Classificação de Cônicas e Quádricas em Função da Equação ...
01 Apresentação Cónicas e Quádricas
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Transcript of 01 Apresentação Cónicas e Quádricas
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Analise Matematica 2
Apresentacao;Revisoes: Conicas, Quadricas, etc.
2o Semestre 2011/12
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Bem vindo!
Professora: Sandra Gaspar Martins
email: [email protected]
Pagina de apoio:http://moodle.isel.pt/dec/course/view.php?id=7
Horario de duvidas:
2as - das 9h30 as 11h; depois das 12h30.
3as - depois das 11h00.
5as - depois das 12h30.
6as - depois das 11h00.sala C.2.4
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Programa
1 Introducao aos campos escalares e vectoriais.
2 Calculo diferencial em Rn.
3 Calculo integral em Rn.
1 Integrais multiplos.2 Integrais de linha.3 Integrais de superfıcie.
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Bibliografia
1 J. Marsden, A. Tromba, Vector Calculus, 4th Edition,W.H. Freeman and Company, 1996.
2 McCallum, Hughes-Hallett, et al., Multivariable Calculus,5th Ed., Wiley, 2009
3 A. Azenha, M. Amelia Geronimo, Calculo Diferencial eIntegral em IR e IRn, McGraw- Hill, 1995.
4 J. Stewart, Calculo, Vol.1 e 2, Thomson Learning, 2002.
5 O. Baptista, Integrais duplos, triplos, de linha e desuperfıcie, Sılabo, 2001.
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Sitegrafia
1 http://www.wolframalpha.com/
2 Integrais duplos (applet)http://www.flashandmath.com/mathlets/
multicalc/doubint/double_integrals.html
3 Integrais duplos e triplos (applet- MIT)http://www.flashandmath.com/mathlets/
multicalc/doubint/double_integrals.html
4 Varios applets http://www.flashandmath.com/
mathlets/multicalc/index.html
5 Aulas (tudo) MIThttp://ocw.mit.edu/courses/mathematics/
18-02-multivariable-calculus-fall-2007/
6 Tutorialhttp://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Avaliacao
Regime de Avaliacao Contınua: Um teste global realizadoem duas partes ao longo do semestre.
Regime de Exame: Um exame final.
Sera disponibilizada tabela com derivadas e primitivas nasavaliacoes.
Inscrever no Moodle para todos os momentos de avaliacao.
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
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Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Para fazer revisoes da materia do secundario...
http://modulos.math.ist.utl.pt/
ou
http://cmup.fc.up.pt/cmup/apoiomat/index.html
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
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Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Conicas e outras regioes...
em R2
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Rectas
y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Rectas
y = mx + b m, b ∈ R
m decliveb ordenada na origem
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Quadricas,etc.
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R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Rectas
y = mx + b m, b ∈ Rm decliveb ordenada na origem
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Parabolas
y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R
zeros: x =−b ±
√b2 − 4ac
2aa > 0 ∪a < 0 ∩
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AM2
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Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Parabolas
y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R
zeros: x =−b ±
√b2 − 4ac
2aa > 0 ∪a < 0 ∩
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Parabolas
y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R
zeros: x =−b ±
√b2 − 4ac
2aa > 0 ∪a < 0 ∩
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Circunferencias
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R
(a, b) centror raio
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Circunferencias
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R
(a, b) centror raio
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Circunferencias
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R
(a, b) centror raio
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Elipses
(x − a
c
)2
+
(y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc , d semi-eixos
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Elipses
(x − a
c
)2
+
(y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc , d semi-eixos
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Elipses
(x − a
c
)2
+
(y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc , d semi-eixos
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Hiperboles
(x − a
c
)2
−(y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc distancia ao centrodc abertura dos arcos
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AM2
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Quadricas,etc.
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Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
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Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Hiperboles
(x − a
c
)2
−(y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc distancia ao centrodc abertura dos arcos
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Hiperboles
(x − a
c
)2
−(y − b
d
)2
= 1 a, b, c , d ∈ R c 6= 0 ∧ d 6= 0
(a, b) centroc distancia ao centrodc abertura dos arcos
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Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
x3
y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c , d ∈ R
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
x3
y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c , d ∈ R
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Modulo
y = |x |
|x | =
{x se x ≥ 0−x se x < 0
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Modulo
y = |x |
|x | =
{x se x ≥ 0−x se x < 0
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Raiz
y =√x
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Raiz
y =√x
17/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
1x
y =1
x
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
1x
y =1
x
18/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Exponenciais
y = ax , a ∈ R+
a > 1 a < 1
19/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Exponenciais
y = ax , a ∈ R+
a > 1 a < 1
19/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Logaritmos
y = loga(x), a ∈ R+
a > 1 a < 1
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AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Logaritmos
y = loga(x), a ∈ R+
a > 1 a < 1
20/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Seno
y = sin(x)
21/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Seno
y = sin(x)
21/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Co-seno
y = cos(x)
22/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Co-seno
y = cos(x)
22/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Tangente
y = tan(x)
23/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Tangente
y = tan(x)
23/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Quadricas e outras regioes...1
em R3.
1Os graficos desta seccao foram retirados de Wolfram|Alphahttp://www.wolframalpha.com/
24/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Paraboloide
x2 + y2 = z
25/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Paraboloide
x2 + y2 = z
25/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Superfıcie Conica - Cone
x2 + y2 = z2
26/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Superfıcie Conica - Cone
x2 + y2 = z2
26/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Superfıcie cilındrica - Cilindro
x2 + y2 = R2, R ∈ R
27/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Superfıcie cilındrica - Cilindro
x2 + y2 = R2, R ∈ R
27/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Hiperboloide de 1 folha
x2 + y2 = z2 + A, A ∈ R+
28/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Hiperboloide de 1 folha
x2 + y2 = z2 + A, A ∈ R+
28/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Hiperboloide de 2 folhas
x2 + y2 = z2 − A, A ∈ R+
29/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Hiperboloide de 2 folhas
x2 + y2 = z2 − A, A ∈ R+
29/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Esfera
x2 + y2 + z2 = R2
30/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Esfera
x2 + y2 + z2 = R2
30/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Resumo
x2 + y2 = z paraboloidex2 + y2 = z2 conex2 + y2 = R2 cilindrox2 + y2 = z2 + A hiperboloide de 1 folhax2 + y2 = z2 − A hiperboloide de 2 folhasx2 + y2 + z2 = R2 esfera
31/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Descentradas
Todas estas superfıcies podem ser descentradas, ou seja, naoterem o centro na origem:
(x − a)2 + (y − b)2 = z
(x − a)2 + (y − b)2 = z2
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − a)2 + (y − b)2 = z2 + A
(x − a)2 + (y − b)2 = z2 − A
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
32/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Elıpticas
Todas estas superfıcies podem ser elıpticas em vez de circulares:(xc
)2+(yd
)2= z(x
c
)2+(yd
)2= z2
(xc
)2+(yd
)2= R2
(xc
)2+(yd
)2= z2 + A(x
c
)2+(yd
)2= z2 − A(x
c
)2+(yd
)2+(ze
)2= 1
33/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Outro eixo
Todas estas superfıcies podem ser ao longo de outro eixo, porexemplo o eixo dos xx’s:z2 + y2 = x paraboloidez2 + y2 = x2 conez2 + y2 = R2 cilindroz2 + y2 = x2 + A hiperboloide de 1 folhaz2 + y2 = x2 − A hiperboloide de 2 folhas
34/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Resumo generalizadas(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x2
(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= R2
(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x2 + A(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x2 − A(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
+
(x − e
f
)2
= 1
35/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Cilindro parabolico
z = x2
36/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Cilindro parabolico
z = x2
36/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Cilindro hiperbolico
x2 − y2 = R2
37/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Cilindro hiperbolico
x2 − y2 = R2
37/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Paraboloide hiperbolico
x2 − y2 = z
38/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Paraboloide hiperbolico
x2 − y2 = z
38/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
outras...
z = sin(x)
y =√x
y = x
z = −x
...
39/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Rectas em R3
Sejam A e B dois pontos da recta:A = (x1, x2, x3)B = (y1, y2, y3)P = (x , y , z) pertence a recta sse
~AP = λ ~AB
P − A = λ ~AB
P = A + λ ~AB, λ ∈ R
Equacao vectorial da recta:
(x,y,z)=(x1, y1, z1) + λ(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), λ ∈ R
Equacao parametrica da recta:x=x1 + λ(x2 − x1)y=y1 + λ(y2 − y1)z=z1 + λ(z2 − z1)
40/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
donde λ =
x − x1
x2 − x1
λ =y − y1
y2 − y1
λ =z − z1
z2 − z1
Equacao cartesiana ou normal da recta:
x − x1
x2 − x1=
y − y1
y2 − y1=
z − z1
z2 − z1
41/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Notas:
(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) e o vector director da recta.
Se uma das coordenadas do vector director e nula, porexemplo, x2 − x1 = 0, a equacao normal da recta e
x = x1y − y1
y2 − y1=
z − z1
z2 − z1
Se duas coordenadas do vector director forem nulas, porexemplo, x2 − x1 = z2 − z1 = 0 entao a equacao normalda recta e
x = x1 ∧ z = z1
42/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
PlanosSejam A, B e C tres pontos do plano:A = (x1, x2, x3)B = (y1, y2, y3)C = (z1, z2, z3)
P = (x , y , z) pertence ao plano sse
~AP = λ ~AB + µ ~AC
P − A = λ ~AB + µ ~AC
P = A + λ ~AB + µ ~AC , λ, µ ∈ R
Equacao vectorial do plano:(x , y , z) = (x1, y1, z1) + λ(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)+
+µ(x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1)
onde A e um ponto do plano, λ, µ ∈ R, ~AB e ~AC sao doisvectores nao colineares (linearmente independentes) do plano. 43/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Equacao parametrica do plano:x=x1 + λ(x2 − x1) + µ(x3 − x1)y=y1 + λ(y2 − y1) + µ(y3 − y1)z=z1 + λ(z2 − z1) + µ(z3 − z1) λ, µ ∈ R
Equacao geral ou cartesiana do plano:
Ax+By+Cz+D=0
m
ax+by+cz=1
onde (A,B,C ) e (a, b, c) sao vectores normais(perpendiculares) ao plano;Se D = 0 o plano contem a origem.
44/45
AM2
Apresentacao;Revisoes:Conicas,
Quadricas,etc.
Apresentacao
R2
Rectas
Parabolas
Circunferencias
Elipses
Hiperboles
Outras
R3
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas
Elıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos
Autores:Sandra Gaspar Martins
eNuno David Lopes
45/45