00 - Sinais e Sistemas - Apresenta├º├úo e revis├úo matem├ítica

7/23/2019 00 - Sinais e Sistemas - Apresentaºúo e revisúo matemítica

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1

Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Curso de Pós-Gradua!o em "ng# $ec%nica

&'vel: IntrodutóriaCarga (orária semestral: )* (

Cr+ditos: *,

Pro#: Dr# Ale.andre /ui0 Amarante $es1uita



2

Conceitos de Sinais e Sistemas



3



4

Sinal de sistema de 1 GDL livre amortecido



5



6



7



8



9



10

F (t )

x(t )Sistema Linear

M , C , K

F (t ) x(t )

Sistema 2i3ratório de 4 GD/

Uma orma de identiica!o de par%metros do sistema: Análise $odal



11

EMENTA DO CURSO:

Revisão de Alguns Fundamentos MatemáticosI. Introdução ao Estudo de Sinais e Sistemas

II. Análise no Domnio do !em"o de Sinais #ontnuos ($ro"riedades de Linearidade e Invari%ncia no tem"o& #onvolução&

Resolução de ED's)

III. !ransormada de La"lace nilateral

I*. Re"resentação de Sinais "or S+rie de Fourier

*. !ransormada de Fourier de Sinais #ontnuos*I. Introdução aos $rocessos Rand,micos



12

EMENTA DO CURSO (Cont.):

*II. Densidade Es"ectral de Energia e $ot-ncia

*III. Sensores Filtros Anal/gicos e #onversãoAnal/gica0Digital (aceler,metros sensores de "ro1imidadeamostragem 2uanti3ação codiicação en,meno de aliasing.)

I4. $rocessamento Digital de Sinais (DF! leakage unç5es 6anelas utili3ação do analisador de sinais)

4. Estimação da Função de Res"osta em Fre27-ncia (FRF) e daFunção de Res"osta ao Im"ulso E1"erimentalmente



13

8. 9su 9. :Sinais e Sistemas; #oleção Sc<aum =a Ed. Ed.

>oo?man =@88.=. Lat<i >. $. : Signal $rocessing Linear SBstems; '1ord

niversitB $ress 8CC.

. S<in . 9ammond G. :Fundamentals o Signal $rocessing or

Sound and *iHration Engineer; Go<n ileB Sons =@@.J. '""en<eimer A. ills?B A. :Signals SBstem; $rentice 9all

8CCK.

. 9aB?in S. *een *. >. :Sinais e Sistemas; >oo?man =@@8

reim"ressão =@@.K. >endat G. S. $ierson A. . :Random DataN AnalBsis and

Measurement $rocedures; Go<n BleB and Sons 8CK.

BIBLIOGRAFIA



14

Reis!o de A"#$ns F$ndamentos Matem%ticos

A. N&me'os Com"eos

B. F$n*+es ,a'm-nicas

C. eto'es e Mat'i/es

Oestas seç5es são Hrevemente revistos conceitos 2ueservirão como Hase "ara a com"reensão de novos

assuntos a serem vistos em ca"tulos "osteriores.



15

A. N&me'os Com"eos

m nPmero com"le1o z "ode ser re"resentado graicamente "or um "onto no "lano com"le1o cu6as coordenadascartesianas são (ab)

z a jb= +

cos

sen

a r

b r

θ

θ

==

a ⇒ "arte real de z

b ⇒ "arte imaginária de z

Q z a jb= −

j z re θ =

cos sen je jθ θ θ = +

⇒ con6ugado de z

Q F/rmula de EulerN

Fo'ma 'etan#$"a' o$

ca'tesiana

Fo'ma o"a'

$lano #om"le1o

( cos ) ( sen ) (cos sen ) z r j r r jθ θ θ θ = + = +



16

0'oa da F1'm$"a de E$"e':

E1"andindo cosθ senθ e em s+rie de Maclaurin vemN je θ

cos sen je jθ θ θ = +

= J K

cos 8 ...= J K

θ θ θ θ

θ = − + − + −

= J K D E L

8 ... ...= J K

je jθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= − + − + − + − + − + ÷

= E J( ) ( ) ( )8 ...

= J

j j j je jθ θ θ θ

θ = + + + + +

= E J L K

8 ...= J K

j j je jθ θ θ θ θ θ

θ = + − − + + − +

E L

sen ...

θ θ θ θ θ = − + − +

Tue "ode reescrito comoN

ReUarrumando os termos temUseN



17

j z re

θ = Fo'ma o"a'

V V j z z z e ∠=

= = = = =

sen tan arctan

cos

r a b r a b

b b b

a a a

θ θ θ

θ

= + ⇒ = +

= ⇒ = ⇒ = ÷

V V & 3 z r θ = ∠ =

Magnitude ou valor aHsoluto de z

Oo "lano com"le1o z re"resenta um "onto a uma dist%ncia r =|z| da origem e aum %ngulo θ do ei1o <ori3ontal sendo "ositivo medido no sentido antiU<orário.

$or e1em"lo o nPmero U8 está a uma dist%nciaunitária da origem e "ossui um %ngulo π ou Uπ (na

verdade 2ual2uer mPlti"lo m"ar de ±π). Logo8 8

je

π ± = −

8 . jn

e π ± = − n inteiro m"ar



18

' nPmero 8 está a uma dist%ncia unitária da origem mas "ossui um %ngulo=π (na verdade 2ual2uer valor inteiro de n). Logo

n inteiro=

8 j n

e π ±

=

( 0 =) je jπ =

( 0 =) je jπ − = −( 0 =) je jπ ± = ±

' nPmero imaginário j está a uma dist%ncia unitária da origem e seu %ngulo+ π0=. Logo

( 0 =)

N cos( 0 =) sen( 0 =) @ (8)

j

Obs e j j j

π

π π = + = + =Similarmente

Desta ormaN



19

= =V V = E 8Er z = = + =

= j z j re θ = + =

@arctan K

= z θ

= ∠ = = ÷

@K= 8 j z j e= + =

Eem"oN Escreva na orma "olar o seguinte nPmero com"le1oN z W = X j



20

2O3s: Tuando o nPmero com"le1o está no 8o ou Jo 2uadrante não <á "roHlemas ao se usar a má2uina calculadora mas caso o nPmero este6a no =o ou o 2uadrante deveUse ter cuidado.

Se o nPmero estiver no =o

2uadrante deveUse adicionar 8@o

ao %ngulo donPmero com"le1o oHtido na calculadora. Se o nPmero estiver no o 2uadrantedeveUse suHtrair 8@o do %ngulo oHtido na calculadora.

Eem"oN Escreva na orma "olar o seguinte nPmero com"le1oN z W U=X j

Eem"oN Escreva na orma "olar o seguinte nPmero com"le1oN z W U=U j

$ortanto + sem"re dese6ável 2ue se aça um esHoço do nPmero com"le1ono "lano com"le1o "ara saHer em 2ue 2uadrante o mesmo se encontra.

*eriicar a unção cart="ol(ab) no MatlaH 2ue converte um nPmerocom"le1o aX jb em sua orma "olar.

Res"ostaN r W √8 θ W U8=o

Res"ostaN r W √ θ W 8JJo



21

Oe'a*+es com N&me'os Com"eos:

$ara reali3ar o"eraç5es de adição e suHtração os nPmeros com"le1osdevem ser escritos na orma cartesiana.

@LE.88 E J L j z j e= + =

8 = (E J) (= E) L z z j j j+ = + + + = +

8

8 = 8 =

=

88 8 8 8

= = == ( ) W

j j j j j

j

z r e r r

e e e e z r r r e

θ θ θ θ θ

θ

−−

= =

@LK.E= = E 8E j z j e= + =

8 =( )8 8

= =

j z r e

z r

θ θ −=

8 = 8 =( )8 = 8 = 8 =( )( )W j j j z z r e r e r r e

θ θ θ θ +=

$ara multi"licação e divisão as o"eraç5es "odem ser eitas com os

nPmeros na orma cartesiana ou na orma "olar sendo 2uem nesta Pltima+ a mais conveniente.



22

B. F$n*+es ,a'm-nicas 4 F$n*+es senoidais

m movimento di3Use do ti"o <arm,nico sim"les 2uando + re"resentado "ela e1"ressãoN

)cos()( φ+ω= t At x

8 =

f T T

π

ω = =

( ) cos( ) cos(= ) x t A t A ft ω φ π φ = + = +

= f ω π =

Se ( ) cos( ) sen( )= =

x t A t A t π π

φ ω ω = − ⇒ = − =

ω → re27-ncia angular Yrad0sZ

f → re27-ncia Y93Z φ → %ngulo de ase



23

Movimento 9arm,nico Sim"les (M9S)

[ a orma mais sim"les de movimento "eri/dico

$ossui larga a"licação no estudo das viHraç5es [ um movimento alternativo 2ue "ode ser re"resentado "or

unç5es circulares seno ou coUseno ou mesmo a soma destescontanto 2ue ten<am a mesma re27-ncia.



24

U X X x(t )

x

y

O P

' movimento alternativo do "onto entre \ X e X "ode ser escrito "orN

OP W x(t ) W X cosωt

#onsidere o movimento do "onto P ao longo do ei1o x.

+X

X



25

x(t ) W X cos ωt

t N tem"o YsZ X N am"litude ou deslocamento má1imo

ωN re27-ncia circular do movimentoYrad0sZ

#omo as unç5es circulares re"etemUse a cada =π radianos umciclo de movimento + com"letado 2uando ω!W=π. EntãoN

ωπ= =T $erodoN Ys0cicloZ

Fre27-nciaN Yciclos0sZ ou Y93Z8

= f

T

ω

π = =



26

Se x(t ) re"resenta o deslocamento de uma massa de um sistemaviHrat/rio entãoN

*elocidadeN

AceleraçãoN )cos(cos)(

)=0cos(sen)(

== π+ωω=ωω−==

π+ωω=ωω−==

t X t X t x!t

x!

t X t X t x!t !x



27

Da e2uação da aceleração temUseN

= = =( ) cos ( ) ( ) ( ) x t X t x t x t x t = −ω ω = −ω ⇒ = −ω&& &&

Então 2uando a aceleração de uma "artcula or "ro"orcional aodeslocamento dessa "artcula e de sentido o"osto di3emos 2ue

esta "artcula e1ecuta um M9S.

=ω W constante

@)()( = =ω+ t xt x

E2uação Dierencial do M9S

!odo sistema 2ue "ossui um modelo matemático da ormaacima terá como res"osta um M9S.



28

A soma de duas unç5es <arm,nicas s/ resultará em uma unção<arm,nicas caso as unç5es "ossuam a mesma re27-ncia.

A soma de um seno ou coUseno com um seno ou coUseno "ode ser

escrita somente "or um seno ou um coUseno com a inclusão de um%ngulo de ase.

t " x

t A x

ω=

ω=

sen

cos

=

8

E1em"loN

t "t At xt xt x s ω+ω=+= sencos)()()( =8

]]

)sen(sencos)(

)cos(sencos)(

=8=8

==

88

θθ

θ+ω=ω+ω=

θ−ω=ω+ω=

X X

t X t "t At x

t X t "t At x

s

s

=θ

=θ

+===

"

Aar#tg

A

"ar#tg

" A X X X

=8

===8

e

Isto ocorrerá se não <ouver %ngulosde ase nas unç5es x8(t) e x=(t).

t " x

t A x

ω=

ω=

sen

cos

=

8



29

A soma de duas unç5es <arm,nicas com re27-nciasdierentes não resulta em uma unção <arm,nica

t A xt A x===

888sen

cosω= ω=

)()()( =8 t xt xt x s += Função OãoU9arm,nica(mas "ode ser "eri/dica)

A soma de duas ou mais unç5es <arm,nicas com re27-nciasdierentes não resulta em uma unção <arm,nica mas "oderesultar em uma 5$n*!o e'i1dica6 se e somente se todas as

ra35es entre as re27-ncias das unç5es ormarem nPmerosracionais.



30

Oo caso de ω8 ≈ ω= ou se6aN ω= W ω8Xε sendo ε << ω8

' movimento "ode ser considerado como uma unção

<arm,nica de re27-ncia (ω8Xε 0=) 2ue + a"ro1imadamenteigual a ω8 e com uma am"litude variável de Y= X cos(ε 0=)t Z. Este

+ o en,meno de >atimento.

clear all;close all

A1=2;A2=3;w1=3;w2=3.2;

t=[0:0.01:90];

x1=A1*sin(w1*t);

x2=A2*sin(w2*t);xs=x1+x2;

set(gcf!color![1 1 1])

"lot(txs!#$!);title(!%&'&' & ,A-&'-!)

E1em"loN



31

E1em"lo "rático de sinal ti"o HatimentoN *iHração "rodu3ida em uma estrutura "or duas ou mais má2uinaso"erando na mesma re27-ncia nominal.

Ω OXε8 Ω OXε=

Aceler,metro

Analisador de Sinais



32

E1ercciosN

8) m movimento <arm,nico sim"les "ossui @@8 mm de

am"litude má1ima e re27-ncia de @ 93. DetermineN (a) ae2uação do M9S& (H) a má1ima velocidade& (c) a má1imaaceleração.

=) A determine a am"litude e o %ngulo de ase da oscilação

dada "ela soma das duas unç5es <arm,nicasN x8(t )W8@cos(ωt ) e x=(t )W8cos(ωt+=).



33

C. eto'es e Mat'i/es

ma matri3 + um con6unto de nPmeros organi3ados num arran6oordenado retangular. $or e1em"lo

8^ Lin<a

=^ Lin<a

8^ #oluna =^ #oluna

Dada uma matri3N

$ indica o nPmero de lin<as e n o nPmero de colunas da matri3 A.

Di3emos 2ue a ordem da matri3 A + $%n. Se $Wn di3emos 2ue a matri3 A + (2uadrada) de ordem n.

A W

88 8= 8

=8 == =

8 =

n

n

$ $ $n

a a a

a a a

a a a

L

L

M M O M

L

=

8 J

−

A W



34

A diagonal "rinci"al da matri3 + indicada "elos elementos da ormaaij onde iW j.

ma matri3 2uadrada + a 2ue tem o nPmero de lin<as igual aonPmero de colunas i.e. $Wn.

A diagonal secundária de uma matri3 2uadrada de ordem n +indicada "elos n elementosN

a8n a=(nU8) a(nU=) aJ(nU) a(nUJ) ... a(nU8)= an8

ma matri3 diagonal + a 2ue tem elementos nulos ora da diagonal "rinci"al.

ma matri3 coluna (lin<a) + a2uela 2ue "ossui somente uma coluna

(lin<a) e são comumente reeridas como um *E!'R.



35

ma matri3 com"le1a tem todos os elementos comonPmeros com"le1os.

ma matri3 nula tem todos os elementos são iguais a 3ero.

ma matri3 identidade denotada "or I tem os elementosda diagonal "rinci"al iguais a 8 e 3ero ora da diagonal

"rinci"al ma matri3 diagonal tem todos os elementos 2ue estão ora

da diagonal "rinci"al são iguais a 3ero "odendo ocorrer 2uealguns elementos da diagonal "rinci"al se6am nulos.



36

T'ansosta de $ma mat'i/

Dada uma matri3 AWai,j de ordem $%n deinimos a trans"osta da

matri3 A como a matri3 AT

7 a j,i.

E se oHserva a2ui 2ue as lin<as de A se transormam nas colunasde AT .

Soma e S$3t'a*!o

88 8=

=8 ==

a a

a a

A W88 =8

8= ==

a a

a a

AT W

88 8=

=8 ==

b b

b b

B W

88 88 8= 8=

=8 =8 == ==

a b a b

a b a b

± ±

± ± C = A ± B W



37

M$"ti"ica*!o

Se6a An8_n= e Bn= _n então ( An8_n= . Bn= _n) W C n8_n .

88 8= 88 8= 88 8=

=8 == =8 == =8 ==

a a b b # #

a a b b # #

=

C = A . B W

88 88 88 8= =8 8= 88 8= 8= ==

=8 =8 88 == =8 == =8 8= == ==

# a b a b # a b a b

# a b a b # a b a b

= + = +

= + = +

Q'HsN Em geralN A B ≠ B A



Mat'i/ Ine'sa

Dada uma matri3 2uadrada nãoUsingular A a inversa desta

matri3 + dada "orN BW AU8

.

A inversa de A e1iste se A:

- or não singular

- determinante de A or dierente de 3ero

- A não ten<a lin<as e0ou colunas linearmente de"endentes.

As tr-s condiç5es acima são id-nticas.

A2ui neste casoN A B = B A = I

38



39

' cálculo da inversa de uma matri3 "ode ser eetuado do seguinte modoN

8. #alculaUse o determinante de A. Se este e1istir então A "ossui inversa.=. #alculaUse os coatores de todos os elementos de A.

' coator de um elemento ai6 de A + dado "or (U8)iX6 ve3es odeterminante da matri3 (nU8)_(nU8) 2ue + oHtida 2uando a iU+simalin<a e a 6U+sima coluna da matri3 são canceladas.

. A inversa de A será dada "elo "roduto do inverso do determinante de A "ela matri3 trans"osta dos coatores de A.

[ ]8 8co(atores de

det

− = T

A A A

QAlgumas "ro"riedadesN

( A C)89 = C 89 A89 .

( A C)T = C T AT

I C 7 C I 7 C



40

$or e1em"lo se6a o sistema de e2uaç5es lineares aHai1oN

EEEE=E=8E8

=E=E===8=8

8E8E=8=888

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

=++

=++

=++

A utili3ação de matri3es + Ptil na resolução de sistema de e2uaç5es linearesalg+Hricas.

Este sistema "ode ser reescrito da seguinte ormaN

=

E

=

8

E

=

8

EEE=E8

=E===8

8E8=88

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

ou [ ] b x A =

Matri3 e vetorcon<ecidos

*etor das variáveis descon<ecidas

ResoluçãoN [ ] b A x

8−=

So"$*!o de E$a*+es A"#;3'icas Linea'es

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