Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido
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Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido
Laécio Carvalho de Barros([email protected])
IMECC - Unicamp
Um Esquema de Modelagem
Fenômeno
Regras
Lógica p/Regras função
EDO
EDIF?
MetodologiaControladores fuzzy e métodos numéricos para equações diferenciais (Runge-Kutta) foram usados para realizar as simulações.
Sn, In 1/S dS/dt
1/I dI/dt
Runge-kuttaControle fuzzy
Sn+1,In+1
Metodologia
Princípio bem aceito Ecologia
“Uma população varia a uma taxa proporcional a própria população em cada instante t.”
Modelo Clássico de Malthus
Característica do Modelo:
A variação é dada pela derivada.
Nesse caso tem-se o seguinte PVI:
0)0( xx
axdt
dx
Obs. : crescimento específico (dx/dt) constante.
Modelo Clássico de Malthus
Solução do Modelo
Lógica Fuzzy: o começo
Lofti Zadeh publica (1965) o artigo com as primeirasIdéias sobre conjuntos fuzzy.
Principal interesse era armazenar conceitos como “aproximadamente”, “em torno de” etc.
Conj. Clássico e conj. Fuzzy
Função de pertinência
Um subconjunto fuzzy F de U é definido por uma função µ : U [0, 1], chamada função de pertinênciade F . µ (x) indica o grau com que “x” é um elemento de F.
Ex.: “em torno de 100”
contrário caso
x se
x se
0
11010010
110
1009010
90
x
x
µ(x) =
Malthus com regras
Uma primeira tentativa de modelagem para tal princípio poderia nos levar às seguintes regras
-Se a população(X) é baixa(B) então a variação é baixa(B);
-Se a população(X) é média(M) então a variação é média(M);
-Se a população(X) é alta(A) então a variação é alta(A).
Conjuntos fuzzy para os antecedentes e conseqüentes das regras de Malthus
Método de Mamdani
Solução p-fuzzy
Modelo presa-predador de Lotka-Volterra
O modelo presa-predador clássico de Lotka-Volterra, que se tornou um paradigma da Biomatemática, pressupõe que:
1- Tanto as presas como os predadores estão distribuídos uniformemente num mesmo habitat, ou seja, todos os predadores têm a mesma chance de encontrar cada presa;
2- O encontro entre os indivíduos das duas espécies seja ao acaso, a uma taxa proporcional ao tamanho das duas populações;
3- A população de presas x(t) cresce exponencialmente na ausência de predadores (crescimento ilimitado por escassez de predadores);
4- A população de predadores y(t) decresce exponencialmente na ausência de presas (decrescimento por escassez de alimento);
5- A população de predadores é favorecida pela abundância de presas; 6- A população de presas é desfavorecida pelo aumento de predadores.
Modelo Clássico do tipo Presa-Predador de Lotka-Volterra
Estas seis hipóteses são resumidas nas equações abaixo, denominadas Modelo de Lotka-Volterra:
xybxdt
dy
xyaxdt
dx
Interpretação para parâmetros
a: taxa de crescimento da população de presas na ausência de predadores;
(α/β): a eficiência de predação, isto é, a eficiência de conversão de uma unidade de massa de presas em uma unidade de massa de predadores, já que α representa a proporção de sucesso dos ataques dos predadores e β a taxa de conversão de biomassa das presas em predadores;
b : taxa de mortalidade de predadores na ausência de presas; Obs.:Os pontos críticos do sistema são: (0,0), um ponto de sela
instável, e ((b/β),(a/α)) que é um centro estável.
Plano de fase do modelo clássico de Lotka-Volterra
Ciclos Ecológicos
Re-interpretando as seis hipóteses comentadas acima:
A hipótese
"1" significa apenas que, dentro de cada espécie, o ambiente não privilegia nenhum indivíduo. Portanto é natural que as variáveis de estado sejam apenas quantidades;
"2" significa apenas que há interação entre as espécies; "3" indica que não há auto-inibição nas presas, isto é, para um dado número de
predadores, o crescimento específico das presas é constante, podendo ser positivo ou negativo;
"4" como em "3", espera-se que, para um dado número de presas, o crescimento específico dos predadores seja constante, podendo ser positivo ou negativo;
"5" apenas indica que o crescimento específico dos predadores aumenta com o número de presas;
"6" significa que o crescimento específico das presas diminui com o aumento dos predadores.
Resumidamente, as hipótese de 3 a 6 indicam que, dada uma certa quantidade de uma espécie, a outra tem crescimento (decrescimento) malthusiano.
Arquitetura para modelo p-fuzzy de Lotka-Volterra
Representação gráfica da regras
Base de Regras para Lotka-Volterra
Se X é A1 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 Se X é A1 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 Se X é A2 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 Se X é A3 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 Se X é A4 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2
Soluções para o p-fuzzy Lotka-Volterra
Em cada instante t, o número de presas e de predadores é dado pelas fórmulas
dssdt
dytyty
dssdt
dxtxtx
t
t
t
t
)()()(
)()()(
0
0
0
0
Estimativas
Assim, os valores de x(t) e y(t) são estimados pelas fórmulas
onde e são as saídas do controlador correspondentes às entradas e .)( 1itx )( 1ity
)( 1'
itx )( 1'
ity
)()()(
)()()(
1'
1
1'
1
iii
iii
thytyty
thxtxtx
Contingentes populacionais e plano de fase para o p-fuzzy Lotka-Volterra