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Professora Roseli

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

A Matemática Financeira tem como objetivo principal estudar o vaor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro no tempo.

Juros(J) É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Essa remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: - De quem paga: nesse caso o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc- De quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. Em outras palavras, o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro, ou seja, toda vez que alguém compra a prazo, ou deixa de quitar suas dívidas na data do vencimento, contrai, nesse momento, um empréstimo financeiro de terceiros. Na verdade o juro existe porque as pessoas nem sempre possuem recursos financeiros disponíveis para consumir ou quitar suas dívidas à vista. O juro caracteriza-se ainda, em tese,pela reposição financeira das perdas sofridas com a desvalorização da moeda (ou seja, a inflação) durante o período em que esses recursos estão emprestados. Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja esse capital próprio ou de terceiros.

Capital(C) ou Present Value(PV) È o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de início da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor atual, Investimento inicial, valor presente ou valor aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. Como vimos, o capital é o recurso financeiro, base para o cálculo dos juros, e toda vez que tomamos dinheiro emprestado, compramos uma mercadoria, efetuamos um investimento ou simplesmente deixamos de cumprir com algum compromisso financeiro, estamos, na verdade efetuando operações de movimentação do capital que sofrem os efeitos da inflação e do tempo.

Taxa(i) É o coeficiente obtido da relação dos juros(J) com o capital(PV), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “i” vem do inglês interest que significa juro.Apresentação das taxasAs taxas podem ser apresentadasde duas formas:- Percentual (%)- Decimal ou unitáriaNa calculadora HP-12C será usada a forma percentual enquanto que nas fórmulas(operações algébrias) serão usadas as taxas unitárias Exemplo:

42% = = 0,42

A primeira forma recebe o nome de forma percentual e a segunda forma unitária, ou seja para transformarmos uma taxa percentual para forma unitária ou decimal, basta dividir por 100.Para realizar o processo contrário, ou seja, transformar de forma unitária para percentual, devemos multiplicar por 100.Além disso as taxas poderão aparecer em qualquer unidade de tempo. Exemplo: 12% a.t.(ao trimestre)

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0,05% a.d.(ao dia), etc

Prazo ou tempo ou período(n) È o tempo necessário que um certo capital (PV), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir certo valor de juros(j).

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Entendemos por regimes de capitalização o processo de formação do juro.Há dois tipos de regimes de capitalização: a juros simples e a juro composto.

JUROS SIMPLES

É o processo de juro calculado unicamente sobre o capital inicial. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo. Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. Logo:PV – capital inicial ou principalJ – juros simplesN ou t – tempo de aplicaçãoI – taxa de juro unitária

FÓRMULA DE JUROS SIMPLES: J = PV.i.n

É importante observar que essa fórmula só pode ser usada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma medida de tempo a que se refere à taxa i considerada.

Exemplo: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês?J=? Logo J=PV. i . nPV=150.000 J=150.000 . 0,04 . 18n=18 meses J=108.000,00i = 4%am=0,04

2 – Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$108.000,00, à taxa de juros simples de 4% ao mês?PV=? n=18 meses j=108.000 i= 4% am=0,04

Logo J=PV . i. n

108.000 = PV . 0,04 . 18 108.000 = PV . 0,72 PV=150.000

Exercícios:1-Determinar quanto renderá um capital de R$58.000,00, aplicado à taxa de 2% ao mês, durante 6 meses.

2-Ao fim de quanto tempo o capital de R$32.000,00, aplicado a juros simples à taxa de 0,15% ao dia produz R$5.200,00 de juros?

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3-Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 32% ao ano, durante 3 anos, produz R$1.800,00 de juros.

4-A que taxa de juros simples um capital de R$25.300,00 aplicado durante 260 dias produz R$5.400,00 de juros?

5-Em quantos meses um capital de R$28.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 3,5% ao mês produz juros no valor de R$7.500,00?

MONTANTE

É definido como a soma do capital inicial mais os juros ganho no período da aplicação. Portanto: FV = J + PV

Ou FV = PV (1 + in)

Exemplo:1- Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$280.000,00, durante 15 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês?FV=? PV=280.000 n=15 i=3%am = 0,03

FV = PV(1+i.n) ou J = PV.i.nFv = 280.000.(1+0,03.15) J = 280.000.0,03.15FV= 280.000.1,45 J = 126.000 logoFV = 406.000 FV = J + PV FV = 126.000 + 280.000 = 406.000

Exemplo 2-Calcular o valor do capital que,. aplicado durante 2 anos, à taxa de 12% ao ano produz um montante de R$158.000,00.

Exemplo 3-Em quanto tempo um capital de R$1.800,00, aplicado à taxa de 2% ao mês, gera um montante de R$2.500,00?

Exemplo 4-Um capital aplicado gerou um montante de R$15.200,00. Considerando-se uma taxa de juros de 13% ao ano e uma remuneração de R$8.250,00, determinar o prazo da aplicação.

Exemplo 5-Em quanto tempo um capital aplicado a 2% ao mês rende juros igual a 1/5 do seu valor?

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Exemplo 6-Um capital emprestado gerou R$9.600,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 10 meses e a taxa de juros de 3,5% ao mês, calcular o valor do montante.

TAXAS EQUIVALENTES E TAXAS PROPORCIONAIS A JUROS SIMPLES

Duas taxas são ditas proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.Ex: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano:12 meses..........30%1 mês ...............Xlogo12.x = 1.30x = 30/12 = 2,5% am

Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.Ex: Calcule o juro produzido pelo capital de R$20.000,00:

a) à taxa de 4% ao mês durante 6 meses;b) à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.

EM REGIME DE JURO SIMPLES, DUAS TAXAS PROPORCIONAIS SÃO EQUIVALENTES.

Exercícios:1 - Calcule a taxa mensal proporcional a

a) 9% ao trimestreb) 24% ao semestrec) 0,04% ao diad) 30% ao ano.

Respostas: a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao mês

2 – Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. (R$500,00)

3-Qual a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de R$2.450,00 que após 2 meses e 13 dias gerou um montante de R$3.230,00? (15,636050% ao ano)

4-Determinar quanto renderá um capital de R$8.200,00 aplicado à taxa de 10% ao trimestre durante 50 dias.(R$455,55)

5 – Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.(R$15.725,00)

6-A quantia de R$1500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% ao ano pelo prazo de 100 dias. Qual será o juro desta aplicação se for considerado o juro exato?(R$172,60)

7-Um capital de R$8.200,00 foi aplicado no dia 06/01/2007 e resgatado em 20/06/2007. Sabendo-se que a taxa de juros é de 30% ao ano, calcular o valor do montante considerando o juro exato.(R$9.312,05)

8-Uma aplicação de R$12.500,00 foi feita a uma taxa de 0,2% ao dia em 14.08.2007

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gerando juros de R$2.800,00. Qual foi a data do resgate de tal aplicação?(04/12/2007)

JURO EXATO E JURO COMERCIAL SIMPLES

Chamamos de juro comercial a técnica de calcular os juros simples considerando o ano com 360 dias e o mês com 30 dias.Chamamos de juro exato aquele que considera o ano com os seus dias exatos (365 ou 366 dias) e os meses iguais ao seu número de dias (28, 29, 30 ou 31 dias).

Para calcular o número de dias entre duas datas pela HP12C Exemplo: Determinar o nº exato de dias entre 11/03/2007 à 18/05/2007 no mesmo ano:Pela tabela temos 18/05 = 138 dias 11/03 = 70 dias -------------------------- total de 68 dias corridos

Pela HP12CPrimeiro temos que colocar no formato nacional a data:Tecle: (g)(D.MY), esta função está embaixo da tecla nº 4 em azul.Agora: Digite a primeira data: 11.032000 e dê ENTER Digite a segunda data: 18.052000 e tecle (g)( DYS) Aguarde a HP12C equacionar a resposta = 68 dias corridos

Para calcular a data futura a partir de uma data atual:Exemplo:Se um CDB de 184 dias foi adquirido em 14.08.2007, qual a data de resgate?Digite a data : 14.082007 ENTERDigite o nº de dias: 184 (g) (DATE)A HP12C dará a resposta: 14.02.2008 4

O dígito que aparece na extrema direita do visor indica o dia da semana, sendo 1 – Segunda 2-Terça 3-Quarta 4-Quinta 5-Sexta 6-Sábado 7-Domingo

Exercícios:1 – Determinar quanto renderá um capital de R$60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante 7 meses. (R$8.400,00)

2 – Um capital de R$28.000,00. aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$11.200,00. Determinar a taxa anual.(60%aa)

3 – Durante 150 dias certo capital gerou um montante de R$64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 6% ao mês, determinar o valor do capital aplicado.(R$49.384,62)

4 – Qual o valor dos juros contidos no montante de R$100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano, durante 13 meses?(R$31.271,48)

5 – Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre?(R$156.500,00)

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6-Um capital de R$2.500,00 foi aplicado à taxa de 43,80% ao ano em 12/02/2007. Se o resgate foi efetuado em 03/05/2007, qual foi o juro exato recebido pelo aplicador?(R$240,00)

7-Um capital de R$5.000,00 rendeu R$625,00 de juros. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 30% ao ano e que a aplicação foi feita dia 18/03/2007, pergunta-se qual foi a data de vencimento, considerando-se juro exato.(18/08/07)

8 – Em quanto tempo um capital de R$800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$1.000,00?(250 dias)

9 – Um capital de R$50.000,00 foi aplicado no dia 19.06.04 e resgatado em 20.01.05. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 54,75% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o número efetivo entre as duas datas.(juro exato)(R$16.125,00)

10- Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um montante de R$600.000,00.(R$281.162,14)

11- Ao fim de quanto tempo o capital de R$40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$18.600,00 de juros?(10 meses)

12-Uma pessoa aplicou R$1.500,00 no mercado financeiro em 06/01/2008 e recebeu o montante de R$3.200,00. Considerando uma taxa de juros de 1% ao dia, qual será a data do resgate?(29/04/2008)

13 – Obteve-se um empréstimo de R$10.000,00 para ser liquidado por R$14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação?(66%aa )

14 – Em quantos meses um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor?(25 meses)

15 – A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do seu valor?(2,5%am)

16 – Um capital emprestado gerou R$96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do montante.(R$220.720,00)

17-Qual é a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de R$1.300,00 que produz após um ano um montante de R$1.750,00?(34,61% ao ano)

18-Qual é a remuneração obtida por um capital de R$2.400,00 aplicado durante 17 meses à taxa de juros simples de 60% ao ano?(R$2.040,00)

19-Calcular o rendimento de um capital de R$80.000,00 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 26% ao mês. (R$19.413,33)

20-Aplicando R$80.000,00 durante 17 meses, resgatamos R$140.000,00. Qual é a taxa anual de juros simples ganha na operação?(52,94% ao ano)

21-Em quantos meses um capital de R$28.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 48% ao semestre, produz um montante de R$38.080,00?(5 meses)

22-Um capital aplicado transformou-se em R$13.000,00. Considerando uma taxa de juros simples de 30% ao trimestre e uma remuneração de R$4.065,29, determinar o prazo de aplicação em meses.(5 meses)

23-Um capital de R$135.000,00 transformou-se em R$180.000,00 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa bimestral de juros ganha na operação.(45,45% ab)

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DESCONTO SIMPLESQuando uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que haja um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida (nota promissória, duplicata ou letra de câmbio).

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Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.Pode ocorrer:- Que o devedor efetue o pagamento antes do dia pré-determinado. Neste caso, ele se

beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento.

- Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data pre-determinada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro, sendo que este obtém um lucro, correspondente ao juro do capital que adiantou; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício recebe o nome de desconto.As operações anteriores são denominadas operações de desconto.Nessas operações temos:Dia de vencimento – dia fixado para pagamento do título.Valor nominal (Vl. Futuro ou vl. de resgate) – Valor indicado no título a ser pago no dia do vencimento.Valor atual (Vl. descontado) – Valor pago ou recebido antes do vencimento.Tempo ou prazo – é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento. (Inclui o 1º dia e não o último)

Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal (desconto comercial) ou o valor atual (desconto racional)

Desconto ComercialD = valor do desconto comercialFV = valor nominalPV = Valor atualN ou t = tempoI = taxa de desconto

D = FV. i. n

Valor atual ComercialPV = FV – dPV = FV – (FV i n)PV = FV – FV. i. nPV = FV(1 – in)

Exemplos:1 – Um título de R$6000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:a) Valor do desconto comercial;(R$189,00) b) Valor atual comercial.(R$5.811,00)

2 – Uma duplicata de R$6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês.(3 meses)

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3 – Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$2000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?(R$100,00)

4 - Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa?(11.770,00)Duplicata Valor (R$) Prazo(vencimento)A 2500,00 25 diasB 3.500,00 57 diasC 6.500,00 72 dias

5-Um título no valor de R$85.000,00 foi descontado 70 dias antes de seu vencimento à uma taxa de 3% ao mês. Considerando que o IOF é 0,12% am e uma tarifa de serviços bancários de 5% sobre o valor do título, calcular o valor do crédito liberado ao portador do título.

TAXA DE JURO EFETIVA

A taxa de juro que no período n torna o capital A igual ao montante N é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva.(i )

I = (cálculo da taxa efetiva ao dia, ao mês, ao ano, etc)

Exemplos:1 – Um título de R$6000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$189,00, calcule a taxa de juro efetiva.(2,17% am)

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2 – Uma duplicata de R$23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva.(taxa de desconto=0,075%ad e taxa efetiva=0,082%ad)

Exercícios: (desconto simples)1 – Determine o desconto de uma promissória de R$3000,00, à taxa de 42% ao ano, resgatada 2 meses antes do vencimento.(R$210,00)

2 – Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$234.375,00, 50 dias antes de seu vencimento, à taxa de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal?(R$250.000,00)

3 – Ao pagar um título de R$3600,00 com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$486,00. Qual é a taxa de desconto?(0,15%ad)

4 – O valor atual de um título de R$4800,00 é R$4380,00. Sabendo que a taxa bancária de desconto é de 3,5%ao mês, qual o tempo de antecipação?(3 meses)

5 – Calcule o tempo em meses de antecipação de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é cinco vezes o do desconto, a 30% ao ano.(8 meses)

6- Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?(R$225,00)

7 - Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$1.000,00 e cujo valor líquido é de R$880,00?(3% ao mês)

8-Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir:A - R$6.000,00 - 15 diasB - R$3.500,00 - 25 diasC - R$2.500,00 - 45 dias(Resp:11.768,00)

9-Um título com valor nominal de R$100.000,00 foi descontado em um banco 60 dias antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Sabendo que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título e que o banco cobra uma taxa de serviços bancários de 2% sobre o valor nominal, dizer qual o valor recebido pelo portador do título.(R$93.754,00)

10-Um título de crédito com valor nominal de R$200.000,00 foi descontado 75 dias antes de seu vencimento à taxa de desconto de 13% ao mês. Considerando a cobrança de IOF de 0,12% am e uma tarifa de serviços bancários de 2,5%, calcular o valor liberado.(R$129.400,00)

11-Uma nota promissória com valor de R$100.000,00 vai ser descontada em um banco 45 dias antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 5% am. Considerando-se que foi cobrado IOF de 0,12% am e que o banco cobra 3% a título de despesas administrativas, determinar o valor recebido.(R$89.320,00)

12-Um título de R$13.000,00 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por R$11.400,00. Calcular a taxa de desconto simples anual e a taxa de desconto efetiva anual.(id=36,92%aa e if=42,10%aa)

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13-Uma promissória de R$450,00 foi descontada comercialmente tendo um desconto de R$45,00. Considerando uma taxa de desconto de 6% am e um prazo de antecipação de 50 dias, calcule a taxa efetiva mensal.(6,67%am)

14 – Um título de R$27.000,00 foi descontado faltando 60 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto foi de R$1800,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva.(0,111%ad e 0,119%ad)

EXERCÍCIOS DE REVISÃO – JUROS SIMPLES E DESCONTO SIMPLES

1 – Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$3.200, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?(R$1.728,00)

2 – Qual é o tempo em que um capital de R$96.480, a 25% ao ano, rende R$72.360 de juros?(3 anos)

3 – O valor atual de uma nota promissória é de R$1.449,28, tendo sido adotada a taxa de 1,5%am. Qual será o prazo em dias, de antecedência, se o desconto for de R$50,72?(68 dias)

4– Um título cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento foi negociado à taxa de 23% aa. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual recebido foi de R$1.921,95?(R$2.118,18)

5 – Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital?(2 anos)

6 – Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a que taxa foi empregado esse capital?(12,5%aa)

7 – Em quantos dias um capital de R$270.420 produzirá juros de R$62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês?(128 dias)

8 – Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$798.000 no final de um ano e meio aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre?(R$420.000,00)

9 – Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$450.000 por 225 dias. À taxa de 5,4% ao mês.(R$632.250,00)

10 – Calcular o valor do capital que aplicado a uma taxa de 6,3% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de R$543.840.(R$398.300,,86)

11 – Se o desconto concedido for de R$57,63, qual será a taxa considerada, uma vez que o valor nominal é de R$600 e o período de antecipação 5 meses?(1,92%am)12 – Um título de valor nominal R$1.300 foi resgatado antes de seu vencimento, sendo por isso bonificado com um desconto de R$234,00. Considerando a taxa de desconto de 2,25%am, qual foi a antecedência?(8 meses)

13 – A aplicação de R$35.600 gerou um montante de R$58.028 no final de 9 meses. Calcular a taxa anual.(84%aa)

14 – Certo capital aplicado gerou um montante de R$1.000. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de 8 meses, calcular o valor dos juros.(R$285,71)

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15-Uma duplicata de R$70.000, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.(R$64.330,00)

16-Calcular o valor do desconto de um título de R$100.000, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês.(R$11.500,00)

17-Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de R$25.000, com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$22.075,06 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto. (2,34% am) 18 – Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$1500 a ser resgatado por R$2700 no final de 2 anos?(40%aa)

19 – A que taxa o capital de R$24.000 rende R$1.080 em 6 meses?(0,75%am)

20 – Um capital de R$30.000. aplicado durante 10 meses, rende juro de R$6.000. Determine a taxa correspondente.(2%am)

21 – Uma aplicação de R$400.000 em letras de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$60.000. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?(30%aa)

22-Determinar:a)A taxa de juros simples trimestral que produz um rendimento de R$60,00 em 36 dias a partir de um capital de R$2.000,00.(7,5% at)b)A taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de R$6.000,00 em 2 semestres a partir de um capital de R$8.000,00.(6,25% am)

23-Calcular o valor do capital que aplicado a juros simples de 24% ao ano rende R$300,00 em 2 bimestres.(R$3.750,00)

24-Por quanto tempo um capital deve ser empregado a uma taxa de 3% ao mês para que o juro obtido seja 3/8 do capital?(12,5 meses)

JUROS COMPOSTOS

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Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render no período seguinte.

FV= PV(1 + i)

J = PV[(1 + i)n -1] onde FV = J + PV

Estas são as fórmulas do montante e dos juros em regime de juros compostos, sendo a primeira também chamada fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos.O fator (1 + i) é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.

Exemplo 1: Qual o montante a juros compostos, para uma aplicação de R$15000,00, à taxa de 3% ao mês durante 18 meses?FV=? PV = 15.000 i = 3%am=0,03 n = 18

FV = PV(1+i)n

FV = 15.000(1+0,03)18

FV = 15.000 . 1,702433FV = 25.536,50

Exemplo 2:Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% ao mês, produz um montante de R$3.500,00 após um ano?(2.602,45)

Exemplo 3:Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?(8,78% am)

Exemplo 4:Durante quanto tempo um capital de R$1.000,00 dever ser aplicado a juros compostos, à taxa de 10% ao ano, para dar um montante de R$1.610,51?(5 anos)

TAXAS EQUIVALENTES

Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes.

Cálculo da taxa equivalente:

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i = [(1 + i ) - 1] X 100

onde: i = taxa equivalente que queremos q = prazo no qual queremos a taxa equivalente i = taxa que temos no prazo t t = prazo no qual temos a taxa dada

(memorização: o que queremos costuma estar acima do que temos)Sempre que trabalhamos com taxas equivalentes, é conveniente transformamos os prazos t (que temos) e q (que queremos) em dias, para evitar erros ao coloca-los numa mesma unidade de tempo.

Exemplos:Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês?

Qual a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?

Caso em que o prazo de aplicação do capital não é um número inteiroÉ normal em que às vezes não temos o prazo de aplicação n, como um número inteiro de período a que se refere a taxa de juros compostos. Neste caso é comum utilizar:

a) Convenção linear: considera juros compostos na parte inteira no período e sobre a parte fracionária incide juros simples.(Mercado financeiro americano)(Para obter esse resultado na HP12C, o C de composto não pode estar acionado, tirando com a função (STO)(EEX)

b) Convenção exponencial – esta convenção adota os juros compostos tanto para os inteiros quanto para os fracionários. É a forma utilizada no nosso mercado financeiro. (Para obter esse resultado na HP12C, o C de composto tem que estar acionado com a função (STO)(EEX).

Exemplo: Qual o capital que aplicado durante 3,5 anos à uma taxa de 24% aa, produz um montante de R$8.450,00?(R$3.979,97)

TAXA NOMINAL

É aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ele se refere.Exemplo: 48% ao ano capitalizados mensalmente.

A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual. Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.Exemplo: Qual o montante de um capital de R$5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados mensalmente?

TAXA EFETIVA

Será a taxa que deve coincidir com o período de capitalização. Exemplo: Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a taxa de 6% é a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais.quero=ano = 360 dias tenho =semestre=180 dias

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2-1]x100 = [1,060900 - 1]x100 =

0,060900 x 100 = 6,09% a a

Exemplo 1: Um banco emprestou a importância de R$35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos?

Exemplo 2: Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% ao ano com capitalização mensal. Se o investidor souber de outra alternativa onde possa ganhar 9% ao trimestre, qual será sua escolha?

Exercícios – Juros compostos

1 – Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$19.752,00.(R$14.999,90)

2 – Em que prazo uma aplicação de R$100.000,00 produzirá um montante de R$146.853,00, à taxa de 3% ao mês?(13 meses)

3 – Um capital de R$20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$3.774 de juro. Determine a taxa de aplicação.(2,5% am)

4 – O capital de R$12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$15.559,00. Calcule a taxa de juro.(3,30% am)

5-Qual o valor dos juros contidos no montante de R$12.000,00, resultante da aplicação de certo capital a juros compostos à uma taxa de 2% ao mês durante 8 meses?(R$1.758,12)

6-A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor?(4,162%am)

7 – O capital de R$9.200,00 foi colocado em regime de juros compostos durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante?(R$15.757,27)

8 – Quanto devo aplicar em regime de juro composto, à taxa de 30% ao ano, para obter em 01 ano e 3 meses a importância de R$6.941,00.(R$5.000,26)

9 – A que taxa mensal foi empregada, a juros compostos, a importância de R$82.000,00 para acumular em 5 meses e 21 dias o montante de R$97.048,00?(3,00% am)

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10- Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% aa?(5 anos)

11-Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$5.000,00?(R$3.584,32)

12-A aplicação de R$400.000,00 proporcionou um resgate de R$610.461,56 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação.(7,3% am e 132,91% aa)

13-A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$820.000,00 no final de 01 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros.(R$396.288,79)

14-Um capital de R$27.000,00 aplicado a juros compostos de 6% am rendeu R$5.654,80. Determinar o prazo da aplicação (4 meses)

15-A taxa de juros de empréstimo cobrada pelo Banco A é de 30% ao ano. O Banco B, numa campanha promocional, informa que sua taxa é de 27% ao ano, com capitalização mensal. Qual é a melhor taxa para o cliente?(A menor taxa de juros é do banco A)

16-Uma empresa empresta R$500.000,00 de um banco cuja taxa de juros é de 21%ao ano, com capitalizações trimestrais. Quanto deverá devolver ao fim de 02 anos?(R$752.916,54)

17-Quanto deve uma pessoa depositar em um banco que paga 25% ao ano, com capitalizações bimestrais, para que ao fim de 5 anos possua R$200.000,00? (R$58.770,96)

18-Qual é a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o montante de R$45.666,57, sendo R$25.666,57 referente a juros?(R$3,5%am)

19-Em que prazo um capital de R$18.000,00 acumula um montante de R$83.743,00 à taxa de 0,12% ao dia?(1.282 dias)

20-O preço de uma mercadoria é de R$2.000,00, sendo financiado até 3 meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como prazo limite para efetuar o pagamento. Caso opte por pagar à vista, a loja oferece um desconto de 10%. Qual a taxa para o financiamento?(3,57%am)

21-O preço de um carro é R$11.262,62, podendo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses. Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 11,2%.Qual é a taxa de juros cobrada nesta operação?(2% am)

22-Um capital de R$1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% ao ano com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva anual da operação.(FV=R$1.340,10 e taxa efetiva 10,25% aa)

23-Um sítio é posto à venda à vista por R$124.000,00 ou como opção pode ser dada uma entrada de R$50.000,00 e mais uma parcela de R$100.000,00 após um prazo de 6 meses. . Qual a taxa de juros para o financiamento?(5,14%am)

24-Certa loja vende um dormitório por R$10.000,00 à vista. Como opção a loja pode vender em duas parcelas sendo uma entrada no valor de R$2.500,00 e uma parcela no valor de R$8.500,00 após 4 meses. Qual a taxa anual de juros compostos utilizada?(45,57%aa)

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25-Um computador é vendido em duas parcelas sendo uma entrada no valor de R$880,00 e uma parcela no valor de R$1.500,00, 5 meses após a compra. A loja trabalha com uma taxa de financiamento de 2,5% am. Se o cliente optar pela compra à vista, qual o valor que irá pagar? (R$2.205,78)

26-Um automóvel é vendido à vista por R$38.000,00. Como segunda opção a compra pode ser feita em duas parcelas sendo 20% de entrada e uma parcela de R$34.000,00 após 5 meses. Qual a taxa de juros do financiamento?(2,26%am)

27-Um apartamento é vendido à vista por R$220.000,00. Caso o comprador opte por pagar em um única parce após certo período de tempo, o vendedor exige R$61.618,59 como juros, pois que ganhar 2,5% ao mês. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima?(10 meses)

28 – Determine as taxas mensal, trimestral, semestral e anual equivalentes à taxa de:a) 30% ao anob) 20% ao semestrec) 8% ao trimestred) 3% ao mês

a)2,21%am 6,78% at 14,02%as 30%aab)3,08%am 9,54%at 20%as 44%aac)2,60%am 8%at 16,64%as 36,05%aa d)3%am 9,27%at 19,40%as 42,58%aa

DESCONTO COMPOSTO

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O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento.Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo(O desconto comercial simples só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.)Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional e o comercial. O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos restritos ao estudo do desconto composto racional.

Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o montante N.

Assim, em virtude dessa definição temos: PV(1 + i) = FVLogo: PV = FV(1 - i)n

Exemplos: 1- Determine o valor atual de um título de R$800,00, saldado 4 meses antes de seu

vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês.(R$737,89)2- Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$1120,00, com vencimento

para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizados semestralmente.(R$415,23)

3- Qual o desconto composto que um título de R$5000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês?(R$365,70)

4- Um título de valor nominal de R$1500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido?(R$109,71)

5- Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$36954,00 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$3.046,00, qual foi a taxa de juro mensal adotada?(1,96%am)

EXERCÍCIOS EXTRAS =JUROS COMPOSTOS E DESCONTO COMPOSTO

EXERCÍCIOS EXTRAS =JUROS COMPOSTOS E DESCONTO COMPOSTO

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1-Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% am?(5 meses)2-A que taxa de juros um capital de R$13.200,00 pode transformar-se em R$35.112,26, considerando um período de aplicação de 7 meses?(15% am)3-Quanto rende um capital de R$4.000,00 aplicado por 10 meses a taxa de juros de 2% am?(R$875,98)4-Qual o montante de uma aplicação de R$50.000,00 a juros compostos, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 12% ao ano?(R$52.915,03)5- Um capital de R$7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à taxa de 2,5% ao mês. Calcule os juros ganhos no período.(R$10.917,61)6-Uma empresa recebeu um empréstimo no valor de R$30.000,00 para pagamento em 56 dias. O banco cobrou juros compostos à uma taxa de 52% ao ano. Qual o montante?(R$32.019,02)7-Uma empresa tomou um empréstimo para capital de giro no valor de R$10.000,00 por 30 dias à taxa de 75% ao ano. Qual o montante?(R$10.477,39)8-Qual o valor aplicado numa operação a juros compostos, com prazo de 160 dias, montante de R$170.000,00 e taxa de 2,2% ao mês?(R$151.371,51)9-Um empréstimo de R$8.000,00 a juros compostos deve ser pago após 64 dias, sendo o montante igual a R$8.500,00. Obtenha a taxa mensal desta operação.(2,88% ao mês)10-Em que prazo um empréstimo de R$24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$41.524,33, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês?(19 meses)11-A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$10.210,72, sem entrada para pagamento em uma única prestação de R$14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?(3,90% am)12-Calcular o montante de uma aplicação de R$15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5%ao mês para um período de 17 meses.(R$22.824,27)13-Durante quanto tempo uma aplicação de R$26.564,85 produziu um montante de R$45.562,45 com uma taxa de 0,98% am?(56 dias)14-Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$2.500,00 produzir um montante de R$4.489,64 durante um ano?(5%am)15-Qual o montante de um investimento de R$10.000,00, aplicado a uma taxa de 18,5%ao ano pelo período de 95 dias?(R$10.458,12)16-Um capital de R$1.000,00 é emprestado à taxa de juros compostos de 10%ao ano, pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Qual é o montante?(R$1.689,12)17-Se eu quiser comprar um carro no valor de R$60.000,00, quanto devo aplicar hoje para daqui a 2 anos possua tal valor a uma taxa de 2,5% ao mês?(R$33.172,52)18-Um investidor aplicou R$25.000,00 em uma instituição que paga 3% ao mês. Após certo período de tempo, ele recebeu R$35.644,02 estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?(12 meses)19-Calcular a taxa equivalente a 20% ao ano conforme solicitado abaixo:a)taxa mensal(1,53% am)b)taxa diária (0,050658% ao dia)20-João aplicou certa quantia e após 18 meses verificou que o montante era de R$5.590,17. Qual foi o valor investido, uma vez que a taxa de aplicação foi de 25% ao ano?(R$4.000,00)21- Qual é a taxa efetiva anual cobrada se a taxa nominal é de 18% ao ano com capitalização mensal?(19,56% aa)22-Um empresa toma emprestado R$100.000,00 pelo prazo de 2 anos. Se a taxa do bando for 28% ao ano com capitalização mensal, qual será o montante devolvido?(R$173.944,56)23-Qual o montante para um investimento de R$10.000,00 por 85 dias à taxa de 24% ao ano com capitalização mensal?(R$10.577,12)24-Durante quanto tempo um capital de R$25.000,00 produzem R$14.846,00 de juros, a taxa de 24% ao ano, capitalizado mensalmente?(24 meses)25-Calcule o montante de um aplicação de R$12.000,00, à taxa de juros de 30% ao ano, capitalizados mensalmente, durante 90 dias. (R$12.922,69)

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26-Uma instituição financeira paga juros de 21% ao ano capitalizados mensalmente. Qual é a taxa efetiva anual?(23,14% aa)27-No final de 2 anos, o Sr Pedro deverá efetuar um pagamento de R$200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se:Qual o valor emprestado?(R$78.024,29)28-A loja “Uni X” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?(4,5% am)29-Em que prazo um empréstimo de R$30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês?(11 meses)30-Uma pessoa aplica R$15.000,00 num título de renda fixa com vencimento no final de 61 dias, a uma taxa de 71,5% ao ano. Calcular o seu valor de resgate.(R$16.435,61)31-Qual a taxa mensal de juros cobrada em um empréstimo de R$64.000,00 para ser quitado por R$79.600,00 no prazo de 117 dias?(5,75% am)32-No fim de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor?(36 meses)33-A aplicação de R$400.000,00 proporcionou um resgate de R$610.461,56 no final de 6 meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação.(7,3% ao mês e 132,91% ao ano).34-Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro de sua aplicação?(308 dias)35-A aplicação de R$380.000,00 proporcionou um rendimento de R$240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros.(0,235637%ad, 7,316040%am, 23,593012%at e 133,332741% aa)36-Um capital de R$10.800,00 é aplicado durante 10 meses a juros compostos, à taxa de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual o montante?(R$14.514,30)

37-Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$5.000,00, considerando uma taxa de juros de 3,5% am, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento.(R$506,84)38-Uma pessoa pretende saldar um título de R$5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% aa, qual o desconto e quanto vai obter?(PV=R$5.044,58 e d=455,42)39-Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de um cliente foi de R$57.170,24, correspondente ao desconto de um título de R$66.000,00, à taxa de 5% am, determinar o prazo a decorrer até o vencimento desse título.(3 meses)40-Calcular a que taxa mensal um título de R$100.000,00 com 75 dias a vencer, gerando um desconto no valor de R$11.106,31.(4,81%am ou 4,60%am)

Seqüência de Pagamentos Uniforme

21

Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os meses uma certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos comprar um bem qualquer, podemos fazê-lo em prestações. No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma amortização.

Rendas

A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinadas a formar um capital ou pagar uma dívida é denominada renda.As rendas podem ser de dois tipos: - certas: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos

valores são prefixados. Ex: compra de um bem a prazo.- Aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente

determinado. Ex: pagamento de seguro de vida.

Obs: Termos – são os depósitos ou as prestações.

Capitalização composta

Vamos começar a estudar a determinação do montante, constituído por depósitos periódicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa.

Renda postecipada – ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato.

Fórmula algébrica:

FV= PMT onde: FV= Montante da renda

PMT=depósitos ou aplicações I = taxa de juros compostos N = período de aplicação

HP12C – Montante da renda postecipada: END(g8)

Ex:1- Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 05 meses, a quantia de R$100. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros de 3% ao mês, capitalizados mensalmente.

2-Uma pessoa deseja comprar um carro por R$40.000,00 à vista daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em fundos de investimento rendendo 30%aa, determinar quanto deve ser poupado mensalmente.(depósitos postecipados)

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3-Quantos depósitos postecipados e bimestrais de R$1.000,00 serão necessários para que se obtenha o montante de R$29.778,08 à taxa de 4% ao bimestre?

Exercícios:1 – Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$800,00 a 5% ao mês. Quanto terei no fim de um ano?(R$12.733,70)2 – Uma pessoa deposita R$680,00, no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2,5 anos?(R$25.526,30)3 – Qual a importância constante a ser depositada em um banco ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$400.000,00?(R$30.347,18)4 – Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de R$1.000 por mês, à taxa de 30% ao ano? (postecipado)(R$8.646,92)5-Em quantos meses uma pessoa acumula um montante de R$12.000,00 depositando R$549,44 todo final de mês em uma aplicação financeira a uma taxa de 2% am?(19 meses) 6 – Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um Fundo de Renda Fixa, à taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de R$175.000,00? (postecipado)(R$4.899,32)7– Quantas prestações iguais e consecutivas de R$4.500,00 deverei aplicar mensalmente para obter um montante de R$106.000,00, à taxa de 24% ao ano?(postecipada)(20)8-Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, R$3.500,00, em um fundo de investimento que remunera seus depósitos à taxa de 2,1% ao mês. Qual o montante no instante do último depósito, sabendo que são depósitos postecipados?(R$26.098,67)9-Qual é o depósito mensal durante 4 anos consecutivos que produz o montante de R$200.000,00 após o último depósito, considerando uma taxa de 5% ao mês?(postecipado)(R$1.063,69)10-O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses, depósitos de R$200,00 em um banco que paga 36% ao ano. Qual será o montante acumulado após ser efetuado o último depósito?(postecipado)(R$11.677,56)11-Quantos depósitos postecipados anuais de R$1000,00 serão necessários para que, se a taxa de for de 2% ao mês, se obtenha o montante de R$30.000,00?(10) 12-Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês R$350,00 em uma aplicação que paga juros de 30%aa?(R$6.145,37)13-Uma pessoa deseja comprar um bem cujo valor à vista é de R$3.840,00.Para tanto, resolve efetuar quatro depósitos postecipados trimestrais iguais em uma aplicação financeira que rende juros de 12,55%aa. Calcular o valor das aplicações trimestrais de modo que seja possível efetuar a compra com o valor do resgate do investimento.(R$917,86)

Renda antecipada – ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no início do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato.

Fórmula algébrica:

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FV= PMT

HP12C – Montante da renda antecipada – Beg = Begin (g7)

. Exemplo 1: Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao mês.

2-Quanto deverá ser aplicado mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se tenha R$50.000,00, considerando a taxa de 12% ao ano.(depósitos antecipados)

3-Quantos depósitos antecipados são necessários para formar o montante de R$25.000,00, sendo feito depósitos mensais de R$1.850,00 e a taxa considerada de 30% ao ano?

Exercícios:

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1 – Quanto se deve depositar no início de cada semestre, numa instituição financeira que paga 9% ao semestre, para constituir o montante de R$50.000,00 no fim de 3 anos, sendo os juros capitalizados semestralmente?(R$6.097,24)2 – Quantos depósitos mensais antecipados de R$15.614,00 serão necessários para constituir o montante de R$200.000, à taxa de 12% ao ano?(13)3 – Uma pessoa deposita R$200,00 no início de cada mês. Sabendo que a taxa de juro é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?(R$6.206,06)4 – Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$35.457,00 no final desse período, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 15% ao ano? (depósitos antecipados)(R$788,45)5 – Uma pessoa deposita R$5.000,00 em uma instituição financeira no início de cada trimestre. Sabendo que a taxa de juro é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de 1,5 ano?(R$36.969,19)6 – Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 30% ao ano, para que se tenha R$60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro dos conceitos de renda antecipada?(2.365,90)7 – Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$900,00 necessárias para se ter um montante de R$11.863,00, considerando-se uma taxa de 2% ao mês e uma renda antecipada.(11)8 – Pretendo depositar R$1.000,00 mensalmente, a partir de hoje, à taxa de 1,5% ao mês. Daqui a quanto tempo conseguirei um montante de R$18.201,00 no conceito de renda antecipada?(16) ,9-Um agente financeiro prometeu a um cliente que, se ele efetuasse 12 depósitos mensais, após o último depósito ele teria R$20.000,00 a uma taxa de 3% ao mês. Qual o valor de cada depósito no conceito de renda antecipada?(R$1.368,20)10-Uma pessoa deseja comprar um carro por R$50.000,00 à vista daqui a 12 meses. Admitindo que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em fundos de investimento rendendo 2,5% ao mês, determinar quanto deve ser depositado mensalmente.(antecipado)(R$3.535,96)

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AMORTIZAÇÃO COMPOSTA

Vamos aprender agora a calcular o valor de uma dívida (ou de um empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais incide a mesma taxa.

1 – Renda postecipada

Ocorre quando o vencimento da primeira prestação(termo) se dá ao fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato, assim, o vencimento do último termo ocorre no fim do período n.

PV= PMT onde PV = Valor presente ou valor à vista

PMT = parcelas ou prestações I – taxa de juros compostos N – prazo, período de pagamento

Exemplo:1- Um eletrodoméstico é vendido em 6 prestações mensais e iguais de R$430,00, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 24% ao ano, qual o seu preço à vista?

Exemplo 2:Um automóvel usado é vendido à vista por R$15.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% am, obtenha o valor de cada prestação.

Exemplo 3:Um produto é vendido à vista por R$8.200,00 ou com 20% de entrada mais prestações mensais e iguais no valor de R$720,00. Quantas prestações serão pagas, considerando a taxa de juros de 6% am?

Exemplo 4:Um computador é vendido nas seguintes condições:-entrada de R$420,00

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-5 prestações mensais de R$220,00 cada.Sabendo-se que o primeiro pagamento será um mês após a compra e que a taxa de juros do financiamento é de 24% aa, pede-se o preço à vista.

2 – Renda antecipada

Ocorre quando o vencimento da primeira prestação se dá no início do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato, assim, o vencimento do último termo ocorre no início do período n.A fórmula que nos dá o valor atual de uma renda antecipada de n termos é

PV= PMT

Exemplo1: Uma mercadoria é comercializada em 4 pagamentos mensais iguais de R$185,00. Sabendo-se que a taxa de financiamento é de 2% ao mês e o primeiro pagamento foi no ato da compra, determine o preço `a vista desta mercadoria.

Exercícios:1-Um eletrodoméstico é vendido à prazo em 4 pagamentos mensais e iguais de R$550,00, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% ao mês, qual o preço à vista?(R$1.950,27)2-Um automóvel usado é vendido à vista por R$30.000,00, mas pode ser vendido à prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% ao mês, obtenha o valor de cada prestação.(R$2.836,79)3-Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$15.000,00 cada uma, sendo a primeira dada no ato da compra. Se a taxa de financiamento é de 30% ao ano, qual o preço à vista do terreno?(R$58.081,91)4-Uma calculadora é vendida à vista por R$160,00 ou à prazo em prestações mensais de R$45,49 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual o total de prestações, sabendo que a taxa é de 3,5% ao mês?(4)5-Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 15% ao ano, sendo o número de prestações igual a 10 e o valor de cada prestação mensal de R$1.500,00, vencendo a primeira no ato da compra.(R$14.242,98)6-Um barco é vendido à vista por R$6.000,00 ou então com 20% de entrada mais 4 prestações mensais e iguais. Qual o valor de cada prestação, se a taxa é de 6% ao mês?(R$1.385,24)7 – Um terreno é colocado à venda por R$180.000,00 à vista ou em 10 prestações bimestrais, sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 34% ao ano pelo financiamento.(R$22.200,78)

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8 – Um terreno está sendo oferecido por R$120.000,00 à vista, ou R$20.000 de entrada e mais 24 prestações mensais . Considerando uma taxa de 3,5% ao mês, calcular o valor de cada prestação.(R$6.227,28)9 – Uma imobiliária está oferecendo as seguintes opções de pagamento para a venda de um terreno:

a) 30 parcelas de R$10.000,00, sendo a primeira dada no ato da compra.(R$201.884.55)

b) R$25.000,00 de entrada + 25 parcelas de R$11.000,00 (R$216.544,62)c) 8 prestações trimestrais de R$33.000,00, sendo a primeira paga no ato da

assinatura do contrato.(R$197.578.53Admitindo uma taxa de 3% ao mês, apontar qual o melhor e qual a pior forma de pagamento, justificando.10-Uma firma revendedora de automóveis usados oferece o seguinte plano na venda de um carro, modelo 2000:a)Entrada de R$5.000,00, mais 6 prestações de R$540,00.(R$8.024,77)b)12 prestações de R$ 850,00, sendo a primeira prestação paga no ato da compra.(R$9.168,82)Sendo a taxa de mercado de 2% ao mês, calcular o valor à vista nas duas opções acima.11-A juros nominais de 36% aa, capitalizados mensalmente, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de R$842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de R$120,00.(8)12-Um equipamento cujo valor à vista é de R$5.000,00 é comprado pagando-se uma entrada de R$2.000,00 e prestações mensais de R$1.000,00. Quantas prestações deverá pagar considerando-se uma taxa de 9% as?(4)

SEQUÊNCIA UNIFORME DIFERIDA

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Ocorrem situações nas vendas à prazo em que o comprador só começa a pagar após um período de carência.Para o cálculo do valor atual da seqüência uniforme diferida podemos proceder como segue:1º) No período de carência, para sabermos o valor à vista(PV) ou o valor da dívida no fim da carência(FV) utilizamos a fórmula dos juros compostos.2º) Calcular o valor da dívida ref. o período das prestações usando o conceito de renda antecipada .

ou através da fórmula:

Exemplo:1-Um fogão encontra-se em promoção e é comercializado em 6 prestações mensais de R$180,00. A loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento. Determine o valor à vista deste fogão, sabendo-se q eu a taxa de juros praticada pela loja é de 3% am.

2-O preço à vista de um carro é de R$25.200,00. A revendedora exige 25% de entrada financiando o saldo em 24 prestações mensais, com 5 meses de carência.Sabendo-se que a taxa de juros da agência é de 15% aa, qual o valor das prestações?

Exercícios:1-Um terreno é vendido à vista por R$5.000,00 ou a prazo em 6 prestações mensais iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% ao mês, qual o valor de cada prestação?(R$928,69)

2-Uma dívida de R$20.000,00 deve ser amortizada com 4 prestações mensais consecutivas, sendo de 4% ao mês a taxa de juros. Calcule essa prestação, sabendo que o pagamento da primeira delas deve ser efetuado 3 meses após a realização do empréstimo. (R$5.959,40)

3-Um conjunto de sofás é vendido à vista por R$6.000,00 ou a prazo em 5 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira 3 meses após a compra.Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento è de 5,8% ao mês?(R$1.585,73) 4-Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 prestações iguais de R$150,00. A loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento. Determine o valor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% ao mês.(R$610,35)

5-A loja Barrabás vende determinado produto em 24 parcelas mensais de R$62,71, sendo que a primeira prestação somente será paga 4 meses após o fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês , determinar o valor à vista da mercadoria.(R$850,00)

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6-Um conjunto de dormitório é anunciado por 10 prestações mensais e iguais de R$2.000,00, vencendo a primeira 2 meses após a compra. Qual o preço à vista, se a taxa de financiamento for de 3,5% ao mês?(R$16.070,73)

7-Um aparelho de som é vendido por R$2.300,00 à vista. À prazo, o mesmo aparelho é vendido em 6 prestações mensais e iguais, sendo dados 2 meses de carência ao cliente. A taxa de juros cobrada pela loja é de 30% aa. Obtenha o valor de cada prestação.(R$422,66)

8-Um automóvel foi vendido em 6 prestações trimestrais de R$1.000,00, sendo que há uma carência de 6 meses para o primeiro pagamento. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, qual é o preço à vista?(R$4.072,09)

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EMPRÉSTIMOSEm termos financeiros, a dívida surge quando uma dada importância é emprestada por um certo prazo. Quem assume a dívida obriga-se a restituir o principal mais os juros devidos, no prazo estipulado.Segundo as práticas habituais, os empréstimos classificam-se de curto, de médio e longo prazo. Os empréstimos de curto e de médio prazo caracterizam-se normalmente por serem saldadas em até 3 anos. Os empréstimos de longo prazo sofrem um tratamento especial porque existem várias modalidades de restituição do principal e juros. Tais empréstimos, em geral, têm suas condições previamente estipuladas por contratos entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor.Nos sistemas de amortização a serem estudados, os juros serão calculados sempre sobre o saldo devedor. Isto significa que consideraremos apenas o regime de juros compostos. (O não pagamento de juros em um dado período levará a um saldo devedor maior).Algumas definições:-Mutuante ou credor: aquele que dá o empréstimo-Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo-Prazo de carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira prestação. Durante o prazo de carência portanto, o tomador do empréstimo só paga os juros. È possível também que as partes concordem em quer os juros devidos no prazo de carência sejam capitalizados e pagos posteriormente.-Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal ou seja, do capital emprestado.-Prestação: é a soma da amortização acrescida de juros pagos em um dado período.-Saldo devedor: é o estado da dívida, ou seja, do débito em um determinado instante.-Planilha: é um quadro demonstrativo no qual comparecem em cada instante de tempo os juros, a amortização, o saldo devedor e a prestação.

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO

Este sistema de amortização tem como principais características:- as prestações são constantes- o valor dos juros são decrescentes e as amortizações crescentes- os pagamentos são periódicos, constantes e sucessivos.

Obs: O cálculo das prestações pela HP12C é feito pela forma da amortização composta postecipada.

Exemplo: Emprestei de uma financiadora, o valor de R$32.000, para ser amortizado em 6 meses, à taxa de juros de 15% ao ano. Quanto pagarei ao mês? Construa a planilha.

Para a construção da planilha:a)Para calcular os juros das parcelas: J = i x SD da parcelab)Para calcular o valor da amortização: A = T – J

Exercício: 1-Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$100.000 para ser pago pelo SFA em 8 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de amortização.(PMT=22.285,01)2-Um banco empresta a uma empresa R$180.000 pelo prazo de 7 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo que será adotado o SFA, construa a planilha de amortização.(PMT=34.573,03)

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3-Um banco libera um crédito de R$60.000,00 para uma empresa para pagamento pelo Sistema Francês em 6 trimestres, sendo a taxa de 1% ao mês. Obtenha a planilha.(PMT=11.086,87)4-Um apartamento é comprado por R$150.000,00, sendo R$30.000,00 de entrada e o restante a ser pago pelo SF em 12 prestações mensais, à taxa de 25% ao ano. Construa a planilha. (PMT=11.263,69)

SISTEMA PRICE

Um caso particular do SFA a apresenta as seguintes características:- A taxa é nominal e é dada em termos anuais- No cálculo é utilizada a taxa proporcional (capitalização simples)

Exemplo: Uma financeira emprestou R$100.000. Sabendo que a taxa de juro cobrada pela financeira é de 18% ao ano (Tabela Price) e que a amortização deve ser feita em 6 meses, calcule o valor da prestação e monte a planilha.

Exercício:1-Uma financeira emprestou R$80.000. Sendo a taxa de juro cobrada igual a 12% ao ano (Tabela Price) e devendo a liquidação ser feita em 8 meses, construa a planilha.(PMT=10.455,22)2-Vamos admitir que você pediu emprestado R$10.000,00 para ser amortizado semestralmente, no prazo de 5 anos, à taxa de 60% ao ano (tabela Price). Monte a planilha.(PMT=3.234,63)3-Um financiamento de R$400.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (Tabela Price) para liquidação em 6 meses. Monte a planilha.(PMT=70.210,09)4-Um empréstimo pela Tabela Price de R$20.000,00 é concedido para ser pago em 8 prestações trimestrais. Sabendo que a taxa de juro é de 40% ao ano, calcule o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação.

É possível fazer este cálculo com o uso da HP12C, usando a função amarela [AMORT], que permite desdobrar as prestações iguais do sistema Price em amortizações e juros.Encontra-se primeiro o valor da prestação mensalG8

R$10.000 PV

26,5 i

10 n

PMT2.929,15 (valor da prestação)

1 [f] [AMORT]2.650,00 juros do primeiro mês

[x<y]279,15 amortização do primeiro mês

[RCL] [PV]9.720,85 principal remanescente no final do primeiro mês

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Observação: Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado instante, no SF, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer, com isso eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim, esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, o saldo devedor.Ex: Num empréstimo de R$100.000,00 a ser pago pelo SF em 40 meses, à taxa de 3% ao mês, qual o saldo devedor no 25º mês? (Supor paga a prestação desse mês)

Exercícios: 1-Um empréstimo de R$350.000,00 deve ser pago em 150 meses pelo SF, à taxa de 15% ao ano. Qual o saldo devedor do 55º mês?2-A Caixa Econômica concede um financiamento de R$330.000,00 para a compra de um imóvel. Esse financiamento deverá ser liquidado em 240 prestações mensais calculadas de acordo com a Tabela Price. Sabendo-se que a taxa de juros é de 24% aa, calcular o saldo devedor do 78º mês.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE(SAC)

É um sistema onde a principal característica é da amortização constante. Também chamado Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos do SFH. Como os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a amortização é constante, as prestações são decrescentes.O valor da amortização é calculado através da seguinte forma: A = PV/n

Exemplo: Um imóvel é vendido por R$75.000,00, sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 6 meses à taxa de 24% aa. Monte a planilha do financiamento.

Exercícios:1-Emprestei de uma financiadora o valor de R$200.000,00 à taxa de juros de 10% ao mês, para ser amortizado em 04 meses, pelo SAC. Qual o valor das prestações e como se dará o processo de amortização deste financiamento?(R$55.000,00 – R$5.000,00 – R$50.000,00 – R$0,00)

2-Um banco libera para uma empresa um crédito de R$800.000,00 para ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas mensais. Sendo a taxa de juros de 4% ao mês, obtenha a planilha.

(R$166.400,00 – R$6.400,00 – R$160.000,00 – R$0,00)

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BIBLIOGRAFIA;

Hazzan, Samuel Pompeo, José NicolauMatemática Financeira5ª ediçãoEditora Saraiva

Samanez, Carlos PatrícioMatemática Financeira - Aplicações à análise de investimentos3ª edPrentice Hall

Mathias, Washington FrancoGomes, Jose MariaMatemática FinanceiraEd Atlas

Sobrinho, José Dutra VieiraMatemática Financeira7ª edEd Atlas

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APOSTILA

PARA

USO

HP12C

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TECLAS PRINCIPAIS

Entenda-se por teclas principais aquelas cujos signos estão nos corpos das teclas ou flags, em branco:

ON - liga/desliga e sai do programa, mas mantêm a memória permanente.

Para mudar de Ponto para Vírgula e vice-versaExecute, com a HP desligada:

Segure .(junto com o) ON ( e solte primeiro o ) ON ( e depois o ) .f - pressione essa tecla quando quiser acessar as funções escritas em dourado- aumentar ou diminuir o número de casas decimais a trabalhar. Suponhamos que você quer trabalhar com 3 casas decimais . Pressione f e depois 3 e todos os números aparecerão no formato 00,000.- usar notação exponencial. Aí você pressiona f . ( o ponto decimal) .

- para retirar o ponto decimal, basta apertar f e qualquer número.Ex.(f 0, f2)

g - pressione essa tecla quando quiser acessar as funções escritas em azul.

ENTER - coloca o número mostrado na pilha.

CHS CHange Signal - Muda o sinal do número ou expoente atual.

EEX Entrar EXpoente. Depois de pressionar essa tecla, o próximo número ele considera como um expoente de base 10.

Não se preocupe com isso! base 10; em finanças você só vai trabalhar nessa base, mas achei necessário especificar isso para aqueles que, como os da área de Informática, trabalham com números de base diferente.O que é a base de um número? Bom, isso é matéria de 2º grau e bem extensa, mas de forma simplificada seria a forma de "contar" uma cadeia de números . Quando digo que trabalhamos com base 10 quer dizer que tenho 10 números básicos e todos os outros são derivados deles . Por exemplo, 50 nada mais é do que 5 vezes 10 ; 11 é 10 mais 1 .Na área de Informática trabalha-se muito com base Hexadecimal ( 16 números) e binária ( dois números apenas) , entre outras áreas ...

CLX - limpa a tela(visor)

F/FIN - limpa as memórias dos financiadores

F/PRGM - limpa as memórias de programação

F/REG - limpa toda a pilha de memória(financeira e da função STO)

F/W - limpa as funções estatísticas.

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+ - x / são operadores aritméticos

STO STOre. -Seguido por um número armazena na memória o valor desejado para posterior utilização. Vamos dizer que você está fazendo uma conta e quer guardar o resultado. Ao invés de escrever num pedaço de papel você digita STO 2 e arquiva na memória o valor.Não pode esquecer com que número armazenou determinado valor.

RCL ReCaLL.- seguido por um número recupera da memória e apresenta na tela o valor armazenado naquele registro. Claro, se você podia guardar um número tinha de ter uma função que recuperasse o número para quando você desejasse.

% - percentil, usado nos cálculos de porcentagens. Só que também ele armazena o resultado numa seção da memória que vamos chamar de Registro-Y. O que é muito útil, como você verá.

% - Compara a diferença percentual entre o valor armazenado no Registro Y e o valor mostrado no visor.

%T - Computes percent that x is of number in Y-register.

i - armazena ou calcula os juros.

n - armazena ou calcula a quantidade de períodos.

PV - armazena ou calcula o valor presente

PMT - armazena ou calcula pagamentos

FV - armazena ou calcula o valor futuro de pagamento

yx - eleva o número no registrador Y pelo registrador X

1/x - divide 1 pelo número mostrado no registrador X

x><y - troca o conteúdo dos registradores x e y entre si R - baixa o conteúdo das pilhas e mostra-as no visor.

SST Single Step - mostra o número da linha e o conteúdo do programa. Se utilizado em modo Programação (tecle)

PRGM - (função secundária dourada) mostra o número e o conteúdo de todas as linhas, uma por vez. No modo Execução (RUN) executa as instruções , mostra o resultado e move para a próxima linha.

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1- Memórias de Armazenamento

STO – Armazena na memóriaRCL – Recupera a memória

2- Como extrair % de um número

Ex: 1.000 enter 10 % Resposta = 100

3- Como calcular a variação porcentual

Ex: 500 enter 800 % Resposta = variação de 60%

4- Como extrair o porcentual Total - %T

Ex. Vamos supor que você tenha:

200,00 de despesas gerais90,00 de despesas alimentação41,00 de despesas com farmácia

digite: 200 enter 90 + 41 + aparecerá o total de 331,00

200 tecle %T = 60,42% (despesas gerais)CLX90,00 tecle %T = 27,19% ( despesas alimentação)CLX41,00 tecle %T = 12,39% (despesas com farmácia)

5- Funções Calendário

Temos dois modos de operação: um no modo brasileiro e o outro no modo americano.

- Operar no estilo brasileiro, acionar:

g 4(D.MY) – Aparecerá no seu visor do lado direito D.MY(dia, mês e ano)

- Operar no estilo americano, acionar:

g 5(M.DY) – Aparecerá no visor do lado direito M.DY(mês, dia e ano)

Operando intervalo de datas - DYS

Ex: Quantos dias há entre 21.02.2000 e 27.12.2000 21.012000 enter 27.122000 g DYS Resposta = 341 dias

Função Date

Permite você calcular o passado e o futuro das datas, com os dias da semana.

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Ex.: Quando vencerá uma duplicata comprada em 60 dias em 14.03.1998?

14.031998 enter 60 g DATE

resposta: vencerá em 13.051998( 3 - quarta-feira )

JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS(utilizando as funções da HP12C)

Conceito:- Capital = C ou PV: ou Principal – entende-se por capital, sob ponto de vista

da matemática financeira, como qualquer valor expresso em Moeda($) e disponível em determinada época.

- Juro = J: É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

- Prazo = n : É o intervalo de tempo existente entre cada aplicação.- Taxa de Juros = i : É a razão entre os juros recebidos(ou pagos) no fim de um

período de tempo e o capital inicial emprestado.

Juros Simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.

Cálculo do Juros Simples:

Fórmula Juros Simples: J = PV.i.n

Símbolos: J = Juros Simples PV = Valor Presente i = Taxa de Juros Simples n = período de capitalização FV = Valor Futuro

Fórmula do Montante a Juros Simples: FV = PV.(1 + i.n)

Ex: Marcelo fez um empréstimo no banco, no valor de $ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 10% ao mês, quanto pagará de juros no final de 4 meses e qual o montante para recebido pelo Banco?

Dados: PV = 1.000,00 n = 4 meses i = 10% a.m.

Ex: FV = PV.(1+ i.n) FV = 1.000 (1 + 0,10. 4) FV = 1.400,00

Resolução pela HP12C:

1º Passo: Limpe os financiadores com : f/Fin

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2º Passo: Digite:

1.000,00 CHS PV 4 enter 30 x n (prazo tem que estar em dias) 10 enter 12 x i ( taxa deve ser ao ano)

3º Passo: Tecle F/INT = $ 400,00 (valor dos juros no seu visor) + = $ 1.400,00 (valor do montante em 360 dias) F/INT = $ 400,00 R = $ 1.000,00 (valor do PV no visor) X<>Y = $ 394,52 (valor dos Juros em 365 dias) + = $ 1.394,52 (valor do Montante em 365 dias)

Juros Bancários e Juros Comercial – ano 360 dias e o mês 30 dias.Juro Exato – ano 365 dias e 366 bissexto.

Ex. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 120.000,00, à taxa de 30% ao ano, no período de 20/05/98 a 15/09/98. Utilizar os processos de juros simples comerciais, juros simples bancário e juros exatos.

Res: PV = 120.000, I = 30% n = 20/05/98 a 15/09/98 = dias exatos = 118 dias dias comercial = 115 dias

Pela HP12C:

20.051998 enter 15.091998 g DYS = 118 dias exatos x<>y = 115 dias comercial

a) Para Cálculo Juros Bancários: 120.000 CHS PV 30 i 118 n F/INT = 11.800,00b) Para cálculo Juros Exatos: F/INT R X<>y = 11.638,35c) Para cálculo Juros Comerciais: 115 n F/INT = 11.500,00

Método Hamburguês:

É um método muito utilizado para cálculo de juros em qualquer tipo de conta corrente sujeita a juros.

Ex: No extrato abaixo sua conta ficou negativa por um determinado tempo e a taxa de juros cobrada foi de 50% ao ano, qual o total de juros a ser debitado em sua conta corrente?

Saldo Negativo DiasR$ 1.250,00 6R$ 530,00 8

Res: Pela HP12C

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F/REGR$ 1.250,00 enter 6 + = 1R$ 530,00 enter 8 + = 2Aperte RCL 6 R$ 11.740,00, aperte ... CHS PV, 50 i , 1nF INT R$ 16,30 (juro a ser debitado)

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (JUROS COMPOSTOS)

Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render no período seguinte.

M = C(1 + i)

FV = PV(1 + i)

Ex: Qual o valor Futuro para uma aplicação de $ 5.000,00, aplicado durante 5 meses, a taxa de juros compostos de 12% ao mês?

Dados: FV = 5.000, i = 12% a.m = 0,12 n = 5 meses

Res. Algébrica:

FV = PV(1 + i)FV = 5.000 ( 1 + 0,12)5

FV = 8.811,71

Resolução pela HP12C:

5.000 CHS PV12 i5 nFV = 8.811,71

EQUIVALÊNCIA DAS TAXAS A JUROS COMPOSTOS

Duas taxas são equivalentes quando são expressas em períodos distintos, mas produzem o mesmo montante, quando aplicadas pelo mesmo período de tempo, para um mesmo capital inicial.

Fórmula: iq = {[ 1 + (it 100)] – 1} x 100

onde: i = taxa equivalente que queremos q = prazo no qual queremos a taxa equivalente i = taxa que temos no prazo t t = prazo no qual temos a taxa dada

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Ex: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês:

Res.: ia = {[ 1 + (2 100)] – 1} x 100 Ia = 26,83% ao ano

TAXA NOMINAL, EFETIVA A JUROS COMPOSTOS

A taxa nominal anual = A taxa efetiva mensal x 12A taxa nominal mensal = a taxa efetiva diária x 30

Ex 1. Desta forma, se temos uma taxa de 125% nominal ao ano com capitalização mensal, e quisermos calcular a taxa efetiva ao ano, temos que calcular primeiro a taxa efetiva por período de capitalização mensal:

Portanto: 125% a.a. 12 = 10,43% a.m. (taxa efetiva mensal)

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