:: Questões resolvidas de MATEMÁTICA. Espero que possa ajudar de forma fácil e rápida. Um GRANDE...
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:: Questões resolvidas de MATEMÁTICA. Espero que possa ajudar de forma fácil e rápida. Um GRANDE abraço e bom estudo. Fred Tavares www.nordesttino.com [email protected]
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:: Questões resolvidas de MATEMÁTICA.
Espero que possa ajudar de forma fácil e rápida. Um GRANDE abraço e bom estudo.
Fred Tavares
Fred Tavares
Como estudar
MatemáticaO estudante que se prepara para um teste tem de dominar as ferramentas básicas da Matemática, que vai usar sempre. Como enfrentar todos os assuntos durante o ano?
Cada pessoa tem o seu método de estudar, mas uma coisa não dá para deixar de lado: o esforço.
O estudante precisa usar todos os recursos possíveis.
Tem de estudar teoria, aprender conceitos, entender os exemplos que são dados e estudar sempre escrevendo. Matemática não dá para estudar só lendo.
Um conselho: não se deve ficar um período inteiro tentando resolver um exercício que não sai. É contraproducente. Perdeu mais de 10, 15 minutos num exercício, põe de lado e registra: "não sei fazer este". Depois tenta de novo. Se ainda aí não conseguir resolver, deve pedir ajuda ao professor, ao plantonista ou a um colega. O pedido de ajuda correto deve ser no sentido de a outra pessoa dar dicas, orientação para resolver a questão – e não buscar a resposta pronta e desenvolvida.
Abraços Fred Tavares
Fred Tavares
Como estudar
Matemática
Fred Tavares
(UFPB) Qual a solução da equação abaixo:
2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1
Aplicando a propriedade distributiva:
2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1 4x+14+9x-15=12x+15-1
4x+9x-12x=15-1+15-14 (juntando os termos semelhantes)
x=15 Portanto V={15}
Equação do 1º grau
Fred Tavares
Equação do 1º grau (Unb) Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h.Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque?
Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora:
“A” enche V/10 do tanque;
“B” enche V/15 do tanque
A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6
Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t = V
Portanto t = 6horas
(UFPR) Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo:
Uma equação do 1º grau y=ax+b Pelo gráfico, concluímos:Quando x=0, y=2 ponto (0,2) Quando y=0, x=-4 ponto (0,-4)Substituindo os valores em y=ax+b:2=a.0+b 0 = -4a + 2b=2 a = 1/2
Logo, a expressão é y = 1/2x+2.
Fred Tavares
Equação do 1º grau
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Função Composta (UFBA) Se f(g(x)) = 5x – 2 e f(x) = 5x + 4, determine a função g(x).
Para esse caso basta substituir o x por g(x)
f(x) = 5x + 4
f(g(x)) = 5.g(x) + 4 = 5x – 2.
Logo, teremos:
5.g(x) + 4 = 5x – 2
5.g(x) = 5x – 2 – 4
g(x) = (5x – 6) 5
Geratriz(UFBA) Qual a fração geratriz de 0,39191... ?
Seja x = 0,39191... Podemos escrever:
10x = 3,9191...
1000x = 391,9191...
Subtraindo membro a membro, vem:
1000x – 10x = 391,9191... – 3,9191...
990x = 388
x = 388/990 = 194/495,
que é a fração geratriz procurada.
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Geratriz
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MMC (UEFS) Hoje, A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga de 6 em 6 dias e B, de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide sempre a cada x dias, pode-se concluir que o valor de x é:
Tratar-se de um problema de MMC - mínimo múltiplo comum.
Então, MMC(4,6) = 12 4,6 22,3 21,3 31,1 12
Geometria Espacial (UNICAMP) O número de faces de um poliedro convexo de 20 arestas é igual ao número de vértices. Determine o número de faces do poliedro.
V + F = A + 2 dica ( Vamos Fazer = Amor a 2 )
É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica:
V + F = A + 2F + F = 20 + 2 ;
logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11.
Portanto, o poliedro possui 11 faces.
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Raciocínio Um casal foi casar a filha.
p: O padre perguntou a jovem. Filha quantos anos você tem?j: A jovem respondeu. Tenho a metade da idade de minha mãe. p: O padre virou-se para a mãe da jovem e perguntou. Quantos anos a senhora tem? m: A mulher respondeu. Sou 10 anos mais nova do que meu marido.p: O padre virou-se para o marido da senhora e perguntou-lhe. Quantos anos o senhor tem? h: O Homem respondeu. A soma das nossas três idades é igual a um século.
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Raciocínio Resolução:
O ponto de partida é a idade da mãe que é igual a “x”
x + x + x + 10 = 100 2 (tirando o mínimo)x + 2x + 2x + 20 = 200
5x = 200 - 20
5x = 180
x = 180 : 5
x = 36 anos, a idade da mãe 18 anos, a idade da filha 46 anos, a idade do pai
Fred Tavares
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Raciocínio Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?
1tijolo = 1 kg + ½ tijolo1tijolo – ½ tijolo = 1 kg½ tijolo = 1kgse ½ tijolo pesa 1 kg, logicamente 1 tijolo pesa 2 kg, e um tijolo e meio, ou seja, 1 ½ tijolo pesa 3 kg.
Um prisioneiro encontra-se em uma cela de duasportas(saídas), a da liberdade(L) e a do fuzilamento(F), e emcada porta tem um guarda, sendo que um deles só fala a verdade e o outro só fala mentira, porém o prisioneiro não sabe quem fala a verdade nem o que mente. Qual a perguntaque ele deve fazer a qualquer um dos guardas para ganhar a liberdade?
Basta fazer a pergunta para os dois guardas.Como vimos no enunciado do problema, tem um guarda que só fala mentira, portanto se o prisioneiro chegar para ele e perguntar ... Se eu perguntar para o seu colega qual a porta daliberdade, que porta ele vai indicar? Ele apontar para a porta (F).
Fred Tavares
Raciocínio (UFPB) Quantas vezes 100 é maior que 20?
O referencial neste caso é 20, portanto apure a diferença entre os números dados, em seguida divida o resultado apurado pelo referencial, ou seja:100 – 20 = 8080 : 20 = 4, portanto 100 é 4 vezes maior que 20, ou na forma percentual, 100 é 400% maior que 20.
Existe uma outra maneira de resolver este problema, através de uma equação:
20(x + 1) = 100 x + 1 = 100 : 20 x + 1 = 5 x = 5 – 1 x = 4, mais uma vez, 100 é 4 vezes maior que 20.
Qual a metade de dois mais dois?
A metade de 2 é igual a 1, somado com 2 é igual a 3½ x 2 + 2 = 1 + 2 = 3
Fred Tavares
Regra de Três (UEPB) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).
Representaremos o tempo procurado pela letra T.De acordo com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h) Tempo (s) 180 20 200 T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: Quando a velocidade aumenta o tempo diminui.Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima. Assim 180.20=200.T, donde segue que 200T=3600 e assim T=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.
Fred Tavares
Análise Combinatória(FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas serão necessários aproximadamente:a) 10 dias b) Um século c) 10 anos d) 100 séculos e) 10 séculos
Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja, calcular o número de permutações simples de 10 elementos. Da teoria, teremos:P10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para esgotar todas as possibilidades. Vamos converter esse número em anos e, para isto vamos dividir por 360 dias (o mais exato seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma solução aproximada). Logo, vem:10!/360 = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1/360 = 10080 dias ou 100 séculos
Logo, serão necessários 100 séculos para esgotar todas as possibilidades, o que nos leva à alternativa D.
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Análise CombinatóriaFunções
(UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma mesa de três pernas está sempre firme. Explique.
As três pernas determinam um único plano. Já as quatro pernas podem determinar mais de um plano, rigorosamente
C4,3 = 4 planos, ocorrendo nesse caso, oscilação.
Obs: C4,3 = nº de combinações de 4 elementos, taxa 3.
Cn,p = ___n!____ dica para decorar:
p!(n-p)!
Comigo não pode, não pode, não pode.
(FFT) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a função f: A em B, f(x) = x². Encontre o conjunto imagem fazendo os diagramas.
F(x) = x2 F(0) = 02 = 0F(1) = 12 = 1F(2) = 22 = 4
Temos:No nosso exemplo a Im = { 0, 1, 4}
Fred Tavares
Expressões (FUVEST) Qual o valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1?
Basta que você substitua cada variável por seu valor.
a³ - 3 a² x² y²103 – 3.102.32.12 = 1000 – 3.100.9.1 = 1000 – 2700 = -1700
(UNICAMP) Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais: f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}
Qual o valor da função f+g?
Logo temos: (f+g)(x)=f(x)+g(x). (f+g)(1)=f(1)+g(1) = 2 + 5 = 7
(f+g)(2)=f(2)+g(2) = 3 + 2 = 5(f+g)(3)=f(3)+g(3) = 4 + 3 = 7(f+g)(4)=f(4)+g(4) = 5 + 1 = 6
Resposta {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}
Fred Tavares
FunçõesPorcentagem
( UNESP) Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)-g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?
Para f(x), vamos substituir 1 no valor de x e para g(x) vamos substituir 0.f(1) = 2.1-4=-2 g(0) = 3.0+a=a Logo, fazendo a subtração f(1) – g(0) = 6 → -2 - a = 6 → a = -8
(Mack) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60%do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintaré:a) 10% b) 15% c) 23% d) 28% e) 33%
Resolução
1) 60% de 70% = 42%2) 100% – 42% – 30% = 28%
Fred Tavares
Análise CombinatóriaFunções Exponencial
(Mack) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografiae 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é:Resolução
Dos 4 professores de cada uma das três disciplinas,serão escolhidos sempre 3 professores. O númerototal de comissões possíveis com 9 professoressendo 3 de cada disciplina é:C4;3 . C4;3 . C4;3 = 43 = 64
(FUVEST) Se 2m = 3, então log254 é igual a:
Resolução2m = 3 logo m = log23Então: log254 = log2 (2 . 33) = log22 + 3 . log23 = 1 + 3 . m
Fred Tavares
EscalaFunções
(FUVEST) Um mapa está numa escala 1:20 000 000, o que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de 20 000 000 de unidades.Se no mapa a distância entre duas cidades é de 2 cm , então a distância real entre elas é de:
Se o mapa está na escala de 1:20 000 000 então a distânciade 2cm entre duas cidades corresponde a umadistância real de 40 000 000 cm, ou seja, 400 km.
Paula digita uma apostila em 2 horas, enquanto Ana ofaz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitandonos primeiros 50 minutos, o tempo necessário paraAna terminar a digitação da apostila é:
Seja T o trabalho de digitar a apostila, e x o tempo, emminutos, necessário para Ana terminar a digitação iniciadapor Paula. Tem-se que:Paula digita T em 2 horas e portanto T/120 por minuto.Ana digita T em 3 horas e portanto T/180 por minuto.Assim sendo, (T/120). 50 + (T/180). x = T 150 T + 2T x = 360 T então x = 105
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PorcentagemProbabilidade
(UFBA) Num grupo de 400 pessoas, 70% são não-fumantes.O número de fumantes que devemos retirar do grupo,para que 80% das pessoas restantes sejam não-fumantes,é:
I) O número de não-fumantes do grupo inicial é de70% de 400 pessoas = (70 . 400):100 = 280 pessoas.II) Seja x o número de fumantes que devemos retirardeste grupo. Para que o número de não-fumantespasse a ser de 80% das pessoas restantes, devemoster:280 = 80% (400 – x) então x = 50
(UFRN) Considere a seqüência (2 , 3 , ..., 37), de números primos maiores que 1 e menores que 40. Escolhidos aoacaso dois deles, a probabilidade de serem ímparesconsecutivos é:
A seqüência dos números primos, entre 1 e 40, é:B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}Existem 5 pares de dois primos ímpares consecutivosem B:(3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19) e (29; 31)Existem C12,2 = 66 duplas de elementos de BEntão a probabilidade procurada é P = 5/66
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Produtos NotáveisRegra de Três
( DICA) Calcule 41x39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
FATORAÇÃO
ax+2a = a(x+2)a²-b² = (a+b)(a-b)a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)
(UFCE) Um certo setor de uma empresa tem várias máquinas, todas com o mesmo custo operacional por hora. Se o custo de operação de 3 delas, em 2 dias, funcionando 6 horas por dia, é de R reais, então o custo de operação em reais de 2 delas, em 4 dias, funcionando 5 horas por dia, é igual a?
Por regra de três composta temos:x = R . 2/3 . 4/2 . 5/6 = 10R/9
Fred Tavares
PorcentagemCombinatória
(UFBA) Na compra a prazo de um aparelho eletrodoméstico, o total pago por uma pessoa foi R$ 672,00. A entrada teve valor correspondente a 1/6 do total, e o restante foi pago em 4 parcelas, cujos valores formaram uma progressão aritmética crescente de razão R$ 40,00.O valor da última prestação foi?
Valor total: R$ 672,00Entrada: 1/6 de R$ 672,00 = R$ 112,00Valor financiado em P.A.: R$ 560,00 com razão R$ 40,00Logo temos (x, x + 40, x + 80, x + 120).Então x + x + 40 + x + 80 + x + 120 = 560Portanto x = 80 reais.A 4a prestação é x + 120, isto é, R$ 200,00.
(UFPB) Em uma Olimpíada, a delegação de um país A se apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os alojamentos da Vila Olímpica eram para quatro pessoas, e um deles foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O número de maneiras distintas de formar esse grupo de 4 atletas era de ?
Análise Combinatória, temos a fórmula da combinação
C10, 2 . C6, 2 = 45 . 15 = 675
Fred Tavares
Geometria EspacialEquações
(CEFET) Uma pessoa comprou um vasilhame para armazenar água em sua casa e, colocar 0,256 m3 de água, constatou que a parte ocupada correspondia a apenas 40% da capacidade total. Se esse vasilhame tem o formato de um cilindro circular reto e altura de 1 m, então o raio de sua base, em metros, é
0,256 _______ 40% V = 0,64 m3
V _______100%
O volume de um cilindro é (área da base) x altura
R2 . 1 = 0,64 R = 0,8m
(CEFET) O valor de x que é solução, nos números reais, da equação 1/2 + 1/3 + 1/4 = x/48 é igual a:
6 + 4 + 3 = x então 13 = x x = 52 12 48 12 48
Fred Tavares
LogaritmosComplexosPolinômios
(UFPR) Considere a função real de variável real, definida por f(x) = 3 + 2–x. Então f( log2 5 ) é igual a:
Esta questão é extremamente simples e requer do vestibulando habilidade no uso de exponenciais e logaritmos.f(log2 5 ) = 3 + 2[–log
25] = 3 + 2 [log
2(1/5)] = 3 + 1/5 = 16/5
(UEPB) O polinômio P(x) = 2x3 – x2 + ax + b, em que a e b são números reais, possui o número complexo i como uma de suas raízes. Então o produto ab é igual a:
Basta usar o Teorema de D’Alembert.
P(i) = 2i3 – i2 + ai + b = 0 substituindo P(–i) = 2(–i)3 – (–i)2 – ai + b = 0
Ou seja: –2i + 1 + ai + b = 0 2i + 1 – ai + b = 0 pela igualdade 1 + b = 0 b = – 1, logo – 2i + 1 + ai – 1 = 0 a = 2.
Portanto, ab = – 2
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ProgressãoAritmética
(FUVEST) Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem.
A) (0, 5, 12, 21, 23)B) (6, 8, 15, 27, 44)C) (-3, 0, 4, 5, 8)D) (7, 3, 2, 0, -1)E) (2, 4, 8, 20, 30)
A) (5, 7, 9, 2) B) (2, 7 12, 17) C) ( 3, 4, 1, 3) D) (–4, –1, –2, –1) E) (2, 4, 12, 10)
Claramente vemos que apenas (2, 7, 12, 17) representa uma parte de uma progressão aritmética. Portanto apenas a seqüência (6, 8, 15, 27, 44) contém parte de uma P. A. de segunda ordem.
Esta questão é interessante, pois requer dos concorrentes habilidade de leitura compreensiva e posterior aplicação de um conceito. Construindo as seqüências das diferenças obtemos:
Fred Tavares
Análise Combinatória (FUVEST) A quantidade de números inteiros,positivos e ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a:
É interessante notar que os algarismos escolhidos têm que ser distintos. Formemos um dos números pedidos sob a forma XYZ. Há 5 escolhas possíveis para Z pois XYZ é ímpar. Para X, há 8 escolhas possíveis, pois o zero não pode ser escolhido. Escolhidos X e Z, restam para Y 8escolhas dentre os 10 algarismos oferecidos.Logo, há 885 = 320 números.
João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?
Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.
Fred Tavares
Aritmética Básica Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:
1 ovo = R$ 6,00 2 ovos = R$ 11,00 3 ovos = R$ 15,00 4 ovos = R$ 18,00
Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos? Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos? Sem promoção, quanto ele pagaria a mais pela compra dos 177 ovos?
Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3.Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00. Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.
Fred Tavares
Divisores (UnB) Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.
Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.
(FFT) De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?
Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.
Fred Tavares
Exponencial(UEA) Resolver a inequação 4x-1+ 4x– 4x+1> –11/4
Resolução:A inequação pode ser escrita 4x/4 + 4x – 4x.4 > - 11/4Multiplicando ambos os lados por 4 temos:4x + 4.4x – 16.4x > -11, ou seja:(1+4 – 16).4x > –11 –11.4⇒ x > –11 e daí 4x < 1Porém, 4x < 1 4⇒ x < 40.Como a base (4) é maior que 1, obtemos:4x < 40 x < 0⇒Portanto S = IR– (reais negativos)
(UEA) O gráfico de f(x) = ax2 intersecta a curva y = 2x no ponto P de abscissa 1. O gráfico de f passa pelo ponto:
Fazendo a igualdade ax2 = 2x
Para x = 1, teremos que a = 2;Logo f(2) = 2.22 = 8 . O que nos leva a concluir que f passa pelo ponto Q(2,8)
(UEA) Supondo m > 0 e m ≠ 1, o valor de logm2 é igual
a:
Resolução:
Logm2 = Logm
2 m1/3 = (1/3)/2 = 1/3 x 1/2
Resposta: 1/6
Fred Tavares
Logaritmos 3 m
3 m
