ELASTICIDADE

Pela simetria verifica-se que o princípio de conservação de Momentum angular se verifica.

Como div T( ) 0= o campo é admissível , isto é a condição de conservação domomentum linera se verifica, se o corpo não estiver submetido acargas de corpo.

Além disto é necessário verificar as condiões de equilíbrio na fronteira do corpo.

(2) Um processo de carregamento sucessivo produz em um ponto de um corpo os seguintes estados de tensão.

(a) Se estes estados de tensão são combinados, qual as direções principais de tensão e o valor destas tensões.

(b) Considerando um material elástico, linear e isotrópico, calcule as compo-nentes de deformações, em relação ao sistema cartesiano ( x,y,z), asso-ciadas a este estado de tensão,

450

6000 N

6000 N

+ x x

8000 N

8000 N

600

Caso1

σx1 3000 σy1 3000 σxy1 3000

Caso 2

σx2 8000 sin 60 deg( )2 σx2 6 103

σy2 8000 sin 30deg( )2 σy2 2 103

σxy28000

2sin 120 deg( ) σxy2 3.464 103

Estado finalσx σx1 σx2 σx 3 103

σy σy1 σy2 σy 1 103

σxy σxy1 σxy2 σxy 6.464 103

σ1σx σy

2

σx σy

2

2

σxy2

σ1 7.766 103

σ2σx σy

2

σx σy

2

2

σxy2

σ2 5.766 103

Direção entre a direção x e a direção 1

θ1x12

atan2 σxy

σx σy

θ1x 36.404 deg

Rσx σy

2

2

σxy2

σmσx σy

2 θ 0

π100 π

σθ( ) σm R cos 2 θ( ) τθ( ) R sin 2θ( )

Y X( )σxy

σx σmσm X X σy σy 1 σx

1 104 5 103 0 5 103 1 1041 104

5 103

0

5 103

1 104

Circulo de MohrXYxy

σ2 σ1

7766

5766

36

(b) Deformações

Estado Plano de deformação σz 0=

εx1Eσx νσy = εy

1Eσy νσx = εz

νEσx σy =

σxz σyz= 0= εxy1 ν( ) σxy

E=

(2) Um tubo com diâmetro externo Re três vezes maior que o diâmetro interno Ri é composto de um tubo externo de aço de diâmetro interno ro=2 Ri-D e um tubo interno de diâmetro de diâmetro externo r1=2Ri+ D ajustado com interferência no tubo externo. Considerando estado plano de deformação,

(a) Calcule as tensões internas oriundas da montagem. (b) Calcule as tensões devidas a pressão interna e, com base no Critério de

Tresca, determine a pressão limite elástico para o tubo composto e o tubo homogêneo.

Re

Ri

r

Re32

Ri= ro RiΔ2

= ri RiΔ2

=

(a) Cinemática ue Ri ui Ri Δ=

εzz εrz= εθz= 0=Estado plano de deformação

Simetria de Revolução: u r( )

εrr ru r( )d

d= εθθ

u r( )r

=

(b) Constitutiva

σzz λ εrr εθθ =

σrr 2 µ εrr λεθθ εrr =

σθθ 2 µ εθθ λεθθ εrr =

(c) Equilíbrio

rσrr

dd

σrr σθθ

r 0=

Solução com pressão nula:

σrr σθθ 2 µru r( )d

dur

= 2 µ rr

u r( )r

dd

= εθθ εrrru r( )d

dur

= 1r r

u r( ) r( )dd

=

rσrr

dd

2 µ 2ru r( )d

d

2 λ

r1r r

u r( ) r( )dd

dd=

Substituindo na equação do equilíbrio:

2 µ 2ru r( )d

d

2 λ

r1r r

u r( ) r( )dd

dd 2 µ

ru r( )

rdd

0=

2 µr r

u r( )dd

u r( )r

dd

λr

1r r

u r( ) r( )dd

dd 0=

2 µr

1r r

u r( ) r( )dd

dd λ

r1r r

u r( ) r( )dd

dd 0= ou

1r r

u r( ) r( )dd D1=

ru r( ) r( )d

dD1 r=

u r( ) D1r2

D2r

=ru r( )d

d12

D1D2

r2=

σrr 2 µ λ( )ru r( )d

d

λur

= σrr 2 µ λ( )12

D1D2

r2

λ D112

D2

r2

=

σrr 2 µD2

r2 µ λ( ) D1= u r( ) D1

r2

D2r

=

Condições de Contorno e cinemática

σrriRi2

0= σrI1 Ri σrre Ri = σrr2 Re 0=

ue Ri ui Ri Δ=

σrri 8 µD2i

Ri2

µ λ( ) D1i= 0= D1i8µ

µ λ( )

D2i

Ri2

=

σrre 8 µD2e

9R.i2 µ λ( ) D1e= 0= D1e

8µµ λ( )

D2e

9R.i2=

σrri 2 µD2i

r2 µ λ( )

8µµ λ( )

D2i

Ri2

= σrri2 D2i µ

Ri2

4Ri

2

r2

=

σrre 2 µD2e

r2 µ λ( )

8µµ λ( )

D2e

9R.i2

= σrre2D2e µ

9R.i24

9R.i2

r2

=

2 D2i µ

Ri2

4Ri

2

Ri2

2D2e µ

9 Ri2

4

9 Ri2

Ri2

= D2i5 D2e

27=

σrri10 D2e µ

27Ri2

4Ri

2

r2

= σrre2D2e µ

9R.i24

9R.i2

r2

=

u r( ) D1r2

D2r

=ui r( )

D2i

Ri2

r4µ

µ λ( )

Ri2

r2

=

ue r( )D2e

9 Ri2

r

4µµ λ( )

9 Ri2

r2

=ui r( )5D2e

27R.i2 r

4µµ λ( )

Ri2

r2

=

ue Ri ui Ri Δ=

D2e9

4µµ λ( )

9

5D2e

274µ

µ λ( )1

ΔRi= D2e27 µ λ( ) Δ Ri

32 2µ λ( )=

D1i5 µΔ

4 Ri 2µ λ( )= D1e

3µ4 2µ λ( )

ΔRi=D2i

5 µ λ( ) Δ Ri

32 2µ λ( )=

σrri5 µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )

4Ri

2

r2

= σrre3 µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )

49R.i2

r2

=

σθθ µ λ( ) D12 µ D2

r2=

σθθi µ λ( )5 µ Δ

4 2µ λ( ) Ri

2 µ5 µ λ( ) Δ Ri

32 2µ λ( )

r2=

σθθi5 µ Δ µ λ( )

16 Ri 2µ λ( ) 4

Ri2

r2

= σθθe3 µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )

49R.i2

r2

=

σzz λ εrr εθθ =λσrr σθθ

2 µ λ( )=

σzzi5 µ λ Δ

4 Ri 2µ λ( )= σzze

3 µ λ Δ4 Ri 2µ λ( )

=

Adimensionais

ρ2rRi

= ρ 1 1.01 3

Σ σ2 Ri

Δ

2µ λ( )µ µ λ( )[ ]

=

Σrr ρ( ) if ρ 252

11

ρ2

32

19

ρ2

Σθθρ( ) if ρ 252

11

ρ2

32

19

ρ2

ν 0.3

Σzz ρ( ) if ρ 252

ν32ν

1 1.5 2 2.5 36

4

2

0

2

4

6

Σrr ρ( )

Σθθρ( )

Σzz ρ( )

ρ

Solução do cilindro com pressão interna sem interferencia

σrr 2 µD2

r2 µ λ( ) D1= σθθ µ λ( ) D1

2 µ D2

r2=

σrrRi2

p= 8 µD2

Ri2

µ λ( ) D1 p=

σrr32

Ri

0= 8 µD2

9 Ri2

µ λ( ) D1 0= D1

8 D2 µ

9 Ri2

µ λ( )=

D1p

8 µ λ( )=8 µ

D2

Ri2

µ λ( ) D1 p= D29 Ri

2 p

64 µ=

µ λ( )µ

1 2 ν= λ

2νµ1 2 ν

=σrrp32

9 Ri

2

r24

= σθθp32

9 Ri2

r24

=

2 µ λ( )2 µ 1 ν( )

1 2 ν= µ µ λ( )

2 µ λ( )µ

2 ν 1( )=

Pressão interna mais montagem com interferência:

σrri5 µ µ λ( ) Δ16Ri 2µ λ( )

4Ri

2

r2

p32

9 Ri2

r24

= σθθi5 µ Δ µ λ( )

16 Ri 2 µ λ( ) 4

Ri2

r2

p32

9 Ri2

r24

=

σrre3µ µ λ( ) Δ16 Ri 2µ λ( )

49R.i2

r2

p32

9 Ri2

r24

= σθθe3 µ Δ µ λ( )

16 Ri 2 µ λ( )4

9R.i2

r2

p32

9 Ri2

r24

=

σrrip8

5 µ Δ4Ri 1 ν( )

932

p5 µ Δ

16 Ri 1 ν( )

Ri2

r2= σθθi

p8

5 µ Δ4Ri 1 ν( )

932

p5 µ Δ

16 Ri 1 ν( )

=

σrrep8

3 µ Δ4Ri 1 ν( )

p32

3 µ Δ16 Ri 1 ν( )

9 Ri2

r2= σθθe

p8

3 µ Δ4Ri 1 ν( )

p32

3 µ Δ16 Ri 1 ν( )

9 Ri2

r2=

Σσp

=θ 0π20

π2

Sem interferência:

Σrrs ρ( )18

9

ρ21

Σθθs ρ( )18

9

ρ21

Com interferência

εEΔ

Ri p 1 ν2

=

Σrri ρε( )18

58ε

98

58ε

1

ρ2

Σθθi ρε( )18

58ε

98

58ε

1

ρ2

Σθθe ρε( )18

38ε

18

38ε

9

ρ2Σrre ρε( )

18

38ε

18

38ε

9

ρ2

Σθθc ρε( ) if ρ 2 Σθθi ρε( ) Σθθe ρε( ) Σrrc ρε( ) if ρ 2 Σrri ρε( ) Σrre ρε( )

1 1.5 2 2.5 33

2

1

Sigma rSigma r - epsi=1Sigma r - epsi=3Sigma r - epsi=5

01 2

1 1.5 2 2.5 35

0

5

10

Sigma tetaSigma teta - epsi=1Sigma teta - epsi=3Sigma teta - epsi=5

0

1 2

1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

TrescaTresca - epsi=1Tresca - epsi=3Tresca - epsi=5

0

1 2

Sem interferência : τs ρ( ) Σθθs ρ( ) Σrrs ρ( ) τsc ρε( ) Σθθc ρε( ) Σrrc ρε( )

ρ 4

Given

1 ρ 3

ρmax Maximize τs ρ ρmax 1 τs ρmax 2.25

ε 1.8

ρMaxc ε( ) Maximize τsc ρ ρMaxc ε( ) 2 τsc ρMaxc ε( ) ε 3.6

αPlimeσY

1τs

= αs1

τs ρmax

αs 0.444

αsc1

τsc ρMaxc ε( ) ε

αsc 0.278

(1) Uma viga (b=1) é carregada na sua extremidade livre por uma carga distribu-ída p(y,z). Assumindo estado plano de tensão, utilize as funções de tensão de Airy para determinar a distribuição de tensões na viga .Plote os resulta-dos no engaste. Compare estes resultados com os obtidos pela teoria de vi-ga de Euler.

h/2

h/2 P

R

x

y

L

M

p y z( )3 P

2 b h1 4

y2

h2

=A

Ap y z( )

d P=

Condições de Contorno:

σyy xh

2

0= σyy xh2

0= σxx L y( ) 0=

σxy xh

2

0= σxy xh2

0= σxy L y( )3 P

2 b h1 4

y2

h2

=

h

2

h

2ybσxy L y( )

d P=h

2

h

2ybσxy 0 y( )

d P=

h

2

h

2ybσxx L y( ) y

d 0=

h

2

h

2ybσxx 0 y( ) y

d P L=

O momento em cada seção deve satisfazer acondição:

h

2

h

2ybσxx x y( ) y

d M x( )=

σxx 2yϕx y( )d

d

2= σyy 2x

ϕx y( )d

d

2= σxy x y

ϕx y( )

=

ϕ3 x y( ) a2 x2 b2 x y c2 y2

a3 x3 b3 x2

y c3 x y2 d3 y3

=

ϕ4 x y( ) a4 x4 b4 x3

y c4 x2 y2

d4 x y3 e4 y4

=

ϕ5 x y( ) a5 x5 b5 x4

y c5 x3 y2

d5 x2 y3

e5 xy4 f5 y5

=

Pela condição de simetria de

σyy xh2

σyy x

h2

= 0= então Φ deve conter termos pares em y

dϕxx 6 a3 x 12 a4 x2 2 c4 y2

20 a5 x3 6 c5 x y2

=

dϕxy b2 2 c3 y 3 d4 y2 4 c4 x y 6 c5 x2

y 4 e5 y3=

dϕyy 2 c2 2 c3 x 6 d3 y 2 c4 x2 6 d4 x y 12 e4 y2

2 c5 x3 12 e5 x y2

=

Para satisfazer ∇4=0 algumas restrições devem ser impostas aos coeficentes, por exemplo:

Para ϕ4 x y( )

2 2x 2yϕx y( )d

d

2d

d

2

8 c4 24 c5 x=4xϕx y( )d

d

424 a4 120 a5 x= 4y

ϕx y( )d

d

424 e4 24 e5 x=

24a4 24e4 8c4 0= e4 a4c43

=

120 a5 24 e5 24 c5 0= e5 5 a5 c5 =

σyy xh2

σyy x

h2

= 0=

σyy xh2

3 c5 h2 x

2

c4 h2

2 20 a5 x3

12 a4 x2 6 a3 x= 0=

3 c5 h2

26.a3 0= c4 0= a5 0= a4 0=

e4 a4= e5 c5= a3c5 h2

4=

σyy3 c5 h2

2x 6 c5 x y2

=

σxy b2 2 c3 y 3 d4 y2 6 c5 x2

y 4 c5 y3

=

σxx 2 c2 2 c3 x 6 d3 y 6 d4 x y 2 c5 x3 12 c5 x y2

=

σxy L y( )3 P

2 b h 1 4

y2

h2

= c5 0= c3 0= b23 P

2 b h= d4

2 P

b h3

=

σyy 0=

σxy3 P

2 b h6 P

b h3

y2

=3 P

2 b h 1 4

y2

h2

=

σxx 2 c2 6 d3 y12 P

b h3

x y=

σxx L y( ) 0= 2 c2 6 d3 y12 P

b h3

L y 0= c2 0=

d32PL

b h3

=

σxx 62PL

b h3

y12 P

b h3

x y= σxx12P L

b h3

y 1xL

=

b

h

2

h

2y

3 P2 b h

1 4y2

h2

d simplify P ok!

b

h

2

h

2y

12P L

b h3

y 1xL

d simplify 0 ok!

b

h

2

h

2y

12P L

b h3

y2 1

xL

d simplify P L x( ) M x( ) P L x( )[ ]= ok!

Coincide com a solução analítica, exceto pela tensão de cisalhamento que é nula na teoria de viga.

Σσb h

P= ξ

xL

= η2yh

=Representação gráfica no engaste x=0

Σxy η( )32

1 η2 ε

hL

=Σxx ξη ε( )6εη 1 ξ( )

η 1 0.999 1 ξ 0 0.01 1

1 103 500 0 500 1 1031

0.5

0

0.5

1Tensões: h/L=0.01

η

η

Σxy η( ) Σxx 0 η 0.01( )

10 5 0 5 101

0.5

0

0.5

1Tensões: h/L=1

η

η

Σxy η( ) Σxx 0 η 1( )

ε 0.01 Σξη( )12

ε2η 1 ξ( )

ξlow 0 ξhigh 1 ηlowε

2 ηhigh

ε2

ξn 100 ηn 100

Xτ CreateMesh Σξlow ξhigh ηlow ηhigh ξn ηn

Xτ

ε 1 Σξη( )12

ε2η 1 ξ( )

ξlow 0 ξhigh 1 ηlowε

2 ηhigh

ε2

ξn 100 ηn 100

Xτ CreateMesh Σξlow ξhigh ηlow ηhigh ξn ηn

Xτ

Eν

1 ν2

λ2νµ

1 2 ν=

Ri2

r2

2