MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 1Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Noes de Probabilidade Experimento determinstico Experimentosqueaoseremrealizados repetidasvezesemcondiesconsideradasidnticas, apresentamresultadosessencialmenteidnticosso denominados experimentos determinsticos. Experimento aleatrio Experimentosqueaoseremrealizados repetidasvezesemcondiesconsideradasidnticas, apresentamresultadosdiferentes,nosendopossvel portantoaprevisolgicadosresultados,so denominados experimentos aleatrios (ou casuais). Espao Amostral oconjuntodetodososresultadospossveis deumexperimentoaleatrio.Indicaremosoespao amostral por U. Evento qualquer subconjunto do espao amostral. O conjunto chamado evento impossvel. OconjuntoespaoamostralUtambmum evento, chamado de evento certo. OssubconjuntosunitriosdeUsochamados eventos elementares ou eventos simples. Espao Amostral Eqiprovvel O espao amostral de um experimento aleatrio chamadoeqiprovvelsetodososseuseventos elementares tm a mesma chance de ocorrer Probabilidade Seja U um espao amostral eqiprovvel e Aumdeseuseventos.Denomina-seprobabilidadedo eventoAo nmeroP(A)tal que: ) U ( n) A ( n) A ( P =onde: n(A) = nmero de elementos do evento A. n(U)=nmerodeelementosdoespao amostral U. Como A subconjunto de U, decorre que: 0 n(A) n(U) Dividindo todos os membros da desigualdade por n(U), vem: ) U ( n) U ( n) U ( n) A ( n n(U)0 1 ) A ( P 0 Probabilidade de No Ocorrer Um Evento SendoAevento complementar do eventoA do espao amostral U, temos: 1 ) A ( P ) A ( P = + Exerccios Resolvidos 01)Umaurnacontm15bolasnumeradasde1a15. Umabolaextradaaoacasodaurna.Quala probabilidadedesersorteadaumabolacomnmero maior ou igual a 11? Espao amostral U = {1,2,3,...,13,14,15} Evento requerido A = {11,12,13,14,15}(Ns maiores ou iguais a 11) n(A) = 5 n(U) = 15 % 3 , 3331155) () () ( = = =U nA nA p certoquetambmpodemossimplificaraidiade probabilidadequandoassituaesestudadasso de fcil compreenso: % 3 , 3331155 = = =casos de total nfavorveis casos de np 02) Um dado lanado e observa-se o nmero da face voltadaparacima.Qualaprobabilidadedessenmero ser: a) menor que 3?% 3 , 333162 = = pb) maior ou igual a 3?% 6 , 663264 = = p Observe que P(A) + P(B) =13231= +Ou seja, como1 ) A ( P ) A ( P = + , temos que) ( ) ( A P B P =

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 2Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Probabilidade da unio de eventos SeAeBsoeventosquaisquerdeum experimentoaleatriodomesmoespaoamostralU, ento: ) B A ( n ) B ( n ) A ( n ) B A ( n I U + = Dividindo ambos os membros dessa igualdade por n(U), temos: ) U ( n) B A ( n) U ( n) B ( n) U ( n) A ( n) U ( n) B A ( n I U + = Onde conclumos que: ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P I U + = PodeocorrerqueoseventosAeBdo espaoamostralUnotenhamelementoscomuns. Nessecaso,sochamadosdeeventosmutuamente exclusivos(oueventosdisjuntos).Quandoisso ocorre, temos: 0 B) P(A } { B A = = I I Logo,seAeBsoeventosmutuamente exclusivos, temos: ) B ( P ) A ( P ) B A ( P + = U Resumindo: ( ) = + = B A B p A p B A p ) ( ) ( ou ( ) ( ) + = B A B A p B p A p B A p ) ( ) ( Exerccio Resolvido: 03)Umaurnacontm25bolasnumeradasde1a25. Uma bola extrada ao acaso. a)Qualaprobabilidadedeondabolasorteadaser mltiplo de 2 ou de 3? Mltiplos de 2 > 2512) ( = A pMltiplos de 3> 258) ( = B p Mltiplos de 2 e 3 > 254) ( = B A p% 64 64 , 025162542582512) ( = = = + = B A p b)Qualaprobabilidadedondabolasorteadaser mltiplo de 5 ou de 7? Mltiplos de 5 > 255) ( = A pMltiplos de 7 > 253) ( = B p Mltiplos de 5 e 7 > ) ( = B A p % 32 32 , 0258253255) ( = = = + = B A p Probabilidade Condicional Denomina-seprobabilidadedeBcondicionadaaAaprobabilidadedeocorrnciado eventoB,sabendoquevaiocorrerouquejocorreuo eventoA.RepresentaremosessecasoporP(B|A) (l-se probabilidade de B dado A ). Observe que, sabendo que o eventoA ocorreu, entooscasosfavorveisocorrnciadoeventoB esto em A B. Temos ento: ) A ( n) B A ( n) A | B ( PI= Dividindo numerador e denominador do segundo membro da igualdade por n(U), temos: ) U ( n) A ( n) U ( n) B A ( n) A | B ( PI===> ) A ( P) B A ( P) A | B ( PI= Logo: ) A | B ( P ) A ( P ) B A ( P = IU A B A B

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 3Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Ento,paraaocorrnciaaomesmotempode dois eventos, temos que a probabilidade de ocorrerA e B igual probabilidade de ocorrer A multiplicada pela probabilidade condicional de B dado A. OseventosAeBsochamadoseventos independentes ou seja, a ocorrncia de um evento no dependedaocorrnciadooutro,quandovalea igualdade: ) B ( P ) A ( P ) B A ( P = I Exerccios Resolvidos 04)Umaurnacontmexatamentesetebolas:quatro azuis e trs vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola da urna,registra-sesuacorerepe-seaboladaurna.A seguir, retira-se novamente uma bola da urna e registra-se sua cor. Calcular a probabilidade de: a) sair uma bola azul e outra vermelha. Queremosqueaprimeirabolaretiradasejaazulea segundasejavermelha.Aprobabilidadedeaprimeira bola ser azul 74, e a probabilidade de a segunda bola sair vermelha 73. Assim,aprobabilidadede obtermos a sequncia: AeV 49127374= = P b) sarem duas bolas de cores diferentes. Temosduassequnciaspossveis,comasrespectivas probabilidades: AeV 491273741= = POU VeA 491274732= = P Assim a probabilidade total : 4924491249122 1= + = + = P P P Exerccios Propostos 01)EstudandoGentica,osalunosdaE.A.Corcovado construramoquadroaolado,emqueosquatro eventossoprovveis.Qualaprobabilidadedeque ocorraoeventoaa(emqueofilhodeumcasalhbrido de olhos castanhos teria olhos azuis) ? Masc \ FemAa AAA (castanho)Aa (castanho) AAa (castanho)aa (azul) (A) 50%(B) 25%(C) 75% (D) 10%(E) 20% 02) (UNI-RIO) Odispositivo queacionaa aberturado cofredeumajoalheriaapresentaumtecladocomnove teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras (x,y,z,w).Osegredodocofreumaseqnciadetrs algarismosseguidosdeduasletras.Quala probabilidadedeumapessoa,numanicatentativa,ao acaso, abrir o cofre ? (A) 1 / 7 200 (B) 1 / 1 500 (C) 1 / 2 000(D) 1 / 720 (E) 1 / 200 03)(UNIRIO-2000)Numaurnaexistembolasde plstico,todasdomesmotamanhoepeso,numeradas de 2 a 21, inclusive e sem repetio. A probabilidade de sesortearumnmeroprimoaopegarmosumanica bola, aleatoriamente, de: (A) 45% (B) 40% (C) 35%(D) 30% (E) 25% 04)(UERJ-02)Emumaexperinciadefecundaoin vitro,4vuloshumanos,quandoincubadoscom4 suspensesdeespermatozides,todosigualmente viveis,geraram4embries,deacordocomatabela abaixo. Observe os grficos: Considerandoaexperinciadescrita,ogrficoque indicaasprobabilidadesdeos4embriesseremdo sexo masculino o de nmero: (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4 05) (UERJ-06-2ex) Com o intuito de separar o lixo para finsdereciclagem,umainstituiocolocouemsuas dependnciascincolixeirasdediferentescores,de acordo com o tipo de resduo aque se destinam: vidro, plstico, metal, papel e lixo orgnico.

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 4Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Semolharparaaslixeiras,Joojogaemumadelas uma embalagem plstica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro. Aprobabilidadedequeeletenhausadocorretamente pelo menos uma lixeira igual a: (A) 25%(B) 30%(C) 35%(D) 40% 06)(OBMEP-05)BrasileArgentinaparticipamdeum campeonatointernacionaldefutebolnoqualcompetem oitoselees.Naprimeirarodadaserorealizadas quatropartidas,nasquaisosadversriosso escolhidosporsorteio.QualaprobabilidadedeBrasil e Argentina se enfrentarem na primeira rodada? (A) 1/8(B) 1/7(C) 1/6 (D) 1/5(E) 1/4 07)(PM-05-1)Pedrobrincacomumdadocomseus amigos.Elenogostadonmero3.SePedrolanaro dadoduasvezes,aprobabilidadedequeonmero3 noapareaemnenhumdoslanamentosde, aproximadamente: (A) 40%(B) 50%(C) 60%(D) 70% 08)(PM-04-2)Emcertoquartel,aprobabilidadedeum soldado ser torcedor do Flamengo 0,60 e de gostar de praticarexercciodetiro0,70.Asprobabilidades mnimaemximadeumsoldadodestequartelser torcedordoFlamengoe,simultaneamente,gostarde praticar exerccios de tiro, so, respectivamente: (A) 10% e 60% (B) 20% e 60% (C) 30% e 60% (D) 40% e 60% 09)(PM-04-2)Um comandantedesejapremiartrsdos setesoldadosmaisqualificadosdeseuquartel, adotandoocritriodesorteio.Todosossoldados qualificados tm nomes diferentes e Joo e Pedro esto entre eles. A probabilidade de Joo e Pedro serem dois dos nomes sorteados de: (A) 1/7(B) 2/7(C) 3/7(D) 4/7 10) (UERJ-99) (O Dia, 25/08/98) Suponhahaverumaprobabilidadede20%parauma caixadeMicrovlarserfalsificada.Emduascaixas,a probabilidadedepelomenosumadelasserfalsa: (A)4%(B)16% (C)20%(D)36% 11) (UERJ) Protticosedentistasdizemqueaprocurapor dentespostiosnoaumentou.Atdeclinouum pouquinho.NoBrasil,segundoaAssociaoBrasileira deOdontologia(ABO),h1,4milhodepessoassem nenhum dente na boca e 80% delas j usam dentadura. Assunto encerrado. (Adaptado de Veja, outubro/97) Considerequeapopulaosejade160milhesde habitantes. Escolhendoaoacasoumdesseshabitantes,a probabilidadedequeelenopossuanenhumdentena boca e use dentadura, de acordo com a ABO, de: (A) 0,28%; (B) 0,56%; (C) 0,70%; (D) 0,80%. 12)Numaurnacontendo5bolasbrancase10bolas pretas,cadavezqueseretiraumadelasprocede-seda seguinte maneira: Seabolaforbranca:noserepeestabola, porm acrescenta-se 6 outras bolas pretas; Seabolaforpreta:repe-seestabola juntamente com outras 5 bolas brancas. AprobabilidadedaSEGUNDAbolaretiradadestaurnaser branca, : (A) 20%(B) 25%(C) 33,333...% (D) 40% (E) 50%

13)UmaurnaAcontmxbolasvermelhaseybolas brancas.UmaurnaBcontmzbolasvermelhasew bolasbrancas.UmabolaretiradadaurnaAe colocadanaurnaBe,ento,umabolaretiradada urna B. A probabilidade desse ltima bola ser vermelha : (A) w 1 z1 z+ ++(B) w z y xz x+ + ++ (C) |||

\|+ ++ ++ 1 w zzy xz xy x1(D) ||

\|+ ++ ++ 1 w zzy xz xyy x1

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 5Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 14)(Enem-2001)Umaempresadealimentosimprimiu em suas embalagens um carto de apostas do seguinte tipo: Cadacartodeapostaspossui7figurasdebolasde futebole8sinaisdeXdistribudosentreos15 espaospossveis,detalformaqueaprobabilidadede um cliente ganhar o prmio nunca seja igual a zero. Em determinado carto existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse carto, a probabilidade de o cliente ganhar o prmio (A)1/27.(B) 1/36.(C) 1/54.(D)1/72.(E) 1/108. 15)Afiguraabaixorepresentaumalvodedardos, composto de trs crculos concntricos de raios r, 2r e 3r. Sabendo que um competidor acertou o alvo, qual a probabilidade dele ter acertado a parte clara do alvo? (A) 1/3(B) 1/2(C) 1/4 (D) 1/9(E) 4/9 16)(PUC-RIO-2010)Quatromoedassolanadas simultaneamente.Qualaprobabilidadedeocorrer coroa em uma s moeda? (A) 81(B) 92(C) 41 (D) 31(E) 83 17)(PUC-RIO-2011)Jogamostrsdadoscomuns simultaneamente.Qualaprobabilidadedequeostrs nmeros sorteados sejam distintos? (A) 21(B) 361 (C) 95 (D) 3617 (E) 175 18)(Enem-2001)Ummunicpiode628kmatendido porduasemissorasderdiocujasantenasAeB alcanamumraiode10kmdomunicpio,conforme mostra a figura: Para orar um contrato publicitrio, uma agncia precisa avaliaraprobabilidadequeummoradortemde, circulandolivrementepelomunicpio,encontrar-sena rea de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade de, aproximadamente, (A) 20%.(B) 25%.(C) 30%. (D) 35%.(E) 40%. 19)(PUC-RIO-2011)Considereumaurnacontendo vinte bolas numeradas de 1 a 20. Retiram-se trs bolas simultaneamente e de maneira aleatria de dentro desta urna. a) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 6? b) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 8? c) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 15? 20)(PUC-RIO-2011)Considereumaurnacontendo5 bolaspretase5bolasbrancas.Retiram-se simultaneamenteedemaneiraaleatria3bolasde dentro desta urna. a) Qual a probabilidade de que todas as bolas retiradas sejam brancas? b) Qual a probabilidade de que, entre as bolas retiradas, duas bolas sejam brancas e uma bola seja preta?

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 6Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 21) (ENEM-2010) O diretor de um colgio leu numa revista que os ps das mulheres estavam aumentando. H alguns anos, a mdia do tamanho dos calados das mulheres era de 35,5 e, hoje, de 37,0. Embora no fosse uma informao cientfica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionrias do seu colgio, obtendo o quadro a seguir: Escolhendo uma funcionria ao acaso e sabendo que ela tem calado maior que 36,0, a probabilidade de ela calar 38,0 : (A) 31(B) 51(C) 52 (D) 75(E) 145 22)(ENEM-09)Apopulaomundialestficandomais velha, os ndices de natalidade diminuram e a expectativa devidaaumentou.Nogrficoseguinte,soapresentados dadosobtidosporpesquisarealizadapelaOrganizao dasNaesUnidas(ONU),arespeitodaquantidadede pessoascom60anosoumaisemtodoomundo.Os nmerosdacolunadadireitarepresentamasfaixas percentuais.Porexemplo,em1950havia95milhesde pessoascom60anosoumaisnospasesdesenvolvidos, nmeroentre10%e15%dapopulaototalnospases desenvolvidos. Disponvel em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado). Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na populao dos pases desenvolvidos, ser um nmero mais prximo de (A) 21(B) 207 (C) 258 (D) 51(E) 253 23)(ENEM-09)Ocontroledequalidadedeuma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidadedeumaparelhodedeterminadomodelo apresentar defeito de fabricao de 0,2%. Se uma loja acabadevender4aparelhosdessemodeloparaum cliente,qualaprobabilidadedeesseclientesairda loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? (A) 2 (0,2%)4. (B) 4 (0,2%)2. (C) 6 (0,2%)2 (99,8%)2.(D) 4 (0,2%). (E) 6 (0,2%) (99,8%). 24) (ENEM-09) A populao brasileira sabe, pelo menos intuitivamente,queaprobabilidadedeacertarasseis dezenasdamegasenanozero,masquase. Mesmoassim,milhesdepessoassoatradaspor essaloteria,especialmentequandooprmiose acumulaemvaloresaltos.Atjunhode2009,cada apostadeseisdezenas,pertencentesaoconjunto{01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponvel em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Considerequeumapessoadecidaapostarexatamente R$126,00equeestejamaisinteressadaemacertar apenascincodasseisdezenasdamegasena, justamente pela dificuldade desta ltima. Nesse caso, melhorqueessapessoafaa84apostasdeseis dezenas diferentes, que no tenham cinco nmeros em comum,doqueumanicaapostacomnovedezenas, porqueaprobabilidadedeacertaraquinanosegundo caso em relao ao primeiro , aproximadamente, (A) 211 vez menor(B) 212 vezes menor (C)4 vezes menor(D)9vezes menor (E) 14vezes menor 25)(UERJ-2011-1exqualif)Umafbricaproduz sucoscomosseguintessabores:uva,pssegoe laranja.Considereumacaixacom12garrafasdesses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. Retirando-se,aoacaso,2garrafasdessacaixa,a probabilidadedequeambascontenhamsucocomo mesmo sabor equivale a: (A) 9,1%(B)18,2% (C) 27,3%(D) 36,4%

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 7Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 26)(UERJ2011-2exqualif)Umamquinacontm pequenasbolasdeborrachade10coresdiferentes, sendo10bolasdecadacor.Aoinserirumamoedana mquina, uma bola expelida ao acaso. Observe a ilustrao: Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menornmerodemoedasasereminseridasna mquina corresponde a: (A) 5(B) 13(C) 31(D) 40 27)(UERJ2011-2exqualif)Inserindo-se3moedas, umadecadavez,aprobabilidadedequeamquina libere3bolas,sendoapenasduasdelasbrancas, aproximadamente de: (A) 0,008(B) 0,025 (C) 0,040(D) 0,072 28)(UFRJ-2004-PE)ManoeleJoaquimresolveram disputaroseguintejogo:umabolaserretiradaao acasodeumaurnaquecontm999bolasidnticas, numeradasde1a999.Seonmerosorteadoforpar, ganhaManoel;seformparJoaquimganha.Istofoi resolvido aps muita discusso, pois ambos queriam as pares. Setodasasbolastemamesma probabilidadedeseremretiradas,identifiquequem temmaischancesdeganharojogo.Justifiquesua resposta. 29)(UFRJ-98-PE)Duzentasbolaspretaseduzentas bolas brancas so distribudas em duas urnas, de modo quecadaumadelascontenhacembolaspretasecem bolas brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna. Determineaprobabilidadedequeasduas bolas retiradas sejam de cores distintas. 30) (UFRJ-2009) Joo criou uma senha de 4 algarismos paraosegredodeseucofre.Maistarde,quandofoi abrirocofre,Joopercebeuquenolembravamais qual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1, 3, 8 e 9. Ele, ento, resolveu escrever todos os nmeros possveisformadospelos4algarismose,emseguida, tentarabrirocofresorteandoaoacaso,umaum,os nmeros de sua lista, sem repetir nmeros j testados. a) Determine quantos nmeros Joo escreveu. b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na 12 tentativa. 31)(UFF-2010-2F)Doisdadoscbicosnoviciados, cujasfacesestonumeradasde1a6,sojogados aleatoriamenteesimultaneamentesobreumamesa plana.Seasomadosvaloressorteados(*)forum nmeropar,Pauloganhaapartida.Seasomaforum nmerompar,Lciaganha.Aoperderaprimeira partida, Lcia diz que no ir mais jogar porque a regra favorecePaulo.Seuargumentooseguinte:dentreos onzevalorespossveisparaasoma(osinteirosde2a 12),hseisnmerospareseapenascinconmeros mpares.Logo,Paulotemmaiorprobabilidadede ganhar. a) Calcule a probabilidade de Lcia ganhar uma partida. Justifique sua resposta. b) Use o item a para verificar se o argumento de Lcia est correto. (*) Valor sorteado o nmero escrito na face do cubo oposta face que est apoiada na mesa. 32) (PUC-2010 2 f) Considere o lanamento de trs dados comuns. a) Qual a probabilidade de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5? b) Qual a probabilidade de que os trs nmeros sorteados sejam diferentes? 33)(UERJ-2011-2FASE)Paraarealizaodeuma partidadefutebolsonecessriostrsrbitros:umjuiz principal,queapitaojogo,eseusdoisauxiliares,que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem sejaescolhidoaleatoriamenteemumgrupocomposto de somente dezrbitros, sendo X um deles. Aps essa escolha,umsegundosorteioaleatriofeitoentreos trs para determinar qual deles ser o juiz principal. Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal. 34) (UERJ-2007-ESP) Joo recorta um crculo de papel com10cmderaio.Emseguida,dobraesserecorteao meio vrias vezes, conforme ilustrado abaixo.

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 8Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Depois de fazer diversasdobras, abreo papele coloca onmero1nasduasextremidadesdaprimeiradobra. Sucessivamente,nomeiodecadaumdosarcos formados pelas dobras anteriores, Joo escreve a soma dos nmeros que esto nas extremidades de cada arco. Asfigurasaseguirilustramasquatroetapasiniciais desse processo. Afiguracorrespondenteetapa3foicoladaemuma roleta,queapssergiradapodeparar,aoacaso,em apenasoitoposiesdistintas.Umasetaindicao nmerocorrespondenteacadaposio,comoilustraa figura abaixo. Joogirouaroletaduasvezesconsecutivaseanotou os nmeros indicados pela seta aps cada parada. Calculeaprobabilidadedeasomadessesnmeros ser par. 35) (UERJ-2009-ESP) Osbaralhoscomunssocompostosde52cartas divididasemquatronaipes,denominadoscopas, espadas,pauseouros,comtrezecartasdistintasde cada um deles. Observeafiguraquemostraumdessesbaralhos,no qualascartasrepresentadaspelasletrasA,J,QeK sodenominadas,respectivamente,s,valete,damae rei. Uma criana rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, no rasgadas, foram guardadas em uma caixa. Atabelaabaixoapresentaasprobabilidadesderetirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas: Calcule o valor de n. 36)(UERJ-2010-ESP)Umacrianaguardamoedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde eoutraamarela.Nacaixaamarela,h,exatamente, 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50. Admita que, aps a transferncia de n moedas de R$ 1,00dacaixaverdeparaaamarela,aprobabilidade deseretiraraoacasoumamoedadeR$1,00da caixa amarela seja igual a 50%. Calcule o valor de n. 37)(UFRJ-2010)UmpontoPaleatoriamente selecionadonumretnguloSdedimenses50cmpor 20 cm. Considere, a partir de S, as seguintes regies: RegioAretngulodedimenses15cmpor4cm com centro no centro de S e Regio B crculo de raio 4 cm com centro no centro de S. SuponhaqueaprobabilidadedequeopontoP pertena a uma regio contida em S seja proporcional rea da regio. DetermineaprobabilidadedequePpertena simultaneamente s regies A e B. 38)(UFRJ-2011)UmpontoMselecionadoaoacaso nointeriordeumcrculoCderaio2ecentroO.Em seguida, constri-se um quadrado, tambm centrado em O, que tem M como ponto mdio de um de seus lados. Calculeaprobabilidadedequeoquadradoassim construdo esteja inteiramente contido no crculo C.

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 9Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 39)(PUC-20102f)Odiagramaabaixomostrauma sala do jogo Os Labirintos da Simetria. Isaac, o heri do jogo, entrana sala por um porto no extremo esquerdo dasalaeprecisasairpeloportoqueestnoextremo direito da sala e que inicialmente est fechado. No corredor entre os dois portes h sete cristais, cada umcomumacordoarcoris:Vermelho,Laranja, Amarelo,Verde,Azul,ndigoeVioleta.Acadapartida asposiesdoscristaissosorteadas,comigual probabilidadeparacadaumadasordenspossveis. Para que o porto de sada se abra, Isaac precisa tocar os sete cristais exatamente na ordem acima. Na sala h umacorrentedeardaesquerdaparaadireita.Assim, Isaacpodemover-sefacilmentedaesquerdaparaa direita,masparamover-sedadireitaparaaesquerda eleprecisaacionarassuasHlicesMgicas.Cadavez queeleacionaasHliceselegastaumacarga.Para tocarumcristal,IsaacdevedesligarasHlicesese depoisdetocarumcristaleleprecisarsemover novamenteparaaesquerdaeleprecisargastaroutra carga. Assim, por exemplo, se num jogo a posio dos cristais for: Amarelo - Laranja - ndigo - Verde - Violeta - Vermelho Azul entoIsaacchegargratuitamenteaocristalVermelho, gastarumacargaparavoltaratLaranjaeuma segundaparavoltaratAmarelo.Depoisdissoelese movergratuitamenteatVerdeedaatAzul.Isaac gastarumaterceiracargaparavoltaratndigoe depois se mover gratuitamente at Violeta e de l para oportodesada,finalmenteaberto.Nesteexemplo, para passar pela sala, Isaac gastou trs cargas. Considerando agora uma sala com cristais em posies sorteadas, responda: a) Qual a probabilidade de que Isaac possa passar pela sala sem gastar nenhuma carga? b)QualaprobabilidadedequeIsaacpassepelasala gastandoumacargaparairdeVermelhoatLaranjae depois no precise gastar mais nenhuma outra carga? c)QualaprobabilidadedequeIsaacprecisegastar exatamente uma carga para passar pela sala? 40)(UNICAMP-2002)EmMatemtica,umnmero naturalachamadopalndromoseseusalgarismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo nmero. Por exemplo, 8, 22 e 373 so palndromos. Pergunta-se: a) Quantos nmeros naturais palndromos existem entre 1 e 9.999? b) Escolhendo-se ao acaso um nmero natural entre 1 e 9.999,qualaprobabilidadedequeessenmeroseja palndromo?Talprobabilidademaioroumenorque 2%? Justifique sua resposta. GABARITOS 01) B02) C03) B04) A 05) C06) B07) D08) C 09) A10) D11) C12) D 13) C14) C15) A16) C 18) B19) a) 1/1140b) 1/570 c) 1/95 20) a) 1/12b) 5/1221) D22) C 23) C24) C25) C26) C 27) B 28) Joaquim tem mais chances de ganhar o jogo, j que h 500 bolas com nmeros mpares e 499 bolas com nmeros pares. 29) 50%30) a) 24b) 1/24 31) a) 50% b) 50%32) a) 1/36b) 5/9 33) 1/1034) 5/835) n = 40 36) n = 337) 30003 24 16 +=P 38) 39) a) 1/7! = 1/5040b) 6/7! = 1/840 c) 120/7! = 1/42 40) a) 196 b) 1,96

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 10Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Algumas resolues: Questo 8) 60 x + x + 70 x = 100 >>x = 30% Como x 0>> x 60% Questo 9) As cinco so : Joo Pedro __ ________ ________ Questo 19)H C20,3 = 1140 maneiras de se retirarem 3 bolas da urna. a) Soma igual a 6: 1 + 2 + 3 (somente um maneira). Logo P(a) = 1/1140. b) Soma igual a 8: 1 + 2 + 5 e 1 + 3 + 4 (duas maneiras). Logo P (b) = 2/1140 = 1/570. c) Soma igual a 15: 1 + 2 + 12, 1 + 3 + 11, 1 + 4 + 10, 1 + 5 + 9, 1 + 6 + 8, 2 + 3 + 10, 2 + 4 + 9, 2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7, 3 + 4 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6 (doze maneiras). Logo P (c) = 12/1140 = 1/95. Questo 20) H C10,3 =120 maneiras de se retirarem 3 bolas da urna. a) Tirar trs bolas brancas: 12112010) (3 , 103 , 5= = =CCa Pb) Tirar duas brancas e uma preta: 12512050) (3 , 101 , 5 2 , 5= ==CC Cb PQuesto 29) Qualquer que seja a cor da bola retirada na primeira urna, a chance de se retirar uma bola de cor diferente da segunda urna de 100/200.Logo: P = = 50% Questo 30) a) So 4 algarismos distintos. Tem-se que 4! = 24. Joo escreveu 24 nmeros. b)Soluo da Banca:Olhando-se uma lista qualquer dos 24 nmeros possveis, observe que a probabilidade da senha correta estar na n-sima posio no depende de n. Deste modo a probabilidade de Joo acertar na 12 tentativa igual probabilidade de Joo acertar na primeira, que 1/24 Soluo mais simples: Para que Joo acerte apenas na 12 tentativa, obrigatoriamente ele deve errar as onze tentativas anteriores e acertar a 12, logo: 13114131514161517161817191820192120222123222423 = P 241= P Questo 31) a) O espao amostral desse experimento o conjunto A, com 36 elementos: A = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }. O evento a soma dos valores sorteados um nmero mpar o conjunto E, com 18 elementos: E = { (1, 2), (1, 4), (1, 6),(2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4), (3, 6),(4, 1), (4, 3), (4, 5),(5, 2), (5, 4), (5, 6),(6, 1), (6, 3), (6, 5) }. Logo, a probabilidade de Lcia ganhar igual a 18/36 = 1/2 = 50%. b) O clculo feito no item (a) mostra que Paulo e Lcia tm a mesma probabilidade de ganhar uma partida. Questo 32) Temos no lanamento de trs dados 63 possibilidades. a) O evento ter soma 5, tem casos : (1,2,2), (2,2,1) , (1,2,1),(1,1,3),(1,3,1) e (3,1,1) ento, P= 6/216 = 1/36 b) O evento ter todos os nmeros diferentes, vale 6 5 4. Logo, P = (6.5.4)/216 = 5/9 Resol: 713553 , 71 , 5= =CC x60 - x70 - x FlaTiro

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 11Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Questo 33)A = {x; a2 ; a3 ; a4 ; ...; a10} 1 sorteio:103120361 2 38 9 101 28 9) (3 , 102 , 9= = = =CCx P10110331) ( = =JUZx P Questo 34) Probabilidade de ocorrer par e par P1 = 161 Probabilidade de ocorrer mpar e mpar P2 = 169 Probabilidade de ocorrer soma par P1 + P2 = 1610 = 85 Questo 35) Nmero de cartas guardadas na caixa: n Probabilidade de retirada de: - um rei P(R) = 0,075 - uma carta de copas P(C) = 0,25 - um carta de copas ou um rei P(C R) = 0,3 - o rei de copas P(R C) = P(R) + P(C) P(RC) P(R C) = 0,075 + 0,25 0,3 = 0,025 =n1 40401= = nn1 Questo 36) 15 1212+ ++=nn21 12 + n + 15 = 2 (12 + n) n + 27 = 24 + 2n 27 24 = 2n n n = 3 Questo 37) Por hiptese, a probabilidade de que o ponto P pertena a uma regio F, contida em S, dada pela razo entre a medida da rea de F e a medida da rea de S.Assim, a probabilidade de que o ponto P pertena a ambas as regies dada por: ) () (S reaB A rea Seja C a regio sombreada na figura abaixo. Ento,a rea (AB) = 16 4 rea (C). Observando-se o tringulo retngulo OLN, tem-se que o ngulo LN mede 60. Assim, a medida da rea do setor circular OMN 238cm e a rea do tringulo OLN 23 2 cm . Portanto, a medida da rea da regio C 23 238cm||

\|. Logo, a medida da rea de A B : 23 2384 16 cm((

||

\| Como a medida da rea de S 1000 cm2,tem-se que a probabilidade solicitada 30003 24 16 +=P . Questo 38) A diagonal do quadrado inscrito igual ao dimetro do crculo C, ou seja, d = 4. A medida L do lado deste quadrado , por Pitgoras, 2L2 = 16 , ou seja, L =2 2 . Para que o quadrado esteja inteiramente contido em C, a distncia de M ao centro de C deve ser menor do que ou igual a 2L. Ou seja, M pertence a um crculo CM de raio 2L e mesmo centro C. Ento a probabilidade pedida : 2142) () (= = =C reaC reapM

MDULO I PARTE 6 Noes de Probabilidade MATEMTICA 2011 12Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Questo 39) a) Isto s ocorrer se os cristais estiverem na ordem: Vermelho-Laranja-Amarelo-Verde-Azul-ndigo- Violeta A probabilidade de isso ocorrer 1/7! = 1/5040. b) Isto ocorrer se as cores: Laranja - Amarelo - Verde - Azul - ndigo Violeta apareceremnestaordemdaesquerdaparaadireita, com Vermelho em qualquer posio exceto na primeira. H,assim,6configuraespossveiseaprobabilidade pedida 6/7! = 1/840. c)Paraformarumaconfiguraodestetipo,devemos primeiro selecionar um conjunto de posies (h 27 = 128 maneiras de fazer isso). Primeiropreenchemosasposiesdoconjuntoda esquerda para a direita com as cores na ordem em que Isaacdevetoc-lasedepoispreenchemosasposies nocomplementodoconjunto.Istos*no*funcionar se as posies do conjunto estiverem todas esquerda dasposiesdocomplemento(poisnestecasoIsaac nogastarianenhumacarga),ouseja,paraos8 conjuntos {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ..., {1,2,3,4,5,6,7}. Assimh128-8=120configuraespossveis,ea probabilidade pedida 120/7! = 1/42. Questo 40) a)De1at9.999,temosdesdepalndromosde1 algarismo at palndromos de 4 algarismos. Assim, ou ouou 9+ 9 1+9 10 1+9 10 1 1= 198 Considerando que entre 1 e 9.999 no devam ser includos os extremos, temos 196 palndromos. Resposta: 196 b) Entre 1 e 9.999 temos 9.997 nmeros. Assim, a probabilidade pedida : P =96 , 1997 . 9196 % Nota:Seinterpretssemosoentre1e9.999coma possibilidade da incluso dos extremos, teramos: a) 198 palndromos. b) P =98 , 11012999 . 9198 = %. xxxx