Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 1

01

O estudo de sistemas dinâmicos envolve a modelagem matemática, a análise e a simulação de sistemas físicos de interesse da engenharia, tais como os sistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, pneumáticos e térmicos. Também são de particular importância os sistemas híbridos, resultantes da combinação de dois ou mais dos sistemas citados. Devemos, entretanto, ressaltar que a teoria dos sistemas dinâmicos pode ser aplicada a outros tipos de sistemas, tais como sistemas biológicos, econômicos, etc.

Iniciaremos nosso estudo com o conceito de sistema, diferenciando imediatamente um

sistema dinâmico de um sistema estático. Após apresentarmos os vários sistemas dinâmicos físicos usados em engenharia, conceituaremos excitação e resposta de um sistema e, em seguida, ilustraremos através de um exemplo o procedimento para a modelagem e a análise de um sistema dinâmico. Em seguida, depois de abordarmos rapidamente a representação da dinâmica de um sistema por diagramas de blocos, faremos uma classificação didática dos sistemas dinâmicos de acordo com vários critérios. Tal classificação é útil por estar muito vinculada matematicamente com a modelagem. Por fim, examinaremos alguns tipos de resposta (comportamento) que um sistema dinâmico pode apresentar. 1 O QUE É UM SISTEMA?

Conjunto de componentes interconectados, que apresentam certas relações de causa e efeito e que

a

epp Eo Emc eti

Sistem

É importante dif

stático é aquele em quodendo variar espacialmodendo também variar es

xemplo de sistema estáts deslocamentos de seus

xemplo de sistema dinâmudam com o tempo, poisurso estudaremos apenas

Os sistemas dinâmconômicos, sistemas biorânsito, etc. Neste tenteressam à engenharia:

Introdução ao Estudo deSistemas Dinâmicos

atuam como um todo, com um determinado objetivo.

erenciar um sistema estático de um sistema dinâmico. O sistema e as propriedades descritivas do sistema não variam com o tempo, ente. Já no sistema dinâmico tais propriedades variam no tempo, pacialmente.

ico: viga carregada estaticamente, isto é, com cargas constantes, pois pontos variam espacialmente mas não com o tempo.

ico: a mesma viga carregada dinamicamente, ou seja, com cargas que os deslocamentos de seus pontos variam também com o tempo. Neste os sistemas dinâmicos.

icos não são necessariamente de natureza física. Podemos ter sistemas lógicos, sistemas de informação, sistemas ecológicos, sistemas de

xto, porém, serão tratados exclusivamente os sistemas que mais

Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 2

• sistemas mecânicos • sistemas elétricos • sistemas hidráulicos • sistemas térmicos • sistemas pneumáticos • sistemas híbridos

Vamos tecer algumas considerações sobre esses tipos de sistemas. • sistemas mecânicos

São sistemas que possuem massas e/ou inércias, as quais armazenam energia cinética e potencial gravitacional, assim como elementos armazenadores de energia potencial elástica (molas) e dissipadores de energia mecânica (amortecedores). Normalmente, suas entradas são forças, torques ou deslocamentos. Também podem ser colocados em movimento através da imposição de condições iniciais, tais como deslocamentos iniciais e/ou velocidades iniciais.

Um automóvel é um exemplo bastante familiar de um sistema mecânico. Ele apresenta

uma resposta dinâmica durante acelerações, frenagem, deslocamentos em curvas, passagens sobre irregularidades do terreno, etc. Uma aeronave em vôo também constitui um exemplo de sistema mecânico: ela tem uma resposta dinâmica às mudanças de velocidade, altitude e manobras. Estruturas de edifícios podem apresentar uma resposta dinâmica a carregamentos externos, tais como vento, tremores de terra, etc.

• sistemas elétricos

Normalmente são constituídos por circuitos elétricos que possuem componentes passivos, tais como resistores (dissipadores de energia elétrica), capacitores e indutores (armazenadores de energia elétrica), os quais são excitados por geradores de voltagem ou corrente. Já os circuitos eletrônicos envolvem também o emprego de transistores e amplificadores. Devido à disponibilidade e ao controle que temos sobre a energia elétrica, os sistemas elétricos são os que mais estão presentes na nossa vida diária: circuitos elétricos domésticos, motores elétricos, receptores de TV, rádios, aparelhos de som, computadores, etc. • sistemas fluidos

Classificam-se em dois grandes grupos, conforme a natureza do fluido utilizado: sistemas hidráulicos, quando o fluido de trabalho é um líquido, tal como água ou óleo, e sistemas pneumáticos, quando o fluido de trabalho é um gás, tal como ar, nitrogênio, etc. São constituídos por orifícios, restrições, válvulas de controle (dissipadores de energia), reservatórios (armazenadores de energia), tubulações (indutores) e atuadores excitados por geradores de pressão ou escoamento de um fluido. O sistema de abastecimento de água de um edifício é um exemplo de um sistema fluido (mais especificamente, é um sistema hidráulico do tipo sistema de nível de líquido), no qual o nível da água do reservatório tem uma resposta dinâmica em função da quantidade de água que é bombeada para o reservatório e da quantidade de água que é consumida no prédio. O escoamento de ar através de uma cavidade em um tubo causará uma resposta dinâmica (um tom acústico). O sistema de freio hidráulico de um automóvel, o sistema de distribuição de ar condicionado de um escritório, o escoamento da mistura ar-combustível do sistema de alimentação de um motor de combustão interna, etc., constituem exemplos de sistemas fluidos.

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• sistemas térmicos

Possuem componentes que oferecem resistência térmica à transferência de calor (por condução, convecção e radiação) e componentes que apresentam a propriedade de capacitância térmica (armazenamento de energia térmica) quando excitados por uma diferença de temperatura ou um fluxo de calor. Um sistema de aquecimento de uma casa tem uma resposta dinâmica, conforme a temperatura ambiente aumente até alcançar a temperatura desejada. • sistemas híbridos

São sistemas que combinam dois ou mais dos tipos de sistemas citados anteriormente. A maioria dos sistemas dinâmicos aplicados em engenharia são sistemas híbridos. Conforme a combinação, podemos ter, dentre outros:

o sistemas eletromecânicos: empregam componentes eletromagnéticos que convertem

energia elétrica em mecânica. Exemplos: alto-falante, atuador solenóide, motor elétrico, etc.

o sistemas fluidomecânicos: empregam componentes que convertem energia hidráulica ou

pneumática em energia mecânica. Exemplos: macaco hidráulico, servo-hidráulico usado para controle do vôo de um avião,cilindro pneumático, etc.

o sistemas termomecânicos: empregam componentes que convertem energia térmica em energia mecânica. Exemplos: motor de combustão interna, motor a jato, turbina a vapor, etc.

o sistemas eletrotérmicos: empregam componentes que convertem energia elétrica em

térmica. Exemplos: aquecedor elétrico doméstico, aquecedor elétrico de água, etc.

2 EXCITAÇÃO E RESPOSTA

Quando solicitado por uma dada excitação, o sistema exibe um certo comportamento, chamado de resposta. Outros termos muito empregados:

•

• •

3 ANÁLISE DINÂ

A Análise Din

de um sistema. Ela se

sistema = processo = planta excitação = entrada = input resposta = saída = output

MICA

âmica é o estudo da relação de causa e efeito entre excitação e resposta processa nas seguinte etapas:

Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 4

Representar o sistema real na forma de diagrama (modelo físico) e definir os parâmetros do sistema e as variáveis envolvidas. Estabelecer

hipóteses simplificadoras

1

Escrever as equações para cada componente do sistema, a partir de equações constitutivas adequadas

A partir de Leis Físicas, de acordo com a natureza do sistema, obter o modelo matemático do mesmo

4

3

2

Resolver o modelo matemático (as equações do sistema) e comparar o resultado teórico obtido com resultados experimentais.

Se a discrepância for pequena, pode-se aceitar o modelo; caso contrário, modificar o modelo e refazer a análise

Inicialmente (etapa 1), devemos identificar o sistema a ser modelado e analisado. Como

exemplo ilustrativo, vamos considerar um sistema mecânico real constando de um pêndulo simples, no qual temos uma massa m, suposta concentrada em um ponto, ligada à estrutura fixa por um fio inextensível de comprimento L. Consideremos que, ao serem impostos um deslocamento angular inicial e uma velocidade inicial ao sistema (condições iniciais), o mesmo oscilará dentro de um plano vertical, sendo o seu movimento descrito, a qualquer instante, por uma coordenada angular θ(t). Também vamos desprezar as perdas por atrito na articulação e considerar a inexistência de resistência aerodinâmica. A fig. 1 ilustra o que foi dito.

Fig. 1 - Pêndulo simples

Na etapa 1, portanto, foram definidos os parâmetros do sistema (m e L) e a variável θ(t).

Também foram adotadas hipóteses simplificadoras (massa m concentrada em um ponto, comprimento do fio L constante, oscilação dentro de um plano vertical, desprezadas as perdas por atrito na articulação e atrito com o ar). A adoção de hipóteses simplificadoras é imperativa na análise dinâmica, pois facilita o lado matemático. Entretanto, devemos ter muito cuidado ao

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estabelecer tais hipóteses, pois deve haver um compromisso entre simplicidade e precisão: o modelo deve ser o mais simples possível mas deve reter as características essenciais do sistema real. Normalmente, quando fazemos a verificação do modelo e constatamos que existe uma discrepância muito grande entre os resultados teóricos e experimentais, a causa do problema reside na adoção de simplificações inadequadas.

A seguir (etapas 2 e 3), devemos escrever as equações para os componentes do sistema e

para o sistema como um todo. Para os componentes devemos usar equações constitutivas. Uma equação constitutiva é uma relação de causa e efeito, muitas vezes estabelecida experimentalmente, entre duas ou mais variáveis descritivas. Exemplos: Lei de Ohm (e = Ri), Lei de Hooke (σ = Eε), Lei dos Gases Perfeitos (p = ρRT), etc. Aplicando leis físicas adequadas, como as Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., chegamos normalmente a equações diferenciais que relacionam matematicamente as variáveis do modelo com as propriedades do modelo e com o tempo.

No nosso exemplo, usamos a 2a Lei de Newton para o movimento de rotação em torno do

centro de oscilação (também conhecida como Equação dos Momentos ou Equação de Euler). Fazendo isso, conforme estudaremos mais tarde, encontramos para modelo matemático a equação diferencial não linear

(1) 0senLg..

=θ+θ

onde g é a aceleração da gravidade e onde foi adotada a notação 2

2...

dtd ,

dtd θ

=θθ

=θ , etc.

O modelo matemático assim obtido deve ser agora resolvido (etapa 4), para que

obtenhamos o comportamento (a resposta) do sistema. Tal solução pode ser feita analiticamente ou numericamente. Se o modelo matemático for relativamente simples, como no caso de uma equação diferencial ordinária linear (EDOL), devemos preferir uma solução analítica, a qual é exata. Entretanto, se o modelo for mais complicado, como no caso de uma equação diferencial não-linear, podemos apelar para uma solução numérica, a qual é aproximada. Felizmente, hoje em dia dispomos de muitos programas de computador que permitem essa última solução, como o MatLab, o Simulink e o VisSim. Tais softwares permitem, também, simular o comportamento através de gráficos nos quais podemos visualizar, por exemplo, o deslocamento e a velocidade em função do tempo. Uma outra opção da qual podemos dispor é a chamada linearização do sistema em torno de um ponto de operação. No nosso exemplo podemos observar que, para pequenas oscilações em torno da posição vertical θ = 0 (o ponto de operação), o ângulo θ em radianos tem aproximadamente o mesmo valor que sen θ. O leitor pode verificar isso em sua calculadora para o intervalo (-π/6 < θ < π/6). Então, considerando sen θ ≈ θ nesse intervalo, podemos rescrever a eq. (1) como

(2) 0Lg..

=θ+θ

que é uma EDOL de 2a ordem com coeficientes constantes e homogênea, a qual é de fácil solução analítica:

(3) tLg

sen

Lg

tLg

cos)t( 0.

0θ

+θ=θ

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onde θ0 e são as condições iniciais do problema, ou seja, o deslocamento inicial e a velocidade inicial que são as causas do movimento pendular.

0.θ

Uma vez obtido o comportamento do sistema, através da solução do modelo matemático,

devemos compará-lo com o comportamento obtido experimentalmente. Se tal comparação for satisfatória, podemos aceitar o modelo. Caso contrário, devemos refinar o modelo e repetir o procedimento, até encontrarmos um modelo satisfatório. 4 PROJETO Projeto é a criação de um sistema que, ao ser solicitado por excitações conhecidas, apresente respostas especificadas (desejadas). O Projeto envolve praticamente todas os estágios da Análise, a qual, agora, deverá ser repetida várias vezes. O projeto não é único, podendo haver vários projetos apresentando desempenho satisfatório.

5 REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE BLOCOS

O diagrama de blocos é a representação gráfica da relação entre entrada e saída,

conforme ilustra a fig. 2:

Fig. 2 - Diagrama de Blocos

Como exemplo ilustrativo, consideremos o vôo vertical de um foguete balístico (sem controle), fig. 3:

• sistema: o próprio foguete • Excitações: força gravitacional (peso) Fg e resistência aerodinâmica Fd • resposta: podemos considerar a altitude h(t), ou a velocidade v(t), ou ambas

Em

fig. 4:

Fig. 3 - Vôo Vertical de um Foguete Balístico

termos de diagrama de blocos, podemos representar o sistema acima pelo diagrama da

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Fig. 4 - Diagrama de Blocos 6 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DINÂMICOS Apresentamos, a seguir, uma classificação dos sistemas dinâmicos de acordo com vários critérios. Apesar de didática, ela é importante porque revela uma ligação matemática com a modelagem. 6.1 SISTEMAS COM PARÂMETROS CONCENTRADOS E COM PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS

No desenvolvimento do modelo matemático é necessário identificar os componentes do sistema e determinar as suas características individuais. Tais características são governadas por leis físicas (Leis de Newton, de Kirchhoff, de Fourier, etc., conforme a natureza do sistema) e são descritas em termos dos chamados parâmetros (ou propriedades) do sistema. Os sistemas podem ser divididos em duas grandes classes, conforme a natureza de seus parâmetros: aqueles cujos parâmetros não dependem das coordenadas espaciais, chamados sistemas com parâmetros concentrados, e aqueles cujos parâmetros dependem das coordenadas espaciais, denominados sistemas com parâmetros distribuídos. No primeiro caso, a excitação e a resposta dependem apenas do tempo, logo são descritos por equações diferenciais ordinárias; já no caso de parâmetros distribuídos, a excitação e a resposta dependem do tempo e das coordenadas espaciais, logo são descritos por equações diferenciais parciais (mais de uma variável independente). Como exemplo do primeiro caso, citamos um conjunto de discos montados em um eixo cuja massa é pequena em comparação com as massas dos discos, logo podemos concentrar nos discos as massas dos eixos. Já uma laje constitui um exemplo de segundo caso, pois vemos nitidamente que o parâmetro massa está distribuído ao longo das coordenadas espaciais.

Neste curso serão estudados exclusivamente os sistemas com parâmetros concentrados.

6.2 SISTEMAS VARIANTES NO TEMPO E INVARIANTES NO TEMPO

No modelo matemático, i.é., nas equações diferenciais, os parâmetros do sistema aparecem sob forma de coeficientes. Se os coeficientes são constantes, dizemos que o sistema é invariante no tempo; se não, o sistema é considerado variante no tempo. O pêndulo simples analisado anteriormente constitui um exemplo de sistema invariante no tempo. Já um foguete na sua fase propulsada é um sistema variante no tempo, pois o mesmo perde massa durante a queima de combustível.

Neste curso serão estudados apenas os sistemas invariantes no tempo.

6.3 SISTEMAS LINEARES E NÃO LINEARES

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Uma propriedade do sistema que tem profundas implicações na análise é a linearidade. Consideremos a fig. 5, na qual está expressa a relação entre a entrada r(t) e a saída c(t) sob forma de diagrama de blocos:

Fig. 5 Entrada e Saída de um Sistema

Consideremos, também, dois pares de entrada e saída, r1(t), c1(t) e r2(t), c2(t), conforme fig. 6 (a) e (b). Então, para o mesmo sistema, seja a entrada r3(t), fig. 6 (c), uma combinação linear de r1(t) e r2(t):

(4) r3(t) = α1r1(t) + α2r2(t) onde α1 e α2 são constantes.

Fig. 6 Sistema Linear

Se a saída c3(t) representa uma combinação linear de mesma forma, i.é., se

(5) c3(t) = α1c1(t) + α2c2(t) então dizemos que o sistema é um sistema linear. Caso contrário, i.é., se (6) c3(t) # α1c1(t) + α2c2(t) então dizemos que se trata de um sistema não-linear. Em outras palavras, para um sistema linear, respostas a diferentes excitações podem ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente, o que constitui o Princípio da Superposição, que é o princípio fundamental da Teoria dos Sistemas Lineares.

A grande vantagem de trabalhar com sistemas lineares é que o modelo matemático dos mesmos é descrito por um sistema de Equações Diferenciais Lineares, que são de fácil solução analítica. Já o modelo de sistemas não lineares é descrito por Equações Diferenciais Não Lineares, as quais são de difícil solução analítica (ou mesmo impossível). Nesse caso, temos duas opções: ou impomos certas hipóteses simplificadoras (se forem exeqüíveis) que conduzam à linearização do sistema, ou apelamos para métodos numéricos aproximados, como os métodos de Euler, Runge-Kutta, etc., os quais, felizmente, já estão implantados em muitos softwares de simulação, tais como MatLab, VisSim, etc.

Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 9

Conforme veremos mais tarde, um sistema linear com parâmetros concentrados com uma só entrada e uma só saída (sistemas SISO = Single Input Single Output) tem por modelo matemático uma só Equação Diferencial Ordinária Linear (EDOL) do tipo

(7) r(t)ac(t)da...dada 1 =++++ c(t)

dtdtc(t)

dtc(t)

n-n1-n

1-n

1n

n

0 onde c(t) é a saída, r(t) é a entrada e os coeficiente ai são os parâmetros do sistema. A equação acima representa uma relação entre entrada e saída para o sistema. Notemos que a entrada r(t) aparece no membro direito da EDOL, enquanto que a saída c(t) e suas derivadas estão presentes no membro esquerdo, assim como as propriedades do sistema. Podemos, neste ponto, definir um operador diferencial linear D(t) como (8) 11 a

dta...

dta

dt D(t) ++++ n-n-n

1-n

1n

n

0ddda =

e reescrever a EDOL do sistema como (9) D(t)c(t) = r(t) que pode ser assim representada em diagrama de blocos: Fig. 7 Operador Diferencial Linear

A eq. (9) indica que a excitação r(t) pode ser obtida operando sobre a resposta c(t) o operador D(t), onde D(t) difere de sistema para sistema, já que os coeficientes ai são os parâmetros do sistema, os quais traduzem as características dinâmicas do sistema. Na análise, entretanto, temos interesse em determinar a resposta a uma dada excitação, isto é, achar c(t) para uma determinada r(t). Isso pode ser expresso matematicamente por (10) c(t) = D-1(t) r(t) onde o operador D-1(t) pode ser interpretado como o inverso do operador D(t). O operador D-1(t) recebe o nome de operador integral linear. A eq. (10) pode ser representada pelo diagrama de blocos da fig. 8:

possam 6.4 SI inserid

Fig. 8 Operador Integral Linear

No nosso curso trataremos apenas dos sistemas lineares e dos sistemas não lineares que ser linearizados em torno de um ponto de operação.

STEMAS ATIVOS E SISTEMAS PASSIVOS

Um sistema físico com fonte interna de energia, como um circuito hidráulico no qual está o uma bomba, é chamado sistema ativo. Caso contrário, ele será um sistema passivo. Como

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exemplo de sistema passivo, podemos citar um circuito elétrico RLC sobre o qual não está atuando nenhuma fonte de tensão ou de corrente. No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas. 6.5 SISTEMAS CONTÍNUOS E SISTEMAS DISCRETOS Se um sistema submetido a uma entrada contínua no tempo, r(t), apresentar uma saída também contínua, c(t), ele é chamado de sistema contínuo e o seu modelo matemático será constituído por equações diferenciais. Por outro lado, se um sistema submetido a uma entrada discreta no tempo, {rk} (uma seqüência de números), apresentar uma saída também discreta, {ck} (outra seqüência de números), ele é chamado de sistema discreto e o seu modelo matemático será constituído por equações a diferenças finitas. No nosso curso trataremos os dois tipos de sistemas. 7 RESPOSTA DO SISTEMA

Para obter a resposta do sistema, ou seja, o seu comportamento quando submetido a uma excitação ou a condições iniciais (tais como deslocamento inicial e/ou velocidade inicial), basta resolver a equação diferencial do modelo matemático. Para o caso de sistemas lineares invariantes no tempo, a equação diferencial é linear com coeficientes constantes, os quais representam os parâmetros do sistema.

A solução de uma equação diferencial consiste de duas partes: a solução homogênea e a solução particular.

A solução homogênea corresponde ao caso em que a excitação externa é nula, podendo o

sistema entrar em movimento somente quando lhe forem impostas condições iniciais. Se não existirem condições iniciais e nem excitações externas, o sistema permanece em repouso. Em Engenharia, é costume chamar a solução homogênea de resposta livre ou resposta natural.

Por outro lado, a solução particular é a parte da resposta devida inteiramente à

excitação externa, considerando as condições iniciais nulas. Em Engenharia, é costume chamar a solução particular de resposta forçada.

No caso de sistemas lineares, podemos invocar o Princípio da Superposição dos Efeitos para combinar a resposta livre com a resposta forçada, obtendo a resposta total:

A natu

do sistema diresposta trans

Resposta Total = Resposta Livre + Resposta Forçada

reza da resposta depende da excitação utilizada, assim como das características nâmico. A esse respeito, é conveniente distinguir entre resposta permanente e iente.

Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 11

A resposta permanente é aquela em que o sistema atinge um certo estado de equilíbrio, tal como uma resposta constante ou uma resposta periódica que se repete indefinidamente. Matematicamente, é a parte da resposta total que permanece quando se faz o tempo tender ao infinito.

Já a resposta transiente depende fortemente do tempo: matematicamente, é a parte da resposta total que desaparece quando se faz o tempo tender ao infinito.

No que diz respeito ao tipo de excitação, podemos dizer que a resposta permanente

ocorre no caso de excitação harmônica ou periódica, enquanto que a resposta transiente ocorre no caso de outras excitações que não as mencionadas.

A natureza da excitação afeta também a escolha do método a ser utilizado na determinação da resposta. No caso de excitação harmônica ou periódica, é vantajoso estudar a resposta permanente no domínio da freqüência, a qual é conhecida como resposta em freqüência. Já para os demais tipos de excitação, é mais conveniente estudar a resposta transiente no domínio do tempo. No nosso curso faremos ambos os estudos. EXERCÍCIOS 1. Dadas as equações diferenciais abaixo, classificá-las, seguindo o exemplo do item a):

a) : EDOL de 1t5x.= a ordem, coeficientes constantes, não homogênea

b) :_________________________________________ t5sen2x9x3x...

=++

c) :_____________________________________________ 0x9x3x...

=++

d) :_________________________________________ 0x9x)1t3(x...

=+−+

e) :_______________________________________ )t(u3x9x)1t3(x...

=+−+

f) 2

2

2

2

t)t,x(y

x)t,x(y

9∂

∂=

∂

∂:________________________________________

2. Um sistema de nível de líquido, tal como a caixa d’água de uma residência, é modelado

matematicamente pela equação diferencial de 1a ordem )t(qA1h

RAg

i

.=+h , onde A é a área da

seção reta do reservatório (constante), R é a resistência hidráulica do sistema (constante), g é a aceleração da gravidade (constante), qi(t) é a vazão volumétrica de água que entra no reservatório (excitação ou entrada do sistema) e h(t) é a altura instantânea de líquido dentro do reservatório, em relação ao fundo do mesmos. Admitindo que o reservatório inicialmente estava vazio e que a vazão qi = Q é constante, use seus conhecimentos de Cálculo para resolver a equação diferencial e assim encontrar a resposta no tempo h(t), ou seja, como varia a altura do nível de atua com o tempo. Esboce um gráfico da resposta h(t).

Resp.: )e1(g

QRA)t(t

RAg

−−=h

Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 12

3. Usando seus conhecimentos de Cálculo, demonstre que a eq. (3) é a solução da eq. (2), ambas do texto.

4. Suponha que a resposta de um sistema mecânico seja dada por

x(t) = e-t –2e-3t + sen2t Achar a resposta transiente e a resposta permanente.

Solução

A resposta transiente é dada por e-t – 2e-3t, pois vemos claramente que ela tende a desaparecer à medida que o tempo cresce. Já a resposta permanente é dada por sen2t, a qual não tende a desaparecer à medida que o tempo cresce. 5. Com relação ao Exercício 2, identificar a resposta permanente. 6. A resposta total de um sistema mecânico de segunda ordem submetido a um deslocamento

inicial x0 e a uma velocidade inicial é dada pela equação 0.x

ω

ω+ςω

+ω= ςω− tsenxxtcosxe)t(x dd

0.

0nd0

tn , onde ωn, ωd e ζ são constantes do sistema, a

serem definidas mais tarde. Pedem-se:

(a) É a resposta acima livre ou forçada? Por quê? (b) Identificar a resposta transiente e a resposta permanente.