o Oconceitodeforça.o PrimeiraleideNewton;inércia.

o SegundaleideNewton.o Forçagravitacionalepesoo TerceiraleideNewton;princípiodeaçãoereação

o Exemplos.

IsaacNewton(1642-1727)

LeisdeNewton

Força é uma ação exercida sobre um corpo que provoca uma modificação no seu estado de movimento, ou seja, uma variação na velocidade do corpo. Ela é, portanto, o que causa uma aceleração. Também pode produzir a deformação de um corpo.

A força é uma grandeza vetorial (com intensidade, direção e sentido).

A força resultante ou força total é a soma vetorial de todas as forças que atuam em um objeto.

Força

�2

Quando um conjunto de forças atuam simultaneamente sobre um corpo, o efeito sobre o movimento é o mesmo que o efeito produzido por uma única força, que é a resultante da soma vetorial de todas as forças.

Princípio de superposição

�3

�4

A intensidade de uma força pode ser medida através de um

aparelho denominado dinamômetro

No SI, a unidade de medida de força é o newton (N). Eventualmente, pode-se utilizar a unidade prática quilograma-força (kgf), sendo que 1 kgf = 9,8 N

Medidas de força

�5

ForçaNormal Forçadeatrito Forçadetensão

�6

• Forças de contato envolvem contato físico entre dois objetos

Tipos de força: forças de contato e forças de campo.

• Força gravitacional: qualquer corpo que tenha massa atrai um outro corpo com massa.

• Força eletrostática: exercida por qualquer corpo com carga sobre outro corpo também com carga.

• Força forte entre partículas subatômicas, • Força fraca responsável por certos processos de

decaimento radioativo.

�7

Forças de campo atuam através do espaço vazio. Nenhum contato físico é necessário

As leis que descrevem osmovimentos de um corpo foram concebidas porIsaacNewtonem1665-66.

Hoje em dia são conhecidas como as Leis deNewton e foram baseadas em cuidadosasobservaçõesdosmovimentos.

As leis de Newton permitem uma descrição (eprevisão)extremamenteprecisadomovimentodetodososcorpos,simplesoucomplexos.

ApenasemdoislimitesasLeisdeNewtondeixamdeserválidas: ❑ na dinâmica de sistemas muito pequenos

(físicaquântica) ❑ emsituaçõesqueenvolvemvelocidadesmuito

grandes(teoriadarelatividade).

�8

LeisdeNewton

"Quandoaforçaresultantesobreumcorpoéigualazero,elesemovecomvelocidadeconstante(quepodesernula)e

aceleraçãonula.”

(ofinertia)�9

116 Física I

está em repouso sobre a mesa, ele deve permanecer em repouso. O mesmo prin-cípio pode ser aplicado a um disco de hóquei se deslocando sobre uma superfície horizontal sem atrito: a soma vetorial da reação de apoio da superfície para cima e da força da gravidade para baixo é igual a zero. Uma vez iniciado o movimento do disco, ele deve continuar com velocidade constante porque a força resultante atuando sobre ele é igual a zero.

Vejamos outro exemplo. Suponha que um disco de hóquei esteja em repouso sobre uma superfície horizontal com atrito desprezível, tal como uma mesa de hóquei com ar comprimido ou um bloco de gelo. Se o disco estiver inicialmente em repouso e uma única força horizontal 1 atuar sobre ele (Figura 4.9a), o disco começa a se mover. Caso o disco já estivesse se movendo antes da aplica-ção da força, esta produziria uma variação do módulo da velocidade, da direção e do sentido do vetor velocidade ou dessas três grandezas, dependendo da direção e do sentido da força aplicada. Nesse exemplo, a força resultante é igual a 1, que não é igual a zero. (Existem também duas forças verticais: a reação de apoio da superfície, de baixo para cima, e a força da gravidade, de cima para baixo. Porém, como dissemos antes, essas forças se anulam.)

Suponha agora que seja aplicada uma segunda força 2 (Figura 4.9b), igual em módulo e com sentido contrário à força 1. As duas forças são antiparalelas (negativas uma em relação à outra), 2 ! " 1, e sua soma vetorial é igual a zero:

a ! 1 # 2 ! 1 # (" 1) ! 0

Novamente, verificamos que, se um corpo está parado inicialmente, ele deve manter-se em repouso; se inicialmente ele já estava em movimento, deve continuar em movimento com velocidade constante. Esses resultados mostram que, na pri-meira lei de Newton, força resultante igual a zero é equivalente a nenhuma força. Isso decorre apenas do princípio da superposição de forças estudado na Seção 4.1.

Quando um corpo está em repouso ou movendo-se com velocidade constante (em uma linha reta com velocidade constante), dizemos que o corpo está em equi-líbrio. Para um corpo estar em equilíbrio, ou ele não é acionado por força alguma ou o é por várias forças tais que sua soma vetorial — ou seja, a força resultante — seja zero:

(4.3)... deverá ser zero se o corpo estiver em equilíbrio.

Primeira lei de Newton:a força resultante sobre um corpo ...

SgF = 0

Figura 4.9 (a) Um disco de hóquei acelera no sentido de uma força resultante aplicada 1. (b) Quando a força resultante é igual a zero, a aceleração é nula e o disco está em equilíbrio.

aS

(a) Um disco sobre uma superfície sem atrito acelera quando sofre ação de uma única força horizontal.

(b) Esse disco sofre ação de duas forças horizontais cuja soma vetorial é igual a zero. Ele se comporta como se nenhuma força atuasse sobre ele.

SF1

SF1

SF2

gF = 0a = 0

S

S

Aplicação Empurrando um trenó com a primeira lei de Newton A força da gravidade sobre a criança e o trenó é balanceada por uma força normal para cima exercida pelo solo. O pé do adulto exerce uma força para a frente que equilibra a força para trás do atrito sobre o trenó. Logo, não há uma força resultante sobre a criança e o trenó, e eles deslizam com velocidade constante.

Book_SEARS_Vol1.indb 116 02/09/15 6:30 PM

PrimeiraleideNewton

➢ Atendênciadeumobjetoemresistiraqualquertentativademudançaemsuavelocidadeéchamadadeinércia.

➢Massaéapropriedadedeumobjetoqueespecificaquantaresistênciaumobjetoexibeamudançasnavelocidadeo Amassaéumapropriedadeinerentedeumobjeto.o Amassaéindependentedasvizinhançasdoobjeto.o Amassaéindependentedométodousadoparamedi-la.o Amassaéumaquantidadeescalar.o AunidadedemassanoSIéoquilograma(kg).

�10

- A 1ª Lei de Newton é válida apenas se o sistema de referênciautilizadoéumsistemadereferênciainercial.

- Um referencial inercial não deve estar acelerado. Por exemplo, umreferencial que se move com velocidade constante relativa a umaestreladistante,éamelhoraproximaçãodeumreferencialinercial.

- Nós podemos considerar a Terra como tal sistema de referênciaemboraela tenhaumapequenaaceleraçãocentrípetaassociadacomseumovimento.

∑ = 0F!

�11

Um semáforo cujo peso é 125 N está suspenso por três cordas, como indica a figura. Encontre a tensão nas três cordas.

Resolução$de$problemas:$diagrama$de$corpo$livre$

Um" semáforo" cujo" peso" é" 125" N" está" suspenso" por" três" cordas," como" indica" a" figura."Encontre"a"tensão"nas"três"cordas.""

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

Diagrama"de"forças"para"o"semáforo""""""""""""""

Diagrama"de"forças"para"o"nó""""""""""""""

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

Exemplo:diagramadecorpolivreResolução$de$problemas:$diagrama$de$corpo$livre$

Um" semáforo" cujo" peso" é" 125" N" está" suspenso" por" três" cordas," como" indica" a" figura."Encontre"a"tensão"nas"três"cordas.""

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

Diagrama"de"forças"para"o"semáforo""""""""""""""

Diagrama"de"forças"para"o"nó""""""""""""""

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

�12

Usamos"a"primeira"lei"de"Newton:"">"para"o"semáforo:"""""T3 – Fg = 0 !"">  para"o"nó:"""

Temos"duas"eqs."com"duas"incógnitas:"""""""""""

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A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

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$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

5.7 Some Applications of Newton’s Laws 125

A Traffic Light at RestEXAMPLE 5.4(1)

(2)

From (1) we see that the horizontal components of T1 and T2must be equal in magnitude, and from (2) we see that thesum of the vertical components of T1 and T2 must balancethe weight of the light. We solve (1) for T2 in terms of T1 toobtain

This value for T2 is substituted into (2) to yield

This problem is important because it combines what we havelearned about vectors with the new topic of forces. The gen-eral approach taken here is very powerful, and we will repeatit many times.

Exercise In what situation does T1 ! T2 ?

Answer When the two cables attached to the support makeequal angles with the horizontal.

99.9 NT2 ! 1.33T1 !

75.1 NT1 !

T1 sin 37.0° " (1.33T1)(sin 53.0°) # 125 N ! 0

T2 ! T1! cos 37.0°cos 53.0° " ! 1.33T1

" (#125 N) ! 0$Fy ! T1 sin 37.0° " T2 sin 53.0°

$Fx ! #T1 cos 37.0° " T2 cos 53.0° ! 0A traffic light weighing 125 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support. The upper cables makeangles of 37.0° and 53.0° with the horizontal. Find the ten-sion in the three cables.

Solution Figure 5.11a shows the type of drawing we mightmake of this situation. We then construct two free-body dia-grams—one for the traffic light, shown in Figure 5.11b, andone for the knot that holds the three cables together, as seenin Figure 5.11c. This knot is a convenient object to choose be-cause all the forces we are interested in act through it. Be-cause the acceleration of the system is zero, we know that thenet force on the light and the net force on the knot are bothzero.

In Figure 5.11b the force T3 exerted by the vertical cable

supports the light, and so Next, we

choose the coordinate axes shown in Figure 5.11c and resolvethe forces acting on the knot into their components:

125 N.T3 ! Fg !

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.11 (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traf-fic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

Force x Component y Component

T1 # T1 cos 37.0% T1 sin 37.0%T2 T2 cos 53.0% T2 sin 53.0%T3 0 # 125 N

Knowing that the knot is in equilibrium (a ! 0) allows us towrite

�13

Aresultantedasforçasqueatuamsobreumcorpoéigualaoprodutodasuamassapelaaceleraçãocomaqualeleirásemovimentar

SegundaLeideNewton

�14

134 Física I

CAPÍTULO 4 RESUMO

Força como grandeza vetorial: força é a medida da interação entre dois corpos. É uma grandeza vetorial. Quando diversas forças atuam sobre um corpo, o efeito sobre seu movimento é o mesmo que o produzido pela ação de uma única força agindo sobre o corpo, dada pela soma vetorial (resultante) dessas forças (Exemplo 4.1).

= = + + +RS

gFS

FS

1 FS

2 FS

3 P (4.1)F1S

F2S

S S SR = gF = F1 + F2S

A força resultante sobre um corpo e a primeira lei de Newton: a primeira lei de Newton afirma que, quando a soma vetorial das forças que atuam sobre um corpo (a força resultante) é igual a zero, o corpo está em equilíbrio e possui aceleração nula. Quando o corpo está inicialmente em repouso, ele permanece em repouso; quando o corpo está ini-cialmente em movimento, ele continua em mo-vimento com velocidade constante. Essa lei vale apenas em sistemas de referência inerciais (exem-plos 4.2 e 4.3).

=gFS

0 (4.3)

F1S

Sv = constante

F2 = -F1S S

gF = 0S

Massa, aceleração e a segunda lei de Newton: a propriedade inercial de um corpo é caracterizada pela sua massa. A aceleração de um corpo subme-tido à ação de um conjunto de forças é diretamente proporcional à soma vetorial das forças que atuam sobre o corpo (a força resultante) e inversamente proporcional à massa do corpo. Esta formulação é a segunda lei de Newton. Como na primeira, a se-gunda lei de Newton vale apenas em sistemas de referência inerciais. A unidade de força é definida em termos das unidades de massa e de aceleração. Em unidades SI, a unidade de força denomina-se newton (N), sendo igual a 1 kg ! m/s2 (exemplos 4.4 e 4.5).

=gFS

maS (4.6)

gFx = max

gFy = may

gFz = maz

(4.7)Massa m

SF1

SF2

SgF a = gF>mS S

Peso: o peso de um corpo é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. O peso é uma grandeza vetorial. O módulo do peso de um corpo em um local específico é igual ao produto de sua massa m pelo módulo da aceleração da gravi-dade g nesse local. O peso de um corpo depende do local onde ele se encontra; porém, a massa é sempre a mesma, independentemente do local (exemplos 4.6 e 4.7).

p = mg (4.8)

Sg

Massa m

p = mgSS

Terceira lei de Newton e os pares de ação e re-ação: a terceira lei de Newton afirma que, quando dois corpos interagem, a força que o primeiro exerce sobre o segundo é exatamente igual em mó-dulo e contrária à força que o segundo exerce sobre o primeiro. Essas forças são denominadas forças de ação e reação. Cada força de um par de ação e rea-ção atua separadamente em somente um corpo; as forças de ação e reação nunca podem atuar sobre o mesmo corpo (exemplos 4.8 a 4.11).

= -FS

A em B FS

B em A (4.10)

A

B

FB em AS

FA em BS

Book_SEARS_Vol1.indb 134 02/09/15 6:30 PM

134 Física I

CAPÍTULO 4 RESUMO

Força como grandeza vetorial: força é a medida da interação entre dois corpos. É uma grandeza vetorial. Quando diversas forças atuam sobre um corpo, o efeito sobre seu movimento é o mesmo que o produzido pela ação de uma única força agindo sobre o corpo, dada pela soma vetorial (resultante) dessas forças (Exemplo 4.1).

= = + + +RS

gFS

FS

1 FS

2 FS

3 P (4.1)F1S

F2S

S S SR = gF = F1 + F2S

A força resultante sobre um corpo e a primeira lei de Newton: a primeira lei de Newton afirma que, quando a soma vetorial das forças que atuam sobre um corpo (a força resultante) é igual a zero, o corpo está em equilíbrio e possui aceleração nula. Quando o corpo está inicialmente em repouso, ele permanece em repouso; quando o corpo está ini-cialmente em movimento, ele continua em mo-vimento com velocidade constante. Essa lei vale apenas em sistemas de referência inerciais (exem-plos 4.2 e 4.3).

=gFS

0 (4.3)

F1S

Sv = constante

F2 = -F1S S

gF = 0S

Massa, aceleração e a segunda lei de Newton: a propriedade inercial de um corpo é caracterizada pela sua massa. A aceleração de um corpo subme-tido à ação de um conjunto de forças é diretamente proporcional à soma vetorial das forças que atuam sobre o corpo (a força resultante) e inversamente proporcional à massa do corpo. Esta formulação é a segunda lei de Newton. Como na primeira, a se-gunda lei de Newton vale apenas em sistemas de referência inerciais. A unidade de força é definida em termos das unidades de massa e de aceleração. Em unidades SI, a unidade de força denomina-se newton (N), sendo igual a 1 kg ! m/s2 (exemplos 4.4 e 4.5).

=gFS

maS (4.6)

gFx = max

gFy = may

gFz = maz

(4.7)Massa m

SF1

SF2

SgF a = gF>mS S

Peso: o peso de um corpo é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. O peso é uma grandeza vetorial. O módulo do peso de um corpo em um local específico é igual ao produto de sua massa m pelo módulo da aceleração da gravi-dade g nesse local. O peso de um corpo depende do local onde ele se encontra; porém, a massa é sempre a mesma, independentemente do local (exemplos 4.6 e 4.7).

p = mg (4.8)

Sg

Massa m

p = mgSS

Terceira lei de Newton e os pares de ação e re-ação: a terceira lei de Newton afirma que, quando dois corpos interagem, a força que o primeiro exerce sobre o segundo é exatamente igual em mó-dulo e contrária à força que o segundo exerce sobre o primeiro. Essas forças são denominadas forças de ação e reação. Cada força de um par de ação e rea-ção atua separadamente em somente um corpo; as forças de ação e reação nunca podem atuar sobre o mesmo corpo (exemplos 4.8 a 4.11).

= -FS

A em B FS

B em A (4.10)

A

B

FB em AS

FA em BS

Book_SEARS_Vol1.indb 134 02/09/15 6:30 PM

AsegundaleideNewtonvaleapenasemsistemasdereferênciainerciais.

Aunidadedeforçaédefinidaemtermosdasunidadesdemassaedeaceleração.EmunidadesSI,aunidadedeforçadenomina-senewton(N),sendoiguala1kgm/s2

!FR =m

!a⇒ !a =!FRm!

FR =!P+!N

!P =mgsinθ i −mgcosθ j!N = 0 i +mgcosθ j!FR =mgsinθ i ⇒

!a =mgsinθ mi!a = gsinθ i

!a = axi + ay j⇒ax = gsinθay = 0#$%

a)" b)" v2 − v02 = 2a(x − x0 )

v0 = 0x − x0 = d

"#$⇒ v2 = 2ad

v = 2dgsinθ

c)" v = v0 + at

t = va=

2dgsinθgsinθ

t = 2dgsinθ

Uma"caixa"de"massa"m"desliza"em"um"plano"inclinado"sem"atrito."a)  Qual"a"sua"aceleração?"b)  Qual"sua"velocidade"após"percorrer"

uma"distância"d?"c)  Em"quanto"tempo"ela"percorre"essa"

distância?"

Exemplo:$plano$inclinado$Exemplo:planoinclinado

A Terra exerce sobre qualquer corpo uma força gravitacional FgdirecionadaparaocentrodaTerra.Seumóduloéchamadopeso (Fg)docorpo.

Teorema:opesodeumcorpodemassamédadoporm𝒈,sendo𝒈aaceleraçãodagravidade.

Demonstração:o Consideremos um corpo em queda livre e desconsideremos a

resistênciadoar.Comoaaceleraçãodeumcorpoemquedalivreé𝒈,seguedasegundaleique∑𝑭=𝑚𝒈.

o Desprezandoaresistênciadoar,apenasaforçagravitacionalatuaemumcorpoemquedalivre(comoumprojétil).Logo,∑𝑭=𝑭g.

o Juntandoasduasinformações,concluímosque𝑭g=𝑚𝒈 �16

Forçagravitacional

❑ Atenção: Massa e peso são duas quantidades diferentes. Peso éigualàmagnitudedaforçagravitacionalexercidaemumobjeto.

❑ NasleisdeNewton,amassaéchamadademassainercialemedearesistênciaaumamudançanomovimentodoobjetoemrespostaauma força externa. Na força gravitacional, amassa é chamada demassa gravitacionale faz o papel de determinar a intensidadedaatração gravitacional entre o corpo e a Terra. Experimentosmostram que a massa gravitacional e a massa inercial têm omesmovalor.

❑ Comoopesodependedeg,elesemodificacomolocalo Corpospesammenosaaltasaltitudesdoqueaoníveldomaro gdiminuiaoaumentarmosadistânciaaocentrodaTerrao Opesonãoéumapropriedadeinerenteaumcorpo

�17

Pergunta intrigante:Naausência de atrito comoar, afirma-se que todos os corpos caem com amesma aceleração. Mas da fórmula 𝐹g = 𝑚𝑔 ocorpo mais massivo é puxado para a Terra commaisforçaqueocorpoleve.Porqueentãoocorpomais pesado não cai mais rápido (com maioraceleração)?

Resposta: De fato, o corpo mais massivo épuxado com forçamaior, pois a intensidade daforçaédeterminadapelamassagravitacional.Por outro lado, sua massa inercial também é maior e isso representamaiorinércia.Esses fatores se cancelam, de forma que a mudança no movimento(aceleração)devidoàforçagravitacionaléamesmaparatodososcorposindependentemente de suas massas. Como massa inercial = massagravitacional,temos 𝒎𝒈=𝒎𝒂→𝒂=𝒈

�18

PrincípiodeAçãoeReação:

Se dois corpos interagirem, a força 𝑭𝟏𝟐 exercida pelo corpo 1 sobre o corpo 2 é igual em módulo, mas oposta em direção, à força 𝑭𝟐𝟏 exercida pelo corpo 2 sobre o corpo 1”: 𝑭𝟏𝟐 = −𝑭𝟐𝟏 .

As forças de ação e reação agem, necessariamente, em corpos diferentes, e nunca no mesmo corpo.

�19

TerceiraleideNewton:

�20

Exemplo1:

Exemplo2:Duaspartículascomcargaselétricasopostas.

�21

Exemplo3:Corposobreumamesasobaaçãodocampogravitacional.

a)#

bloco(1) :F −C =m1abloco(2) :C =m2a

⇒ F = (m1 +m2 )a

⇒ a = Fm1 +m2

=10ms2

F

F CC

C =m2a

C = F m2m1 +m2

=10N

c)#

Uma#certa#força#de#100#N#é#aplicada#sobre#um#bloco#de#9#kg#em#contato#com#outro#bloco#de#1#kg#sobre#uma#superTcie#sem#atrito.#a)  Qual#a#aceleração#total#do#sistema?#b)  Qual#a#força#com#que#o#bloco#1#empurra#o#bloco#2#e#

vice_versa?#c)  Se#a#força#externa#fosse#aplicada#sobre#o#bloco#2,#

qual#seria#a#força#com#que#os#blocos#se#empurram?#

Aplicação:$força$de$contato$

b)#

bloco(1) :C =m1abloco(2) :F −C =m2a

a = Fm1 +m2

=10ms2

C =m1a = 9kg10m s2= 90N

a)#

bloco(1) :F −C =m1abloco(2) :C =m2a

⇒ F = (m1 +m2 )a

⇒ a = Fm1 +m2

=10ms2

F

F CC

C =m2a

C = F m2m1 +m2

=10N

c)#

Uma#certa#força#de#100#N#é#aplicada#sobre#um#bloco#de#9#kg#em#contato#com#outro#bloco#de#1#kg#sobre#uma#superTcie#sem#atrito.#a)  Qual#a#aceleração#total#do#sistema?#b)  Qual#a#força#com#que#o#bloco#1#empurra#o#bloco#2#e#

vice_versa?#c)  Se#a#força#externa#fosse#aplicada#sobre#o#bloco#2,#

qual#seria#a#força#com#que#os#blocos#se#empurram?#

Aplicação:$força$de$contato$

b)#

bloco(1) :C =m1abloco(2) :F −C =m2a

a = Fm1 +m2

=10ms2

C =m1a = 9kg10m s2= 90N

Exemplo:forçadecontato

= 1kg 10m/s2 = 10 N

bloco(1) :T −m1g =m1abloco(2) :T −m2g = −m2a

⇒ T −m1g− (T −m2g) =m1a− (−m2a)

⇒ a = m1 −m2m1 +m2

g

T =m1a+m1g =m1m1 −m2m1 +m2

g+m1g

⇒ T = 2m1m2m1 +m2

g

Dois#objetos#estão#pendurados#por#um#cabo#de#massa#desprezível#que#passa#por#uma#polia#de#massa#também#desprezível#que#gira#sem#atrito.#Determine#a#aceleração#dos#dois#objetos#e#a#tração#exercida#na#corda.#

Aplicação:$máquina$de$Atwood$

Subtraindo#as#equações#anteriores#temos:#######SubsItuindo#a#aceleração#na#equação#para#o#bloco#1,#temos:#

bloco(1) :T −m1g =m1abloco(2) :T −m2g = −m2a

⇒ T −m1g− (T −m2g) =m1a− (−m2a)

⇒ a = m1 −m2m1 +m2

g

T =m1a+m1g =m1m1 −m2m1 +m2

g+m1g

⇒ T = 2m1m2m1 +m2

g

Dois#objetos#estão#pendurados#por#um#cabo#de#massa#desprezível#que#passa#por#uma#polia#de#massa#também#desprezível#que#gira#sem#atrito.#Determine#a#aceleração#dos#dois#objetos#e#a#tração#exercida#na#corda.#

Aplicação:$máquina$de$Atwood$

Subtraindo#as#equações#anteriores#temos:#######SubsItuindo#a#aceleração#na#equação#para#o#bloco#1,#temos:#

Exemplo:máquinadeAtwood

Uma bola de massa m1 e um bloco de massa m2 estão conectados através de uma corda inextensível, de massa desprezível, conforme mostra a figura. Considerando que o bloco desliza sem atrito, calcule o módulo da aceleração dos objetos e a tensão na corda.

Oscorpos1e2 têmaceleraçõescomomesmomódulo (acordanãoseestica).Prestaratençãoaosinaldaaceleraçãoemrelaçãoaosinaldasforças.

�24

Exemplo:objetosconectados

Um objeto de massa M é segurado por uma força F através de um sistema de polias. Qual o valor de cada uma das trações? Qual o valor de F?

Exemplo:polias

T1 = FT2 +T3 = T5T1 +T2 +T3 = T4T1 = T2 = T3 = TT5 =mg⇒ 2T =mg

T1 = T2 = T3 =12mg

T4 =32mg

F = 12mg

Um#objeto#de#massa#M#é#seguro#por#uma#força#F#através#de#um#sistema#de#roldanas#conforme#mostrado#na#figura.#Qual#o#valor#de#cada#uma#das#trações?#Qual#o#valor#de#F?#

Aplicação:$roldanas$

ΣF#corda#1:#

ΣF#Polia#pequena:#

ΣF#Polia#grande:#

A#corda#é#“única”:#

ΣF#bloco#M:##

T1 = FT2 +T3 = T5T1 +T2 +T3 = T4T1 = T2 = T3 = TT5 =mg⇒ 2T =mg

T1 = T2 = T3 =12mg

T4 =32mg

F = 12mg

Um#objeto#de#massa#M#é#seguro#por#uma#força#F#através#de#um#sistema#de#roldanas#conforme#mostrado#na#figura.#Qual#o#valor#de#cada#uma#das#trações?#Qual#o#valor#de#F?#

Aplicação:$roldanas$

ΣF#corda#1:#

ΣF#Polia#pequena:#

ΣF#Polia#grande:#

A#corda#é#“única”:#

ΣF#bloco#M:##

Garoto: FG =T + N − PG =mG aGBanco: FB =T − N − PB =mB aB

aB = aG ⇒mG a =T + N −mGgmB a =T − N −mBg

!"#

$#

mG +mB( )a = 2T − mG +mB( )g

a = 2TmG +mB( )

− g = 2×25032+16

−10

a = 0,42ms2

mG −mB( )a = 2N − mG −mB( )g

N =12mG −mB( ) a+ g( )

N = 83,4 N

EXEMPLO:# Um# garoto# de# 32#kg# sentado# sobre# um# banco#de# 16# kg,# se# suspende#conforme# mostra# a# figura,#fazendo#uma# força# de# 250#N.#Qual#a#sua#aceleração?#Qual#a#força# que# ele# faz# sobre# o#banco?#Use#g'='10'm/s2.#

Garoto: FG =T + N − PG =mG aGBanco: FB =T − N − PB =mB aB

aB = aG ⇒mG a =T + N −mGgmB a =T − N −mBg

!"#

$#

mG +mB( )a = 2T − mG +mB( )g

a = 2TmG +mB( )

− g = 2×25032+16

−10

a = 0,42ms2

mG −mB( )a = 2N − mG −mB( )g

N =12mG −mB( ) a+ g( )

N = 83,4 N

EXEMPLO:# Um# garoto# de# 32#kg# sentado# sobre# um# banco#de# 16# kg,# se# suspende#conforme# mostra# a# figura,#fazendo#uma# força# de# 250#N.#Qual#a#sua#aceleração?#Qual#a#força# que# ele# faz# sobre# o#banco?#Use#g'='10'm/s2.#

EXEMPLO: Três objetos estão conectados por uma corda como mostra a figura. Considerando que eles deslizam em um plano sem atrito, calcule as trações T1 e T2 e a aceleração do sistema.

�27

1#

2#

3#

EXEMPLO:# # Três# objetos# estão# conectados#por# uma# corda# como# mostra# a# figura# ao#lado.# Considerando# que# eles# deslizam# em#um#plano#sem#atrito,#calcule#as#trações#T1#e#T2#e#a#aceleração#do#sistema.#

(1) m1a =m1gsinθ −T1 → T1 = 2m1(gsinθ − a1)(2) m2a =m2gsinθ +T1 −T2(3) m3a = T2 −m3g → T2 =m3(a3 + g)m2 =m m1 = 2m m3 =M(2)→ma =mgsinθ + 2m(gsinθ − a)−M (a+ g)a(m+ 2m+M ) = g(3msinθ −M )

a = 3msinθ −M3m+M

g

T2 =M3msinθ −M3m+M

g+ g#

$%

&

'(=

3mM3m+M

(sinθ +1)g

T1 = 2m gsinθ − 3msinθ −M3m+M

g#

$%

&

'(=

2mM3m+M

(sinθ +1)g

1#

2#

3#

EXEMPLO:# # Três# objetos# estão# conectados#por# uma# corda# como# mostra# a# figura# ao#lado.# Considerando# que# eles# deslizam# em#um#plano#sem#atrito,#calcule#as#trações#T1#e#T2#e#a#aceleração#do#sistema.#

(1) m1a =m1gsinθ −T1 → T1 = 2m1(gsinθ − a1)(2) m2a =m2gsinθ +T1 −T2(3) m3a = T2 −m3g → T2 =m3(a3 + g)m2 =m m1 = 2m m3 =M(2)→ma =mgsinθ + 2m(gsinθ − a)−M (a+ g)a(m+ 2m+M ) = g(3msinθ −M )

a = 3msinθ −M3m+M

g

T2 =M3msinθ −M3m+M

g+ g#

$%

&

'(=

3mM3m+M

(sinθ +1)g

T1 = 2m gsinθ − 3msinθ −M3m+M

g#

$%

&

'(=

2mM3m+M

(sinθ +1)g