåðàòèâíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, à åñëè

îòñóòñòâóåò — çàäà÷åé ïåðñïåêòèâíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðî-

âàíèÿ.

 ðàìêàõ ïðèâåäåííîé âûøå êëàññèôèêàöèè ðàññìàòðèâàåìûå îïòè-

ìàëüíûå ðåæèìû ïðîöåññîâ îáðàáîòêè ìàòåðèàëîâ ÿâëÿþòñÿ ÷àùå âñåãî

îäíîýòàïíûìè çàäà÷àìè ïåðñïåêòèâíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðî-

âàíèÿ.

Îäíîýòàïíûå çàäà÷è ðàçëè÷àþòñÿ ïî öåëåâûì ôóíêöèÿì, ïî õàðàê-

òåðó îãðàíè÷åíèÿ è ïî âèäó ðåøåíèÿ.

 êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî:

– ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íåêîòîðîé ôóíêöèè îò ðåøåíèÿ (èëè

ñàìîãî ðåøåíèÿ) — Ì-ìîäåëü (Ì-êðèòåðèé);

– äèñïåðñèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè îò ðåøåíèÿ (èëè ñàìîãî ðåøå-

íèÿ) — D-ìîäåëü;

10

– âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ðåøåíèÿ (èëè ôóíêöèè îò ðåøåíèÿ) â íå-

êîòîðóþ, âîîáùå ãîâîðÿ, ñëó÷àéíóþ îáëàñòü — P-ìîäåëü;

– ìèíèìàëüíîå (ìàêñèìàëüíîå) çíà÷åíèå íåêîòîðîé ôóíêöèè îò ðå-

øåíèÿ — ÌÌ-ìîäåëü;

– êîìáèíàöèÿ ëþáîé ñîâîêóïíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîäåëåé (íà-

ïðèìåð, Ì–D-ìîäåëü);

– è ò. ï.

Ïî õàðàêòåðó îãðàíè÷åíèé çàäà÷è ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü àíàëî-

ãè÷íî êëàññèôèêàöèè ïî öåëåâûì ôóíêöèÿì.

Ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïî

õàðàêòåðó îãðàíè÷åíèé [42]:

– åñëè îãðàíè÷åíèÿ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ (èëè ïî÷òè âñåõ)

ðåàëèçàöèÿõ ïàðàìåòðîâ óñëîâèé çàäà÷è, òî îíè áóäóò äåòåðìèíè-

ðîâàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè;

– åñëè ïî ñîäåðæàòåëüíûì ñîîáðàæåíèÿì ìîæíî äîïóñòèòü, ÷òî-

áû íåâÿçêè â óñëîâèÿõ íå ïðåâûøàëè çàäàííûõ ñ âåðîÿòíîñòÿìè

� i ( � �� i � 0 1, ), òî îãðàíè÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ âåðîÿòíîñòíûìè (ïà-

ðàìåòðû � i ïðåäïîëàãàþòñÿ çàäàííûìè);

– èíîãäà âîçíèêàþò ñèòóàöèè, â êîòîðûõ âîçìîæíà çàìåíà æåñòêèõ

îãðàíè÷åíèé èõ óñðåäíåíèåì ïî ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíûõ ïàðà-

ìåòðîâ. Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè.

Âîçìîæíàÿ ñõåìà êëàññèôèêàöèè çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçà-

öèè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1.1.

Èç ïîñòàíîâêè ñòàòèñòè÷åñêîé çàäà÷è äîëæíî áûòü ñðàçó ÿñíî — îï-

ðåäåëÿåòñÿ ëè åå ðåøåíèå â ÷èñòûõ èëè ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ, ò. å. ÿâëÿ-

åòñÿ ëè ðåøåíèå äåòåðìèíèðîâàííûì (âåêòîðîì èëè âåêòîð-ôóíêöèåé îò

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû) èëè ñëó÷àéíûì (ðàñïðåäåëåíèåì, çàâèñÿùèì èëè

íå çàâèñÿùèì îò ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è).

Çàìåòèì, ÷òî êëàññè÷åñêèì ñëó÷àåì çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìè-

çàöèè ÿâëÿþòñÿ ðàçíîîáðàçíûå ìîäèôèêàöèè òðàíñïîðòíîé çàäà÷è. Ñòî-

õàñòè÷åñêàÿ òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à áîëüøå ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíûì ñèòóà-

öèÿì, ÷åì äåòåðìèíèðîâàííàÿ, ò. ê. ñïðîñ íà ïðîäóêò, îáúåì ïðîèçâîäñò-

âà ïðîäóêòà â ðàçëè÷íûõ ïóíêòàõ, çàòðàòû íà îðãàíèçàöèþ ïåðåâîçîê

ïîäâåðæåíû ñëó÷àéíûì êîëåáàíèÿì è çàâèñÿò îò ìíîãèõ íåïðåäñêàçóå-

ìûõ ôàêòîðîâ.

 òåîðèè íàäåæíîñòè î÷åíü ÷àñòî ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé íåèñïðàâíî-

ñòè ñèñòåìû (îòêàçîâ) ÿâíî èëè õîòÿ áû ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêèõ

ôîðìóë àíàëèòè÷åñêè íå âûðàçèòü. Ýòî ñâÿçàíî ñî ñòðóêòóðíîé ñëîæíî-

11

ñòüþ èññëåäóåìûõ ñèñòåì. Ïîýòîìó àíàëèòè÷åñêèå, àñèìïòîòè÷åñêèå,

à òàêæå ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ

íå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû.

Îñòàíîâèìñÿ âêðàòöå íà êëàññèôèêàöèè ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñòî-

õàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.

12

Ðèñ. 1.1. Ñõåìà êëàññèôèêàöèè çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè

1.2. Êëàññèôèêàöèÿ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷

ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðèìåíÿþò äâà âè-

äà ìåòîäîâ: ïðÿìûå è íåïðÿìûå.

Ïðÿìûå ìåòîäû ïðåäïîëàãàþò íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è,

îïèñàííîé ñèñòåìîé ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

Ê ýòèì ìåòîäàì ìîæíî îòíåñòè ãðàäèåíòíûå ìåòîäû, êâàçèãðàäèåíòíûå

ìåòîäû, ìåòîäû óñðåäíåíèÿ, øòðàôîâ è ò. ä. [24]. Ê íèì ìîæíî îòíåñòè

òàêæå ïðèáëèæåííûå ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ñâåñòè óðàâíåíèÿ, îïèñû-

âàþùèå èññëåäóåìûé ïðîöåññ, ê óðàâíåíèÿì ÔÏÊ (Ôîêêåðà — Ïëàí-

êà — Êîëìîãîðîâà) [15]. Ìåòîäû ïîäîáíîãî òèïà ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî

ñëîæíûìè è ãðîìîçäêèìè è èõ ïðèìåíÿþò â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:

– íåò ÿâíîé çàâèñèìîñòè öåëåâîé ôóíêöèè îò âåêòîðà óïðàâëåíèÿ;

– âìåñòî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí çàäàþòñÿ èõ èìèòàöè-

îííûå ìîäåëè, ïîçâîëÿþùèå ñòðîèòü òîëüêî îòäåëüíûå ðåàëèçà-

öèè âåëè÷èíû;

– öåëåâàÿ ôóíêöèÿ îêàçûâàåòñÿ íåãëàäêîé.

Åñëè öåëåâóþ ôóíêöèþ, èñïîëüçóÿ àïïàðàò òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ÿâíîì âèäå â çàâèñè-

ìîñòè îò âåêòîðà óïðàâëåíèÿ, ïðèìåíÿþò íåïðÿìûå ìåòîäû ðåøåíèÿ

ñòîõàñòè÷åñêèõ çàäà÷.  ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ñâåäåíèÿ

çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ê çàäà÷å íåëèíåéíîãî ïðîãðàììè-

ðîâàíèÿ è âñÿ ñëîæíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçðàáîòêå àëãîðèòìà ýòîãî

ñâåäåíèÿ.

 íàñòîÿùåå âðåìÿ â ìåõàíèêå äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà èñ-

ñëåäîâàòåëè ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþò íåïðÿìûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñòîõàñ-

òè÷åñêèõ çàäà÷.

1.3. Îñîáåííîñòè çàäà÷ èññëåäîâàíèÿ

ïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ìåòàëëîâ

Ñîâðåìåííûå òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê êà÷åñòâó ãîòîâîé ïðî-

äóêöèè â ìåòàëëîîáðàáàòûâàþùåé ïðîìûøëåííîñòè, âûçûâàþò íåîáõî-

äèìîñòü ïðèìåíåíèÿ íîâûõ ïîäõîäîâ ê îïòèìèçàöèè ïðîöåññîâ îáðàáîò-

êè ìåòàëëîâ. Òàêèå ïîäõîäû îáÿçàòåëüíî äîëæíû áûòü ñòîõàñòè÷åñêè-

ìè, ïîçâîëÿþùèìè ó÷åñòü ñëó÷àéíûé ðàçáðîñ òåõíîëîãè÷åñêèõ

ïàðàìåòðîâ ïðîâåäåíèÿ ïðîöåññîâ äåôîðìèðîâàíèÿ, íåîäíîçíà÷íîñòü

13

ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà, ãðàíè÷íûõ óñëîâèé è ò. ï.

Ïðèíöèïèàëüíàÿ íåîáõîäèìîñòü ðàçðàáîòêè ïîñòàíîâîê è ñîçäàíèÿ ìî-

äåëåé ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñâÿçàíà åùå è ñ òåì, ÷òî â íàñòîÿùåå

âðåìÿ âîçíèêëà íàñòîÿòåëüíàÿ ïîòðåáíîñòü â ñîçäàíèè ñàìîíàñòðàèâàþ-

ùèõñÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ðàçëè÷íûìè òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè.

Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà èñòî÷íèêàõ ñòîõàñòè÷íîñòè â èññëåäóå-

ìûõ ïðîöåññàõ.

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ ñòîõàñòè÷íîñòè â çà-

äà÷àõ ÌÄÒÒ ìîæíî ðàçáèòü íà äâå îñíîâíûå ãðóïïû: ñóáúåêòèâíûå

è îáúåêòèâíûå (ðèñ. 1.2). Ïðèìåðû òåõ è äðóãèõ ïðèâåäåíû âî ââåäåíèè

è íà ñõåìå. Ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì îïèñàíèè çàäà÷è ÌÄÒÒ ñòîõàñòè÷íîñòü

çà ñ÷åò ñóáúåêòèâíûõ ïðè÷èí íàõîäèò îòðàæåíèå ïðè îïèñàíèè íà÷àëü-

íûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, à çà ñ÷åò îáúåêòèâíûõ — ïðè îïèñàíèè íà-

÷àëüíûõ óñëîâèé, ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, ôèçè÷åñêèõ óðàâíåíèé (îïðåäå-

ëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé) è óðàâíåíèé òåïëîìàññîïåðåíîñà.

Ñòîõàñòè÷åñêèé ïîäõîä ê èññëåäóåìîé ïðîáëåìå äèêòóåò íåîáõîäè-

ìîñòü ïîñòàíîâêè è ðåøåíèÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðî-

öåññîâ óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ. Âàæíåéøåé îñîáåííî-

ñòüþ òàêîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëèðîâêà ñòîõàñòè÷åñêèõ êðèòåðèåâ îï-

òèìèçàöèè, ñòîõàñòè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé è ñòîõàñòè÷åñêèõ

îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî

òâåðäîãî òåëà. Ýòó ïðîáëåìó ìû ñåé÷àñ ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì. Îäíàêî

ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî îñíîâíûå èäåè ïî ðåøåíèþ ýòîé ïðîáëåìû äëÿ

êðàåâûõ çàäà÷ ÌÄÒÒ â ñóùåñòâóþùèõ èññëåäîâàíèÿõ ïåðåíåñåíû èç ïî-

ñòàíîâîê è ìåòîäèê ðåøåíèÿ çàäà÷ ìåõàíèêè ñòðóêòóðíî íåîäíîðîäíûõ

ñðåä. Ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ ïîäîáíûõ çàäà÷ ìîæíî âñòðåòèòü

â ðàáîòàõ Ò. Ä. Øåðìåðãîðà [41], Ð. Õèëà [39], Í. Ñ. Áàõâàëîâà [3] è äðó-

ãèõ àâòîðîâ.

Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòå [22] ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå àïïàðàòà

ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ê ñèñòåìå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ çàäà÷ó

îáðàáîòêè ìåòàëëîâ äàâëåíèåì.

Ñóòü ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî, èñïîëüçóÿ âîçìîæíîñòü ïîëíîãî îï-

ðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñîâîêóïíîñòüþ ìîìåíòîâ

âñåõ ïîðÿäêîâ, äåéñòâóÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè îïåðàòîðàìè íà óðàâíåíèÿ,

ïîëó÷àþò íîâóþ çàìêíóòóþ ñèñòåìó ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êóäà

âõîäÿò ñòîõàñòè÷åñêèå ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ýêñïåðèìåíòàëüíî. Îò-

ìåòèì, ÷òî äëÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ îáðàáîòêè ìåòàëëîâ äàâëåíèåì îáû÷-

14

íî îãðàíè÷èâàþòñÿ êîððåëÿöèîííîé òåîðèåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ò. å.

îãðàíè÷èâàþòñÿ òîëüêî ìîìåíòàìè ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ.

Îòìåòèì, ÷òî ñòîõàñòè÷íîñòü ôèçè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìîæíî ó÷åñòü

è ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (Ìîíòå-Êàðëî)

[23] èëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ñòðóêòóðó ìàòåðèàëà è ïðîâîäèòü èññëå-

äîâàíèå â ðàìêàõ ñòðóêòóðíîé ìåõàíèêè [8].

×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ïîñòàíîâêó çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìè-

çàöèè ïðîöåññà óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìî ïðî-

èçâåñòè àíàëèç ôàêòîðîâ, âëèÿþùèõ íà ýòîò ïðîöåññ.

15

Ðèñ. 1.2. Äâå îñíîâíûå ãðóïïû ïðè÷èí âîçíèêíîâåíèÿ ñòîõàñòè÷íîñòè

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, íà ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ âëèÿþò õèìè÷å-

ñêèé ñîñòàâ ìåòàëëà, åãî ñòðóêòóðà, òåðìè÷åñêèå óñëîâèÿ ïðîòåêàíèÿ

ïðîöåññà, ãåîìåòðèÿ ðàáî÷åãî èíñòðóìåíòà, âèä è êà÷åñòâî ñìàçêè, ñêî-

ðîñòü äåôîðìèðîâàíèÿ, ñòåïåíü äåôîðìàöèè è ò. ä.

 ñèëó ñòîõàñòè÷åñêîãî õàðàêòåðà âñåõ âûøåïåðå÷èñëåííûõ ôàêòî-

ðîâ çàäà÷à âûáîðà îïòèìàëüíûõ ðåæèìîâ ïðîâåäåíèÿ ïðîöåññîâ ïëàñòè-

÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ìåòàëëîâ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé ñòîõàñòè÷åñêîé îï-

òèìèçàöèè. Ïåðåéäåì ê ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå ýòîé çàäà÷è.

1.4. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è

ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè

Ïóñòü ( , , )� G P — èñõîäíîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî; � — ìíî-

æåñòâî ñîáûòèé, íà êîòîðûõ îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòü P; G îáðàçóåò

�-àëãåáðó ñîáûòèé, � � � — ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿ-

åò ñîáîé ñîîòâåòñòâóþùèé òåðìîìåõàíè÷åñêèé ïðîöåññ ïðè ôèêñèðî-

âàííûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ, ò. å. � �� ( , )u v , u U� ,

v V� . U, V — ñîâîêóïíîñòü ïàðàìåòðîâ óïðàâëåíèÿ è ñîñòîÿíèÿ ñîîòâåò-

ñòâåííî.

Ïóñòü äàíû íåêîòîðûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè � �� �f x� � �, , v m� 0, , îï-

ðåäåëÿþùèå ðåøåíèå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â çàäà÷å òåðìîóïðóãîïëà-

ñòè÷íîñòè; âåêòîð-ôóíêöèÿ � �x � ïîêîìïîíåíòíî èçìåðèìà îòíîñèòåëü-

íî G.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ îïòèìèçàöèè (öåëåâîé ôóíêöèè) ðàññìîòðèì

ôóíêöèîíàë � �� �F x0 � �, .

Òåïåðü îáùàÿ ïîñòàíîâêà èñõîäíîé çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìè-

çàöèè ôîðìóëèðóåòñÿ êàê çàäà÷à ïîèñêà G-èçìåðèìîé âåêòîð-ôóíêöèè

� �x � , ìèíèìèçèðóþùåé ôóíêöèîíàë � �� �F x0 � �, ïðè íåêîòîðûõ îãðà-

íè÷åíèÿõ òèïà ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ. Îãðàíè÷åíèÿ òèïà ðàâåíñòâ — ýòî

óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå êðàåâóþ çàäà÷ó ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî

òâåðäîãî òåëà. Îãðàíè÷åíèÿ òèïà íåðàâåíñòâ — ýòî ÷àùå âñåãî îãðàíè÷å-

íèÿ ïî ïðî÷íîñòè, êîíñòðóêöèîííûå îãðàíè÷åíèÿ, òåõíîëîãè÷åñêèå îã-

ðàíè÷åíèÿ, ò. å. îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ è óïðàâëåíèÿ.

 ðàìêàõ îïèñàííîé êëàññèôèêàöèè äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìîãóò ïðèìå-

íÿòüñÿ ðàçëè÷íûå ìîäåëè.

 êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé, êàê óæå îòìå-

÷àëîñü, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî:

16

– ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íåêîòîðîé ôóíêöèè îò ðåøåíèÿ (èëè

ñàìîãî ðåøåíèÿ) — M-ìîäåëü;

– äèñïåðñèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè îò ðåøåíèÿ (èëè ñàìîãî ðåøå-

íèÿ) — D-ìîäåëü;

– âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ðåøåíèÿ (èëè ôóíêöèè îò ðåøåíèÿ) â íå-

êîòîðóþ, âîîáùå ãîâîðÿ, ñëó÷àéíóþ îáëàñòü — P-ìîäåëü;

– ìèíèìàëüíîå (ìàêñèìàëüíîå) çíà÷åíèå íåêîòîðîé ôóíêöèè îò ðå-

øåíèÿ — MM-ìîäåëü;

– íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò ðåøåíèÿ (èëè ñàìî ðåøåíèå) — A-ìîäåëü;

– êîìáèíàöèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé.

Ïî õàðàêòåðó îãðàíè÷åíèé çàäà÷è ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü àíàëî-

ãè÷íî êëàññèôèêàöèè ïî öåëåâûì ôóíêöèÿì.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ìîäåëåé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

A-ìîäåëè

� �� � �� �F x f x0 0� � � �, ,*� , (1.1)

ãäå � �� �f x* ,0 � � — çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � �� �f x0 � �, ïðè íåêî-

òîðûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ;

M-ìîäåëè

� �� � �� � � � � �� �F x f x P d Mf x0 0 0� � � � � � �, , ,� ��

, (1.2)

ãäå � �� �Mf x0 � �, — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

� �� �f x0 � �, ;

D-ìîäåëè

� �� � �� � � �� �� � � �

� �� �

F x f x Mf x P d

Df x

0 0 02

0

� � � � � � �

� �

, , ,

, ,

� � �

�

� (1.3)

ãäå D � �� �f x0 � �, — äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � �� �f x0 � �, ;

P-ìîäåëè

� �� � �� �� �

� �� �� �F x P d P f x a

f x a

0 0

0

� � � � �

� �

, , *

, *

� � , (1.4)

ãäå «*» îçíà÷àåò «�» èëè «�»;

17

MM-ìîäåëè

� �� � �� � � �F x f x P di

i

0 0� � � � �, max(min) ,� �

�

, (1.5)

ãäå �i

i� �� .

Ôîðìóëà (1.5) ñïðàâåäëèâà, åñëè óñëîâèÿ çàäà÷è ïîçâîëÿþò ïðåäñòà-

âèòü îáëàñòü � ñîâîêóïíîñòüþ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäîáëàñòåé � i .

 îáùåì ñëó÷àå äëÿ MM-ìîäåëè öåëåâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä

� �� � �� �F x f x0 0� � � �, max(min) ,��

, (1.6)

à çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ � �x � , äîñ-

òàâëÿþùåé

� �� �� �� min max ,

x Xf x

�� �

� �

0 (1.7)

èëè

� �� �� �� max min

x Xf x

�� �

� �

0 , , (1.8)

ãäå X — íåêîòîðîå ìíîæåñòâî n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà R n . Èíà÷å ãîâî-

ðÿ, â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ÌÌ-ìîäåëè äëÿ öåëåâîé ôóíêöèè, � �x � äîñ-

òàâëÿåò ýêñòðåìóì � �� F x0 � �, ïðè íàèáîëåå íåáëàãîïðèÿòíîé ñîâî-

êóïíîñòè èñõîäíûõ óñëîâèé çàäà÷è.

 êà÷åñòâå êîìáèíàöèîííîé î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ Ì–D-ìîäåëü:

� �� � �� �F x Mf x Df x0 0 0� � � � � � �, , ( ( ), )� � , (1.9)

ãäå � — ïîëîæèòåëüíûé êîýôôèöèåíò.

Àíàëèçèðóÿ (1.9), ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ïðè� 1 âëèÿíèå

âòîðîãî ñëàãàåìîãî äîìèíèðóåò è Ì–D-ìîäåëü ïåðåõîäèò â D-ìîäåëü,

à ïðè � 0 Ì–D-ìîäåëü ïåðåõîäèò â Ì-ìîäåëü.

Êîìáèíèðîâàííûå ìîäåëè äëÿ öåëåâûõ ôóíêöèé òèïà ÌÌ–Ð,

ÌÌ–D, ÌÌ–Ì, Ì–Ð, D–Ð, Ì–D–Ð, ÌÌ–D–Ð, ÌÌ–Ì–Ð, ÌÌ–Ì–D,

Ì̖̖ЖD çàïèñûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî Ì–D-ìîäåëè (1.9).

Äëÿ ïðèìåðà çàïèøåì ïîñòàíîâêó çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçà-

öèè, êîòîðàÿ ïî öåëåâîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ D-ìîäåëüþ, à ïî îãðàíè÷åíè-

ÿì — ñîâîêóïíîñòüþ Ì- è Ð-ìîäåëåé.

18

Îïðåäåëèòü G-èçìåðèìóþ âåêòîð-ôóíêöèþ � �x � , ìèíèìèçèðóþ-

ùóþ ôóíêöèîíàë � �� �F x0 � �, ,

� �� � � �� �F x Df x0 0� � � �, , min� � (1.10)

ïðè îãðàíè÷åíèÿõ âèäà:

� �� �Mf x i mi � �, , ,� �0 1 1, (1.11)

� �� �� P f x aii i� � �, � , � i � ( , )0 1 , i m m� �1 1, (1.12)

äëÿ � �� (P ïî÷òè âñåõ �), ai è � i — çàäàíû

x X( ) ( )� �� , (1.13)

ãäå X ( )� — íåêîòîðîå ìíîæåñòâî n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà R n .

Îòìåòèì, ÷òî â êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ óñëîâèå (1.13) èìååò âèä

� �� �g x � �, � 0 (1.14)

(P ïî÷òè âñåõ �).

 êà÷åñòâå � �� �g x � �, ïðèíÿòî inf ( ), ( ) ( )x y y X �� � .

Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ: «Ö» — öåëåâàÿ ôóíêöèÿ, «Î» — îãðàíè÷å-

íèÿ, òî ââåäåííàÿ âûøå êëàññèôèêàöèÿ ïîçâîëÿåò ñðàçó çàïèñûâàòü âèä

çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ýòî îäíî-

ýòàïíàÿ çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ òèïà Ö(Ä) — Î(Ì–Ð).

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò âûáîð ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäåëè äëÿ

ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè êîí-

êðåòíîãî òåõíîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà. Ïðè ýòîì âàæíåéøèì ìîìåíòîì

ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü èñõîäèòü èç ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè èññëåäóåìî-

ãî ïðîöåññà. Òàê, íàïðèìåð, åñëè íàñ èíòåðåñóåò ìèíèìèçàöèÿ íåêîòîðî-

ãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, òî â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè íåîáõîäèìî ñòðî-

èòü Ì-ìîäåëü; åñëè òðåáóåòñÿ ìèíèìèçàöèÿ ðàçáðîñà íåêîòîðîé ñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû, òî â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè íåîáõîäèìî

ðàññìàòðèâàòü D-ìîäåëü è ò. ä.

Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ ðåàëüíûõ çàäà÷ ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ òîëü-

êî íà îñíîâå ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè ÿâëåíèÿ ìîæåò îêàçàòüñÿ íåäîñòàòî÷-

íûì. Ïóñòü íàñ èíòåðåñóåò ìèíèìèçàöèÿ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

è åå ðàçáðîñà, ò. å. â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè íåîáõîäèìî ðàññìàòðè-

19

âàòü Ì–D-ìîäåëü. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè ïðè

äîñòàòî÷íî áîëüøîì ðàçáðîñå èñõîäíûõ äàííûõ — äåòåðìèíèðîâàííàÿ

âåëè÷èíà, ò. å. â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ

À-ìîäåëüþ, êîòîðàÿ ñóùåñòâåííî ïðîùå Ì–D-ìîäåëè.

Ïîýòîìó ïðåæäå ÷åì âûáèðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäåëü è ñòàâèòü

çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè, íåîáõîäèìî îöåíèòü ïëîòíîñòü

ðàñïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Òàêàÿ îöåíêà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ìî-

æåò áûòü ïðîâåäåíà àíàëèòè÷åñêè òîëüêî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñëó÷àéíàÿ

âåëè÷èíà Y ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ çà-

äàííîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ � � � �f x Y Xx : � � , ïðè÷åì � — àáñî-

ëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Íàéäåì â ýòîì ñëó÷àå g yY ( ) — ïëîòíîñòü

ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y .

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

Y ñóùåñòâóåò. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìîæíî

çàïèñàòü [28]:

� � � � � �� x f x dx Yg y dyX Y� �

��

�

��

� � . (1.15)

Ðàññìîòðèì ñëó÷àè:

à) � — ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ;

á) � — ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ;

â) � — íåìîíîòîííàÿ (àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ) ôóíêöèÿ. Òîãäà äëÿ

óêàçàííûõ ñëó÷àåâ ïîëó÷àåì:

à) � � � � � �� � � �� �

� �

G y P Y y P X y P X y

f x dx

Y

X

y

� � � � � � �

�

�

�

� �

�

1

1 ( )

, (1.16)

� �� �

� �� � � �� �g YdG y

dyf y yY

Y

X� �� � �1 1 ; (1.17)

á) � � � � � �� � � �� �

� �� �

G y P Y y P X y P X y

f x dx

Y

X

y

� � � � � � �

�

�

�

� �

�

1

1

, (1.18)

20

� �� �

� �� � � �� �g YdG y

dyf y yY

Y

X�� ��� �� �1 1 . (1.19)

Îáúåäèíÿÿ ôîðìóëû (1.17) è (1.19), ìîæíî çàïèñàòü:

� �� �

� �� � � �� �g YdG y

dyf y yY

Y

X� ��� �� �1 1 . (1.20)

â) Åñëè� — àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, íî íå ìîíîòîííàÿ, òî

îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàçáèòü íà íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ÷èñëî (n)

ó÷àñòêîâ ìîíîòîííîñòè:

� � � �� � � �� �g Y f y yY i i

i

n

��� �

�� � �1 1

1

(1.21)

(n ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê ��).

 áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäà íåò àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè

� �Y x� � , ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâà-

íèÿ [23]. Ïðè ýòîì ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë (èëè ïî çàäàííî-

ìó ñîîòâåòñòâóþùåìó ðàñïðåäåëåíèþ) ðàçáðàñûâàþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèå

óñëîâèÿ (ñâîéñòâà ìàòåðèàëà, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ

è ò. ï.) è ïðè ýòîì îöåíèâàåòñÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1) ïðîâåðÿåòñÿ íàëè÷èå ðàçáðîñà ðàññìàòðèâàåìîé âåëè÷èíû. Åñëè

ðàçáðîñ ñóùåñòâóåò, òî íåîáõîäèìî, îòñåÿâ ãðóáûå ïîãðåøíîñòè, âû÷èñ-

ëèòü õàðàêòåðèñòèêè èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Åñëè ñòîõàñòè÷-

íîñòè íåò, òî èññëåäóåìàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííîé è ïðè

îêîí÷àòåëüíîé ôîðìóëèðîâêå ïîñòàíîâêè çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòè-

ìèçàöèè ïî äàííîìó ïàðàìåòðó ïîëó÷èì À-ìîäåëü. Áîëüøèíñòâî ðåàëü-

íî èñïîëüçóåìûõ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ àíàëè-

òè÷åñêè, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà (ïðè ðàç-

íûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû â ñîîòâåòñòâóþùåé çàïèñè óðàâíåíèÿ)

[28].  ýòîì ñëó÷àå âèä çàêîíà ìîæíî îöåíèòü ïî âåëè÷èíå ÷åòûðåõ ïåð-

âûõ ìîìåíòîâ [28];

2) ïîñêîëüêó îöåíêà çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîâîäèëàñü íà îñíîâà-

íèè îïûòíûõ (ýìïèðè÷åñêèõ) äàííûõ, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ñîîòâåòñò-

âèå ïîëó÷åííîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ òåîðåòè÷åñêîìó. Äëÿ ýòîãî ôîð-

ìóëèðóåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãèïîòåçà è ïî èçâåñòíûì êðèòåðèÿì (÷àùå

21

âñåãî èñïîëüçóþò êðèòåðèé õè-êâàäðàò, à äëÿ íåáîëüøèõ âûáîðîê —

êðèòåðèé Ñòüþäåíòà) ïðîâîäèòñÿ îöåíêà [28].

Ïîñëå ýòîãî, ïðîâåäÿ àíàëèç ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè èññëåäóåìîãî

ïðîöåññà è âèäà ïåðåìåííûõ èññëåäóåìûõ âåëè÷èí, ìîæíî ïåðåõîäèòü

ê ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå êîíêðåòíîé çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòè-

ìèçàöèè è âûáèðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäåëü.

Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè òåðìîìåõàíè÷åñêèõ

ïðîöåññîâ. Îïèñàíèå èññëåäóåìûõ òåðìîìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òðå-

áóåò ðåøåíèÿ ñâÿçàííûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåðìîóïðóãîïëàñòè÷íîñòè. Ñëó-

÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) â ýòèõ çàäà÷àõ ìîãóò áûòü ïàðàìåòðû è òèï

îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé, ïàðàìåòðû óðàâíåíèÿ íåñòàöèîíàðíîé òå-

ïëîïðîâîäíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Îò-

ìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå êðàåâóþ çàäà÷ó, âîéäóò â ïîñòà-

íîâêó çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè â âèäå îãðàíè÷åíèé (òèïà

ðàâåíñòâ).

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå � — ýòî ñîîòâåòñòâóþ-

ùèé ïðîöåññ òåðìîóïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ïðè ôèêñèðî-

âàííûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Íàçîâåì ñîáûòèåì Ai ïîä-

ìíîæåñòâî �, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü èññëåäóåìûõ

ïðîöåññîâ ïðè çíà÷åíèÿõ èñõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê èç íåêîòîðûõ çàäàí-

íûõ èíòåðâàëîâ.

Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû èíòåðâàëîâ âûáèðàþòñÿ èç òåõ ñîîáðàæå-

íèé, ÷òî âåëè÷èíà � �f x0 ,� äîëæíà îòëè÷àòüñÿ íåñóùåñòâåííî äëÿ âñåõ

âîçìîæíûõ çíà÷åíèé èñõîäíîé ñëó÷àéíîé õàðàêòåðèñòèêè èç âûáðàííî-

ãî èíòåðâàëà. Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèÿõ âìåñòî � �f x0 ,�

çàïèñûâàåòñÿ � �f x Ai0 , . «Íåñóùåñòâåííîñòü» îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì

îáðàçîì:

� � � �� �� �

f x A f x A

f x dP

i i

Ai

0 0

0

max min

min

, ,

( , ) ( )

��

� ��, (1.22)

ãäå f x Ai0 max ( , ) ( f x Ai

0 min ( , )) — ìàêñèìàëüíîå (ìèíèìàëüíîå) çíà÷å-

íèå � �f x0 ,� ïðè âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ èñõîäíîé ñëó÷àéíîé âåëè-

÷èíû èç çàäàííîãî èíòåðâàëà; � — íàïåðåä çàäàííîå ìàëîå ïîëîæèòåëü-

íîå ÷èñëî.

22

Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà àëãîðèòìå ñâåäåíèÿ èññëåäóåìîé íàìè

çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ê çàäà÷å íåëèíåéíîãî ïðîãðàììè-

ðîâàíèÿ, ò. å. ðàññìîòðèì ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè äëÿ

ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîäåëåé. Îòìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòíûõ îã-

ðàíè÷åíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.

Ïðè èññëåäîâàíèè òåðìîìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïëàñòè÷åñêîãî

äåôîðìèðîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèìè ÷àñòî ÿâëÿþòñÿ òîëüêî íà÷àëüíûå óñ-

ëîâèÿ.  ýòîì ñëó÷àå, åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ óäàåòñÿ

îöåíèòü ÷åðåç ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, çàäà÷à ñòî-

õàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðî-

âàíèÿ.

Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì Ì-ìîäåëü.

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå èç (2) ïî-

ëó÷èì:

� � � � �F x f x A P An

i

n

i i0 0

1

( ), lim ,� � � �

�� , (1.23)

ãäå Ai — ââåäåííûå âûøå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà�.

Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîÿâëåíèå íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ a b c, , . . . ,

îïðåäåëÿþùèõ ñîáûòèå Ai , ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè, òîãäà

âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ Ai îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå ñîîò-

âåòñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé P P Pka

jb

lc� ��� :

P A P P Pi ka

jb

lc( )� ��� , (1.24)

ãäå

� �

� �

P P a a k S P

P P b b j m P

ka

k ka

k

s

jb

j jb

j

� � � �

� � �

�

�

�

, , , ,

, , ,

1 1

1

1

� �

1

1

1

1 1

m

lc

l lc

l

r

P P c c l r P

�

�

�

� � � ��

,

, , , .

�

(1.25)

Òåïåðü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü îïðå-

äåëåíî ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ

� � � �F x A f x A P P Ps m r i i ka

jb

lc

l

r

j

m

k

s

, ,..., , ,0 0

111

� � ���������� . (1.26)

23

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè äëÿ îïðåäå-

ëåííîãî âåêòîðà x ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.

 òîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäîå âû÷èñëåíèå � �f x0 , � òðåáóåò çíà÷èòåëü-

íûõ çàòðàò âðåìåíè ñ÷åòà íà ÝÂÌ, ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñòà-

íîâèòñÿ ìàëîïðèåìëåìîé.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ óñòàíîâëåíèÿ çàâèñèìîñòåé

� �f x Ai0 , îò âåêòîðà óïðàâëåíèÿ ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ a b c, , . . . ,

ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ âòîðî-

ãî ïîðÿäêà, ïîçâîëÿþùåãî ïî «ýêñïåðèìåíòàëüíûì òî÷êàì» (èìååòñÿ

â âèäó ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò) ñ ïîìîùüþ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðà-

òîâ ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííóþ ìîäåëü âòîðîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè

� �f x Ai0 , :

� �f x A x x x x xi p i j t s0

0 1 1 2 22, � � � � � � �� � � � �� � . (1.27)

«Ýêñïåðèìåíòàëüíûå òî÷êè» îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåøåíèÿ ñîîòâåòñò-

âóþùèõ çàäà÷ ïðè çàäàííûõ x è ôèêñèðîâàííûõ a b c, , . . . , . Äëÿ îïðåäåëå-

íèÿ íåèçâåñòíûõ � �� p p t� 0, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí êîìïîçèöèîííûé

öåíòðàëüíûé ïëàí. Ñ ó÷åòîì (1.27) ñîîòíîøåíèå (1.26) ìîæíî çàïèñàòü

â âèäå

� �F x A x x x xs m r i p i j t s, ,..., ,00 1 1

2� � � � � � � � . (1.28)

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü öåëåâûå ôóíêöèè äëÿ äðó-

ãèõ òèïîâ ìîäåëåé.

D-ìîäåëü:

öåëåâóþ ôóíêöèþ, èñõîäÿ èç ôîðìóëû (1.3), ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ

èíòåãðàëà ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

� �� � � � � �� � � �F x f x A Mf x A P An

i i

i

n

i0 0 0

2

1

� �, lim , ,� ��

�� . (1.29)

Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî âåêòîðà óïðàâëåíèÿ � �x � ñ ïîìîùüþ ìåòîäà

Ìîíòå-Êàðëî ìîæíî ïîëó÷èòü ÷èñëåííîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè

àíàëîãè÷íî Ì-ìîäåëè. Åñëè êàæäîå âû÷èñëåíèå � �f x0 , � òðåáóåò çíà÷è-

òåëüíûõ âðåìåííûõ çàòðàò íà ÝÂÌ, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì

ìàòåìàòè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðè ýòîì, ïðîâåäÿ ðàñ-

ñóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì âûøå äëÿ Ì-ìîäåëè, ïîëó÷èì:

24

� � � ��F x A x x x xs m r i p i j t s

l

r

j

, ,..., ,00 1 1

2

11

� � � � � � ��

�� � �� � � �

� �� � �

m

i

n

p i j t s ix x x x P A

���

� � � � �

1

0 1 12

2

� � . (1.30)

Ïîñëå àðèôìåòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñîîòíîøåíèå (1.30) ïðèìåò

âèä

� �F x A x x x xs m r i p i j t s, ,..., ,00 1 1

2� � � � � �� � � �� � . (1.31)

Ì–D-ìîäåëü:

öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ öåëåâûìè ôóíêöèÿìè

Ì-ìîäåëè è D-ìîäåëè, ïîýòîìó ìåòîäèêó åå ïîñòðîåíèÿ îòäåëüíî ðàññìàò-

ðèâàòü íåò íåîáõîäèìîñòè. Íåò íåîáõîäèìîñòè òàêæå â ðàññìîòðåíèè ìåòî-

äèêè ïîñòðîåíèÿ öåëåâûõ ôóíêöèé äëÿ À- è ÌÌ-ìîäåëåé.

Ð-ìîäåëü:

èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå, ñîîòíî-

øåíèå (1.4) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

� �� �� �

F x P An

i

i f x A a

n

i

0

1 0

� �, lim ( ), , *

���

�� , (1.32)

ãäå «*» îáîçíà÷àåò «�» èëè «�». Ïðè ýòîì öåëåâàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ôèêñèðî-

âàííîãî x îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà âåðîÿòíîñòåé òåõ ñîáûòèé, äëÿ êîòî-

ðûõ ñïðàâåäëèâûì ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå � �f x A ai0 , * .

 ñëó÷àå çàâèñèìûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé íàðóøàåòñÿ óñëîâèå (1.24),

îñòàëüíûå ïðåäïîñûëêè îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè.  ýòîì ñëó÷àå ïëîò-

íîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ñîâìåñòíóþ ïëîò-

íîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ÷åðåç ÿêîáèàí îáðàòíîãî ïðå-

îáðàçîâàíèÿ. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ïîäîáíîé çàäà÷è â îáùåì ñëó÷àå

ñâÿçàíî ñ íåïðåîäîëèìûìè (íà ñîâðåìåííîì ýòàïå) ìàòåìàòè÷åñêèìè

òðóäíîñòÿìè, ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ âîç-

ìîæíî, îäíàêî îíî òðåáóåò áîëüøèõ âðåìåííûõ çàòðàò (äëÿ ÷èñëåííîãî

îïðåäåëåíèÿ ÿêîáèàíà îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ).

Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.

Ïóñòü èìååòñÿ � �X n� 1 2, , .. . , — cëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà â R n (ñî-

âîêóïíîñòü çàâèñèìûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé); � �Y m� � � �1 2, , .. . , — ðåøå-

25

íèå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó â R m ñ ðàñïðåäå-

ëåíèåì âåðîÿòíîñòåé, êîòîðûå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíè-

åì âåëè÷èíû X :

� � � �P x x x dx P y y y dyn

R

m

Rn m

� 1 2 1 2 1, , ... , , . . . ,� � �

ïðè÷åì

� �� � � �i i mf i m m n� � �1 2 1, , ,� , , , . (1.33)

Ïðîèçâåäÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ, âûðàçèì � �P y y ym� 1 2, , .. . , ÷åðåç

� �P x x xn� 1 2, , .. . , :

� � � �P y y y P x x x Im n� �1 2 1 2, , .. . , , , . . . , *� , (1.34)

ãäå� �� �

In

n

i

k

��

� � � ��

���

�����

�

�����

� � � �1 2

1 2

,det

, ,

, , ,

�

�— ÿêîáèàí îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâà-

íèÿ.

Îñòàëîñü îïðåäåëèòü � �P x x xn� 1 2, , .. . , — âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî

ïîÿâëåíèÿ îïðåäåëåííîãî êîìïëåêñà íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

 çàâèñèìîñòè îò âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îï-

ðåäåëÿåòñÿ ïî-ðàçíîìó. Òàê, â ñëó÷àå n-ìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäå-

ëåíèÿ ñîãëàñíî ïîëó÷èì:

� �� � � ��

P x x xnn

jk

�

� �

1 2

1

2

, , ..., *������det

� �� �*exp ,0 511

� jk

k

n

j j k k

j

n

x x x x���� � �

�

�����

�

�

�����, (1.35)

ãäå� �

� ��

jk kjj j

j k

Dx j k

x x j k� �

� �

�

2 ,

, ,

— äèñïåðñèÿ

ñov — êîâàðèàöèÿ

�

�

�����

�

�

�������, , ,j k n1 .

Îòìåòèì, ÷òî â ðåàëüíûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññàõ ñòîõàñòè÷å-

ñêèå óñëîâèÿ ÷àùå âñåãî ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, ÷òî ïîçâîëÿåò ñ äîñòà-

òî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (1.24).

26

1.5. Çàäà÷à óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññîâ óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî

äåôîðìèðîâàíèÿ â ñòîõàñòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå

Ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ äåôîðìèðîâàíèÿ ÷àñòî

ïðèõîäèòñÿ èñêàòü òàêèå ïàðàìåòðû äåôîðìèðîâàíèÿ, ïðè êîòîðûõ ðàñ-

ñìàòðèâàåìûé ïðîöåññ íå òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè

çðåíèÿ ýòà çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçà-

öèè, êîòîðóþ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû ïðîâåäåíèÿ ïðîöåññà (âåêòîð óïðàâëåíèÿ),

êîòîðûå ïðè âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ ñòîõàñòè÷åñêè ðàñïðåäåëåííûõ

èñõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê ïîçâîëèëè áû îáåñïå÷èòü óñòîé÷èâîñòü ïðî-

öåññà äåôîðìèðîâàíèÿ.

×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ïîíÿòèå ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, íå-

îáõîäèìî âíà÷àëå îïðåäåëèòü ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè äåòåðìèíèðîâàí-

íîãî ïðîöåññà.

Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ ïðîòåêàåò â îá-

ëàñòè V ! 3 ñ ãðàíèöåé �V . Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïðîöåññ ìîæåò áûòü

îïèñàí ñèñòåìîé óðàâíåíèé âèäà:

� �� ,

,

�,

x Ax f

x t x

x xV

� �

�

�

"

#

$$$$

%

$$$$

0 0 (1.36)

ãäå V V V� & � , � �x x t� ,� — âåêòîð ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà,

� �� �x W V� � '2

1 2 0, , ; f(t, �) — èçâåñòíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèçóþ-

ùàÿ âíåøíèå âîçäåéñòâèÿ, � �� �f W V� � '2 0, ; A — îïåðàòîð, õàðàêòå-

ðèçóþùèé ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ, � �� �� �A L W V� � '2

1 2 0, , :

� �� � � �� �A W V W V: , ,,

2

1 220 0� ' � ' ;

äëÿ ëþáîãî� �

� �

� �

t AAx

xx W V x

W V

W V

: sup,

�� �

22

2

220

,

x0 è �x — èçâåñòíûå ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùèå íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñ-

ëîâèÿ ñîîòâåòñòâåííî, x W V0 22� ( ), �x L� 2 .

27

 çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíîé ðåøàåìîé çàäà÷è âåêòîð ïàðàìåòðîâ

ïðîöåññà x ìîæåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ ïåðåìåùåíèÿ, äåôîðìàöèè (èëè ñêî-

ðîñòè äåôîðìàöèé), íàïðÿæåíèÿ (èëè ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ íàïðÿæå-

íèé), òåìïåðàòóðó è äðóãèå ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîñòîÿíèå

ðàññìàòðèâàåìîãî òâåðäîãî òåëà. Êîíêðåòíûé âèä îïåðàòîðà A îïðåäå-

ëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà,

çàïèñü êîòîðîé, â ñâîþ î÷åðåäü, çàâèñèò îò ïðèíÿòîé ìîäåëè ñïëîøíîé

ñðåäû.

Îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è

(1.36) â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàòüñÿ íå áóäåò; â äàëüíåéøåì áó-

äåì ïîëàãàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (1.36) ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé

�t � �0, .

Íàðÿäó ñ íåâîçìóùåííûì ïðîöåññîì, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ îïåðà-

òîðîì A, ïðàâîé ÷àñòüþ f, íà÷àëüíûìè è êðàåâûìè óñëîâèÿìè x0 è �x ñîîò-

âåòñòâåííî, ðàññìîòðèì âîçìóùåííûé ïðîöåññ, õàðàêòåðèçóåìûé îïåðàòî-

ðîì A * , ïðàâîé ÷àñòüþ f * , íà÷àëüíûìè è êðàåâûìè óñëîâèÿìè x0* è � *x .

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè â äåòåðìèíèðîâàííîì

ñìûñëå.  ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè ôîðìóëèðóåòñÿ ñëå-

äóþùèì îáðàçîì: åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà � � 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî � �� � � 0,

òàêîå, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

� � �

� �

x x x x

f f

W V L

W V

0 022

2

2

������

����� � � �

���� �

� ��

* *

*

� �� �

� �� �� ��

�������� � �

�

����

�

������ �

A AL W V

*

,,21 2 0

� (1.37)

äëÿ ëþáîãî t t� 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

�� �x x

W V �

� �

*

,,21 2 0

�, (1.38)

òî íåâîçìóùåííûé ïðîöåññ óñòîé÷èâ.

 ïðèâåäåííîì îïðåäåëåíèè ïðèíÿòû ñëåäóþùèå íîðìû [37]:

â ïðîñòðàíñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé

�� ��� �� �

� � � � ��

!!!

"

#

$$$

� ��� �

W V

V V

d D d22

2 2

1 2

1 2

( ) �

�

,

28

ãäåV V V� � ; ��D � � — îáîáùåííàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ [37]:

��� ���

Di j k

�

�

� �

% �

% % %1 2 3

, � �� � � �i j k;

â ïðîñòðàíñòâå êðàåâûõ óñëîâèé

� ��& � � � � ��

!!

"

#$$�t d

L

V

02

2

1 2

, :

;

â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé

� �� � ����

& � � � � � ���

�

�����

�

�

������

�

�

�����

�

�� �

ttW V

021 2 0

2, : , ,

��� �

������� �

�

!!!

"

#

$$$

���� �

d D d

VV

�

�

2

1 2

.

Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîðîâ �� �� �L W V2

1 2 0, , � � ââåäåíà âûøå.

Ðàññìîòðèì îäèí èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ,

à èìåííî — îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì.  ýòîì

ñëó÷àå âîçìóùåííûé ïðîöåññ îòëè÷àåòñÿ îò íåâîçìóùåííîãî òîëüêî íà-

÷àëüíûìè óñëîâèÿìè è, ñëåäîâàòåëüíî, õàðàêòåðèçóåòñÿ îïåðàòîðîì A,

ïðàâîé ÷àñòüþ f, íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x0* è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè �x.

Îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè ôîðìóëèðóåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóþùèì

îáðàçîì: åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà � � 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî � �� � � 0, òàêîå, ÷òî

ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

� �x x

W V0 0

22

�* � (1.39)

äëÿ ëþáîãî t t�� 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

�� �x x

W V �

� �

*

,,21 2 0

�, (1.40)

òî íåâîçìóùåííûé ïðîöåññ óñòîé÷èâ.

Ïóñòü ïîëó÷åíî ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (1.36) è îïðåäåëåíà ôóíê-

öèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü x x( )0 . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî îïðåäåëåíî íå-

êîòîðîå îòîáðàæåíèå � � �� �A W V W V0 2 2

1 2 0: ,,� � � , òàêîå, ÷òî ñïðàâåä-

29

ëèâî ðàâåíñòâî A x x0 0 � . Ñôîðìóëèðóåì òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé íå-

ïðåðûâíîñòè çàâèñèìîñòè x x( )0 [37].

Åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà �� 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî � �( )� 0, òàêîå, ÷òî äëÿ

ëþáûõ ýëåìåíòîâ � �� �� �x x W V0 0 2, , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

� �� � �� �x x

W V0 0

22

� (1.41)

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

� �� ��� �� �

� 'x x

W V21 2 0, ,

�, (1.42)

ãäå � � �x A x0 0 , �� � ��x A x0 0 , òî îòîáðàæåíèå A0 ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðå-

ðûâíûì íà ïðîñòðàíñòâå W V2 ( ).

Åñëè â ïîñëåäíåì îïðåäåëåíèè ïðèíÿòü � �x x0 0 , �� �x x0 0* è, ñîîòâåò-

ñòâåííî, � �x x, �� �x x* , òî ïîëó÷èì, ÷òî ôîðìàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå

çàïèñè îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì è îïðåäåëåíèÿ

ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè çàâèñèìîñòè x x( )0 ñîâïàäàþò. Òàêèì îáðà-

çîì, òðåáîâàíèå óñòîé÷èâîñòè êðàåâîé çàäà÷è (1.36) ïî íà÷àëüíûì äàí-

íûì ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèþ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè çàâèñèìî-

ñòè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (1.36) îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.

Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè è äëÿ îñòàëüíûõ íåðà-

âåíñòâ â îïðåäåëåíèè óñòîé÷èâîñòè. Òîãäà ïîëó÷èì, ÷òî òðåáîâàíèå óñ-

òîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (1.36) ïî îòíîøåíèþ ê âîçìóùåíèÿì

îïåðàòîðà çàäà÷è, ïðàâîé ÷àñòè, íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ óñëîâèé ñîîòâåòñò-

âóåò òðåáîâàíèþ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò

îïåðàòîðà çàäà÷è, ïðàâîé ÷àñòè, íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ óñëîâèé.

Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ

â óñëîâèÿõ íåäåòåðìèíèðîâàííîñòè ïàðàìåòðîâ. Îòìåòèì, ÷òî áîëüøèí-

ñòâî ñóùåñòâóþùèõ ðàáîò îðèåíòèðîâàíî, êàê ïðàâèëî, íà îïðåäåëåíèå

âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê êðèòè÷åñêèõ íàãðóçîê ïðè çàäàííîì çàêî-

íå ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ êðèòè÷å-

ñêîé íàãðóçêè, ó÷èòûâàþùåãî ñòîõàñòè÷íîñòü èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ [13,

53]. Â ðàáîòå [51] âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïòèìèçàöèè

ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê êîìïîçèòíûõ ïëàñòèí èç óñëîâèÿ ìàêñè-

ìóìà êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â óïîìÿíóòûõ

ðàáîòàõ èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè â äåòåðìèíèðîâàííîì

ñìûñëå, ÷òî ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå îäíîçíà÷íîãî îòâåòà íà âîïðîñ îá óñ-

òîé÷èâîñòè.  òî æå âðåìÿ èñïîëüçîâàíèå âåðîÿòíîñòíîãî ïîäõîäà ê èñ-

30

ñëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè ïðåäïîëàãàåò âîçìîæíîñòü õàðàêòåðèçîâàòü

óñòîé÷èâîñòü (èëè íåóñòîé÷èâîñòü) ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ ñ íåêîòî-

ðîé âåðîÿòíîñòüþ. Ïîñëåäíåå íå ìîæåò áûòü ñäåëàíî â ðàìêàõ äåòåðìè-

íèðîâàííîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé-

÷èâîñòè ïðîöåññîâ äåôîðìèðîâàíèÿ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü óñòîé÷è-

âîñòü â ñòîõàñòè÷åñêîì ñìûñëå.

Ñôîðìóëèðóåì ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ

(Ð-óñòîé÷èâîñòè), ó÷èòûâàþùåå ñòîõàñòè÷åñêèé õàðàêòåð ðàñïðåäåëå-

íèÿ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà.

Äëÿ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà ( , , )� F P , ãäå ïîä ýëåìåíòàðíûì

ñîáûòèåì � � � áóäåì ïîíèìàòü ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ ïðè ôèêñèðî-

âàííûõ íà÷àëüíûõ íåñîâåðøåíñòâàõ è âîçìóùåíèÿõ ïàðàìåòðîâ, ïîíÿ-

òèå Ð-óñòîé÷èâîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè äëÿ

ëþáûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè P * íàéäåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè

P P** *( ), ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà � � 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî � �( ) � 0, òàêîå, ÷òî

ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ &t

� � � �

�� �� �

P x x x x f f

A A

W V L W V

L W V

0 0

0

22

2 2

21 2

� � ����� �

� � �

* * *

*

,

� �

,�

�

�����

�� P ** (1.43)

äëÿ ëþáîãî t t� 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

�� �P x x P

W V �

�����

������

� �

*

,

*

,21 2 0

� , (1.44)

òî íåâîçìóùåííûé ïðîöåññ P-óñòîé÷èâ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåâîçìó-

ùåííûé ïðîöåññ P-íåóñòîé÷èâ.

Îòìåòèì, ÷òî íîðìû, îïðåäåëåííûå â (1.43) è (1.44), îïðåäåëÿþòñÿ

êàê äåòåðìèíèðîâàííûå íîðìû äëÿ êîíêðåòíûõ ðåàëèçàöèé, ò. å. äëÿ

ôèêñèðîâàííûõ � � �.

Ìîæíî íåñêîëüêî îñëàáèòü êðèòåðèé P-óñòîé÷èâîñòè, åñëè â ïðèâå-

äåííîé ôîðìóëèðîâêå âìåñòî ôðàçû «äëÿ ëþáîãî ÷èñëà � � 0 íàéäåòñÿ

÷èñëî � �( ) � 0» ïîñòàâèòü «äëÿ ëþáîé ïàðû ÷èñåë� � 0 è� � 0». Ñ äðóãîé

ñòîðîíû, îïðåäåëåíèå P-óñòîé÷èâîñòè ìîæíî ââåñòè, èñïîëüçóÿ êðèòå-

ðèè, ââåäåííûå äëÿ öåëåâîé ôóíêöèè â çàäà÷å ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçà-

öèè. Ïðè ýòîì â îïðåäåëåíèè P-óñòîé÷èâîñòè � �( ) îöåíèâàåòñÿ ïî äðóãîé

31

(1.36) â äåòåðìèíèðîâàííîì ñìûñëå, ò. å. &t �� �� � � �W V2

1 2 0, , , ñ ìåò-

ðèêîé

� � �� �& � � ��

���

������ �

� � � � � � �1 2 1 2 1 20

21 2, : , , ,

� �K

W VP K .

Òåïåðü ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè â ñòîõàñòè÷åñêîì ñìûñëå ìîæåò

áûòü îïðåäåëåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé âåðî-

ÿòíîñòåé P * íàéäåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè P P** *( ), ÷òî äëÿ ëþ-

áîãî ÷èñëà � � 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî � �( ) � 0, òàêîå, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñ-

ëîâèÿ &t

� �� � � �� �� �� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

1 1

3 4

0 0x x P x x P

f f P A

, �, �

, ,

* ** * **

* **

� � � �

� � � � �� �A P* **� (1.45)

äëÿ ëþáîãî t t� 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

� ���� x x P, * *� , (1.46)

òî íåâîçìóùåííûé ïðîöåññ P-óñòîé÷èâ.

Ñìûñë äàííîãî îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïîÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Íåâîçìóùåííûé ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ áóäåò P-óñòîé÷èâûì ñ âåðî-

ÿòíîñòüþ P * , åñëè ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ (1.45) (â ñìûñëå íîðì ñî-

îòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâ) â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè âîçìóùåííûé

ïðîöåññ ñ âåðîÿòíîñòüþ P * íàõîäèòñÿ â �-îêðåñòíîñòè íåâîçìóùåííîãî

ïðîöåññà (â ñìûñëå íîðìû ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé).

Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè â äåòåðìèíèðîâàííîì

ñìûñëå ñëåäóåò èç (1.45)–(1.46), åñëè ïðèíÿòü P P* **� � 1. Ïîêàæåì

ýòî.

Ðàññìîòðèì ïåðâîå íåðàâåíñòâî â óñëîâèè (1.45):

� ���

�10 0 1x x P, * **� � .

Ïîñêîëüêó ìåòðèêà â ïðîñòðàíñòâå ( , , )�1 1F P ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ

è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîæåò ïðåâûøàòü çíà÷åíèå 1, òî ìîæíî çàïèñàòü:

� ���

�10 0 1x x, * � ,

33

(èëè ãðàíè÷íûå) óñëîâèÿ.  ýòîé ñèòóàöèè ñëó÷àéíîé ìîæíî ñ÷èòàòü âå-

ëè÷èíó x0 (èëè x). Òåïåðü, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå òèïà (1.47),

(1.48), íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ (ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû x) ÷åðåç ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé

p x( )0 (ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x0 ). Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ýòîãî óíèâåðñàëü-

íûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Ïóñòü èç ðåøåíèÿ ïðÿìîé äåòåðìèíèðîâàííîé çàäà÷è ïîëó÷åíî ðå-

øåíèå â âèäå

� � � �x t x x� 0 , ... .

Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå. Çàïèøåì

åãî â âèäå

� �x x0 � � , . . . .

Îòìåòèì, ÷òî åñëè îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñóùåñòâóåò, òî îíî âñå-

ãäà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ÷èñëåííî ÷åðåç ÿêîáèàí îáðàòíîãî ïðåîáðàçî-

âàíèÿ.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàâèñèìîñòè x t( ) è �( )t óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâà-

íèÿì àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ïî x0 è x ñîîòâåòñòâåííî. Èçâåñòíî,

÷òî àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàçáèòü íà ó÷àñòêè ìîíî-

òîííîñòè [13]. Ðàçîáüåì x t( ) íà ó÷àñòêè ìîíîòîííîñòè, êîëè÷åñòâî êîòî-

ðûõ îáîçíà÷èì ÷åðåç k. Òåïåðü, âîñïîëüçîâàâøèñü óíèâåðñàëüíûì ïðå-

îáðàçîâàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, çàïèøåì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ

ðåøåíèÿ â âèäå

� � � �� � � �� �q x p x xx i i

i

k

� ��

� 0

1

� � ,

ãäå q(x) — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ; px0( )� — ïëîòíîñòü ðàñïðå-

äåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé; � i x( ) — îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå íà i-ì

ó÷àñòêå ìîíîòîííîñòè;� �

� ���

i

id x

dx— ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîãî ïðåîáðà-

çîâàíèÿ íà i-ì ó÷àñòêå ìîíîòîííîñòè ïî âåëè÷èíå x.

×òîáû çàïèñàòü îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè òèïà (1.45)–(1.46), ââå-

äåì ñîîòâåòñòâóþùèå ìåòðèêè:

� � � ���

�10 0 0 0x x p x dx

G

* , � � ,

35

ãäå � �� G x W V x x� � � �0 ,22

0 0* � ;

� � � �� � � t t x x q x dx

B

0 : ,*��� ,

ãäå � �t t0 ,

� �� �� B x W V x x� � � ' � �2

1 2 0, *, , � .

Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè òèïà

(1.45)–(1.46):

Åñëè äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè P * íàéäåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå

âåðîÿòíîñòè P P** *( ), ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà �� 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî� �( )� 0

òàêîå, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ �t

� �p x dx P

G

0 0 � ** (1.49)

äëÿ ëþáîãî t t� 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

� �q x dx P

B

� * , (1.50)

òî íåâîçìóùåííûé ïðîöåññ P-óñòîé÷èâ ïî íà÷àëüíûì äàííûì.

Îñîáûé èíòåðåñ âûçûâàåò îöåíêà óñòîé÷èâîñòè êàê â äåòåðìèíèðî-

âàííîì, òàê è â ñòîõàñòè÷åñêîì ñëó÷àå (P-óñòîé÷èâîñòè), êîãäà ïðîöåññ

äåôîðìèðîâàíèÿ îïèñûâàåòñÿ S-îáðàçíîé êðèâîé.  ýòîì ñëó÷àå ôèêñè-

ðîâàííûì çíà÷åíèÿì îäíîãî èç õàðàêòåðíûõ ïàðàìåòðîâ äåôîðìèðîâà-

íèÿ ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü íåñêîëüêî çíà÷åíèé äðóãîãî õàðàêòåðíîãî ïà-

ðàìåòðà. Ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèé ïðèìåð — çàäà÷ó î äåôîðìèðîâàíèè

äâóõñòåðæíåâîé ñèñòåìû, íàçûâàåìîé ôåðìîé Ìèçåñà. Ñõåìà äåôîðìè-

ðîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ 1.3.

Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ â ïðîåêöèè íà îñü x2 èìååò âèä

N �2

2cos�, (1.51)

ãäå N — óñèëèå â ñòåðæíÿõ, � — óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì îñè äåôîð-

ìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ è îñüþ x2 (íà÷àëüíûé óãîë — � 0 ).

Óêîðî÷åíèå êàæäîãî ñòåðæíÿ ðàâíî

36

la a

� �sin sin� �0

; (1.52)

NEF l

lEF� � ������

�

�����

0

01

sin

sin

�

�, (1.53)

ãäå l0 — íà÷àëüíàÿ äëèíà ñòåðæíÿ, F — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

ñòåðæíÿ, E — ìîäóëü Þíãà.

Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè (1.51) è (1.53), ïîëó÷èì

P EF� ������

�

�����

2 10sin

sincos

�

��. (1.54)

Ïåðåéäåì îò óãëà � ê ïåðåìåùåíèþ v [13] óçëà B âäîëü îñè x2 .

P EFv

a v

a

� ������

�

�����

� ������

�

�����

2 11

1

0

20 0

tg

tg tg

�

� �

20�

)

*

+++++++

,

-

.

.

.

.

.

.

.

cos� . (1.55)

Çàâèñèìîñòü (1.55) ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1.4.

Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííóþ êðèâóþ ñ òî÷êè çðåíèÿ îöåíêè óñòîé-

÷èâîñòè ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ.

37

Ðèñ. 1.3. Ôåðìà Ìèçåñà

Îòìåòèì, ÷òî ôèçè÷åñêè ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ äâóõñòåðæíåâîé

ñèñòåìû ìîæíî âåñòè, çàäàâàÿ ïåðåìåùåíèÿ v óçëà B èëè ñèëó P â óçëå B.

Çàäàâàÿ ïåðåìåùåíèÿ v è îöåíèâàÿ óñòîé÷èâîñòü ïðîöåññà äåôîðìèðîâà-

íèÿ (ñ ïîìîùüþ îöåíêè (1.37), (1.38)), ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî �t

ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ áóäåò óñòîé÷èâ (â èññëåäóåìîì ñëó÷àå óñëî-

âèå (1.37) ïðèìåò âèä� �

f fW V

� �*

2

�, ãäå ïîä f ïîíèìàåòñÿ ïåðåìåùå-

íèå v. Ðåøåíèåì x ÿâëÿåòñÿ ñèëà P). Ôèçè÷åñêè ýòî îáúÿñíèìî, ò. ê. ìà-

ëûì èçìåíåíèÿì (âîçìóùåíèÿì) v ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå âîçìóùåíèÿ P,

ò. å. � �� 0 ìîæíî íàéòè � �( )� 0, ÷òî �t ïðè óñëîâèè (1.37) âûïîëíÿåòñÿ

óñëîâèå (1.38) íà âñåì ýòàïå äåôîðìèðîâàíèÿ.

Ñîâñåì äðóãàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ, åñëè ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ

âåäåòñÿ èçìåíåíèåì ïðèëîæåííîé ñèëû P.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ïîäõîäå

ê òî÷êå 1 (ñì. ðèñ. 1.4) � �� 0 ìû íå ìîæåì íàéòè � �( )� 0, ò. ê. ëþáîå

ñêîëü óãîäíî ìàëîå èçìåíåíèå P íà âåëè÷èíó �� 0 âûçûâàåò ñêà÷îê â ïå-

ðåìåùåíèè, ò. å. â ýòîì ñëó÷àå � �( )� 0 è êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè òèïà

(1.37), (1.38) íå âûïîëíÿåòñÿ.

Åñëè ðàññìàòðèâàòü óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ïðè ñòîõàñòè÷åñêîì ðàñïðå-

äåëåíèè óñëîâèé (íàïðèìåð, ïðè ñòîõàñòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè óãëà � 0 ),

ïðîöåññ äåôîðìèðîâàíèÿ áóäåò P-óñòîé÷èâûì ïî ïåðåìåùåíèÿì è P-íåóñ-

òîé÷èâûì ïðè ñèëîâîì âîçìóùåíèè ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ � �t � �0, , �P * ,

� �P P** * . Îäíàêî âî âòîðîì ñëó÷àå (ïðè èçìåíåíèè ïðèëîæåííîé ñèëû) ïðè

çàäàííîì t îöåíêó P-óñòîé÷èâîñòè ñëåäóåò îñóùåñòâëÿòü, ïîëüçóÿñü îïðå-

äåëåíèåì òèïà (1.43), (1.44).

38

Ðèñ. 1.4. Äåôîðìèðîâàíèå ôåðìû Ìèçåñà

 êà÷åñòâå ïðîñòåéøåé èëëþñò-

ðàöèè ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ

ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá óñòîé÷èâîñòè

ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ øàðèêà íà

äíå ÿìû.

Ïóñòü øàðèê ìàññîé m íàõîäèòñÿ

íà äíå ÿìû, ôîðìà êîòîðîé ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ãëàäêóþ êðèâóþ âèäà

y = f(x) (ðèñ. 1.5). Áåç ïîòåðè îáùíîñòè

ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî f(0) = 0. Áóäåì ïî-

ëàãàòü, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷êè x� 0

âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåd y

dx

2

20� .  êà÷åñòâå íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ïðè-

ìåì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ øàðèêà íà äíå ÿìû, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî

óñëîâèå x = 0, y = 0 èëè s = 0, ãäå s — äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò ïîëîæå-

íèÿ ðàâíîâåñèÿ âäîëü êðèâîé f(x).

Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîëîæåíèå øàðèêà îòëè÷íî îò ðàâíî-

âåñíîãî s st��

00 . Ñêîðîñòü øàðèêà â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 áóäåì ïîëà-

ãàòü íóëåâîé. Òîãäà çàäà÷à î âîçìóùåííîì äâèæåíèè èìååò âèä

� �� �

�� sin ,

,

� ,

s g

s s

s

� �

�

�

� 0

0

0 0

0

ãäå g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; tg��dy

dx. Ïîëàãàÿ îòêëîíåíèÿ

ìàëûìè, ÷òî îçíà÷àåò ìàëîñòü çíà÷åíèé âåëè÷èíû �, ïðèìåì sin� �0 ,

cos� � �0 1 01 tg . Ââèäó ìàëîñòè îòêëîíåíèé áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ðà-

äèóñ êðèâèçíû rê çàâèñèìîñòè y = f(x) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (0,0) ìîæíî

ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé.

Òîãäà ïîëó÷èì:

� �� �

�� ,

,

� ,

sgs

r

s s

s

� �

�

�

�

0

0

0 0

0

39

Ðèñ. 1.5. Óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ

ðàâíîâåñèÿ øàðèêà íà äíå ÿìû

îòêóäà � �s t s t� 0 cos� .

Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ øàðèêà áóäåò óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó, åñ-

ëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà � íàéäåòñÿ òàêîå ïîëîæèòåëüíîå

÷èñëî �, ÷òî ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèÿõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñ-

ëîâèþ | |s0 � �, äëÿ ëþáîãî t � 0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå � �s t � �.

Ðàññìîòðèì âòîðîå íåðàâåíñòâî:

� �s t s t s� ( � ( �� � � �0 0cos .

Ïðèìåì �(�) = �. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëîæèòåëüíîãî

÷èñëà � îïðåäåëåíî òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî �(�), ÷òî ïðè ëþáûõ íà-

÷àëüíûõ âîçìóùåíèÿõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ | |s0 � �, äëÿ ëþáîãî

t � 0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå � �s t � �. Óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâ-

íîâåñèÿ øàðèêà ïî Ëÿïóíîâó äîêàçàíà.

Äîêàæåì òåïåðü óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ øàðèêà â ñìûñ-

ëå (1.49)–(1.50).

Çàïèøåì çàâèñèìîñòü s s0 ( ):

st

s0

1�

cos�.

Î÷åâèäíî, ÷òî çàâèñèìîñòè s s( )0 è s s0 ( ) óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèÿì

àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ïî s0 è s ñîîòâåòñòâåííî.

Ïóñòü s0 — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî ðàâíîìåðíîìó

çàêîíó: s R a a0 ~ , .

f s a

s a a

s a a

( ), , ,

, , .

0

1

2

0

��

)

*

+,,,

-,,,

0

0

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

s s s� ( )0 âîñïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû:

� �� � � �g s f s s s s( ) � �0 0 .

Ïîëó÷èì

40

� �

g s

ta

s a a

s a a

��

)

*

+,,,

-,,,

11

2

02cos

, , ,

, , .�

Âûáåðåì � � 0. Òîãäà � �B s C s� � �2 , � è èç (1.50) ïîëó÷èì

� �� P a t** cos2 . Çàìåíèì ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà åå ìàêñèìàëü-

íûì çíà÷åíèåì � � P a** . Îòñþäà ïîëó÷èì îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó a:

aP

��

*.

Îáîçíà÷èì � �G s s� � . �0 0, � . Òîãäà èç (1.49) ñëåäóåò: � � P a* .

Ïðèìåì P P* **� . Òîãäà â ðåçóëüòàòå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó-

÷èì �(�) = �. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ øàðèêà ÿâëÿåòñÿ

P-óñòîé÷èâûì.

Òàêèì îáðàçîì, ñ ïðèìåíåíèåì ñôîðìóëèðîâàííîãî îïðåäåëåíèÿ

äîêàçàíà óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ øàðèêà íà äíå ÿìû.

Íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññîâ äå-

ôîðìèðîâàíèÿ ñòåðæíÿ è îáîëî÷êè ïðè ñòîõàñòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè

èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ ïðèâåäåíû â ðàáîòàõ [21, 36, 46].

1.6. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà

ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè

Áîëüøèíñòâî ïðîöåññîâ îáðàáîòêè ìàòåðèàëîâ îïèñàòü ñ ïîìîùüþ

îäíîãî êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè íåâîçìîæíî. Ïðîáëåìà ìíîãîêðèòåðè-

àëüíîé îïòèìàëüíîé çàäà÷è îñòàåòñÿ ïîêà îäíîé èç íàèáîëåå ñëîæíûõ

ïðîáëåì òåîðèè îïòèìèçàöèè, ò. ê. èçâåñòíûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ

ïîäîáíûõ çàäà÷ (íàïðèìåð, Ïàðåòî-îïòèìèçàöèÿ [9, 31, 32, 34]) íå äàþò

îäíîçíà÷íîãî îòâåòà èëè òðåáóþò îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà âû÷èñëåíèé.

Îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷ îïòèìèçàöèè ïðîöåññîâ îáðàáîòêè ìà-

òåðèàëîâ ìîæíî âûäåëèòü äîñòàòî÷íî øèðîêèé êëàññ ìíîãîêðèòåðèàëü-

íûõ çàäà÷, îäíîçíà÷íîå ðåøåíèå êîòîðûõ ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ

âîçìîæíî [18–20, 47–49]. Ýòî îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì ñâÿçàííûì çà-

äà÷àì îïòèìèçàöèè [30, 52], ó êîòîðûõ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ êðèòåðèåâ

îïòèìàëüíîñòè ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû ïî âðåìåíè (èëè ëþáîìó íåóáû-

âàþùåìó ïàðàìåòðó), à ñâÿçü ìåæäó íèìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ

íåêîòîðûõ çàäàííûõ ôóíêöèé.

41

 òîì ñëó÷àå, êîãäà íà çàäàííîì âðåìåííîì ýòàïå çàäà÷à îñòàåòñÿ

ìíîãîêðèòåðèàëüíîé ïî öåëÿì îïòèìèçàöèè, îáû÷íî ïîëàãàåòñÿ, ÷òî

ìîæíî âûáðàòü ãëàâíûé êðèòåðèé èëè ïîñòðîèòü íåêîòîðûé îáîáùåí-

íûé êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè [31].

Ðàññìîòðèì âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ êîìïëåêñíîãî êðèòåðèÿ îïòèìàëü-

íîñòè ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è íà çàäàííîì âðåìåííîì øàãå â óñëî-

âèÿõ ñëó÷àéíîãî õàðàêòåðà èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ òåõíîëîãè÷åñêîãî ïðî-

öåññà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äëÿ ðåàëüíûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

ïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ èíòåðåñ ÷àñòî âûçûâàþò íå êîíêðåòíûå

êðèòåðèè, îïðåäåëÿåìûå òîé èëè äðóãîé ìîäåëüþ, à íåêîòîðàÿ èõ ñîâî-

êóïíîñòü, êîòîðóþ â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü êîìïëåêñíûì êðèòå-

ðèåì îïòèìàëüíîñòè.

Êîìïëåêñíûé êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷å ñòîõàñòè÷åñêîé îï-

òèìèçàöèè ìîæåò áûòü ïîëó÷åí êàê ñóììà êðèòåðèåâ äëÿ îòäåëüíî âçÿ-

òûõ ìîäåëåé ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Â îáùåì

ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùèå öåëåâûå ôóíêöèè ìîãóò ïðèíàäëåæàòü ðàçëè÷-

íûì ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâàì, ÷òî çàòðóäíÿåò ïîñòðîåíèå îáîá-

ùåííîãî ôóíêöèîíàëà è âûçûâàåò áîëüøèå ìàòåìàòè÷åñêèå òðóäíîñòè

ïðè ðåøåíèè îáùåé îïòèìàëüíîé çàäà÷è. Òàê, íàïðèìåð, åñëè äëÿ Ì-

è ÌÌ-ìîäåëåé ýòî ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû, òî

äëÿ D-ìîäåëè — êâàäðàò ýòîãî çíà÷åíèÿ, à äëÿ Ð-ìîäåëè — âåðîÿòíîñòü

è ò. ä. Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ñòðîèòü öåëåâûå ôóíêöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ ìî-

äåëåé â îäíèõ è òåõ æå ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, íî â îáùåì ñëó-

÷àå ýòî ïðèâîäèò ê íåîäíîçíà÷íîñòÿì. Íàïðèìåð, åñëè íàñ èíòåðåñóåò

àíàëîã Ð-ìîäåëè ïî îòíîøåíèþ ê Ì-ìîäåëè, òî â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíê-

öèè äëÿ Ð-ìîäåëè ìîæíî âûáðàòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ (èëè ôóíê-

öèè îò ðåøåíèÿ), âñåõ ðåøåíèé (èëè ôóíêöèé îò ðåøåíèé), ïîïàâøèõ

â çàäàííóþ ìîäåëüþ îáëàñòü; ñ äðóãîé ñòîðîíû, â êà÷åñòâå öåëåâîé

ôóíêöèè äëÿ Ð-ìîäåëè ìîæíî âçÿòü íàèõóäøåå ðåøåíèå (èëè ôóíêöèþ

îò ðåøåíèÿ) ñðåäè ðåøåíèé èç îïðåäåëåííîé Ð-ìîäåëüþ îáëàñòè è ò. ï.

Êðîìå òîãî, íà íàø âçãëÿä, ïîñòðîåíèå îáîáùåííîãî ôóíêöèîíàëà

â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îòäåëüíî âçÿòûõ ìîäåëåé ñ ñîîòâåòñòâóþ-

ùèìè âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè ââîäèò íè÷åì íå îïðàâäàííîå ïðåäïî-

ëîæåíèå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè êîìïëåêñíîãî êðèòåðèÿ îïòèìàëüíî-

ñòè îò ÷àñòíûõ êðèòåðèåâ äëÿ êîíêðåòíûõ òèïîâ ìîäåëåé.

Ðàññìîòðèì ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ òàêîãî êðèòåðèÿ, êîòîðûé îïèðà-

åòñÿ íà ïðåäïîñûëêó î òîì, ÷òî ýëåìåíòàìè èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ

íå ÷èñëà, à íå÷åòêèå ìíîæåñòâà [10, 26, 54, 55].

42

Ïîä íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì A ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ïàð âèäà

� �� �u uA,� , ãäå u U� . Äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ U — ìíîæåñòâî ýëå-

ìåíòîâ (îáû÷íîå ìíîæåñòâî), à � �� A u — ýòî ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè

íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà A, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

� �� A U: , 0 1 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà u ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè

îïðåäåëÿåò ñòåïåíü åãî ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó U.

 êà÷åñòâå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ìîæíî âûáðàòü ÷àñòîñòü ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ èëè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ A, åñëè íå÷åòêîå ìíîæåñòâî A

ïðåäñòàâèòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå R.

Åñëè ýëåìåíòàìè u U� ñ÷èòàòü çíà÷åíèÿ öåëåâûõ ôóíêöèé äëÿ ðàç-

ëè÷íûõ òèïîâ ìîäåëåé, òî ïîä ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè óäîáíî ïîíè-

ìàòü ïîëåçíîñòü (âàæíîñòü) ñîîòâåòñòâóþùåãî êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè

êîíêðåòíîé ìîäåëè. Òàê, íàïðèìåð, â êà÷åñòâå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè

ìîæíî âûáèðàòü ýêñïåðòíûå îöåíêè çíà÷èìîñòè êîíêðåòíûõ ìîäåëåé

îïòèìèçàöèè. Â ýòîì ñìûñëå ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè óäîáíåå áûëî

áû îïðåäåëèòü êàê ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ìàòåìàòè÷å-

ñêèõ ïîñòàíîâêàõ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè îò ôóíêöèè ïîëåçíîñòè íè-

÷åì íå îòëè÷àåòñÿ.

Öåëåâûå ôóíêöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîäåëåé ìû óæå ââåëè.

Òåïåðü íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ïðèâåäåííîìó

âûøå, ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ïàð è ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

� �A a aA i i

i

��

�1

4

� . (1.56)

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè íåîáõîäèìî îïðå-

äåëèòü ïðîöåäóðó ñðàâíåíèÿ íå÷åòêèõ ÷èñåë íà íå÷åòêîì ìíîæåñòâå.

Ïóñòü íà íå÷åòêîì ìíîæåñòâå À îïðåäåëåíû äâà íå÷åòêèõ ÷èñëà A1 è A2 .

Êàæäîå èç íå÷åòêèõ ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåò ýëåìåíò íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà

è ñòðîèòñÿ ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.56).

Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé íåîáõîäèìî ââåñòè ïîíÿòèå íîñèòåëÿ

íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà (àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è íîñèòåëü íå÷åòêîãî

÷èñëà). Íîñèòåëåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà À íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî � �S A ,

êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

� � � �� S A aa U aA� � �, � 0 . (1.57)

 îáùåì ñëó÷àå îòíîøåíèå ïîðÿäêà (òèïà «áîëüøå», «ìåíüøå»,

«ðàâíî») äëÿ íå÷åòêèõ ÷èñåë ñàìî ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì. Ëèøü â òîì ñëó-

43

÷àå, êîãäà ïåðåñå÷åíèå íîñèòåëåé íå÷åòêèõ ÷èñåë A1 è A2 ïóñòî, îòíîøå-

íèå ïîðÿäêà áóäåò ÷åòêèì (ðèñ. 1.6); äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ èç ðè-

ñóíêà âèäíî, ÷òî A1 A2 .

Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü íåêîòîðóþ ÷åòêóþ ôóíêöèþ îò íå÷åòêèõ

àðãóìåíòîâ, êîòîðàÿ íåçàâèñèìî îò ñîîòíîøåíèÿ íîñèòåëåé íå÷åòêèõ ÷è-

ñåë îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿëà áû îòíîøåíèå ïîðÿäêà ìåæäó íèìè.  ðàáî-

òàõ [10, 43] ïðåäëîæåíî íåñêîëüêî ïðîöåäóð ïî âû÷èñëåíèþ òàêîé ÷åò-

êîé ôóíêöèè � �H A B, îò íå÷åòêèõ àðãóìåíòîâ À è Â, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ

èíäåêñîì ðàíæèðîâàíèÿ. Çíà÷åíèå èíäåêñà ðàíæèðîâàíèÿ äëÿ êîíêðåò-

íîé ïàðû íå÷åòêèõ àðãóìåíòîâ äàåò îñíîâàíèå äëÿ ðåøåíèÿ âîïðîñà

î òîì, êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ìåíüøå.

Åñëè ââåñòè èíäåêñ ðàíæèðîâàíèÿ âèäà

� � � � � �� �H A B a ba b

A B1 , sup min ,��

� � , (1.58)

òî ïðè ýòîì åñëè � � � �H A B H B Ai i, ,� , òî À � Â.

Èíäåêñ H 1 âûäåëÿåò â êà÷åñòâå íàèáîëüøåãî íå÷åòêîå ÷èñëî Ai ,

ó êîòîðîãî âåëè÷èíà� �

� �supargsupa S A

A

i

a�

� ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøåé (ò. å. ÷èñëî,

ó êîòîðîãî ìàêñèìóì ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ðàñïîëîæåí ïðàâåå

âäîëü îñè U).

 ðàáîòå [50] ïðåäëîæåíû èíäåêñû:

� � � � � �� �H A B a ba b a

A B2 1, sup inf min ,� �

� � , (1.59)

44

Ðèñ. 1.6. Ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ

� � � � � �� H A B a ba b a

A B3 1, inf sup max ,� ��

� � , (1.60)

� � � � � �� H A B a ba b

A B4 1, sup min ,� ��

� � . (1.61)

Ïðè ýòîì åñëè � � � �H A B H B Ai i, ,� , i� 2 4, , òî A B� .

 ýòîé æå ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî:

� � � � � �� H A B H A B H A B4 2 3, max , , ,� , (1.62)

� � � � � �� H A B H A B H A B4 2 3, min , , ,� . (1.63)

 êà÷åñòâå èíäåêñà ðàíæèðîâàíèÿ ìîæíî âûáðàòü

� � � � � � � �� H A B a b a ba S b S

A B v

a b

, sup min , , ,,

�� �

� � � , (1.64)

ãäå � v a b( , ) — ôóíêöèÿ îòíîøåíèÿ íå÷åòêîãî ïðåäïî÷òåíèÿ [10] ìåæäó

÷åòêèìè ÷èñëàìè a è b.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [43] â êà÷åñòâåV âûáðàíî

÷åòêîå îòíîøåíèåV1 ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè:

� V a b1

1� 3 � è� V a b1

0� 3 � . (1.65)

Ïðè ýòîì åñëè H A B H B A( , ) ( , )� , òî A B� .

Èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ òèïà (1.58), (1.59), (1.60), (1.64) ïðèìåíÿþò-

ñÿ äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, õàðàêòåðèçóþùèõñÿ íå÷åòêèìè ÷èñëàìè

ñ ýëåìåíòàìè îäíîãî è òîãî æå ìàñøòàáà. Ïîýòîìó ïðèìåíåíèå ýòèõ èí-

äåêñîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà, õàðàêòåðèçóþùåãî êîì-

ïëåêñíûé êðèòåðèé êà÷åñòâà, ïîòðåáîâàëî ïåðåîïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñò-

âóþùèõ ýëåìåíòîâ.

 ÷àñòíîñòè, åñëè â êà÷åñòâå a1 âûáðàíî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

ðåøåíèÿ, òî â êà÷åñòâå a2 íåîáõîäèìî âûáðàòü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îò-

êëîíåíèå, a3 — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðåøåíèÿ â òîì ñëó÷àå, ïðè êî-

òîðîì âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ ðåøåíèÿ îò íåêîòîðîé íàïåðåä çàäàííîé

îáëàñòè áûëà áû ìèíèìàëüíîé, a4 — íàèõóäøåå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ ïðè

íàèáîëåå íåáëàãîïðèÿòíîì ðàñïðåäåëåíèè èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ.

×òîáû èçáåæàòü òàêîãî ïåðåîïðåäåëåíèÿ, ïîñòðîèì íå÷åòêîå ìíî-

æåñòâî, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî áóäóò âåëè÷èíû, îïðåäåëåííûå íèæå. Ïðè

ýòîì â ñèëó òîãî, ÷òî çíà÷èìîñòü êàæäîé ñîîòâåòñòâóþùåé ñîñòàâëÿþ-

ùåé äâóõ íå÷åòêèõ ÷èñåë Ar è B r (ïðè ïðîèçâîëüíûõ óïðàâëåíèÿõ) áó-

45

äåò ïîñòîÿííîé, èíäåêñ ðàíæèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü ïîñòðîåí ñëåäóþùèì

îáðàçîì:

� �H A B Cr ri, � sign , (1.66)

ãäå � �C a b di i ir

ir

i� � �� , i — äîñòàâëÿåò � �maxi

i ir

ir

ia b d� � � , � i —

ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè (çíà÷èìîñòü) air (èëè bi

r ), � �d a bi ir

ir� max , ,

� �i n� 1, , n — êîëè÷åñòâî ïàð, îïðåäåëÿþùèõ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî.

Ïðè ýòîì åñëè çíà÷åíèå i åäèíñòâåííî è åñëè signC � �« », òî

A Br r�� ; åñëè signC � �« », òî A Br r� .

Åñëè çíà÷åíèå i íå åäèíñòâåííî, òî îïðåäåëèì k — êîëè÷åñòâî ðàâ-

íûõ ïî ìîäóëþ ìàêñèìóìîâ � �k n� è âû÷èñëèì

� ��� signC i

i

k

1

. (1.67)

Åñëè� � 0, òî A Br r� ; åñëè�� 0, òî A Br r� ; åñëè�� 0, òî A Br r� .

Îòìåòèì, ÷òî, ïî ñóùåñòâó,� i ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêñïåðòíûå îöåí-

êè.  ñèëó íå÷åòêîñòè òàêèõ îöåíîê ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì

ôîðìóëèðîâàòü ìíîãîêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçà-

öèè ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïëåêñíîãî êðèòåðèÿ êà÷åñòâà è èíäåêñà ðàí-

æèðîâàíèÿ òèïà (1.66), (1.67) ïðè � i � 1, i n� 1, . Êðîìå òîãî, ìåòîäèêà

ðåøåíèÿ çàäà÷è, ïðèâåäåííàÿ âûøå, ìîæåò áûòü óñïåøíî ïðèìåíåíà äëÿ

çàäà÷è ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè è â äåòåðìèíèðîâàííîì

ñëó÷àå.

Èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ, ïðèâåäåííûå âûøå, ÿâëÿþòñÿ â íåêîòîðîì

ñìûñëå äåòåðìèíèðîâàííûìè èíäåêñàìè, ò. ê. êàæäûé èç íèõ âûäåëÿåò

äëÿ ñðàâíåíèÿ íåêîòîðîå çíà÷åíèå íå÷åòêîãî ÷èñëà ñ ñîîòâåòñòâóþùåé

ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè. Ïðèìåíåíèå ýòèõ èíäåêñîâ ðàíæèðîâàíèÿ

îïðàâäàíî òîãäà, êîãäà òàêîå çíà÷åíèå ìîæåò áûòü âûäåëåíî ïî

êàêîìó-ëèáî ïðèçíàêó.

Ñóùåñòâóþò èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ, íîñÿùèå èíòåãðàëüíûé õàðàê-

òåð. Òàêèå èíäåêñû óäîáíî ïðèìåíÿòü äëÿ íå÷åòêèõ ÷èñåë ñ ïðèáëèçè-

òåëüíî îäèíàêîâûìè íîñèòåëÿìè è äîñòàòî÷íî ñëîæíûìè äëÿ âçàèìíîãî

ñðàâíåíèÿ ôóíêöèÿìè ïðèíàäëåæíîñòè. Â ðàáîòå [54] ïðåäëàãàåòñÿ èí-

äåêñ ðàíæèðîâàíèÿ âèäà

46

� � � � � �H A B H A H B5 , � � � , � � � �H A M A d� � � � �

0

1

, (1.68)

ãäå A� — �-óðîâíåâîå ìíîæåñòâî íå÷åòêîãî ÷èñëà À, ò. å.

� �� �A a aA� � �� �: ; � � � �M A a a� � � �0 2,

ãäå a aa A

0 ��inf

�

, a aa A

�

�� sup

�

.

Åñëè � �H A B5 0, � , òî A B� .

 ðàáîòå [35] ïðåäëîæåí èíäåêñ:

� � � �� � � �H A B z dz z dzD D6

0 5

1

0

0 5

1,

,

,

� � �� � � , (1.69)

ãäå � �D A A B� � (îïåðàöèÿ äåëåíèÿ äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ââåäåíà

â ðàáîòå [10]). Ïðè ýòîì åñëè � �H A B6 0 5, ,� , òî A B� .

Èíòåãðàëüíûå èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ îäèíàêîâî ó÷èòûâàþò âåñü

ñïåêòð îïðåäåëåíèÿ íå÷åòêèõ ÷èñåë.

Òàêèì îáðàçîì, åñëè íàñ èíòåðåñóåò ìèíèìèçàöèÿ êîìïëåêñíîãî

êðèòåðèÿ îïòèìèçàöèè (ÊÊÎ), òî â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè â îáùåì

ñëó÷àå íåîáõîäèìî âûáðàòü íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âèäà:

� �� �� � � �� ��� �� �� � � �� �� �� �� � � �

A Mf x Mf x

Df x Df x

Pf x Pf x

A

A

A

� � � � � �

� � � � �

� � � �

0 0

0 0

0 0

, , ;

, , ;

, � �� �� �� � � �� ��

, ;

, , .

�

� � � � �A MMf x MMf x0 0

(1.70)

Ïðè ýòîì â ðàìêàõ ââåäåííîé â ïåðâîé ãëàâå êëàññèôèêàöèè öåëåâàÿ

ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå Ö(ÊÊÎ).

Ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ïðîöåäóðû îïòèìèçàöèè äëÿ ñðàâíåíèÿ

çíà÷åíèé öåëåâîé ôóíêöèè, êîòîðûå ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ

â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íå÷åòêèå ìíîæåñòâà, íåîáõîäèìî

èñïîëüçîâàòü èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ.

47

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðåøåíèå çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòè-

ìèçàöèè â òîì ñëó÷àå, êîãäà äåòåðìèíèðîâàííûé àíàëîã öåëè (èëè íå-

ñêîëüêèõ öåëåé) íå ñôîðìóëèðîâàí, ò. å. ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëü íå ïî-

ñòðîåíà èëè íå ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà.  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî îïòè-

ìèçèðîâàòü íåêîòîðóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó À. Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïðè

ýòîì óñëîâíî ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå Ö(�).

Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ôóíêöèþ öåëè, çàäà-

åòñÿ ñ ïîìîùüþ ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ. Ãèñòîãðàììà ïðè ôèêñè-

ðîâàííîì óïðàâëåíèè âñåãäà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà.

×òîáû îïðåäåëèòü ïðîöåäóðó ñðàâíåíèÿ äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,

íåîáõîäèìî ó÷åñòü òîò ôàêò, ÷òî ãèñòîãðàììó ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè ñîîòâåò-

ñòâóþùåãî íå÷åòêîãî ÷èñëà. Ïðè ýòîì ñðàâíåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìî-

æåò áûòü îñóùåñòâëåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì èíäåêñîâ ðàíæèðîâàíèÿ, ïðè-

âåäåííûõ âûøå. Òàê, íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ

� �H A B1 , è � �H A B5 , , ïîëó÷èì:

� � � � � �� �H A B P a P bP

a bA B1 , sup min ,�

�. (1.71)

� �H A BP5 , îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (1.68), ãäå

� �� �A a P a pA� � �: . (1.72)

A è B — ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ôóíêöèè öåëè ïðè ðàç-

ëè÷íûõ âåêòîðàõ óïðàâëåíèÿ; � �P aA è � �P bB — ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëå-

íèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí A è B.

Âàæíîé è àêòóàëüíîé äëÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà îï-

ðåäåëåíèÿ âåêòîðà óïðàâëåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùåãî ïîëó÷åíèå çàäàííîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè çàäà-

÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè íåîáõîäèìî âûáðàòü «îòêëîíåíèå» ïî-

ëó÷àåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ îò çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå

è ñëåäóåò ìèíèìèçèðîâàòü. Âîçìîæíîé (è, íà íàø âçãëÿä, íàèáîëåå ïðè-

åìëåìîé) îöåíêîé ýòîãî îòêëîíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèé õè-êâàäðàò (êðè-

òåðèé Ïèðñîíà) [28].

 ýòîì ñëó÷àå öåëåâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä

� �� �

F xp p

p

k k

kk

m0 2

2

1

( ),� � �� � �

��� , (1.73)

48

ãäå pk — âû÷èñëåííûå, à �pk — òåîðåòè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè.

Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷àåìîå â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è çíà÷åíèå ìè-

íèìóìà öåëåâîé ôóíêöèè ïîçâîëÿåò íå òîëüêî íàéòè óïðàâëåíèå, äîñòàâ-

ëÿþùåå ýòîò ìèíèìóì, íî è îòâåòèòü íà âîïðîñ: ñ êàêèì óðîâíåì íàäåæ-

íîñòè ïîëó÷àåìîå ðàñïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþ-

ùèì òîìó ðàñïðåäåëåíèþ, êîòîðîãî ìû õîòåëè äîñòè÷ü. Äðóãèìè

ñëîâàìè, ñ êàêèì óðîâíåì çíà÷èìîñòè âûäâèíóòàÿ íàìè ãèïîòåçà ïðèíè-

ìàåòñÿ.

Ñôîðìóëèðîâàííîå ïîíÿòèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ïîçâîëÿåò

ïî-íîâîìó äàòü îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ,

ó÷èòûâàþùåå ñòîõàñòè÷åñêèé õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê

è ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà.

Ðàññìîòðèì äâà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâà:

� � � �A i= A P iik

i

i i

ii

i1

1

4

2

1

4

1 4 1 4� � �� �

� � ��

, , ,*, ,� � ,

ãäå�� i

ik — ââåäåííûå âûøå ìåòðèêè,� i — ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè, îï-

ðåäåëåííûå óñëîâèÿìè çàäà÷è è ýêñïåðòíûìè îöåíêàìè.

Òåïåðü â îïðåäåëåíèè P-óñòîé÷èâîñòè (1.43), (1.44) óñëîâèå (1.43)

ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

A A1 2� . (1.74)

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè

1. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíûå ïðè÷èíû ïîÿâëåíèÿ íåîïðåäåëåííî-

ñòåé. Êàêèå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ ñóáúåêòèâíûìè, à êàêèå — îáúåê-

òèâíûìè?

2. Êàê ðàçëè÷àåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü â çàâèñèìîñòè îò ïîëíîòû

è êà÷åñòâà îïèñàíèÿ?

3. Êàêèå îñíîâíûå ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ íåîäíîçíà÷íîñòè âû

çíàåòå?

4. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ëèíãâèñòè÷åñêèõ è ôèçè÷åñêèõ íåîäíîçíà÷-

íîñòåé.

5. Êàê îïèñûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü ìàòåìàòè÷åñêè?

6. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ íåîïðåäåëåííî-

ñòåé äëÿ ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé.

49

7. Êîãäà â çàäà÷å ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðèìåíÿåòñÿ

ñòîõàñòè÷åñêîå îïèñàíèå ïåðåìåííûõ?

8. Ïðîâåäèòå àíàëèç âîçìîæíîé êëàññèôèêàöèè çàäà÷ îïòèìèçà-

öèè â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè.

9. Êàêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè âû

çíàåòå?

10.  êàêèõ ñëó÷àÿõ ïðèìåíÿþòñÿ ïðÿìûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷

ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè?

11. Êàêèå îñíîâíûå ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè â çà-

äà÷àõ ÌÄÒÒ?

12. ×òî ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ â çàäà÷å ñòîõàñòè÷åñêîé

îïòèìèçàöèè?

13. Ñôîðìóëèðóéòå âåðáàëüíî îáùóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è ñòîõàñòè-

÷åñêîé îïòèìèçàöèè.

14. Êàêèå ìîäåëè çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè âàì èçâåñò-

íû? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.

15. Êàê ôèçè÷åñêàÿ ñóùíîñòü çàäà÷è âëèÿåò íà âûáîð ìîäåëè â çàäà-

÷å ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè?

16. Êàê è â êàêèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî îöåíèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ

ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ

óñëîâèé â ñòîõàñòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå êðàåâîé çàäà÷è?

17. Êàê è â êàêèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ñâåñòè çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòè-

ìèçàöèè ê çàäà÷å íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ?

18.  ÷åì ñóùíîñòü ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðè-

ìåíòîâ?

19. Êàê ïðèìåíÿòü ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ ýêñïåðè-

ìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîäåëåé ñòîõàñòè-

÷åñêîé îïòèìèçàöèè?

20. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó.

21. Ñôîðìóëèðóéòå ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà, ó÷èòûâàþùåå

ñòîõàñòè÷åñêèé õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê è ïàðà-

ìåòðîâ ïðîöåññà (Ð-óñòîé÷èâîñòè).

22. Êàê ìîæíî îñëàáèòü êðèòåðèé (Ð-óñòîé÷èâîñòè)?

23. Êàêèå îñîáåííîñòè èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññîâ óïðó-

ãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ìåòàëëîâ (â ñòîõàñòè÷åñêîé

ïîñòàíîâêå)?

50

24. Êàê ìîæíî ñôîðìèðîâàòü êîìïëåêñíûé êðèòåðèé îïòèìàëüíî-

ñòè â çàäà÷å ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè?

25. Äàéòå îïðåäåëåíèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà è íå÷åòêîãî îòíîøå-

íèÿ.

26. Êàêèå èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ äëÿ ñðàâíåíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ

âû çíàåòå? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.

27. Ïðèâåäèòå îñíîâíûå äîñòîèíñòâà è íåäîñòàòêè äåòåðìèíèðîâàí-

íûõ, èíòåãðàëüíûõ è ñïåöèàëüíûõ èíäåêñîâ ðàíæèðîâàíèÿ.

Ãëàâà 2

ÏÐÈÊËÀÄÍÛÅ ÇÀÄÀ×È

ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ

Êîíêðåòèçèðóåì ïðåäñòàâëåííûå âûøå ïîñòàíîâêè çàäà÷è ñòîõàñ-

òè÷åñêîé îïòèìèçàöèè äëÿ íåêîòîðûõ òåðìîìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ

ïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ÌÄÒÒ èññëåäîâàíèå

ïðîöåññîâ îáðàáîòêè ìàòåðèàëîâ ÷àñòî ñâîäèòñÿ ê ñâÿçàííîé çàäà÷å òåð-

ìîóïðóãîïëàñòè÷íîñòè, ïîñòàíîâêà êîòîðîé ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå óðàâ-

íåíèé ðàâíîâåñèÿ, íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè, ãåîìåòðè÷åñêèõ

ñîîòíîøåíèé, îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé (ôèçè÷åñêèõ óðàâíåíèé), íà-

÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) â ýòîé

çàäà÷å ìîãóò áûòü ïàðàìåòðû è òèï îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé, ïàðà-

ìåòðû óðàâíåíèÿ íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå

íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.

Îòìåòèì, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè

óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå êðàåâóþ çàäà÷ó ÌÄÒÒ, âîéäóò â ïîñòàíîâêó

â âèäå îãðàíè÷åíèé òèïà ðàâåíñòâ.

Ïåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ êîìïëåêñíîãî êðèòåðèÿ îïòèìèçàöèè íåêî-

òîðûõ ïðîöåññîâ ÌÄÒÒ è àíàëèçó ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷.

2.1. Çàäà÷à çíàêîïåðåìåííîãî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî èçãèáà

Óêàçàííàÿ çàäà÷à âîçíèêàåò ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññîâ ïðàâêè

äëèííîìåðíûõ ïðîôèëåé, ðèõòîâêè ïðîâîëîêè, îêàëèíîëîìêè è äð. Ïî-

ñòàíîâêà, ìåòîäèêà è íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðàâêè

ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòàõ [20, 45, 49]. Ïðàâêà äëèííîìåðíûõ ïðîôèëåé

ïðîèçâîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííûì

óïðóãîïëàñòè÷åñêèì èçãèáîì ðîëèêàìè ðîëèêîïðàâèëüíîé ìàøèíû,

ðàñïîëîæåííûìè â øàõìàòíîì ïîðÿäêå, ïðè äâèæåíèè ïðîôèëÿ â ïðî-

äîëüíîì íàïðàâëåíèè.

×òîáû ïåðåéòè ê ïîñòàíîâêå çàäà÷è âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ

ïðàâêè â ñòîõàñòè÷åñêîì ñëó÷àå, íåîáõîäèìî ââåñòè íåêîòîðûå îïðåäå-

ëåíèÿ.

52

Ïîä ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì� áóäåì ïîíèìàòü ïðîöåññ ïðàâêè ïðè

ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Ñëó÷àéíûìè ïà-

ðàìåòðàìè ïðîöåññà ÿâëÿþòñÿ ïðåäåë òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà � s è íà÷àëü-

íàÿ èñêðèâëåííîñòü ïðîôèëÿ � 0 . Ñîâîêóïíîñòü ïðîöåññîâ ïðàâêè ïðè

� �� � �0 0 0

1� �i i, , � �� � �01� �

si

si, ñîñòàâëÿåò ïîäìíîæåñòâî Ai , à ñåìåéñòâî

ïîäìíîæåñòâ Ai îïðåäåëèò G. P — ýòî âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî

ñîáûòèÿ. Îãðàíè÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå

ïðîöåññ çíàêîïåðåìåííîãî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî èçãèáà, îãðàíè÷åíèÿ íà

ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ è ò. ä. Îãðàíè÷åíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ æå-

ñòêèìè (â íàøåé êëàññèôèêàöèè Î (À)) è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ,

îïèñûâàþùèå ïðîöåññ çíàêîïåðåìåííîãî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî èçãèáà,

îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ è ò. ä.

Âåêòîð óïðàâëåíèÿ x( )� ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàñòðîéêó ðîëèêîïðà-

âèëüíîé ìàøèíû (âåðòèêàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ðîëèêîâ); � �� �f x0 � �, —

ìîäóëü êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè ïðîôèëÿ.

Ïðè ðàçáèåíèè ìíîæåñòâà�íà ñîîòâåòñòâóþùèå ïîäìíîæåñòâà îá-

ëàñòè èçìåíåíèÿ� s è� 0 áûëè ðàçáèòû íà èíòåðâàëû, âåëè÷èíû êîòîðûõ

îïðåäåëÿëèñü èç óñëîâèÿ (1.22).

Òåïåðü çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðîöåññà ïðàâêè ìîæåò

áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Îïðåäåëèòü íàñòðîéêó ðîëèêîïðàâèëüíîé ìàøèíû, îáåñïå÷èâàþ-

ùóþ ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè ïðè çàäàííûõ îãðàíè÷å-

íèÿõ.

Ðàññìîòðèì îïðåäåëåíèå öåëåâîé ôóíêöèè.

Öåëåâûìè ôóíêöèÿìè äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîäåëåé áóäóò:

À-ìîäåëü — ìîäóëü êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè ïðîôèëÿ ïðè íàèáî-

ëåå âåðîÿòíûõ çíà÷åíèÿõ � s è � 0 . Ïðè ýòîì çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

îäíîýòàïíóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ çàäà÷ó ïåðñïåêòèâíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî

ïðîãðàììèðîâàíèÿ âèäà (Ö(À)–Î(À));

Ì-ìîäåëü — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé èñêðèâ-

ëåííîñòè ïðîôèëÿ. Ïîëó÷èëè îäíîýòàïíóþ çàäà÷ó ïåðñïåêòèâíîãî ñòî-

õàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ âèäà (Ö(Ì)–Î(.));

D-ìîäåëü — äèñïåðñèÿ ìîäóëÿ êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè ïðîôè-

ëÿ — (Ö(D)–Î(·));

Ð-ìîäåëü — âåðîÿòíîñòü ïðåâûøåíèÿ ìîäóëåì êîíå÷íîé èñêðèâ-

ëåííîñòè ïðîôèëÿ íåêîòîðîãî íàïåðåä çàäàííîãî çíà÷åíèÿ —

(Ö(Ð)–Î(·));

53

ÌÌ-ìîäåëü — ìàêñèìàëüíûé ìîäóëü êîíå÷íîé êðèâèçíû ïðîôèëÿ

ïðè âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ � s è � 0 –Ö(ÌÌ)–Î(·).

Îòìåòèì, ÷òî â êà÷åñòâå îãðàíè÷åíèé â çàâèñèìîñòè îò öåëåé èññëå-

äîâàíèÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà ëþáàÿ âîçìîæíàÿ ìîäåëü, ò. å. (·) � {À,

Ì, ÌÌ è ò. ä.}.

Îáû÷íî â ïðîöåññå ïðàâêè ïûòàþòñÿ äîñòè÷ü ìèíèìóìà ìîäóëÿ êî-

íå÷íîé èñêðèâëåííîñòè ïðè ìèíèìóìå ðàçáðîñà çíà÷åíèé ýòîãî ìîäóëÿ.

 ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàåò çàäà÷à òèïà — (Ö(Ì–D)–Î(·)).

Åñëè â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè âûáðàí êîìïëåêñíûé êðèòåðèé

îïòèìèçàöèè (ÊÊÎ), òî ïîëó÷èì îäíîýòàïíóþ çàäà÷ó ïåðñïåêòèâíîãî

ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ âèäà (Ö(ÊÊÎ)–Î(·)).

 ñëó÷àå, êîãäà èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò âûáîð ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ

ìîäóëÿ êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè ïðîôèëÿ (êàê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû),

ïîëó÷èì çàäà÷ó òèïà (Ö(�)–Î(•)).

Îòìåòèì, ÷òî êîíêðåòíûé âèä öåëåâûõ ôóíêöèé äëÿ êîíêðåòíûõ òè-

ïîâ ìîäåëåé îïèñàí âûøå.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è âûáîðà ðàöèî-

íàëüíûõ ðåæèìîâ íàñòðîéêè ðîëèêîïðàâèëüíûõ ìàøèí ïðè ñòîõàñòè÷å-

ñêîì ðàñïðåäåëåíèè ïðåäåëà òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà è ìîäóëÿ íà÷àëüíîé

èñêðèâëåííîñòè ïðîôèëÿ.

Ðåàëüíûå ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü äëÿ ïðîöåññà ïðàâêè â ïëîñêîñòè

ìàêñèìàëüíîé æåñòêîñòè çàêàëåííûõ ðåëüñîâ Ð65 íà 6-ðîëèêîâîé ðîëè-

êîïðàâèëüíîé ìàøèíå (øàã ìåæäó ðîëèêàìè 0,6 ìåòðîâ, â âåðõíåì ðÿäó

òðè ðîëèêà, â íèæíåì — òðè, â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè ìîãóò ïåðåìå-

ùàòüñÿ òîëüêî ðîëèêè âåðõíåãî ðÿäà, ò. å. âòîðîé, ÷åòâåðòûé, øåñòîé).

Ñòîõàñòè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè ñ÷èòàëèñü ïðåäåë òåêó÷åñòè ìàòåðèà-

ëà — � s è ìîäóëü íà÷àëüíîé èñêðèâëåííîñòè ïðîôèëÿ — � 0 .

Ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ ïðàâêè çà-

êàëåííîãî ðåëüñà Ð65 â ïëîñêîñòè ìàêñèìàëüíîé æåñòêîñòè äëÿ ðàçëè÷-

íûõ ìîäåëåé ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâå-

äåíû â òàáë. 2.1. Îòìåòèì, ÷òî â ïÿòîì ñòîëáöå ïðèâåäåíî ìàòåìàòè÷å-

ñêîå îæèäàíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè ðåëüñà, à â øåñòîì —

åå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûå ðå-

çóëüòàòû.

Çíà÷åíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé êðèâèçíû ïðè ðåæèìå R(À)

0 15 10 3 1, * � �ì , à ïðè ðåæèìàõ R (Ì) è R (ÌÌ) (äëÿ íàèáîëåå âåðîÿòíûõ

çíà÷åíèé� s è� 0 ) 0 28 10 3 1, * � �ì è 0 32 10 3 1, * � �ì ñîîòâåòñòâåííî. Îäíà-

54

êî ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ íàèìåíüøåé

êðèâèçíû ðåæèìû R(Ì) è R(ÌÌ) óñòóïàþò ðåæèìó R (À), îíè ïðåäïî÷-

òèòåëüíåå, ò. ê. ó÷èòûâàþò âåñü ðàçáðîñ çíà÷åíèé � s è � 0 .

Ò à á ë è ö à 2 . 1

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðàâêè ðåëüñà Ð65

â ïëîñêîñòè ìàêñèìàëüíîé æåñòêîñòè

Êðèòåðèè (ìîäåëè) x2, ìì x4, ìì x6, ìì� �m�îñò 103,

ì�1S 103, ì�1

À –13,9 –7,7 –5,6 0,15 –

Ì –12,1 –6 –3,2 0,28 0,06

ÌÌ –12 –5,7 –4,3 0,32 0,07

D –12,5 –4,5 –4 2,4 0,018

P –11 –5 –5 � = 0,28

I. MD –12,3 –6,3 –3,3 0,3 0,02

II. 1D –12,5 –4,5 –4

II. 2M –11,1 –3,3 –3,9 0,16 0,014

ËÊ –12 –5,2 –2,7 0,27 0,4

ÊÊÎ1 –12,4 –5,3 –3,3 0,48 0,32

ÊÊÎ2 –11,3 –4,7 –4 0,14 0,47

ÊÊÎ3 –12,2 –6 –3,4 0,4 0,33

ÑÂ –12 –3,5 –3,2 0,39 0,5

Õè-êâàäðàò, � �2 10 2851 01� �, , ( , ) –11,4 –3,5 –3,1 0,17 0,2

Ðåæèì R (D) ïîçâîëÿåò ìèíèìèçèðîâàòü ðàçáðîñ çíà÷åíèé ìîäóëÿ

îñòàòî÷íîé êðèâèçíû, õîòÿ àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ïðè ýòîì íà ïîðÿäîê

âûøå, ÷åì â ðåæèìàõ R (Ì) è R (ÌÌ). Ïðè ïîëó÷åíèè ðåæèìà R (P) ìè-

íèìèçèðîâàëàñü âåðîÿòíîñòü ïðåâûøåíèÿ ìîäóëåì îñòàòî÷íîé êðèâèç-

íû çíà÷åíèÿ 0 28 10 3 1, * � �ì .  êà÷åñòâå ïðîñòåéøåé êîìáèíàöèîííîé

ìîäåëè ðàññìàòðèâàëàñü MD-ìîäåëü. Ýòîò ðåæèì (R (ÌD)) îáåñïå÷èâà-

åò ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé êðèâèçíû 0 3 10 3 1, * � �ì ïðè ðàç-

áðîñå 0 2 10 4 1, * � �ì . Îòìåòèì, ÷òî öåëüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðè ïðèìåíå-

íèè ÌD-ìîäåëè áûëî îáåñïå÷åíèå ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ êîíå÷íîé èñ-

êðèâëåííîñòè ïðè åå ìèíèìàëüíîì ðàçáðîñå. Ìîæíî ïðåäëîæèòü åùå

55

îäèí ïîäõîä äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ ýòîé öåëè. Ïðàâêó íåîáõîäèìî âåñòè

â äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ìèíèìàëüíîå çíà-

÷åíèå ðàçáðîñà ìîäóëÿ êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè (D-ìîäåëü), à íà âòî-

ðîì ýòàïå îáåñïå÷èòü ìèíèìàëüíîå ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé

êðèâèçíû (Ì-ìîäåëü). Ïðè ýòîì ðàçáðîñ êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè íà

ïåðâîì ýòàïå ÿâëÿëñÿ ðàçáðîñîì íà÷àëüíîé èñêðèâëåííîñòè äëÿ âòîðîãî

ýòàïà. Áûëè ïîëó÷åíû ðåæèìû R(1D) è R(2Ì). Ïðè òàêîì ïîäõîäå ñðåä-

íåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé êðèâèçíû ñîñòàâèëî 0 16 10 3 1, * ì ïðè

ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì îòêëîíåíèè 0 14 10 4 1, * ì , ò. å. âòîðîé ïîäõîä çíà-

÷èòåëüíî óëó÷øàåò êà÷åñòâî ïðàâêè. Íà ðèñ. 2.1 ïðåäñòàâëåíî ãðàôè÷å-

ñêîå èçîáðàæåíèå íåêîòîðûõ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Íà ïîçèöèÿõ

à è á ñõåìàòè÷íî ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå çíà÷åíèé èñõîäíûõ õàðàêòå-

ðèñòèê (� S è � 0 ). Çàøòðèõîâàííàÿ çîíà õàðàêòåðèçóåò îáëàñòü íàèáîëåå

âåðîÿòíîãî íàõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê. Íà ïîçèöèÿõ

â, ã, ä, å — ðàñïðåäåëåíèå çíà÷åíèé ìîäóëÿ êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè

äëÿ Ì-ìîäåëè, D-ìîäåëè, ÌD-ìîäåëè è ðåçóëüòèðóþùåå çíà÷åíèå ìîäó-

ëÿ êîíå÷íîé êðèâèçíû ïîñëå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ D- è Ì-ìî-

äåëåé. ×èñëà ñëåâà îò ðèñóíêîâ ïîêàçûâàþò äîëåâîå ñîäåðæàíèå ñîâî-

êóïíîñòè çíà÷åíèé ðàññìàòðèâàåìûõ õàðàêòåðèñòèê âî âñåì âîçìîæíîì

äèàïàçîíå ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ïóñòü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ

öåëåâûõ ôóíêöèé äëÿ îòäåëüíî âçÿòûõ ìîäåëåé ñ êîýôôèöèåíòàìè çíà-

÷èìîñòè � 1 = 0,8, � 2 = 0,6, � 3 = 0,7 è � 4 = 0,3 äëÿ M-, D-, P- è MM-ìîäå-

ëåé ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì áûë ïîëó÷åí ðåæèì R (ËÊ), îáåñïå÷èâàþ-

ùèé ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé èñêðèâëåííîñòè 0 27 10 3 1, * ì

ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì îòêëîíåíèè 0 4 10 3 1, * ì .

Óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî ïðåäëàãàåòñÿ ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ êîìïëåêñ-

íîãî êðèòåðèÿ îïòèìèçàöèè (ÊÊÎ), êîòîðûé îïèðàåòñÿ íà ïðåäïîñûëêó

î òîì, ÷òî ýëåìåíòàìè èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ íå ÷èñëà, à íå÷åòêèå ìíî-

æåñòâà. Ïðèìåíåíèå òàêîãî ïîäõîäà ïîçâîëÿåò îäíîâðåìåííî ó÷èòûâàòü

ðàçëè÷íûå êðèòåðèè îïòèìèçàöèè, ïðè÷åì çíà÷èìîñòü êàæäîãî èç íèõ

ìîæíî ðåãóëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðèíàä-

ëåæíîñòè.

 èññëåäóåìîì ïðèìåðå ÊÊÎ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷åòêîå ìíîæå-

ñòâî À, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ Ì-, D-, P- è ÌÌ-ìîäåëè ñ êîýô-

ôèöèåíòàìè çíà÷èìîñòè � 1 = 0,8, � 2 = 0,6, � 3 = 0,7 è � 4 = 0,3.

56

57

Ðèñ. 2.1. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå íåêîòîðûõ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ

Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — óêàçàííîå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî A. Äëÿ ñðàâíå-

íèÿ èñïîëüçîâàëñÿ èíäåêñ H A B1( , ) (1.58). Ïðè ýòîì áûë ïîëó÷åí ðåæèì

R (ÊÊÎ1). Ðåæèì R (ÊÊÎ2) ïîëó÷èëè ïðè èñïîëüçîâàíèè èíäåêñà

H A Br r( , ) (1.67), à ðåæèì R (ÊÊÎ3) — ïðè èñïîëüçîâàíèè èíäåêñà

H A B5 ( , ) (1.69).

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ H A B1( , ) è H A Br r( , )

ÿâëÿþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûìè èíäåêñàìè, ïðè÷åì èíäåêñ H A B1( , ) âû-

äåëÿåò â êà÷åñòâå íàèìåíüøåãî òî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, ó êîòîðîãî çíà-

÷åíèå íîñèòåëÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ôóíêöèè

ïðèíàäëåæíîñòè, ìèíèìàëüíî, à èíäåêñ H A Br r( , ) ó÷èòûâàåò íå òîëüêî

çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè, íî è âåëè÷èíó íîñèòåëÿ. Èíäåêñ

H A B5 ( , ) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì èíäåêñîì, ò. å. îí ó÷èòûâàåò âåñü äèà-

ïàçîí èçìåíåíèÿ íîñèòåëÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà.

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà öåëåâàÿ ôóíêöèÿ —

ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (ÑÂ) A, ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿ-

åòñÿ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ

(� S è � 0 ). Äëÿ ñðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàëñÿ èíäåêñ H A BP1 ( , ) (1.71). Ïðè

ýòîì áûë ïîëó÷åí ðåæèì R (ÑÂ).

×àñòî èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ïîëó÷åíèå çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðå-

øåíèÿ è îöåíêà äîñòîâåðíîñòè ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ. Ïðèìåì â êà÷åñòâå

öåëåâîé ôóíêöèè êðèòåðèé õè-êâàäðàò (1.73), ïîçâîëÿþùèé ïðîâåðèòü

ãèïîòåçó î íîðìàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ. Ïîëó÷åííûé ðåæèì

R(�2) îáåñïå÷èâàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ êîíå÷íîé êðèâèçíû

0 17 10 3 1, * � �ì ñî ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì 0 2 10 3, * � ì. Ïðè

ýòîì çíà÷åíèå� 2 ñîñòàâèëî 10,2851. Ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì,

÷òî íàéäåííîå óïðàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò ïðèåìëåìîñòü âûäâèíóòîé íà-

ìè ãèïîòåçû î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåøåíèÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìî-

ñòè 0,1.

2.2. Çàäà÷à îõëàæäåíèÿ äëèííîìåðíîãî ïðîôèëÿ

Ïîñëå ïðîêàòêè äëèííîìåðíûå ïðîôèëè îõëàæäàþòñÿ. Îõëàæäåíèå

ìîæåò áûòü êàê åñòåñòâåííûì, òàê è ïðèíóäèòåëüíûì.

Äëÿ èññëåäóåìîãî ïðîöåññà ïîä ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì � ïîíèìà-

åòñÿ ïðîöåññ îõëàæäåíèÿ ïðîôèëÿ ïðè êîíêðåòíûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ èñ-

õîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè â ýòîé çàäà÷å ìîæíî ñ÷è-

58

òàòü óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü ìàòåðèàëà c, óäåëüíûé âåñ ìàòåðèàëà � è êî-

ýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè �. Ñîáûòèå Ai — ýòî ïîäìíîæåñòâî �,

êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ïðîöåññîâ îõëàæäåíèÿ ïðè

çíà÷åíèÿõ c, ,� � èç çàäàííûõ èíòåðâàëîâ. Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíûìè ïà-

ðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ íå äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ c, ,� �, à ñîîòâåòñòâóþùèå

ôóíêöèè c T T T( ), ( ), ( )0 0 0� � .

 âåêòîð óïðàâëåíèÿ x( )� âîéäóò âðåìÿ ïðèíóäèòåëüíîãî ëîêàëüíî-

ãî îõëàæäåíèÿ ïðîôèëÿ , êîýôôèöèåíò òåïëîîòäà÷è �( )t è ïàðàìåòðû,

õàðàêòåðèçóþùèå êîíôèãóðàöèþ çîíû ïðèíóäèòåëüíîãî îõëàæäåíèÿ.

 îãðàíè÷åíèÿ âîéäóò óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå çàäà÷ó îõëàæäåíèÿ

ïðîôèëÿ, è òåõíîëîãè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà âðåìÿ îõëàæäåíèÿ, êîýôôè-

öèåíò òåïëîîòäà÷è è ïðåäåëüíóþ çîíó îõëàæäåíèÿ; f x0 ( ( ), )� � — êðè-

òåðèé îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷å îõëàæäåíèÿ ãîðÿ÷åêàòàíîãî ïðîôèëÿ, êî-

òîðûé áóäåò îïðåäåëåí íèæå. Ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ Ai îïðåäåëèò G,

Pi — ýòî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Ai .

Îãðàíè÷åíèÿ â çàäà÷å îõëàæäåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó

óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïðîöåññ îõëàæäåíèÿ, îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðà-

ìåòðû óïðàâëåíèÿ, ò. å. òåõíîëîãè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà âðåìÿ îõëàæäå-

íèÿ, êîýôôèöèåíò òåïëîîòäà÷è è ïðåäåëüíóþ çîíó îõëàæäåíèÿ.

Îñòàëîñü îïðåäåëèòü f x0 ( ( ), )� � è âèä öåëåâûõ ôóíêöèé äëÿ ðàç-

ëè÷íûõ ìîäåëåé. Ïðè îõëàæäåíèè ãîðÿ÷åêàòàíûõ ïðîôèëåé îñíîâíîé

öåëüþ ÷àùå âñåãî ÿâëÿåòñÿ ñíèæåíèå óðîâíÿ îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé.

Îñíîâíîé ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ è ðîñòà îñòàòî÷íûõ íàïðÿæå-

íèé, êàê èçâåñòíî, ÿâëÿåòñÿ íåñîâìåñòíîñòü óïðóãèõ äåôîðìàöèé. Âû-

ïîëíåíèå óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè ýêâèâàëåíòíî òðåáîâàíèþ ðàâåíñòâà íó-

ëþ ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà Ðè÷÷è (Rkl ):

R k lkl ije( ) , , , ,� � �0 1 3 (2.1)

ãäå

� �22

2 2 2 2

Rx x x x x x

kl ije mn

m l

lm

k m

km

l m

k�

� � � ���� �

��� �

��� �

�� l

m mx x� �. (2.2)

Ââåäåì ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî êîìïîíåíòû òåíçîðà ïîëíûõ äå-

ôîðìàöèé � ij ñîñòîÿò èç óïðóãèõ � ije , ïëàñòè÷åñêèõ � ij

p è òåìïåðàòóðíûõ

� �tij ñîñòàâëÿþùèõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîëíûå äåôîðìàöèè âñåãäà ñîâìåñò-

íû (èì ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîå ïîëå ïåðåìåùåíèé), óñëîâèå (2.2)

âûïîëíÿåòñÿ, åñëè

59

� �Rkl ij

p tij� � �� � 0. (2.3)

Îáîçíà÷èì ÷åðåç ~� ij ñóììó ïëàñòè÷åñêîé � ije è ïîëíîé òåìïåðàòóð-

íîé �tij� ñîñòàâëÿþùåé äåôîðìàöèè ïðè îõëàæäåíèè ïðîôèëÿ äî òåìïå-

ðàòóðû ñðåäû Tcp :

� ��TT

T

T

T dT� � �

ñð

, (2.4)

(�T T( ) — êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ìàòåðèàëà), ò. å.

~� � �ij ij

p Tij� � � . (2.5)

Ïðè ýòîì ~� ij îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñâÿçàííîé êðàåâîé çàäà÷è òåð-

ìîóïðóãîïëàñòè÷íîñòè. Óñëîâèå îòñóòñòâèÿ îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé

â ïîëíîñòüþ îõëàæäåííîì (äî òåìïåðàòóðû îêðóæàþùåé ñðåäû) ïðîôè-

ëå (2.3) âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè êîìïîíåíòû ~� ij ÿâëÿþòñÿ ïî-

ñòîÿííûìè èëè ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò.

Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè ñòåïåíè íåñîâìåñòíîñòè ñóììû ïëàñòè-

÷åñêèõ è òåìïåðàòóðíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà äåôîðìàöèé ââåäåì ãèëü-

áåðòîâî ïðîñòðàíñòâî E ñèììåòðè÷íûõ äâóõâàëåíòíûõ òåíçîðîâ

Ý Ý e eij i j� ; Ý Ýij ji� .

Ïóñòü E1 — ïîäïðîñòðàíñòâî â E, ïðè÷åì êîìïîíåíòû� �

Ýij

1òåíçîðîâ

èç E1 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè. Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäå-

íèé â E íåîáõîäèìî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó [6, 14, 37].

Ïóñòü Ý1 è Ý2 — ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà E. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

îáîçíà÷èì êàê � �Ý Ý1 2, , òîãäà íîðìà ýëåìåíòà Ý îïðåäåëèòñÿ ñîîòíîøå-

íèåì

� �Ý Ý Ý� ,1

2 . (2.6)

Êàæäûé ýëåìåíò Ý E� åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèì ñóììîé

Ý Ý Ý� �( ) ( )1 2 , (2.7)

ãäå� � � �

Ý E Ý1

1

2� , îðòîãîíàëüíî ëþáîìó ýëåìåíòó èç E1, ò. å.� �

Ý np ÝE

1

1� ; E1 — çàìûêàíèå E1; E E2 1� / — îðòîãîíàëüíîå äîïîëíå-

íèå ê E1;� �

Ý E2

2� .

60

Ïîñòðîèì òåïåðü â ïîäïðîñòðàíñòâåE1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ (îí

æå áóäåò áàçèñîì è â E1). Äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóåì êîìïîíåíòû íåêîòî-

ðûõ òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ u x x xi ( , , )1 2 3 . Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìó âåêòîðó

u ei i ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òåíçîð Ý(1) ñ êîìïîíåíòàìè

� �Ý u uij i j j i( )

, ,1 1

2� � , (2.8)

óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì ñîâìåñòíîñòè. Îáðàòíî, êàæäîìó òåíçîðó

Ý(1), óäîâëåòâîðÿþùåìó óñëîâèÿì ñîâìåñòíîñòè, ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîò-

âåòñòâèå íåêîòîðûé òðåõìåðíûé âåêòîð u (èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ×åçàðî).

Ïðèìåì â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ ui ýëåìåíòû íåêîòîðîé ëèíåéíî íåçà-

âèñèìîé ñèñòåìû ôóíêöèé ui

k( ) :

u a ki

k

i

k k( ) ( ) ( ) , ( , , .. . )� �� 1 2 (ïî k íå ñóììèðîâàòü), (2.9)

â ñîîòâåòñòâèå êîòîðûì íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü ýëåìåíòû òåíçîðà Ý(1).

Óðîâåíü íåñîâìåñòíîñòè îñòàòî÷íûõ óïðóãèõ äåôîðìàöèé (à ýòî àíà-

ëîãè÷íî, êàê ïîêàçàíî âûøå, óðîâíþ íåñîâìåñòíîñòè ~� � �ij ij

p Tij� � ) îï-

ðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì òåíçîðà óïðóãèõ äåôîðìàöèé Ýå îò ïîäïðîñòðàíñò-

âà ñèììåòðè÷íûõ òåíçîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ñîâìåñòíîñòè (2.3)

(äðóãèìè ñëîâàìè — êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà E äî

ïîäïðîñòðàíñòâà E1). Ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ íåñîâìåñòíî-

ñòè ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ îöåíêà äëÿ îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé:

� � � �� �p dvE

Ý Ýij ij

V

k

N

k��

�

����

�

�

�������

� � ��

1

21

1 2, (2.10)

ãäåV — èññëåäóåìàÿ îáëàñòü, � ij — îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ, k — ìî-

ìåíò îêîí÷àíèÿ ïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ èññëåäóåìîé îáëàñòè,

Ý — òåíçîð ñ êîìïîíåíòàìè ~� ij , Ý(1N) — N-å ïðèáëèæåíèå ïðîåêöèè òåí-

çîðà ~� íà E E1 , — ìîäóëü óïðóãîñòè, � — êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà.

Ðàññìîòðèì ìåòîäèêó îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ~ ( )� ij

N1 òåíçîðà

� �� �ÝN

k

1 è ïðèâåäåì êîíå÷íûå ôîðìóëû äëÿ îöåíêè óðîâíÿ íåñîâìåñò-

íîñòè ñóììû ïëàñòè÷åñêîé è òåìïåðàòóðíîé êîìïîíåíòû � 33 òåíçîðà äå-

ôîðìàöèé, ò. ê. èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè îõëàæäåíèè ãîðÿ÷å-

êàòàíûõ ïðîôèëåé îñòàòî÷íûå ïðîäîëüíûå íàïðÿæåíèÿ çàâèñÿò ãëàâíûì

61

îáðàçîì îò êîìïîíåíòû � 33 òåíçîðà äåôîðìàöèé (ïðîäîëüíûå êîìïîíåí-

òû íà ïîðÿäîê âûøå ïîïåðå÷íûõ).

Êîýôôèöèåíòû ~ ( )� ij

N1 òåíçîðà� �� �Ý

N

k

1 îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì

îáðàçîì:

~ ( ) ( )� � �ij k n ij

n

n

N

��� ,

1

(2.11)

ãäå � ij — êîýôôèöèåíòû îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ! ( )n â ïîäïðî-

ñòðàíñòâå E1. Îòìåòèì, ÷òî ! ( )n ÿâëÿåòñÿ òàêæå áàçèñîì â E1,� n — êîýô-

ôèöèåíòû Ôóðüå â ðàçëîæåíèè np ÝE1

~ïî áàçèñó � ( )n .

Òàêèì îáðàçîì, îöåíêó (2.19) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

� �pE

Ý Ý n

n

N

k

��

�)

*++

,

-..� �

�1 2

2

1

1

2

��

, (2.12)

èëè

� �pE p T

nn

n

N

��

� ��

�����

�

�����

)

*

+��1 2

33 33

1

2

�� � � � �

�

( )

++

,

-

.

.

.

1

2

. (2.13)

Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ñ÷åòíîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà.  êà-

÷åñòâå ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ôóíêöèé � ( )k âûáåðåì ôóíêöèè:

k

x x x x x x x x x x x xk

1 2 3 4 5 6

3 3 1 3 2 3 12

3 22

3 2 1

�

��(2.14)

Èñïîëüçóÿ (2.8) è (2.9), ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðÿäó (2.14) ëèíåéíî íå-

çàâèñèìûå òåíçîðû qk (ò. ê. óðîâåíü îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé çàâèñèò ëèøü

îò êîìïîíåíò, ñîäåðæàùèõ èíäåêñ 3, êîìïîíåíòû�( )k , íå ñîäåðæàùèå èí-

äåêñ 3, â äàëüíåéøåì îïóñêàþòñÿ). Ïðè èñïîëüçóåìîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå

êîîðäèíàò ñ ôèêñèðîâàííûìè áàçèñíûìè âåêòîðàìè òåíçîðû qk îïðåäåëÿ-

þòñÿ ìàòðèöàìè; äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (ïðèìåì k � 1 3, ) ìîæíî çàïè-

ñàòü:

q1

0 0 0

0 0 0

0 0 1

�

)

*

++++

,

-

.

.

.

., q

x

2

1

0 0 0

0 0 0

0 0

�

)

*

++++

,

-

.

.

.

., q

x

3

2

0 0 0

0 0 0

0 0

�

)

*

++++

,

-

.

.

.

.. (2.15)

62

Ñèñòåìà (2.15) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé. Èñïîëüçóÿ åå, ìîæíî

ïîñòðîèòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ � ( )n , äëÿ ÷åãî âîñïîëüçóåìñÿ îáû÷-

íûì ïðîöåññîì îðòîíîðìèðîâàíèÿ:

f q fn n nk k

k

n

� ��

�

��1

1

, (2.16)

� �� nk

n k

k

q f

f�

,

2(ïî n è k íå ñóììèðîâàòü) (2.17)

� ��

n n

n

f

f� . (2.18)

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ àíàëèçèðóåìûõ çàäà÷ îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòåðæåíü äëèíîé 2� è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷å-

íèÿ F, ïðè÷åì ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå íåïðàâèëüíîãî

ìíîãîóãîëüíèêà. Âûêëàäêè ïðîâîäèëèñü äëÿ òðåóãîëüíèêà (èñïîëüçîâà-

íî òî, ÷òî ëþáîé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî òðå-

óãîëüíèêîâ).

Äëÿ k = 1 òåíçîð q1 íîðìèðóåòñÿ ââåäåíèåì ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ

dx dx dx1 2 3

1

2

�

�

�

����

�

�

�����

�

.

Äëÿ äàëüíåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîíàäîáèòñÿ âû÷èñëåíèå íåêîòî-

ðûõ èíòåãðàëîâ. Èõ âû÷èñëåíèå äîñòàòî÷íî ïðîñòî, îïóñòèì åãî è ââå-

äåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

Q dF Q x dF Q x dF Q x dF

Q x dF

F F F F

F

0 1 1 22

3 12

4 22

� � � �

�

, , , ,

, Q x x dF Q x dF

Q x dF Q x x dF Q x

F F

F

5 1 2 6 23

7 23

8 12

2 9 1

� �

� � �

, ,

, , x dF

FF

22 .

(2.19)

Òîãäà

dx dx dx Q1 2 3 02

�

� � . (2.20)

63

Êîìïîíåíòà � ( )1 â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.16)–(2.18) èìååò âèä

fQ

fQ

dx dx dx1

0

1

2

0

1 2 3

1

2

1

21�

�

!!!!

"

#

$$$$

� �� �

0 0 0

0 0 0

0 0 1

,

� �

�

�

�

�

!!!!

"

#

$$$$

,

.pQ

1

0

1

2�

0 0 0

0 0 0

0 0 1

(2.21)

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ îñòàëüíûå áàçèñíûå òåíçîðû � ( )2 . Òàê,

äëÿ êîìïîíåíòû � ( )2 ïîëó÷àåì:

� �

� �

q fQ

Q

q f

f QQ

f

xQ

Q

2 1

0

1

21

2 1

1

20

1

2

11

2

2

0 0 0

0 0 0

0 0

, ,

,,

�

� �

�

�

��

2

2

2

11

2

2

2 2

�

!!!!!!

"

#

$$$$$$

� �

�����

�

�����

��, f xQ

QdF

F

� � QQ

Q3

12

0

�

�����

�

�

�����.

Îáîçíà÷èì f 2 ÷åðåç Q10 , òîãäà

� ��

2

10

11

0

10 0 0

0 0 0

0 0

�

�

!!!!!!

"

#

$$$$$$

Qx

Q

Q

. (2.22)

Îïðåäåëèì � ( )3 :

� ( )3

10

1 12 11

10 0 0

0 0 0

0 0

�

�

!!!!

"

#

$$$$Q

x x Q Q2

, (2.23)

ãäå

64

QQ

QQ Q

Q

Q

Q

Q

11

102 5

1 2

0

1

0

2� �

�

�����

�

�������

�����

�

�����

�,

12

102 5

1 2

0

13 4 12 5 12

2

2 2

� ��

�����

�

�����

� � �

�

�

QQ

Q Q

Q

Q Q Q Q Q

,

� �23 11 2 11 12 1 11 02 2Q Q Q Q Q Q Q Q� � � .

Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷èëè îðòîíîðìèðîâàí-

íûé áàçèñ �(1), �(2), �(3). Èìåÿ ñ÷åòíûé (èëè êîíå÷íûé) îðòîíîðìèðîâàí-

íûé áàçèñ, ïî ôîðìóëå (2.13) ìîæíî îöåíèòü óðîâåíü òåðìè÷åñêèõ îñòà-

òî÷íûõ íàïðÿæåíèé. Îáîçíà÷èì

� � � �Q dFp Tn

n

nF

14 33 33

1

32

1

2

� � �)

*++

,

-..

)

*

+++

,

-

.

.

.�� � � � ( ) , òîãäà

pE

Q��1 2

14�

. (2.24)

Äëÿ óòî÷íåíèÿ ðåøåíèÿ âîçüìåì øåñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíê-

öèé � k (2.14).

Ïîëó÷èì:

q q

x

1 2

1

0 0 0

0 0 0

0 0

�

)

*

++++

,

-

.

.

.

.�

)

*

++++

,

-

.

.

.

.

0 0 0

0 0 0

0 0 1

, ,

0 0 0

0 0 0

0 0

,q

x

q

x

3

2

4

12

0 0 0

0 0 0

0 0

�

)

*

++++

,

-

.

.

.

.

�

)

*

++++

,

-

.

.

.

.�

)

*

++++

,

-

.

.

.

.�

)

*

++, ,q

x

q

x x

5

22

6

1 2

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0++

,

-

.

.

.

..

(2.25)

Ïðîâåäÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, àíàëîãè÷íûå îïèñàííûì âûøå, ïîëó÷èì

pE

Q��1 2

15�

,

ãäå

� � � �Q dFp T

n

n

nF

15 33 33

1

62

� � ��

�����

�

�����

)

*++

,

-..

)

* �� � � � +

++

,

-

.

.

.

1

2

.

65

Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ãîðÿ÷åêàòàíîãî

ïðîôèëÿ — ïðÿìîóãîëüíèê, âñå âû÷èñëåíèÿ àíàëîãè÷íû, îäíàêî âèä

ôóíêöèîíàëîâ Q14 è Q15 çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ.

Äàëüíåéøåå óòî÷íåíèå îöåíêè óðîâíÿ íåñîâìåñòèìîñòè ñóììû ïëà-

ñòè÷åñêèõ è òåìïåðàòóðíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà äåôîðìàöèé íå ïðîâîäè-

ëîñü, ò. ê. â äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîëåé äåôîðìàöèè,

ïðè÷åì ïîñëåäíèå èñ÷åðïûâàþòñÿ òîëüêî ÷ëåíàìè íóëåâîãî è ïåðâîãî ïî-

ðÿäêà â ðàçëîæåíèè (2.11). Ýòîò ðåçóëüòàò áûë ïîäòâåðæäåí è ïðîâåðåí

ðàñ÷åòàìè. Íà ðèñ. 2.2 ïðèâåäåíà îöåíêà íåñîâìåñòíîñòè ñóììû òåìïåðà-

òóðíûõ è ïëàñòè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ � 33 , îïðåäåëÿåìàÿ ïî íàïðÿæåíèÿì

(1), ïðè àïïðîêñèìàöèè ~� 33 áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè â âèäå êîíñòàíò (2)

è â âèäå ëèíåéíûõ ôóíêöèé (3) äëÿ ðåññîðíîé ïîëîñû 45*6.

Òåïåðü â êà÷åñòâå f x0 ( ( ), )� � ìîæíî âûáðàòü p , êîòîðàÿ îïðåäåëÿ-

åòñÿ ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.10).

Êîíêðåòíûé âèä öåëåâûõ ôóíêöèé â çàäà÷å ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìè-

çàöèè ïðîöåññà îõëàæäåíèÿ ãîðÿ÷åêàòàíûõ ïðîôèëåé ñòðîÿò èñõîäÿ èç

ðåàëüíûõ öåëåé. Òàê, íàïðèìåð, åñëè èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò âûáîð óñëî-

âèé îõëàæäåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèé ìèíèìàëüíûé óðîâåíü îñòàòî÷íûõ

íàïðÿæåíèé ïðè âñåì âîçìîæíîì ðàçáðîñå ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ, ïîëó-

÷èì Ì-ìîäåëü (Ö (Ì)). Åñëè íàñ èíòåðåñóåò îäíîçíà÷íîñòü (îäíîòèï-

íîñòü) óðîâíÿ è ðàñïðåäåëåíèÿ îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé äëÿ âñåãî ðàç-

áðîñà ñëó÷àéíûõ èñõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê — ïåðåéäåì ê D-ìîäåëè (Ö

(D)). Ïðè íåîáõîäèìîñòè ïîëó÷åíèÿ òàêèõ ïàðàìåòðîâ îõëàæäåíèÿ, êî-

òîðûå îáåñïå÷èëè áû ìèíèìàëüíûé óðîâåíü îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé

ïðè íàèáîëåå íåáëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ îõëàæäåíèÿ, çàäà÷à ñâîäèòñÿ

ê ÌÌ-ìîäåëè (Ö (ÌÌ)). Åñëè íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü âåðîÿòíîñòü

òîãî, ÷òî óðîâåíü îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé â íåêîòîðîé òî÷êå (èëè íåêî-

òîðûõ òî÷êàõ) ñå÷åíèÿ ïðîôèëÿ íå ïðåâûñèò íàïåðåä çàäàííîå çíà÷åíèå,

ïîëó÷èì Ð-ìîäåëü (Ö (Ð)).

Åñëè â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè âûáðàí êîìïëåêñíûé êðèòåðèé êà-

÷åñòâà (ÊÊÎ), ïðè÷åì çíà÷èìîñòü êàæäîãî èç êðèòåðèåâ îïðåäåëåíà ýêñ-

ïåðòàìè, òî ïîëó÷èì îäíîýòàïíóþ çàäà÷ó ïåðñïåêòèâíîãî ñòîõàñòè÷å-

ñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ âèäà — (Ö(ÊÊÎ)–Î(·)), ãäå (·) � {À, Ì, ÌÌ

è ò. ä.}.

 ñëó÷àå, êîãäà èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò âûáîð ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ

óðîâíÿ íåñîâìåñòíîñòè ñóììû ïëàñòè÷åñêèõ è òåìïåðàòóðíûõ êîìïî-

íåíò òåíçîðà äåôîðìàöèé (êàê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû), ïîëó÷èì çàäà÷ó òè-

ïà (Ö(�)–Î(·)).

66

Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ

ïðèíóäèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî îõëàæäåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ ãîðÿ÷åêàòàíûõ

ïðîôèëåé (øâåëëåð ¹ 20, óãîëîê 160*160*20, ðåññîðíûå ïîëîñû òèïîâ

45*6, 65*8, 90*12) äëÿ À-ìîäåëåé (äåòåðìèíèðîâàííûå çàäà÷è, ïðè÷åì

â êà÷åñòâå çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ ïàðàìåòðîâ âûáèðàëèñü èõ íàèáîëåå âå-

ðîÿòíûå çíà÷åíèÿ).

Ïðè ïðèíóäèòåëüíîì ëîêàëüíîì îõëàæäåíèè ðåññîðíîãî ïðîêàòà

îõëàæäåíèþ ïîäâåðãàëàñü íèæíÿÿ êðîìêà ðåññîðíûõ ïîëîñ (òåõíîëîãè-

÷åñêè íåâîçìîæíî îõëàæäàòü ÷àñòü íèæíåé êðîìêè). Íà èìåþùåìñÿ

îáîðóäîâàíèè ðàñõîä âîäû ìîæíî èçìåíÿòü äèñêðåòíî.

Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è ïî âûáîðó îïòèìàëüíûõ ðåæèìîâ ïðè-

íóäèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî îõëàæäåíèÿ äëÿ èññëåäóåìûõ ðåññîðíûõ ïî-

ëîñ ñâåäåíû â òàáë. 2.2. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïåðâûå ñòðî÷êè â òàáë. 2.2

äëÿ êàæäîãî òèïà ðåññîð ñîäåðæàò äëÿ ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïðè

åñòåñòâåííîì îõëàæäåíèè ïîëîñ.

Àíàëèçèðóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì,

÷òî äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ðåññîðíûõ ïîëîñ îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ

ðàñõîä âîäû g � 0 0083, ì3/(ì2·ñ).

Äëÿ øâåëëåðà ¹ 20 íàèáîëåå ãîðÿ÷åé çîíîé ïðè âûõîäå ïðîôèëÿ èç

÷èñòîâîé êëåòè ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîäíàÿ îáëàñòü è ïðèìûêàþùàÿ ê íåé ÷àñòü

67

Ðèñ. 2.2. Îöåíêà íåñîâìåñòíîñòè ~�33 äëÿ ðåññîðíîé ïîëîñû 45*6: 1 — îïðåäåëÿåìàÿ

ïî íàïðÿæåíèÿì; 2 — îïðåäåëÿåìàÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì � � �( ) ( ) ( )

, ,1 2 3

; 3 —

îïðåäåëÿåìàÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì �( )

, ,i

i � 16

ôëàíöåâ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïîêàçàëè, ÷òî îïòèìàëüíàÿ øèðèíà çîíû

îõëàæäåíèÿ ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî ïîëîâèíó âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ôëàí-

öåâ (îõëàæäåíèå âåäåòñÿ ïî ïåðåõîäíîé îò ïîëêè ê ôëàíöàì îáëàñòè).

Ýòà îáëàñòü â íà÷àëüíûé ïåðèîä îõëàæäåíèÿ èìååò áîëåå âûñîêóþ òåì-

ïåðàòóðó è, ñëåäîâàòåëüíî, áîëüøåå òåìïåðàòóðíîå ñæàòèå. Ïðèíóäè-

òåëüíûì ëîêàëüíûì îõëàæäåíèåì íåîáõîäèìî â ýòîé îáëàñòè ñîçäàòü

ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ, êîòîðûå áóäóò êîìïåíñèðîâàòü

èçáûòî÷íóþ (ïî îòíîøåíèþ ê ñòåíêå è êðîìêàì ôëàíöåâ) òåìïåðàòóð-

íóþ óñàäêó ýòîé çîíû.

Ò à á ë è ö à 2 . 2

Îïòèìàëüíîå âðåìÿ ïðèíóäèòåëüíîãî îõëàæäåíèÿ è îñòàòî÷íûå

íàïðÿæåíèÿ â ãîðÿ÷åêàòàíûõ ðåññîðíûõ ïîëîñàõ

Òèï ðåññîðûÓäåëüíûé ðàñõîä âîäû,

ì3/(ì2·ñ)

Îïòèìàëüíîå âðåìÿ îõ-

ëàæäåíèÿ, ñ

Îñòàòî÷íûå íàïðÿæå-

íèÿ, ÌÏà â òî÷êàõ

1 2 3

45*6 0 0 –114 55 –105

0,0083 2,62 30 –20 40

0,01389 7,43 –40 40 –70

65*8 0 0 –113 59 –107

0,0083 3,16 30 –25 40

0,01389 8,30 –80 60 –30

90*12 0 0 –118 54 –111

0,0083 4,01 –30 50 –20

0,01389 9,6 –80 45 –70

68

Ðèñ. 2.3. Îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ (ÌÏà) â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè øâåëëåðà ¹ 20

Ïðè èìåþùåìñÿ íà ñòàíå îáîðóäîâàíèè óäåëüíûé ðàñõîä âîäû ìî-

æåò áûòü ñëåäóþùèì: g � 0 0083, ì3/(ì2·ñ), g � 0 01389, ì3/(ì2·ñ),

g � 0 024, ì3/(ì2·ñ). Äëÿ ðàçëè÷íîãî óäåëüíîãî ðàñõîäà âîäû áûëè ðåøå-

íû ñîîòâåòñòâóþùèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè. Îïòèìàëüíûé ðåæèì îõëàæ-

69

Ðèñ. 2.4. Îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ (ÌÏà) â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè øâåëëåðà

¹ 20 ïðè ðàçëè÷íûõ ðåæèìàõ ïðèíóäèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî îõëàæäåíèÿ:

à — g � 0 0083, ì3/(ì2·ñ), á — g � 0 01389, ì3/(ì2·ñ), â — g � 0 024, ì3/(ì2·ñ)

äåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ðàñõîäó âîäû g � 0 01389, ì3/(ì2·ñ) è âðåìåíè îõëà-

æäåíèÿ 6,8 ñ. Ïðîäîëüíûå îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ [14] â õàðàêòåðíûõ

òî÷êàõ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øâåëëåðà ïðè îïèñàííîì âûøå ðåæèìå

ïðèíóäèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî îõëàæäåíèÿ ñîñòàâèëè � 1 229� ÌÏà,

� 2 39� ÌÏà, � 3 53� ÌÏà. Ýïþðà îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé ïðè åñòåñò-

âåííîì îõëàæäåíèè øâåëëåðà ¹ 20 ïðèâåäåíà íà ðèñ. 2.3. Íà ðèñ. 2.4

70

Ðèñ. 2.5. Îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ (ÌÏà) â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè óãîëêà

160*160*20 ïðè ðàçëè÷íûõ ðåæèìàõ ïðèíóäèòåëüíîãî ëîêàëüíîãî

îõëàæäåíèÿ: à — g � 0 0083, ì3/(ì2·ñ), á — g � 0 01389, ì3/(ì2·ñ), â —

g � 0 024, ì3/(ì2·ñ)

ïðèâåäåíû ýïþðû îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé øâåëëåðà ¹ 20 ïðè ïðèíóäè-

òåëüíîì îõëàæäåíèè. Ðèñ. 2.4, à ñîîòâåòñòâóåò ðàñõîäó âîäû

g � 0 0083, ì3/(ì2·ñ) è âðåìåíè îõëàæäåíèÿ � = 4,8 ñ, ðèñ. 2.4, á —

g � 0 01389, ì3/(ì2·ñ) è � = 6,8 ñ, ðèñ. 2.4, â — g � 0 024, ì3/(ì2·ñ) è � = 2,2 ñ.

Óãîëîê 160*160*20 ñëåäóåò îõëàæäàòü ïî ÷àñòè âíåøíåé ïîâåðõíî-

ñòè, ïðèìûêàþùåé ê âåðøèíå. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî îï-

òèìàëüíûé ðàñõîä âîäû g � 0 01389, ì3/(ì2·ñ) ïðè âðåìåíè ïðèíóäèòåëü-

íîãî îõëàæäåíèÿ � = 6,3 ñ. Ïðîäîëüíûå îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ, ñîîòâåò-

ñòâóþùèå ýòîìó ðåæèìó, â õàðàêòåðíûõ òî÷êàõ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

óãîëêà ðàâíû � 1 90� ÌÏà, � 2 5� ÌÏà.

Íà ðèñ. 2.5 ïðèâåäåíû ýïþðû îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé óãîëêà

160*160*20 ïðè ïðèíóäèòåëüíîì îõëàæäåíèè. Îïòèìàëüíîå âðåìÿ îõëà-

æäåíèÿ ïðè ðàñõîäå âîäû g � 0 0083, ì3/(ì2·ñ) ñîñòàâèëî 4,2 ñ, à ïðè ðàñ-

õîäå g � 0 024, ì3/(ì2·ñ) — 3,5 ñ.

2.3. Çàäà÷à âîëî÷åíèÿ

Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå � — ýòî ïðîöåññ âîëî÷åíèÿ ïðè êîíêðåòíûõ

çíà÷åíèÿõ èñõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè â ýòîé çà-

äà÷å ìîæíî ñ÷èòàòü êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ f z (êà÷åñòâî ñìàç-

êè), ïðåäåë òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà � s è õàðàêòåðèñòèêè íà÷àëüíîé ãåîìåò-

ðèè çàãîòîâêè (íà÷àëüíûé âíåøíèé ðàäèóñ òðóáû R1 è íà÷àëüíàÿ òîëùè-

íà çàãîòîâêè S1). Â âåêòîð óïðàâëåíèÿ âîéäóò f z s, � è óãîë íàêëîíà

ôèëüåðû �; f x0 ( ( ), )� � — îïèñûâàåò ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè

íà âûõîäå èç ôèëüåðû, â ÷àñòíîñòè — ìîäóëü ðàçíîñòè ìåæäó ïîëó÷àå-

ìîé è çàäàííîé òîëùèíîé ñòåíêè òðóáû íà âûõîäå èç ôèëüåðû.

 îãðàíè÷åíèÿ âîéäóò óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå êðàåâóþ çàäà÷ó óï-

ðóãîïëàñòè÷íîñòè è îãðàíè÷åíèÿ ïî ïðî÷íîñòè, íà óðîâåíü è ðàñïðåäå-

ëåíèå îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé è ò. ä.

 äàííîé çàäà÷å âåëè÷èíû f z , � S , R1, S1 ðàññìàòðèâàëèñü êàê ñëó-

÷àéíûå.

Îòìåòèì âàæíóþ îñîáåííîñòü çàäà÷è âîëî÷åíèÿ â îòëè÷èå îò çàäà÷

âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ çíàêîïåðåìåííîãî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî

èçãèáà è îõëàæäåíèÿ ãîðÿ÷åêàòàíûõ ïðîôèëåé.  ýòîé çàäà÷å âåêòîð

óïðàâëåíèÿ ñîñòîèò íå òîëüêî èç äåòåðìèíèðîâàííûõ, íî è èç ñëó÷àéíûõ

ïàðàìåòðîâ. Ïîýòîìó îöåíêà ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ ïðè çàäàííîì âåê-

òîðå óïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî ñðåäíèì çíà÷åíèåì (ìàòåìàòè-

71

÷åñêèì îæèäàíèåì) ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëó÷àéíîãî ïàðàìåòðà âåêòîðà

óïðàâëåíèÿ, íî è ðàçáðîñîì ýòîãî ñëó÷àéíîãî ïàðàìåòðà.

Êîíêðåòíûé âèä öåëåâîé ôóíêöèè çàâèñèò îò ðåàëüíûõ óñëîâèé. Åñ-

ëè èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ìèíèìóì ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèÿ ïîëó-

÷åííîãî çíà÷åíèÿ òîëùèíû ñòåíêè îò çàäàííîãî, òî ïðèõîäèì ê íåîáõî-

äèìîñòè ðàññìîòðåíèÿ Ì-ìîäåëè (Ö(Ì)), åñëè íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü ìè-

íèìàëüíîå çíà÷åíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ — ïåðåéäåì

ê D-ìîäåëè (Ö(D)). Ïðè íåîáõîäèìîñòè ìèíèìèçàöèè ìàêñèìàëüíîãî

çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèÿ ïîëó÷èì ÌÌ-ìîäåëü (Ö(ÌÌ)), à åñëè èíòåðåñ

ïðåäñòàâëÿåò óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå íå ïðåâû-

ñèò íåêîòîðîãî íàïåðåä çàäàííîãî çíà÷åíèÿ, — ïðèõîäèì ê Ð-ìîäåëè

(Ö(Ð)). Åñëè íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü êîìïëåêñíûé êðèòåðèé êà÷åñòâà,

òî öåëåâàÿ ôóíêöèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (Ö(ÊÊÎ)). Åñëè æå íàñ èíòåðå-

ñóåò ìèíèìèçàöèÿ îòêëîíåíèÿ êàê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîëó÷èì çàäà÷ó

ñ öåëåâîé ôóíêöèåé òèïà Ö (�).

Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ áûëè èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå èñõîäíûå

äàííûå:

R N1 12 5~ ( , )ìì; 0,005ìì ; S N1 3 8~ ( , )ìì; 0,005ìì ;

� �� �so soN m~ ; 10 ÌÏà , m so� � 580; 680 ÌÏà;

f N mf~ ( ; )0,03 , mf � 0 1, ; 0,4 ;

� �� �~ ;N m 0,10 , m� � 0 08 ; 18 .

Çàïèñü A N ma Sa~ ( ; ) îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíà A ðàñïðåäåëåíà ïî

íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ma

è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå Sa.

Õàðàêòåðèñòèêàìè äëÿ çàäà÷è âîëî÷åíèÿ áûëè:

a1 — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå �;

a2 — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå �;

a3 — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî � íå ïðåâûñèò íåêîòîðîå íàïåðåä çàäàí-

íîå çíà÷åíèå (0,006 ìì);

a4 — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå îòêëîíåíèÿ �.

Ðåøåíèå çàäà÷è î âûáîðå îïòèìàëüíîãî ðåæèìà âîëî÷åíèÿ ïðè ðàç-

ëè÷íûõ ïîäõîäàõ ê ïîñòðîåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü

ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû (òàáë. 2.3).

72

Ò à á ë è ö à 2 . 3

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðîöåññà âîëî÷åíèÿ

Êðèòåðèè (ìîäåëè) m s� 0, ÌÏà mf �, °

À 596 0,251 12,3

Ì 604 0,290 11,4

D 594 0,280 12,8

P 580 0,233 16,3

ÌÌ 599 0,257 11,9

ËÊ 603 0,265 11,3

ÊÊÎ1 596 0,252 11,6

ÊÊÎ2 595 0,255 12,8

ÑÂ 592 0,206 12,2

Õè-êâàäðàò, � �2 21181 0 003� �, , ( , ) 642 0,236 13,0

Ïðîàíàëèçèðóåì îñîáåííîñòè ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ.

Äëÿ îòäåëüíî âçÿòûõ êðèòåðèåâ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ðåøå-

íèå çàïèñàíî â ïåðâûõ ïÿòè ñòðî÷êàõ ïðåäñòàâëåííîé òàáëèöû. Ïðè÷åì

ðåøåíèå äëÿ À-ìîäåëè (äåòåðìèíèðîâàííûé àíàëîã ñ� �S Sm0 0�è f mf� ) çàíèìàåò ïåðâóþ ñòðîêó òàáë. 2.3.

Åñëè öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ

öåëåâûõ ôóíêöèé äëÿ îòäåëüíî âçÿòûõ ìîäåëåé ñ êîýôôèöèåíòàìè çíà-

÷èìîñòè � 1 = 0,8, � 2 = 0,5, � 3 = 0,3 è � 4 = 0,7 äëÿ a1, a2 , a3 , a4 ñîîòâåòñò-

âåííî, òî ïîëó÷èì ðåæèì R (ËÊ).

Ïóñòü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — îïðåäåëåííîå íàìè íå÷åòêîå ìíîæåñòâî

Ar ñî ñòåïåíÿìè ïðèíàäëåæíîñòè� 1 = 0,8,� 2 = 0,5,� 3 = 0,3 è� 4 = 0,7 äëÿ

çíà÷åíèé ar1 , ar

2 , ar3 , ar

4 , ãäå ar1 ñîâïàäàåò ñ a1; ar

4 ñîâïàäàåò ñ a4 ; ar2 — äèñ-

ïåðñèÿ îòêëîíåíèÿ; ar3 — âåðîÿòíîñòü ïðåâûøåíèÿ îòêëîíåíèåì çíà÷å-

íèÿ 0,006 ìì. Òîãäà ïîëó÷èì ðåæèì R (ÊÊÎ1), åñëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è

ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè äëÿ ñðàâíåíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ èñïîëü-

çóåì äåòåðìèíèðîâàííûé èíäåêñ � �H A Br r, (1.66); ïðè èñïîëüçîâàíèè

äëÿ ñðàâíåíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíäåêñà H A B5 ( , ) (1.69) ïîëó÷åí ðåæèì

R(ÊÊÎ2).

Ïðè èñïîëüçîâàíèè â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû À, ãèñòîãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ãèñòîãðàììàìè

73

ñòîõàñòè÷åñêèõ èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ (� so è f ), è ïðèìåíåíèè äëÿ ñðàâ-

íåíèÿ èíäåêñà � �H A BP5 , (1.68), (1.72) ïîëó÷åí ðåæèì R(ÑÂ).

Ïóñòü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — êðèòåðèé õè-êâàäðàò, ïðîâåðÿþùèé ãèïî-

òåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåøåíèÿ. Ïðè ýòîì áûë ïîëó÷åí ðå-

æèì R( 2 ), çíà÷åíèå 2 ñîñòàâèëî 21,181. Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ïîçâîëÿ-

åò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî íàéäåííîå óïðàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò ïðèåì-

ëåìîñòü âûäâèíóòîé íàìè ãèïîòåçû î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè

ðåøåíèÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè � = 0,003 [28].

Äëÿ ÀÎ «Ïåðìñêàÿ êîìïàíèÿ íåôòÿíîãî ìàøèíîñòðîåíèÿ» áûëà

ðàññìîòðåíà çàäà÷à âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ ïðîôèëèðîâàíèÿ

êîðïóñîâ íåôòÿíûõ ñêâàæèííûõ íàñîñîâ. Ïî ñóùåñòâó, ýòà çàäà÷à ïðåä-

ñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðîöåññà âîëî÷åíèÿ.

 êà÷åñòâå âåêòîðà óïðàâëåíèÿ ìîæíî âûáðàòü x x f( ) ( , )� �� (â îò-

ëè÷èå îò ðàññìîòðåííîé âûøå çàäà÷è âîëî÷åíèÿ � so — ïðåäåë òåêó÷å-

ñòè — íå âõîäèò â ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ, ò. ê. ìàðêà ìàòåðèàëà îïðåäå-

ëåíà çàðàíåå).

Öåëåâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä � �F F� � , ãäå � �� �f x0 � � �, � �

� �� S x S2 2( ) * ; çäåñü S 2* — íåêîòîðàÿ çàäàííàÿ òîëùèíà ñòåíêè òðóáû íà

âûõîäå èç ôèëüåðû.

 äàííîé çàäà÷å âåëè÷èíû f , � so , R1, S1 (ââåäåííûå ðàíåå) ðàññìàò-

ðèâàþòñÿ êàê ñëó÷àéíûå. Àíàëèç ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ïåðå÷èñëåí-

íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòè âåëè÷èíû ÷àùå âñåãî ðàñ-

ïðåäåëåíû ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó.

Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ áûëè èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå èñõîäíûå

äàííûå (âûäàííûå ïðåäñòàâèòåëÿìè ÀÎ «Ïåðìñêàÿ êîìïàíèÿ íåôòÿíîãî

ìàøèíîñòðîåíèÿ»):

R2= 17,37 ìì; S 2* = 13,47 ìì;

R1= 20,25 ìì; S1= 28,5 ìì;

m so� = 650 ÌÏà; D so� = 10 ÌÏà;

� �m� � � �8 ; 18 ; D� � �0 1, ;

� �mf � 0 1, ; 0,4 ; Df � 0 03, .

Õàðàêòåðèñòèêàìè äëÿ çàäà÷è âîëî÷åíèÿ áûëè:

a1 — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå �;

74

a2 — ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå �;

a3 — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî � íå ïðåâûñèò íåêîòîðîå íàïåðåä çàäàí-

íîå çíà÷åíèå (0,006 ìì);

a4 — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå îòêëîíåíèÿ �.

Ðåøåíèå çàäà÷è î âûáîðå îïòèìàëüíîãî ðåæèìà âîëî÷åíèÿ ïðè ðàç-

ëè÷íûõ ïîäõîäàõ ê ïîñòðîåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü

ðåçóëüòàòû, ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 2.4 (â ñêîáêàõ óêàçàíî ÷èñëî âû÷èñ-

ëåíèé ïðÿìîé çàäà÷è, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé

îïòèìèçàöèè).

Ò à á ë è ö à 2 . 4

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðîöåññà âîëî÷åíèÿ

Êðèòåðèè (ìîäåëè) mf �, °

À 0,325 8,0

Ì 0,271 13,265; (120)

D 0,229 14,151; (144)

P 0,287 12,995; (153)

ÌÌ 0,293 13,399; (148)

ËÊ 0,292 12,433; (205)

ÊÊÎ1 0,263 12,774; (134)

ÊÊÎ2 0,327 11,797; (196)

ÑÂ 0,219 15,862; (163)

Õè-êâàäðàò, � �2 10 08 0 001� �, , ( , ) 0,249 13,493; (305)

Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè äëÿ ýëåìåíòîâ íå÷åòêîãî

ìíîæåñòâà À ñîâïàäàþò ñ ïðèâåäåííûìè äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçà-

öèè ïðîöåññà âîëî÷åíèÿ, îïèñàííîãî âûøå.

Ïðè âû÷èñëåíèè èíäåêñà ðàíæèðîâàíèÿ � �H A B5 , (1.69) íåîáõîäèìî

ðàçáèåíèå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà À íà åãî �-óðîâíåâûå ïîäìíîæåñòâà.

 ïðèâåäåííîì ðàñ÷åòå èíòåðâàë [0, 1] áûë ðàâíîìåðíî ðàçáèò íà

500 ó÷àñòêîâ.

 ñëó÷àå, êîãäà öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — êðèòåðèé õè-êâàäðàò, ïðîâåðÿþ-

ùèé ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåøåíèÿ, áûë ïîëó÷åí ðå-

æèì R (� 2 ), à çíà÷åíèå � 2 ñîñòàâèëî 10,08. Ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä

î òîì, ÷òî íàéäåííîå óïðàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò ïðèåìëåìîñòü âûäâèíó-

75

òîé íàìè ãèïîòåçû î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåøåíèÿ ñ óðîâíåì çíà-

÷èìîñòè � = 0,001 [28].

Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èñïîëüçóþòñÿ ïðè íàçíà÷åíèè ðàöèîíàëü-

íûõ ðåæèìîâ ïðîôèëèðîâàíèÿ êîðïóñîâ íåôòÿíûõ ñêâàæèííûõ íàñîñîâ.

2.4. Çàäà÷à îñàäêè ñïëîøíîãî öèëèíäðà

Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå� — ýòî ïðîöåññ îñàäêè öèëèíäðà ïðè ôèêñè-

ðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ èñõîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðà-

ìè â ýòîé çàäà÷å ÿâëÿþòñÿ: êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ f z è ïðåäåë

òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà � s; f x0 ( ( ), )� � ïðåäñòàâëÿåò âåëè÷èíó, õàðàêòåðè-

çóþùóþ îòêëîíåíèå áîêîâîé ïîâåðõíîñòè îò íåêîòîðîé íàïåðåä çàäàí-

íîé. Äëÿ èññëåäóåìîãî ïðîöåññà ñ÷èòàëîñü, ÷òî íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü

ôîðìó áîêîâîé ïîâåðõíîñòè â âèäå ñîâîêóïíîñòè äâóõ óñå÷åííûõ êîíó-

ñîâ, ñîñòûêîâàííûõ ïî áîëüøåìó îñíîâàíèþ ïî ñåðåäèíå âûñîòû öèëèíä-

ðà. Ïðè ýòîì èç óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè ìàòåðèàëà áûëî ïîëó÷åíî óðàâ-

íåíèå îáðàçóþùåé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè: y " –10,756õ + 595,312 (ìì); îò-

ñ÷åò âåäåòñÿ îò áîëüøåãî îñíîâàíèÿ êîíóñà.

Íåîáõîäèìî âûáðàòü òèï ñìàçêè è ìàòåðèàë, îáåñïå÷èâàþùèå ìè-

íèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè.

 êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîäåëåé ìîæíî

âûáðàòü:

Ì-ìîäåëü (Ö (Ì)) — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó-

÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà îò çàäàííîé;

D-ìîäåëü (Ö (D)) — ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ïîëó÷àå-

ìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà îò çàäàííîé;

Ð-ìîäåëü (Ö (P)) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå íå ïðåâûñèò

íåêîòîðîå íàïåðåä çàäàííîå çíà÷åíèå (â èññëåäóåìîì ïðîöåññå ýòî îò-

êëîíåíèå ïðèíèìàëîñü ðàâíûì 4,6 ìì);

ÌÌ-ìîäåëü (Ö (ÌÌ)) — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå îòêëîíåíèÿ ïî

âñåé äëèíå îáðàçóþùåé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîíóñà.

 ñëó÷àå êîìïëåêñíîãî êðèòåðèÿ êà÷åñòâà èëè çàäàíèÿ îòêëîíåíèÿ

â âèäå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû öåëåâàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî

öåëåâîé ôóíêöèè â çàäà÷å âîëî÷åíèÿ.

Ðàññìîòðèì ïðîöåññ õîëîäíîé îñàäêè öèëèíäðè÷åñêîãî îáðàçöà

äèàìåòðîì 100 ìì è âûñîòîé 80 ìì. Îñàäêà îñóùåñòâëÿëàñü íà 10 %.

Èñõîäÿ èç ðåàëüíûõ óñëîâèé èíòåðâàëû èçìåíåíèÿ äëÿ m s� è mf z

áûëè ïðèíÿòû â âèäå: � �mf s � 400 00; 5 , � �mf z � 0 09, ; 0,4 , ãäå m — ìàòåìà-

76

òè÷åñêîå îæèäàíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Êðîìå òîãî,

àíàëèç ðàñïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ïðåäåëà òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà � s è êîýô-

ôèöèåíòà òðåíèÿ f z ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÷àùå âñåãî

ðàñïðåäåëåíû ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó.

Ðåøåíèå çàäà÷è î âûáîðå îïòèìàëüíîãî ðåæèìà îñàäêè ïðè ðàçëè÷-

íûõ ïîäõîäàõ ê ïîñòðîåíèþ öåëåâîé ôóíêöèè ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü ñëå-

äóþùèå ðåçóëüòàòû, ñâåäåííûå â òàáë. 2.5.

Ò à á ë è ö à 2 . 5

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðîöåññà îñàäêè

Êðèòåðèè (ìîäåëè) m s� 0, ÌÏà mf

À 400 0,159

Ì 400 0,183

D 487 0,243

P 400 0,212

ÌÌ 413 0,249

ËÊ 412 0,213

ÊÊÎ1.1 400 0,183

ÊÊÎ1.2 487 0,243

ÊÊÎ1.3 400 0,212

ÊÊÎ2 410,3 0,227

ÊÊÎ3 405 0,186

ÑÂ1 400 0,159

ÑÂ2 400 0,159

ÑÂ3 409 0,203

Õè-êâàäðàò, � �2 0154 0 9� �, , ( , ) 439 0,284

Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû.

Ïðè îïòèìèçàöèè À-ìîäåëè â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè áûë âû-

áðàí äåòåðìèíèðîâàííûé àíàëîã ñ � �s sm� è f mfz z� . Ïðè ýòîì áûë

ïîëó÷åí ðåæèì R (À).

Äëÿ îòäåëüíî âçÿòûõ êðèòåðèåâ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè áûëè

ïîëó÷åíû ðåæèìû: R (Ì), R (D), R (P) è R (ÌÌ).

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàñïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ (îòêëîíåíèÿ

áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà îò çàäàííîé) äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ìîäå-

77

ëåé. Íà ðèñ. 2.6 è 2.7 ïðåäñòàâëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû äëÿ ðå-

æèìîâ R (Ì) è R (D). Àíàëèçèðóÿ ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ, ìîæíî ñäåëàòü

âûâîä î òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìîäóëÿ îòêëîíåíèÿ ìåíüøå

ïðè èñïîëüçîâàíèè Ì-ìîäåëè, õîòÿ äèñïåðñèÿ ðåøåíèÿ ìåíüøå ïðè

D-ìîäåëè. Óëó÷øåíèå ðåøåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ Ì-ìîäåëüþ ïî äèñïåð-

ñèè è ñ D-ìîäåëüþ ïî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü èñïîëüçî-

âàíèå ÌD-ìîäåëè (ðèñ. 2.8).

Öåëüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðè ïðèìåíåíèè ÌD-ìîäåëè áûëî îáåñïå÷å-

íèå ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ îòêëîíåíèÿ áîêîâîé ïîâåðõíîñòè

öèëèíäðà îò çàäàííîé ïðè åãî ìèíèìàëüíîì ðàçáðîñå. Ìîæíî ïðåäëî-

æèòü åùå äâà ïîäõîäà äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ ýòîé öåëè. Îñàäêó íåîáõîäèìî

âåñòè â äâà ýòàïà. Ïðè ïåðâîì ïîäõîäå âíà÷àëå íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü

78

Ðèñ. 2.6. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (M-ìîäåëü (� ~ , ~N f Nz ))

ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ îòêëîíåíèÿ (Ì-ìîäåëü), à íà âòîðîì ýòà-

ïå îáåñïå÷èòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå åãî ðàçáðîñà (D-ìîäåëü). Ïðè ýòîì

ðåøåíèå çàäà÷è íà ïåðâîì ýòàïå îïðåäåëèò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (äèàïàçî-

íû èçìåíåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) äëÿ âòîðîãî ýòàïà. Ïðè âòîðîì ïîäõî-

äå âíà÷àëå íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ðàçáðîñà ìî-

äóëÿ îòêëîíåíèÿ (D-ìîäåëü), à íà âòîðîì ýòàïå îáåñïå÷èòü ìèíèìàëüíîå

ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ îòêëîíåíèÿ (Ì-ìîäåëü). Ïðè ýòîì ðåøåíèå çà-

äà÷è íà ïåðâîì ýòàïå îïðåäåëèò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (äèàïàçîíû èçìåíå-

íèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) äëÿ âòîðîãî ýòàïà. Ïðè ïåðâîì ïîäõîäå âíà÷àëå

íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ îòêëîíåíèÿ

(Ì-ìîäåëü), à íà âòîðîì ýòàïå îáåñïå÷èòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå åãî

ðàçáðîñà (D-ìîäåëü). Ïðè ýòîì ðåøåíèå çàäà÷è íà ïåðâîì ýòàïå îïðåäå-

79

Ðèñ. 2.7. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (D-ìîäåëü (� ~ , ~N f Nz ))

ëèò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (äèàïàçîíû èçìåíåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) äëÿ

âòîðîãî ýòàïà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.9 è 2.10

(ìîäåëè D + Ì è Ì + D). Ñðàâíèâàÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðè ïðèìåíåíèè

ýòèõ äâóõ ìîäåëåé, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ïåðâàÿ ìîäåëü ïîçâî-

ëÿåò ïîëó÷èòü ìåíüøåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ îòêëîíåíèÿ, à âòîðàÿ — óìåíü-

øèòü åãî ðàçáðîñ.

Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé

îïòèìèçàöèè ïðè ðàçëè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ èñõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê

äëÿ îäíîé è òîé æå ìîäåëè (äèàïàçîíû èçìåíåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè). Íà ðèñ. 2.6, 2.11, 2.12 è 2.13 ïðåäñòàâëåíû ðå-

çóëüòàòû ðåøåíèÿ îïòèìàëüíîé çàäà÷è äëÿ ðàçëè÷íîãî ñî÷åòàíèÿ ðàñ-

ïðåäåëåíèé èñõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê.

80

Ðèñ. 2.8. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (MD-ìîäåëü (� ~ , ~N f Nz ))

Ïðîäîëæèì àíàëèç ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ â òàáë. 2.5. Ïóñòü

öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ öåëåâûõ

ôóíêöèé äëÿ îòäåëüíî âçÿòûõ ìîäåëåé ñ êîýôôèöèåíòàìè çíà÷èìîñòè

� 1 = 0,8;� 2 = 0,5;� 3 = 0,3;� 4 = 0,7. Ïðè ýòîì áûë ïîëó÷åí ðåæèì R (ËÊ).

Ïóñòü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À ñî ñòåïåíÿìè ïðè-

íàäëåæíîñòè � 1, � 2 , � 3 , � 4 . Äëÿ ñðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàëñÿ èíäåêñ

� �H A B1 , (1.58).

Áûëî ïðîâåäåíî òðè ýêñïåðèìåíòà äëÿ ðàçíûõ íàáîðîâ çíà÷åíèé

ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè è ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû:

äëÿ � 1 = 0,8; � 2 = 0,5; � 3 = 0,3; � 4 = 0,7: ðåæèì R (ÊÊÎ1.1);

äëÿ � 1 = 0,3; � 2 = 0,9; � 3 = 0,4; � 4 = 0,8: ðåæèì R (ÊÊÎ1.2);

äëÿ � 1 = 0,501; � 2 = 0,502; � 3 = 0,503; � 4 = 0,500: ðåæèì R (ÊÊÎ1.3).

81

Ðèñ. 2.9. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (M + D-ìîäåëü (� # N f Nz, ~ ))

Âûáåðåì â êà÷åñòâå öåëåâîé ôóíêöèè îïðåäåëåííîå íàìè íå÷åòêîå

ìíîæåñòâî Ar ñî ñòåïåíÿìè ïðèíàäëåæíîñòè� 1 = 0,8; � 2 = 0,5; � 3 = 0,3;

� 4 = 0,7. Äëÿ ñðàâíåíèÿ èñïîëüçóåì èíäåêñ � �H A Br r, (1.66), ïðè ýòîì

áûë ïîëó÷åí ðåæèì R (ÊÊÎ2).

Åñëè öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — íå÷åòêîå ìíîæåñòâî À ñî ñòåïåíÿìè ïðè-

íàäëåæíîñòè� 1 = 0,8;� 2 = 0,5;� 3 = 0,3;� 4 = 0,7 è äëÿ ñðàâíåíèÿ èñïîëü-

çîâàí èíòåãðàëüíûé èíäåêñ ðàíæèðîâàíèÿ � �H A B5 , (1.69), òî ïîëó÷èì

ðåæèì R (ÊÊÎ3).

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ

çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðè çàïèñè öåëåâîé ôóíêöèè â âèäå

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ïðèìåíåíèè äåòåðìèíèðîâàííûõ è èíòåãðàëüíûõ

èíäåêñîâ ðàíæèðîâàíèÿ.

82

Ðèñ. 2.10. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (D + M-ìîäåëü (� ~ , ~N f Nz ))

Òàê, íàïðèìåð, ïðè èñïîëüçîâàíèè èíäåêñîâ ðàíæèðîâàíèÿ

� �H A BP1 , (1.71) è � �H A BP

5 , (1.68), (1.72) ïðè íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíè-

ÿõ ïðåäåëà òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà � S è êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ f z áûëè ïî-

ëó÷åíû îïòèìàëüíûå ðåæèìû R(ÑÂ1) è R(ÑÂ2), ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþ-

ùèå ìåæäó ñîáîé. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-

íèÿ ðåøåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ ñ ÿðêî

âûðàæåííûì ìàêñèìóìîì è äîñòàòî÷íî áîëüøèì ýêñöåññîì. Ïîýòîìó

ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò çàêîíîìåðåí.

Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàñïðåäåëåí ïî íîðìàëüíî-

ìó çàêîíó, à ïðåäåë òåêó÷åñòè — ïî ðàâíîìåðíîìó, òî ïðèìåíåíèå èíòå-

ãðàëüíîãî èíäåêñà � �H A BP5 , (1.68), (1.72) ïðèâîäèò ê ðåæèìó R(ÑÂ3), îò-

ëè÷àþùåìóñÿ îò ðåæèìîâ R(ÑÂ1) è R(ÑÂ2). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èíòå-

83

Ðèñ. 2.11. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (M-ìîäåëü (� ~ , ~N f Rz ))

ãðàëüíûå èíäåêñû ðàíæèðîâàíèÿ, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ó÷èòûâàþò

âåñü ñïåêòð ðàçáðîñà ðåøåíèÿ.

Ïóñòü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ — êðèòåðèé õè-êâàäðàò, ïðîâåðÿþùèé ãèïî-

òåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåøåíèÿ. Ïðè ýòîì áûë ïîëó÷åí ðå-

æèì R (� 2 ), à çíà÷åíèå � 2 ñîñòàâèëî 0,154.

Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî íàéäåí-

íîå óïðàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò ïðèåìëåìîñòü âûäâèíóòîé íàìè ãèïîòå-

çû î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåøåíèÿ ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè

� = 0,9.

Îòìåòèì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå òîãî èëè èíîãî êðèòåðèÿ îïòèìàëüíî-

ñòè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè çàâèñèò îò êîí-

êðåòíûõ óñëîâèé è öåëåé èññëåäîâàíèÿ.

84

Ðèñ. 2.12. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (M-ìîäåëü (� ~ , ~R f Nz ))

Òàê, íàïðèìåð, åñëè èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò îäíà èç âîçìîæíûõ õàðàê-

òåðèñòèê ñòîõàñòè÷åñêè ðàñïðåäåëåííîé âåëè÷èíû, òî â êà÷åñòâå öåëå-

âîé ôóíêöèè ñëåäóåò âûáðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäåëü. Åñëè èíòåðåñ

ïðåäñòàâëÿåò íåñêîëüêî öåëåé, òî ñëåäóåò ââåñòè â ðàññìîòðåíèå êîì-

ïëåêñíûé êðèòåðèé êà÷åñòâà, ìàòåìàòè÷åñêè îïðåäåëåííûé íåêîòîðûì

íå÷åòêèì ÷èñëîì. Ïðè ýòîì óâåëè÷åíèå ñòåïåíè ïðèíàäëåæíîñòè i-ãî ïà-

ðàìåòðà óñèëèâàåò åãî âëèÿíèå íà êîìïëåêñíûé êðèòåðèé.

Ïðè ñðàâíåíèè íå÷åòêèõ ÷èñåë ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ êàê äåòåðìèíè-

ðîâàííûìè òàê è èíòåãðàëüíûìè èíäåêñàìè ðàíæèðîâàíèÿ. Ïðè ýòîì

ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî èíòåãðàëüíûå èíäåêñû ïîçâîëÿþò øèðå ó÷èòûâàòü

âåñü äèàïàçîí èçìåíåíèÿ íîñèòåëÿ íå÷åòêîãî ÷èñëà, à äåòåðìèíèðîâàí-

íûå — âûäåëÿþò ýëåìåíòû íîñèòåëÿ ñ ýêñòðåìàëüíûìè â íåêîòîðîì

ñìûñëå çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè.

85

Ðèñ. 2.13. Ðàñïðåäåëåíèå îòêëîíåíèÿ ïîëó÷àåìîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà

îò çàäàííîé (M-ìîäåëü (� ~ , ~R f Rz ))

2.6. Âûáîð ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ äåôîðìèðîâàíèÿ

â çàäà÷àõ ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè

Ðàññìîòðèì èçëîæåííûé â ãëàâå 1 ïîäõîä

ê èññëåäîâàíèþ ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà

ïðèìåðå çàäà÷è îá óñòîé÷èâîñòè ïðÿìîëèíåéíî-

ãî ñòåðæíÿ, íàãðóæåííîãî äåéñòâóþùåé âäîëü

îñè ñæèìàþùåé ñèëîé.

Ïðèìåì ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ:

– íà÷àëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ñòåðæíÿ îòëè÷íà îò

ïðÿìîëèíåéíîé è ïðåäñòàâèìà â âèäå ãëàäêîé

ôóíêöèè � �y0 , � 0, L , ãäå L — ðàññòîÿíèå

ìåæäó îïîðàìè â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿ-

íèè (ðèñ. 2.14);

– ñèëà ïðèëîæåíà ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì, âåëè÷èíà

êîòîðîãî ïîñòîÿííà è ðàâíà e;

– ìàòåðèàë ñòåðæíÿ èäåàëüíî óïðóãèé, îäíîðîä-

íûé è èçîòðîïíûé;

– íà ëþáîé ñòàäèè ïðîöåññà íàãðóæåíèÿ ôîð-

ìà ñòåðæíÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêóþ

êðèâóþ.

 äåòåðìèíèðîâàííîì ñëó÷àå ðàâíîâåñèå

ñòåðæíÿ îïèñûâàåòñÿ êðàåâîé çàäà÷åé ñëåäóþùå-

ãî âèäà:

� � � �EI F Y e

Y

YL

� �

�

�

*

+

,,,,,

-

,,,,,

�

�

0

00

0

,

,

,

(2.26)

ãäå

� �� 0

0

0

23 2

1

���

� �����

�����

y

y

— íà÷àëüíàÿ êðèâèçíà;

� �� �

��

� �����

�����

Y

Y12

3 2— ïîë-

íàÿ êðèâèçíà; Y — ïîëíûé ïðîãèá ñòåðæíÿ; F — íàãðóçêà; E — ìîäóëü

Þíãà ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ; I — ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.

Îáîçíà÷èâ äîïîëíèòåëüíûé ïðîãèá ñòåðæíÿ y Y y� 0 , ìîæíî çàïèñàòü

çàäà÷ó â âèäå, àíàëîãè÷íîì (1.36):

86

Ðèñ. 2.14. Ñõåìà

íàãðóæåíèÿ ñòåðæíÿ

ïðîäîëüíîé ñæèìàþùåé

ñèëîé

Ay f

y

yL

�

�

�

�

�

�����

�

�����

�

�

,

,

,

�

�

00

0

(2.27)

ãäå A — íåëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð: Ay �

� �

� �

��

�

� ���

����

�

�

!

"""

#

$

%%%

y y

y y

0

0

23 2

1

; � �fP

EIy e� � � 0 0 — ïðàâàÿ ÷àñòü.

Ïîñòàíîâêó çàäà÷è óñòîé÷èâîñòè â ýòîì ñëó÷àå çàïèøåì ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì: äëÿ çàäàííûõ çíà÷åíèé F, e, � è äëÿ çàäàííîé íà÷àëüíîé

ôîðìû ñòåðæíÿ

y Ci

li

i

n

0

1

��

& sin�

, ãäå � �C N mi C Ci i~ , � , i n� 1, ,

íàéòè òàêèå ïàðàìåòðû çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ íåñîâåð-

øåíñòâ, ÷òîáû ñòåðæåíü áûë P-óñòîé÷èâ. Âåëè÷èíà � â äàííîì ñëó÷àå èã-

ðàåò ðîëü òåõíîëîãè÷åñêîãî îãðàíè÷åíèÿ íà ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå

ñòåðæíÿ îò ïðÿìîëèíåéíîé ôîðìû.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó äëÿ ñòåðæíÿ äëèíû L = 0,1 ì

ñ êðóãëûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì ðàäèóñà R = 0,005 ì, ñäåëàííîãî èç ìà-

òåðèàëà ñ ìîäóëåì Þíãà E � '2 1011 Ïà. Çíà÷åíèå óñèëèÿ F ïðèìåì ðàâ-

íûì 1,1Fý, ãäå Fý — ýéëåðîâî çíà÷åíèå óñèëèÿ. Çíà÷åíèå ýêñöåíòðèñèòå-

òà ïðèëîæåíèÿ íàãðóçêè e d� 0 01, , ãäå d — äèàìåòð ñòåðæíÿ. Çíà÷åíèÿ

âåðîÿòíîñòåé P * è P ** ïðèìåì ðàâíûìè ñîîòâåòñòâåííî 1 è 0,95.

Ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è ïðîâîäèëîñü ÷èñëåííî ìåòîäîì îðòîãîíàëü-

íîé ïðîãîíêè. Äëÿ ëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèÿ íà êàæäîì øàãå ïî íàãðóçêå

èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä Íüþòîíà.

Ïîñòðîåíà çàâèñèìîñòü ìåæäó âåëè÷èíîé � è ñòàòèñòè÷åñêèìè îöåí-

êàìè [44] ïàðàìåòðîâ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ íåñîâåðøåíñòâ

äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé ýêñöåíòðèñèòåòà è íàãðóçêè (ðèñ. 2.15, 2.16).

Çàâèñèìîñòè, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 2.15, 2.16, èìåþò ñëåäóþùèé

ñìûñë: îáëàñòè, ðàñïîëîæåííûå âûøå ïðåäñòàâëåííûõ êðèâûõ, ÿâëÿþò-

ñÿ îáëàñòÿìè óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ óñèëèÿ è ýêñ-

öåíòðèñèòåòà ïðèëîæåíèÿ íàãðóçêè. Îáëàñòè, ðàñïîëîæåííûå íèæå êðè-

87

âûõ, ñîäåðæàò íåóñòîé÷èâûå ðåøå-

íèÿ. Òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ íà êðèâûõ,

ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðèëîæåííàÿ íà-

ãðóçêà ïðè äàííîì çíà÷åíèè ýêñöåí-

òðèñèòåòà, äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðà-

ìåòðîâ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà-

÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà è äàííîì

çíà÷åíèè ÷èñëà � ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷å-

ñêèì óñèëèåì äëÿ ñòåðæíÿ.

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è óñòîé÷èâî-

ñòè â ðàìêàõ äàííîé ïîñòàíîâêè

íå ìîãëè áûòü îïðåäåëåíû âåðîÿòíî-

ñòíûå õàðàêòåðèñòèêè êðèòè÷åñêîãî

óñèëèÿ, ò. ê. óñèëèå ñ÷èòàëîñü äåòåð-

ìèíèðîâàííîé âåëè÷èíîé. Êðîìå òîãî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ

õàðàêòåðèñòèê êðèòè÷åñêîãî óñèëèÿ íåîáõîäèìà àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ

î ïàðàìåòðàõ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê

êðèòè÷åñêîãî óñèëèÿ ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ

íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà. Ïîñòàíîâêó çàäà÷è â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî

ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ çàäàííûõ çíà÷åíèé e, �, äëÿ

çàäàííîé íà÷àëüíîé ôîðìû ñòåðæíÿ

y Ci

li

i

n

0

1

��� sin

��, ãäå � �Ci N mC Ci i

~ , � , i n� 1,

ïðè èçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ íåñîâåð-

øåíñòâ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè êðèòè÷åñêîãî óñè-

ëèÿ. Âåëè÷èíó ýêñöåíòðèñèòåòà

â äàííîì ñëó÷àå áóäåì ïîëàãàòü ðàâ-

íîé íóëþ (e = 0). Ôèçè÷åñêèé ñìûñë

âåëè÷èíû � áóäåò òîò æå, ÷òî è â ïðå-

äûäóùåì ñëó÷àå.

 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì

çàäà÷ó äëÿ ñòåðæíÿ äëèíû L = 0,1 ì

ñ êðóãëûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì ðà-

äèóñà R = 0,005 ì, ñäåëàííîãî èç ìàòå-

ðèàëà ñ ìîäóëåì Þíãà E � �2 1011 Ïà.

Ïàðàìåòðû çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà-

88

Ðèñ. 2.16. Çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû �

îò äèñïåðñèè íà÷àëüíîãî ïðîãèáà

(m dC � 012, )

Ðèñ. 2.15. Çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû � îò

ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íà÷àëüíîãî

ïðîãèáà (� c d� 0 06, )

÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà ôîðìû ñòåðæíÿ ïðèìåì ðàâíûìè m dc � 0 1, ,

� c d� 0 05, , ãäå d — äèàìåòð ñòåðæíÿ. Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé P * èP ** ïðè-

ìåì ðàâíûìè ñîîòâåòñòâåííî 1 è 0,95.

Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.17. Ïîñòðîåíà çàâè-

ñèìîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ îöåíîê âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê êðèòè÷å-

ñêîãî óñèëèÿ îò âåëè÷èíû ÷èñëà � ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ çàêîíà ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà ôîðìû ñòåðæíÿ. Çäåñü Fêð —

êðèòè÷åñêîå óñèëèå; Fý — ýéëåðîâî óñèëèå. Çàâèñèìîñòè, ïðåäñòàâëåí-

íûå íà ðèñ. 2.17, ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: îáëàñòü,

ðàñïîëîæåííàÿ ñëåâà îò êðèâîé 2, ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ óñòîé÷èâûõ ñî-

ñòîÿíèé; îáëàñòü, ðàñïîëîæåííàÿ ñïðàâà îò êðèâîé 3, ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ

íåóñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé; îáëàñòü, ðàñïîëîæåííàÿ ìåæäó êðèâûìè 2 è 3,

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáëàñòü êðèòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé, ïðè÷åì çíà÷åíèÿ

óñèëèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ýòîé îáëàñòè, ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè ñ âåðîÿò-

íîñòüþ P ** ,� 0 95. Êðèâàÿ 1 õàðàêòåðèçóåò ñðåäíåå çíà÷åíèå êðèòè÷å-

ñêîãî óñèëèÿ äëÿ äàííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà-

÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà. Èç ïîëó÷åííûõ çàâèñèìîñòåé âèäíî ñóæåíèå

èíòåðâàëà êðèòè÷åñêèõ íàãðóçîê ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà � è àñèìïòîòè÷å-

ñêîå ñòðåìëåíèå êðèòè÷åñêîãî óñèëèÿ ê ýéëåðîâîé ñèëå.

89

Ðèñ. 2.17. Çàâèñèìîñòü êðèòè÷åñêîãî óñèëèÿ îò âåëè÷èíû �

ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî

íåñîâåðøåíñòâà: 1 — � �M Fêð ; 2, 3 — � � � �M F D Fêð êð�

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá èññëåäîâàíèè ÍÄÑ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷-

êè, íàãðóæåííîé ãèäðîñòàòè÷åñêèì âíåøíèì äàâëåíèåì, íà äî- è ïî-

ñëåêðèòè÷åñêîé ñòàäèÿõ ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ ïðè ñòîõàñòè÷åñêîì

ðàçáðîñå íà÷àëüíûõ íåñîâåðøåíñòâ ôîðìû.

Ðàññìàòðèâàåòñÿ êðóãîâàÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ îáîëî÷êà äëèíû L, ðà-

äèóñà R è òîëùèíû h, íàãðóæåííàÿ ãèäðîñòàòè÷åñêèì âíåøíèì äàâëåíè-

åì èíòåíñèâíîñòüþ q.

Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó ñ ó÷åòîì ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèé: èäåàëü-

íàÿ óïðóãîñòü, îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ìàòåðèàëà, ñïðàâåäëèâîñòü

ãèïîòåç Êèðõãîôà — Ëÿâà.  êà÷åñòâå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðèíèìàëèñü

óñëîâèÿ øàðíèðíîãî çàêðåïëåíèÿ òîðöåâ îáîëî÷êè.

×èñëåííîå ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è ïðîâîäèëîñü ñ èñïîëüçîâàíèåì

ìåòîäà ñåòîê ñ ëèíåàðèçàöèåé ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íà êàæäîì øàãå

ìåòîäîì Íüþòîíà.

×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è ïðîâîäèëîñü ïðè ñëåäóþùèõ ãåîìåòðè-

÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèêàõ: L = 0,7 ì, R = 0,1 ì, h = 0,001 ì,

E = 2·1011 Ïà, � = 0,3.

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ äåôîðìèðîâàíèÿ îáîëî÷êè ïðè ñòîõàñòè÷åñêîì

ðàçáðîñå íà÷àëüíûõ íåñîâåðøåíñòâ ïðèíèìàëîñü, ÷òî íà÷àëüíûé ïðîãèá

èìååò ôîðìó

w Ci

R Li

i

n

02 1

1

* sin sin��

� �, ãäå � �C N mi C Ci i

~ , � . (2.28)

Êîýôôèöèåíòû C i ïîëàãàëèñü íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷è-

íàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó.

Äëÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è êîëè÷åñòâî óçëîâ

ïî ïðîäîëüíîé è îêðóæíîé êîîðäèíàòàì ïðèíèìàëîñü ðàâíûì 40, ÷òî

îáåñïå÷èâàåò ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ, íå ïðåâûøàþùóþ 5 % (êàê ñëåäóåò

èç ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ñõîäèìîñòè).

Ïðè ðåøåíèè ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â âûðàæå-

íèè äëÿ íà÷àëüíîãî ïðîãèáà îáîëî÷êè (2.28) ïîëàãàëîñü ðàâíûì 10. Äëÿ ïî-

ëó÷åíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ðåøåíèÿ èñïîëüçîâàëàñü âûáîðêà,

ñîñòîÿùàÿ èç 30 èñïûòàíèé. Â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèåì Ñòüþäåíòà äàííàÿ

âûáîðêà ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèòåëüíîé äëÿ ðåøàåìîé çàäà÷è. Çíà÷åíèÿ âåðî-

ÿòíîñòåé P* è P** ïðèíèìàëèñü ðàâíûìè ñîîòâåòñòâåííî 1 è 0,95.

Íà ðèñ. 2.18, 2.19 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå ïðîãèáà ïî ïîâåðõíîñòè

îáîëî÷êè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ èíòåíñèâíîñòè âíåøíåãî äàâëåíèÿ.

90

Çäåñü qêð — êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè äàâëåíèÿ äåòåðìèíè-

ðîâàííîé çàäà÷è. Ïðèâåäåííûå çàâèñèìîñòè ïîëó÷åíû ïðè ñëåäóþùèõ

çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ â âûðàæåíèè (2.28) (òàáë. 2.6).

Ò à á ë è ö à 2 . 6

Êîýôôèöèåíò âûðàæåíèÿ (2.28)

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

mCi0,00 0,00 0,10 0,11 0,08 0,12 0,09 0,10 0,11 0,10

91

Ðèñ. 2.18. Ðàñïðåäåëåíèå ïðîãèáà ïî ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè ïðè çíà÷åíèè èíòåíñèâíîñòè

âíåøíåãî äàâëåíèÿ q q� 0136, êð

Ðàñïðåäåëåíèå ïðîãèáà, ïðèâåäåííîå íà ðèñ. 2.18, ñîîòâåòñòâóåò íà-

÷àëüíîìó äîêðèòè÷åñêîìó äåôîðìèðîâàíèþ îáîëî÷êè. Ôîðìà îáîëî÷êè

ñîîòâåòñòâóåò ôîðìå íà÷àëüíîãî ïðîãèáà. Íàðàñòàíèå ïðîãèáà ïðîèñõî-

äèò ãëàâíûì îáðàçîì çà ñ÷åò îñåñèììåòðè÷íîé ñîñòàâëÿþùåé. Îò÷åòëèâî

âèäíà çîíà âëèÿíèÿ êðàåâîãî ýôôåêòà, ëîêàëèçîâàííàÿ â íåçíà÷èòåëüíîé

îêðåñòíîñòè òîðöà îáîëî÷êè. Ðàçìåðû è ðàñïîëîæåíèå çîíû âëèÿíèÿ êðàå-

âîãî ýôôåêòà ïîäòâåðæäàþò âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìåìáðàííîé òåî-

ðèè òîíêèõ îáîëî÷åê äëÿ äàííîãî ñîîòíîøåíèÿ L/R. Íà íà÷àëüíîé ñòàäèè

92

Ðèñ. 2.19. Ðàñïðåäåëåíèå ïðîãèáà ïî ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè ïðè çíà÷åíèè èíòåíñèâíîñòè

âíåøíåãî äàâëåíèÿ q q� 0 952, êð

ïîñëåêðèòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ

(ðèñ. 2.19) ïðîãèá, ñîîòâåòñòâóþùèé

ôîðìå ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè, íåçíà-

÷èòåëüíî èñêàæàåòñÿ îñòàëüíûìè

ìîäàìè íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà

îáîëî÷êè. Âëèÿíèå êðàåâîãî ýôôåêòà

ñòàíîâèòñÿ ìåíåå çàìåòíûì, çîíà

êðàåâîãî ýôôåêòà ïî-ïðåæíåìó ëîêà-

ëèçîâàíà â íåçíà÷èòåëüíîé îêðåñòíî-

ñòè òîðöà îáîëî÷êè.

Íà ðèñ. 2.20 ïðåäñòàâëåíà òðà-

åêòîðèÿ íàãðóæåíèÿ îáîëî÷êè â ôà-

çîâîì ïðîñòðàíñòâå maxW~q. Çàâè-

ñèìîñòü ìàêñèìàëüíîãî ïðîãèáà

îáîëî÷êè îò èíòåíñèâíîñòè âíåøíå-

ãî äàâëåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îá-

ëàñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, îãðàíè÷åííóþ ñâåðõó ðåøåíèåì äåòåðìè-

íèðîâàííîé çàäà÷è áåç íåñîâåðøåíñòâ.

Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíî äåôîðìèðîâàíèå òîíêîñòåííîé öèëèí-

äðè÷åñêîé îáîëî÷êè, íàãðóæåííîé ãèäðîñòàòè÷åñêèì âíåøíèì äàâëåíè-

åì, ïðè ñòîõàñòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà ôîð-

ìû îáîëî÷êè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî äëÿ

äàííîãî âèäà íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè îáîëî÷-

êè íàñòóïàåò ðàíüøå, ÷åì ýòî ñëåäóåò èç ðåøåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííîé çà-

äà÷è. Òðàåêòîðèÿ íàãðóæåíèÿ îáîëî÷êè íà ïîñëåêðèòè÷åñêîé ñòàäèè, ïî-

ëó÷åííàÿ èç ðåøåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííîé çàäà÷è áåç íåñîâåðøåíñòâ, ÿâ-

ëÿåòñÿ âåðõíåé îöåíêîé äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé òðàåêòîðèè íàãðóæåíèÿ,

ïîëó÷åííîé â ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷å.

Ñôîðìóëèðóåì çàäà÷ó ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ çàäàííûõ çíà÷åíèé

q, � è çàäàííîãî âèäà íà÷àëüíîãî ïðîãèáà (2.28) îïðåäåëèòü òàêèå ïàðà-

ìåòðû çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ïðîãèáà, ÷òîáû äåôîðìèðîâà-

íèå îáîëî÷êè (ñ çàäàííûìè âûøå õàðàêòåðèñòèêàìè) áûëî P-óñòîé÷è-

âûì.

Êîýôôèöèåíòû C i â âûðàæåíèè (2.28) áóäåì ïîëàãàòü íåçàâèñèìû-

ìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó.

Ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è ïðîâîäèëîñü ÷èñëåííî ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäà

ñåòîê. Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé P * è P ** ïðèíèìàëèñü ðàâíûìè ñîîòâåòñò-

âåííî 1 è 0,95.

93

Ðèñ. 2.20. Òðàåêòîðèÿ íàãðóæåíèÿ îáî-

ëî÷êè: 1 — äåòåðìèíèðîâàííàÿ çàäà÷à

áåç íåñîâåðøåíñòâ; 2 — ñòîõàñòè÷åñêàÿ

çàäà÷à: M W(max ); 3 — ñòîõàñòè÷åñêàÿ

çàäà÷à: M W D W(max ) (max )2

Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2.21, 2.22. Çäåñü qêð — êðè-

òè÷åñêàÿ âåëè÷èíà èíòåíñèâíîñòè äàâëåíèÿ, ïîëó÷åííàÿ èç ðåøåíèÿ

äåòåðìèíèðîâàííîé çàäà÷è. Ïîñòðîåíà çàâèñèìîñòü ìåæäó âåëè÷èíîé

� è ïàðàìåòðàìè çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ïðîãèáà äëÿ ðàçëè÷-

íûõ çíà÷åíèé èíòåíñèâíîñòè äàâëåíèÿ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè äàâ-

ëåíèè, ïðåâûøàþùåì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå, ïîëó÷åííîå èç ðåøåíèÿ

äåòåðìèíèðîâàííîé çàäà÷è, äåôîðìèðîâàíèå îáîëî÷êè íå ÿâëÿåòñÿ

P-óñòîé÷èâûì.

Çàâèñèìîñòè, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 2.21, 2.22, èìåþò ñëåäóþùèé

ñìûñë: îáëàñòè, ðàñïîëîæåííûå âûøå ïðåäñòàâëåííûõ êðèâûõ, ÿâëÿ-

þòñÿ îáëàñòÿìè óñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé îáîëî÷êè ïðè óêàçàííîì çíà÷å-

íèè èíòåíñèâíîñòè âíåøíåãî äàâëåíèÿ. Îáëàñòè, ðàñïîëîæåííûå íèæå

êðèâûõ, ñîäåðæàò íåóñòîé÷èâûå ñîñòîÿíèÿ îáîëî÷êè. Òî÷êè, íàõîäÿ-

ùèåñÿ íà êðèâûõ, ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðèëîæåííîå äàâëåíèå ïðè äàííûõ

çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåí-

ñòâà ôîðìû è äàííîì çíà÷åíèè ÷èñëà � ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì äëÿ îáî-

ëî÷êè.

Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ïîëó÷åííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ ê îöåíêå óñ-

òîé÷èâîñòè êîðïóñîâ íåôòÿíûõ ñêâàæèííûõ íàñîñîâ.

Íåôòÿíîé ñêâàæèííûé íàñîñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àãðåãàò, ïðåäíà-

çíà÷åííûé äëÿ âûêà÷èâàíèÿ íåôòè èç íåôòÿíîé ñêâàæèíû. Êàê ïðàâèëî,

íàñîñû ðàáîòàþò íà çíà÷èòåëüíîé ãëóáèíå, â ñâÿçè ñ ÷åì ïîäâåðãàþòñÿ

94

Ðèñ. 2.21. Çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû � îò

ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íà÷àëüíîãî

ïðîãèáà (� " 0 01, h)

Ðèñ. 2.22. Çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû � îò

äèñïåðñèè íà÷àëüíîãî ïðîãèáà

(m hC � 0 05, )

ñóùåñòâåííûì ñæèìàþùèì íàãðóçêàì ñî ñòîðîíû îêðóæàþùåãî èõ

ãðóíòà. Ýòè íàãðóçêè âîñïðèíèìàþòñÿ êîðïóñîì íàñîñà è ìîãóò ïðèâåñ-

òè ê ïîòåðå óñòîé÷èâîñòè êîðïóñà, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâåäåò ê âûõî-

äó íàñîñà èç ñòðîÿ. Ïîýòîìó èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè êîðïóñà íàñîñà

ïîä âîçäåéñòâèåì äàâëåíèÿ ñî ñòîðîíû ãðóíòà ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì

ýëåìåíòîì ïðè ïðîåêòèðîâàíèè äàííîãî àãðåãàòà.

Êîðïóñà íåôòÿíûõ ñêâàæèííûõ íàñîñîâ, èçãîòàâëèâàåìûõ ÀÎ «Ïåðì-

ñêàÿ êîìïàíèÿ íåôòÿíîãî ìàøèíîñòðîåíèÿ», ïðåäñòàâëÿþò äëèííîìåðíóþ

öèëèíäðè÷åñêóþ òðóáó, ïîëó÷åííóþ ïóòåì õîëîäíîãî ïðîôèëèðîâàíèÿ ÷å-

ðåç êîíè÷åñêóþ ôèëüåðó. Íåîáõîäèìî îöåíèòü óñòîé÷èâîñòü êîðïóñà íàñî-

ñà â ïðîöåññå ýêñïëóàòàöèè ïîä âîçäåéñòâèåì äàâëåíèÿ ñî ñòîðîíû ãðóíòà

ñ ó÷åòîì òåõ íåñîâåðøåíñòâ, êîòîðûå íåèçáåæíî èìååò êîðïóñ íàñîñà ïîñëå

èçãîòîâëåíèÿ.

Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåõàíè÷åñêîãî îïèñàíèÿ êîðïóñ íåôòÿíîãî ñêâàæèí-

íîãî íàñîñà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äëèííîìåðíóþ öèëèíäðè÷åñêóþ òðóáó

ñî ñëåäóþùèìè ãåîìåòðè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè: äëèíà — 6000 ìì,

95

Ðèñ. 2.23. Çàâèñèìîñòü êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòè äàâëåíèÿ

îò âåëè÷èíû � ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ

íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà êîðïóñà íàñîñà: 1 — � �M q ; 2, 3 —

� � � �M q D q�

âíåøíèé äèàìåòð — 45 ìì, âíóòðåííèé äèàìåòð — 32 ìì. Ìàòåðèàëîì,

èç êîòîðîãî èçãîòîâëÿþò êîðïóñà, ÿâëÿåòñÿ ñòàëü, ñâîéñòâà êîòîðîé îï-

ðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèåì ìîäóëÿ Þíãà E � �2 1011 Ïà è êîýôôèöèåíòà Ïó-

àññîíà � = 0,3.

Êîýôôèöèåíòû C i â âûðàæåíèè (2.28) áóäåì ïîëàãàòü íåçàâèñèìû-

ìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó.

Ó÷èòûâàÿ òåõíîëîãè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà èçãîòîâëåíèå êîðïóñîâ íåô-

òÿíûõ ñêâàæèííûõ íàñîñîâ, ïàðàìåòðû çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèìåì

ñëåäóþùèìè: mc � 0 0, ì, � cn

�0 0001,

ì, ãäå n — êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ

â âûðàæåíèè (2.28). Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé P * è P ** ïðèìåì ðàâíûìè

ñîîòâåòñòâåííî 0,95 è 1.

Çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê êðèòè÷åñêîãî

çíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòè âíåøíåãî äàâëåíèÿ ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ

çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà ôîðìû îáîëî÷êè

ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ÷èñëà �, çà-

äàííîãî âèäà íà÷àëüíîãî ïðîãèáà îáîëî÷êè, îïðåäåëÿåìîãî âûðàæåíèåì

(2.28), ïðè çàäàííûõ ïàðàìåòðàõ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ïðî-

ãèáà îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ

èíòåíñèâíîñòè âíåøíåãî äàâëåíèÿ.

Ïðè ðåøåíèè ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â âû-

ðàæåíèè äëÿ íà÷àëüíîãî ïðîãèáà îáîëî÷êè (2.28) ïîëàãàëîñü ðàâíûì

10.

Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2.23. Ïîñòðîåíà çàâèñè-

ìîñòü êðèòè÷åñêîãî óñèëèÿ îò âåëè÷èíû ÷èñëà � ïðè çàäàííûõ ïàðà-

ìåòðàõ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî íåñîâåðøåíñòâà ôîðìû îáî-

ëî÷êè. Çäåñü q — êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè äàâëåíèÿ. Èç

ïîëó÷åííûõ çàâèñèìîñòåé ñëåäóåò, ÷òî áåçîïàñíîé ñ òî÷êè çðåíèÿ óñ-

òîé÷èâîñòè êîðïóñà íàñîñà ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü óñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé,

ðàñïîëîæåííàÿ ñëåâà îò êðèâîé 2. Òàê, íàïðèìåð, ïðè ìàêñèìàëüíî

äîïóñòèìîì çíà÷åíèè ïðîãèáà 0,0003 ì (ò. å. � = 0,0003 ì) äàâëåíèå íà

êîðïóñ íàñîñà ñî ñòîðîíû ãðóíòà íå äîëæíî ïðåâûøàòü çíà÷åíèå

5 08 106, � Ïà.

Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü êîðïóñîâ íåôòÿíûõ ñêâà-

æèííûõ íàñîñîâ ñ ó÷åòîì ñòîõàñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî

íåñîâåðøåíñòâà ôîðìû îáîëî÷êè. Îïðåäåëåíà îáëàñòü äàâëåíèé, áåçî-

ïàñíûõ äëÿ ýêñïëóàòàöèè ñ òî÷êè çðåíèÿ óñòîé÷èâîñòè.

96

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè

1.  ÷åì ôèçè÷åñêàÿ ñóùíîñòü çàäà÷è çíàêîïåðåìåííîãî óïðóãî-

ïëàñòè÷åñêîãî èçãèáà?

2. Ñôîðìóëèðóéòå çàäà÷ó âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ ïðàâêè

êàê çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.

3. Ïðèâåäèòå âîçìîæíûé âèä öåëåâûõ ôóíêöèé â çàäà÷å ñòîõàñòè-

÷åñêîé îïòèìèçàöèè ðåæèìîâ ïðàâêè.

4. Îáúÿñíèòå ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ

íà ðèñ. 2.1.

5. Êàêóþ ìîäåëü íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü, åñëè èíòåðåñ ïðåäñòàâ-

ëÿåò ïîëó÷åíèå çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîíå÷íîé èñêðèâëåí-

íîñòè ïðîôèëÿ?

6. Êàê îöåíèòü äîñòîâåðíîñòü ïðåäïîëîæåíèÿ î çàäàííîì ðàñïðå-

äåëåíèè ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ?

7. Ñôîðìóëèðóéòå çàäà÷ó âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ îõëàæäåíèÿ

äëèííîìåðíîãî ïðîôèëÿ êàê çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.

8. ×òî ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ è ðîñòà îñòà-

òî÷íûõ íàïðÿæåíèé ïðè îõëàæäåíèè äëèííîìåðíîãî ïðîôèëÿ?

9. Êàê îöåíèòü ñòåïåíü íåñîâìåñòíîñòè ñóììû ïëàñòè÷åñêèõ è òåì-

ïåðàòóðíûõ êîìïîíåíò â çàäà÷å òåðìîóïðóãîïëàñòè÷íîñòè?

10. Îïèøèòå ìåòîäèêó îïðåäåëåíèÿ äëÿ îöåíêè óðîâíÿ íåñîâìåñò-

íîñòè ñóììû ïëàñòè÷åñêîé è òåìïåðàòóðíîé êîìïîíåíòû òåíçî-

ðà äåôîðìàöèé.

11. Êàêèì îáðàçîì ìîæíî óìåíüøèòü óðîâåíü íåñîâìåñòíîñòè ñóì-

ìû ïëàñòè÷åñêîé è òåìïåðàòóðíîé êîìïîíåíòû òåíçîðà äåôîð-

ìàöèé â çàäà÷àõ îõëàæäåíèÿ äëèííîìåðíûõ ïðîôèëåé? Ïðèâå-

äèòå ïðèìåðû äëÿ êîíêðåòíûõ ïðîôèëåé (óãîëîê, øâåëëåð, ðåñ-

ñîðíàÿ ïîëîñà).

12. Ïðèâåäèòå âîçìîæíûé âèä öåëåâûõ ôóíêöèé â çàäà÷å ñòîõàñòè-

÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðîöåññà îõëàæäåíèÿ ãîðÿ÷åêàòàíûõ ïðî-

ôèëåé.

13. Ñôîðìóëèðóéòå çàäà÷ó âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ âîëî÷å-

íèÿ êàê çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.

14.  ÷åì îñîáåííîñòü ðàññìîòðåííîé â ïîñîáèè çàäà÷è âîëî÷åíèÿ

â îòëè÷èå îò çàäà÷ âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ çíàêîïåðå-

ìåííîãî óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî èçãèáà è îõëàæäåíèÿ ãîðÿ÷åêàòà-

íûõ ïðîôèëåé?

97

15. Ïðèâåäèòå âîçìîæíûé âèä öåëåâûõ ôóíêöèé â çàäà÷å ñòîõàñòè-

÷åñêîé îïòèìèçàöèè ðåæèìîâ âîëî÷åíèÿ.

16. Ñôîðìóëèðóéòå çàäà÷ó âûáîðà ðàöèîíàëüíûõ ðåæèìîâ îñàäêè

ñïëîøíîãî öèëèíäðà êàê çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.

17. Èç êàêèõ óñëîâèé áûëî ïîëó÷åíî óðàâíåíèå îáðàçóþùåé áîêî-

âîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà?

18. ×òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð óïðàâëåíèÿ â çàäà÷å ñòîõàñòè÷å-

ñêîé îïòèìèçàöèè îñàäêè ñïëîøíîãî öèëèíäðà?

19. Ïðèâåäèòå âîçìîæíûé âèä öåëåâûõ ôóíêöèé â çàäà÷å ñòîõàñòè-

÷åñêîé îïòèìèçàöèè ðåæèìîâ îñàäêè ñïëîøíîãî öèëèíäðà.

20. Ïî÷åìó ïðè èñïîëüçîâàíèè èíäåêñîâ ðàíæèðîâàíèÿ � �H A BP1 ,

� �è H A BP5 , ïðè íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ïðåäåëà òåêó÷åñòè

ìàòåðèàëà � S è êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ f z áûëè ïîëó÷åíû îïòè-

ìàëüíûå ðåæèìû R(ÑÂ1) è R(ÑÂ2), ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþùèå

ìåæäó ñîáîé?

21. Ñôîðìóëèðóéòå çàäà÷ó ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà ïðèìå-

ðå çàäà÷è îá óñòîé÷èâîñòè ïðÿìîëèíåéíîãî ñòåðæíÿ, íàãðóæåí-

íîãî äåéñòâóþùåé âäîëü îñè ñæèìàþùåé ñèëîé.

22. Ïðèâåäèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ íà-

ïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ öèëèíäðè÷åñêîé îáî-

ëî÷êè, íàãðóæåííîé ãèäðîñòàòè÷åñêèì âíåøíèì äàâëåíèåì, íà

äî- è ïîñëåêðèòè÷åñêîé ñòàäèÿõ ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ ïðè

ñòîõàñòè÷åñêîì ðàçáðîñå íà÷àëüíûõ íåñîâåðøåíñòâ ôîðìû.

ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ

1.  ó÷åáíîì ïîñîáèè ðàññìîòðåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà

çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè è ïðèâåäåíà åå àäàïòàöèÿ äëÿ ïðî-

öåññîâ óïðóãîïëàñòè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ ìåòàëëîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî

äàííóþ ïîñòàíîâêó ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìíîãîêðèòåðè-

àëüíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ îïòèìàëüíûõ çàäà÷ è äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷è-

âîñòè ïðîöåññîâ äåôîðìèðîâàíèÿ â óñëîâèÿõ ñòîõàñòè÷åñêîãî ðàñïðåäå-

ëåíèÿ ïàðàìåòðîâ.

2. Ïðèâåäåíà ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèåâ îïòèìàëüíîñòè äëÿ

ðàçëè÷íûõ òåðìîìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðè ðàçëè÷íûõ öåëÿõ èññëåäî-

âàíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè èñõîäíîé èíôîðìàöèè. Ïðè ïî-

ñòðîåíèè êîìïëåêñíîãî êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè èñïîëüçîâàëèñü ýëå-

ìåíòû òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ.

3. Ñôîðìóëèðîâàí êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññîâ äåôîðìèðîâà-

íèÿ ïðè ñòîõàñòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè ïàðàìåòðîâ (Ð-óñòîé÷èâîñòè),

ïîçâîëÿþùèé îöåíèâàòü óñòîé÷èâîñòü ïðîöåññà â óñëîâèÿõ íåîïðåäå-

ëåííîñòè èñõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê.

4. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòàíîâîê è ðåøåíèÿ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé

îïòèìèçàöèè äëÿ íåêîòîðûõ òåðìîìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ: ïðàâêè

äëèííîìåðíûõ ïðîôèëåé íà ðîëèêîïðàâèëüíûõ ìàøèíàõ, îõëàæäåíèÿ

ãîðÿ÷åêàòàíûõ ïðîôèëåé, îñàäêè öèëèíäðè÷åñêîãî îáðàçöà è âîëî÷åíèÿ.

5. Íà ïðèìåðå èññëåäîâàíèÿ ðåæèìà äåôîðìèðîâàíèÿ îáîëî÷åê ðàñ-

ñìîòðåíà ïîñòàíîâêà è ðåøåíèå çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

99

100

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычис-ления. – М.: Мир, 1987. – 358 с.

2. Аоки М. Введение в методы оптимизации. – М.: Наука, 1977.– 356 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы оптимизации. – М.: Наука, 1983. – Т. 1. – 632 с.

4. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. – Наука, 1983. – 448 с.

5. Беркович Е.М. О теоремах существования в двухэтапных за-дачах стохастического оптимально управления // Вестник МГУ. – 1972. – Вып. 2.

6. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математическо-го анализа. – М.: Наука, 1973. – 720 с.

7. Биргер И.А. Остаточные напряжения. – М.: Машгиз, 1963. – 232 с.

8. Богданофф Дж., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений. – М.: Мир, 1989. – 344 с.

9. Болотин В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчиво-сти. – М.: Физматгиз, 1961. – 339 с.

10. Обработка нечеткой информации в системах принятия реше-ний / А.Н. Борисов [и др.] – М.: Радио и связь, 1989. – 304 с.

11. Бусленко Н.П., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. – М.: Советское радио, 1973. – 352 с.

12. Введение в математическое моделирование: учебное посо-бие / В.Н. Ашихмин, М.Б. Гитман, И.Э. Келлер, О.Б. Наймарк, В.Ю. Столбов, П.В.Трусов, П.Г. Фрик; под ред. П.В. Трусова. – М.: Логос, 2004, 2005. – 440 с.

13. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1967. – 984 с.

101

14. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1967. – 415 с.

15. Гардинер Р., Кристин В. Стохастические методы в естествен-ных науках. – М.: Мир, 1986. – 525 с.

16. Гилл Ф., Мюррей. У. Численные методы условной оптимиза-ции. – М.: Мир, 1977. – 290 с.

17. Гилязов Р.Л, Гитман М.Б., Столбов В.Ю. Управление транс-портными сетями электросвязи с учетом нечетких предпочтений // Проблемы управления. – 2008. – № 1. – С. 36–39.

18. Гитман М.Б., Панкратов А.П., Трусов П.В. Стохастическая оптимизация режимов охлаждения горячекатаных длинномерных профилей // Известия РАН. Металлы. – 1999. № 4. – С. 38–42.

19. Гитман М.Б., Трусов П.В., Федосеев С.А. Оптимизация про-цессов переработки материалов с доопределением неизвестных на-чальных характеристик // Инженерно-физический журнал. Междуна-родный научно-технический журнал. – Минск, 2000. – Т. 73. – № 3. – С. 627–636.

20. Гитман М.Б., Трусов П.В., Федосеев С.А. Стохастическая оп-тимизация процессов обработки металлов давлением // Известия РАН. Металлы. – 1996. – № 3. – С. 72–76.

21. Гитман М.Б., Якубович М.В. К вопросу об устойчивости про-цессов деформирования при стохастическом распределении началь-ных параметров // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная матема-тика. – Пермь, 1996. – № 1. – С. 61–66.

22. Готлиб Б.М., Добычин И.А., Баранчиков В.М. Основы стати-стической теории обработки металлов давлением. – М.: Металлур-гия, 1980. – 168 с.

23. Ермаков С.М. Метод Монте–Карло и смежные вопросы. – М.: Наука, 1975. – 472 с.

24. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. – М.: Наука, 1976. – 294 с.

25. Ермольев Ю.М., Ястремский А.И. Стохастические модели и методы в экономическом планировании. – М.: Наука, 1976. – 294 с.

26. Заде Л.А. Лингвистические переменные и их применение к принятию решений. – М.: Мир, 1976. – 165 с.

102

27. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетике. – Киев.: Технiка, 1971. – 372 с.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1974. – 832 с.

29. Минаев Ю.Н. Стабильность экономико-математических мо-делей оптимизации. – М.: Статистика, 1980. – 102 с.

30. Мину М. Математическое программирование. Теория и алго-ритмы. – М.: Наука, 1990. – 448 с.

31. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.: Наука, 1981. – 488 с.

32. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. – М.: Наука, 1975. – 528 с.

33. Моисеев Н.Н., Чванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оп-тимизации. – М.: Наука, 1978. – 352 с.

34. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – М.: Наука, 1982. – 256 с.

35. Попов В.А. Аналитическое выполнение арифметических операций над нечеткими числами // Модели выбора альтернатив в нечеткой среде. – Рига: Изд-во Риж. политехн. ин-та, 1980. – С. 14–15.

36. Столбов В.Ю., Гитман М.Б., Федосеев С.А. Устойчивость структурной модели управления производственными системами // Проблемы управления. – 2007. – № 5. – С. 44–47.

37. Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.

38. Фиако А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы исследования безусловной оптимизации. – М.: Мир, 1972. – 240 с.

39. Хилл. Р. Упругие свойства составных сред некоторые теоре-тические принципы // Механика: сб. переводов. – 1964. – Т. 87. – № 5. – С. 127–143.

40. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1976. – 526 с.

41. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. – М.: Наука, 1977. – 400 с.

103

42. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программиро-вания. – М.: Советское радио, 1979. – 392 с.

43. Baldwin J.F., Guild N.C. Comparison of Fuzzy Sets on the Same Decicion Space // Fuzzy Sets a. Systems. – 1979. – Vol. 2. – № 9. P.1063–1064.

44. Berry D.T. Beyond buckling. A nonlinear FE analysis // Mech. Eng. – 1987. – № 3. – P. 40–44.

45. Bojarchinov M.G., Gitman M.B., Trusov P.V. A method of solu-tion fop the cyclic bending problem // Int. J. Mech. Sci. – 1992. – Vol.34. – № 11. – P.881–889.

46. Gitman I.M., Gitman M.B. and Askes H. Quantification of sto-chastically stable representative volumes for random heterogeneous mate-rials // Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). – Publisher: Springer-Verlag GmbH, 2006. – Vol. 75. – № 2–3. – P. 79–92.

47. Gitman M.B., Trusov P.V. and Fedoseev S.A. On the stochastic optimization problems of plastic metal working processes under stochastic initial conditions // The Korean Journal of Computational @ Applied Mathematics (KJCAM). – 1999. Vol.6. – № 1. – P.111–125.

48. Gitman M.B., Trusov P.V. and Fedoseev S.A. On optimization of metal forming with adaptable characteristics // The Korean Journal of Computational @ Applied Mathematics (KJCAM). – Vol.7. – 2000. – P. 387–396.

49. Gitman M.B., Trusov P.V. and Fedoseev S.A. Stochastic Optimi-zation Problems of Plastic Metal-Working Processes // Journal of Mathe-matical Sciences. – Vol.84. – № 3 – P.1109–1112.

50. Dubois D., Prade H., Runking R. Fuzzy Numbers in the Setting of Possibility Theore // Inform. Science. – 1983. – Vol.30. – № 3. – P.183–224.

51. Lombardi M., Haftka R.T., Cinquini C. Optimization of com-posiplates for buckling by simulated annealing / 33rd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf., Apr. 13–15, 1992: Collect. Techn. Pap. Pt 5. – Washington (D. C.), 1992.

52. Mitten L.G. Compozition Principle for Symthesis of Optimal Multistage Processes // Operation Receach. – 1964. – Vol.12, – P.610–619.

104

53. Feny Qill. The study of stochastic stability of suspension system of one story // Yingyong Lixul Xuebao. Chin. J. Appl. Mech. – 1994. – №1. – P. 91–94.

54. Yager R.R. A Procedure for Ordering Fuzzy Subset of the Unit Interval // Inform. Science. – 1981. – Vol.24. – № 2. – P. 143–161.

55. Zadeh L. A. Outlain of a New Approach to the Analysis of Com-plex System and Decision Processes // IEEF Trans. Syst., Man, Cybern. – Vol. SMC-3. – P. 28–44.