065 Cadeia Probabilidade Set 11

Probabilidade

ProbabilidadeProposta de sequncia de tarefas para o 9. ano - 3. cicloSetembro de 2011

Autores: Professores das turmas piloto do 9 ano de escolaridade Ano Lectivo 2010 / 2011

Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo

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Probabilidade

ndice

Introduo

Proposta de planificao

Tarefas:

Tarefa 0 Visionamento de um vdeo Tarefa 1 Aleatria ou determinista? Tarefa 2 Probabilidade e frequncia relativa Tarefa 3 O que mais provvel? Tarefa 4 Espao de resultados Tarefa 5 Regra de Laplace Tarefa 6 Acontecimentos complementares, diagrama de Venn Tarefa 7 Diagrama em rvore, listagem, tabela de dupla entrada Mais problemas


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Probabilidade

Introduo

Tpicos: Noo de fenmeno aleatrio e de experincia aleatria Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento No 3 ciclo pretende-se essencialmente desenvolver a compreenso da noo de probabilidade e a capacidade de resolver problemas e de comunicar em contextos estatsticos e probabilsticos. Na sequncia de tarefas que propomos, comeamos por discutir a diferena entre experincia aleatria e experincia determinista. A noo de aleatrio j foi introduzida no 8ano quando em Organizao e tratamento de dados se planeou um estudo e se recorreu escolha de uma amostra aleatria. Contudo importante abord-la de novo, numa perspectiva mais alargada, para que a noo de probabilidade fique clara para os alunos. So propostas 7 tarefas mas s na tarefa 5 introduzimos a regra de Laplace. No clculo da probabilidade de um acontecimento valoriza-se a probabilidade experimental (ou frequencista). O clculo da probabilidade aplicando a regra de Laplace s se aplica em situaes muito especiais, em que existe simetria isto em que todos acontecimentos elementares so equiprovveis. O programa refere que a regra de Laplace deve-se ser utilizada para calcular a probabilidade de um acontecimento em situaes simples. As situaes mais complexas devem ser trabalhadas com recurso tecnologia. No final das tarefas apresentamos um conjunto diversificados de exerccios e problemas que devem ser utilizados em conjunto com qualquer uma das 7 tarefas. O professor deve recorrer a estes ou outros problemas, nomeadamente dos manuais ainda em uso, para complementar o trabalho de consolidao deste tema. A brochura de Organizao e tratamento de dados(*), j colocada no site da DGIDC, foi o principal recurso que utilizmos para a planificao deste tema.(*) Martins, M. Eugnia Graa; Ponte, Joo Pedro. (Junho 2010). Organizao e tratamento de Dados. Lisboa: DGIDC.)


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Probabilidade

Proposta de planificao Blocos previstos

Tpico

Objectivos especficos

Notas

Tarefas

Instrumentos

Os alunos devem: Identificar e dar exemplos de fenmenos aleatrios e deterministas, usando o vocabulrio adequado. Identificar e determinar todos os resultados possveis quando se realiza determinada experincia aleatria. Compreender a noo de probabilidade de um acontecimento e que a sua medida se situa entre 0 e 1. Calcular a probabilidade de um acontecimento pela regra de Laplace. Compreender e usar a frequncia relativa para estimar a probabilidade. - Recorrer, quando conveniente, a diagramas em rvore para identificao dos resultados possveis e para contagens. - Compreender que ao atribuir um valor probabilidade de um acontecimento, se est a exprimir o grau de convico na sua ocorrncia. Entre outras formas, pode quantificar-se esse valor recorrendo regra de Laplace ou utilizando o conceito frequencista. - Saber que a regra de Laplace s aplicvel quando se pode admitir simetria (isto , todos os resultados so igualmente possveis).

Tarefa 0 Visionamento de um vdeo: Homens e dados

Tarefa 1 Aleatria ou determinista? Tarefa 2 Probabilidade e frequncia relativa

Papel e lpis

7

Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento

Tarefa 3 O mais provvel

Papel, lpis

Tarefa 4 Espao de resultados

Papel, lpis

Tarefa 5 Regra de Laplace

Papel, lpis e calculadora.

Mais problemas

Probabilidade Noo de fenmeno aleatrio e de experincia aleatria

Computador com ligao internet e texto: Cara ou Coroa? Cara se for euro .


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Probabilidade

Blocos previstos

Tpico

Objectivos especficos Identificar acontecimentos complementares e compreender que a soma das suas probabilidades 1. Identificar acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos e compreender que a probabilidade da sua unio igual soma das suas probabilidades. Resolver e formular problemas envolvendo a noo de probabilidade.

Notas

Tarefas Tarefa 6 Acontecimentos complementares, diagrama de Venn

Instrumentos

Os alunos devem: - Compreender que quanto maior for o nmero de vezes que a experincia repetida, melhor ser a estimativa obtida para a probabilidade. - Saber que a probabilidade pode ser escrita na forma de fraco, decimal ou percentagem.

Papel e lpis. Mais problemas

Probabilidade Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento

Tarefa 7 Diagrama em rvore, listagem ou tabela de dupla entrada

Papel e lpis.


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Probabilidade

Tarefa 0 Visionamento do vdeo: Dados e Homens

Este vdeo tem a durao de 9:48 minutos e pode ser visto a partir do site abaixo indicado. uma banda desenhada canadiana, com legendas em portugus, e que de uma forma muito interessante explica a rea de estudo das Probabilidades.http://www.youtube.com/watch?v=tJz8sKHHisI


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Probabilidade Tarefa 1 Aleatria ou determinista?

Com esta tarefa pretende-se que os alunos apreendam a diferena entre experincia aleatria e experincia determinista. Tema matemtico: Organizao e tratamento de dados (OTD) Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Probabilidades Subtpico matemtico: Noo de fenmeno aleatrio e de experincia aleatria Capacidades transversais: Raciocnio matemtico: argumentao. Comunicao matemtica: interpretao e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Noo de situao aleatria. Utilizao adequada dos termos impossvel, possvel, certo, provvel e igualmente provvel.e improvvel Aprendizagens visadas: Identificar e dar exemplos de experincias aleatrias e deterministas, utilizando vocabulrio adequado. Cadeia: 1 tarefa da sequncia Probabilidades 9 ano. Durao prevista: 45 minutos. Notas para o professor: Os conceitos envolvidos nesta tarefa podem j ter sido trabalhados em anos anteriores e para a generalidade dos alunos so de rpida aquisio. O programa faz referncia s noes de fenmeno aleatrio e de experincia aleatria (realizao do fenmeno aleatrio) e refere a utilizao da linguagem adequada. Nesta tarefa definimos experincia aleatria contudo importante que na discusso com os alunos se clarifique a diferena entre a noo de fenmeno e de experincia aleatria (ver pg. 157 e seguintes da brochura de Martins, M. Eugnia Graa; Ponte, Joo Pedro. (Junho 2010). Organizao e tratamento de Dados. Lisboa: DGIDC.) A resoluo desta tarefa deve ser realizada em grande grupo, em discusso aberta. importante que na discusso os alunos consigam dar novos exemplos. Palavras chave: fenmeno e experincia aleatria e fenmeno e experincia determinista; acontecimento impossvel, pouco provvel, muito provvel e certo.


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Probabilidade Tarefa 1 Aleatria ou determinista?

1. Analisa cada uma das situaes e responde s questes colocadas. Classifica as as experincias seguintes em deterministas ou aleatrias.

1.1. Lanar 10 vezes uma moeda e registar a face que fica virada para cima. 1.2. De uma caixa com 20 bolas brancas e duas bolas pretas, retiraram-se, sem olhar, duas bolas. Registar a cor das bolas retiradas. 1.3. Aquecer gua acima dos 100 e registar o que acontece.

Uma experincia determinista aquela em que antecipadamente se conhece o resultado. Dizemos que uma experincia aleatria se i) conhecemos todos os seus possveis resultados. ii) cada vez que efectuada no se conhece antecipadamente qual dos resultados possveis vai ocorrer. iii) pode ser repetida em condies anlogas.

1.4. Deitar uma moeda num copo de gua e verificar o que acontece. 1.5. Tirar duas cartas, sorte, de um baralho de 52 cartas que foi previamente baralhado e registar as cartas sada.

2. Uma experincias aleatria - Lenda Nrdica Para resolver a quem deveria pertencer uma cidade, os reis da Sucia e da Noruega decidiram jog-la aos dados. Utilizaram dois dados e quem tirasse a maior soma ganharia a vassalagem dessa cidade. O rei da Sucia foi o primeiro a lan-los e tirou o mximo, o duplo seis. Parecia que tudo estava decidido, pois seria muito difcil ao rei da Noruega repetir essa proeza. Mas os deuses estavam do lado do rei da Noruega. Lanou os dados e tirou o duplo seis. Era novamente a vez do rei da Sucia lanar os dados para o desempate. Ningum acreditaria que ele voltaria a repetir o feito de tirar o duplo seis. Mas tirou, e a sorte parecia estar finalmente decidida. O rei da Noruega pega ento nos dados, lana-os e, para espanto de todos, um dos dados partese mostrando um trs e um quatro. No segundo dado sai um seis. O rei da Noruega tinha obtido o treze, faanha impossvel de obter com dois dados inteiros. E assim se decidiu aos dados a sorte daquela cidade. 2.1. No texto l-se: Lanou os dados e tirou o duplo seis. Enumera as hipteses possveis que cada um dos reis tinha ao fazer o lanamento dos dados. 2.2. No texto referida uma faanha impossvel. Explica-a e apresenta as hipteses que teriam sido possveis. 2.3. Imagina que o rei da Noruega tinha obtido o duplo 4. Seria mais provvel o rei da Sucia igualar este resultado ou tirar duplo 6? Porqu? 2.4. Seria mais provvel o Rei da Sucia obter o duplo 4 ou obter a soma 8? Justifica a tua resposta.


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Probabilidade 3. Classifica em impossvel, pouco provvel, muito provvel e certo os seguintes acontecimentos:

3.1. lanar um dado cbico equilibrado e sair um nmero mltiplo de 7. 3.2. o sol nascer amanh; 3.3. retirar uma carta, ao acaso, de um baralho com 52 cartas e sair um Rei; 3.4. lanar um dado cbico equilibrado e sair um nmero par ou mltiplo de 3.


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Probabilidade

Tarefa 2 Probabilidade e frequncia relativa

Com esta tarefa pretende-se que os alunos compreendam a noo frequencista de probabilidade. Tema matemtico: Organizao e tratamento de dados (OTD) Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Probabilidades Subtpico matemtico: Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento Capacidades transversais: Raciocnio matemtico: induo. Comunicao matemtica: interpretao, representao e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Noo de frequncia relativa, clculo da frequncia relativa e experincia aleatria. Aprendizagens visadas: Compreender e usar a frequncia relativa para estimar a probabilidade; noo de probabilidade emprica (ou frequencista). Cadeia: 2 tarefa da sequncia Probabilidades 9 ano. Recursos: Computador com ligao internet e texto Cara ou Coroa? Cara se for euro . Durao prevista: 45 minutos Notas para o professor: fundamental que os alunos compreendam que quanto maior for o nmero de vezes que uma experincia repetida, melhor a estimativa da probabilidade do acontecimento associado a essa experincia. A utilizao de vrios recursos, nomeadamente de tecnologia, enriquece a experincia matemtica dos alunos.

Palavras chave: frequencista).

probabilidade, frequncia relativa e probabilidade emprica (ou


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Probabilidade

Tarefa 2 Probabilidade e frequncia relativa 1. Recorre ao stio do ALEA http://www.alea.pt/html/probabil/html/cap_02/html/cap2_1_2.html para realizares uma experincia aleatria que consiste no lanamento de um dado. Observa a frequncia relativa da sada de cada face medida que aumentas o nmero de lanamentos. O que acontece medida que o nmero de lanamentos aumenta? 2. Imagina que tens na mo uma moeda de um euro.

2.1. Se lanares a moeda ao ar, achas que vai sair face nacional ou face Euro? Porqu? 2.2. Lana uma moeda de um Euro 50 vezes e regista o resultado da tua experincia anterior numa tabela de frequncia como a da figura. Face virada para cima Euro Nacional N de vezes Frequncia relativa Frequncia relativa (%)

2.3. Desenha o grfico de barras correspondente. 2.4. Ser que podemos afirmar que as moedas so equilibradas? Justifica a tua resposta. 2.5. L o artigo publicado no jornal Pblico em 10 de Maro de 2002 e responde as questes que se seguem (ver texto em anexo- pgina 30). 2.5.1. Qual a nacionalidade da moeda que utilizaste na experincia? 2.5.2. Compara os resultados obtidos no teu grupo com os obtidos nos outros grupos. Parece-te que se confirmam as dvidas levantadas no artigo? Explica a tua resposta. 2.5.3. Que ideia importante para a determinao da probabilidade de um fenmeno traduz a frase com uma amostra de apenas 250 (lanamentos) . (5 pargrafo a contar do final do texto)? 2.5.4. Como classificarias a validade da experincia que realizaste com a moeda de um euro? Probabilidade emprica (ou frequencista) - A probabilidade de um determinado acontecimento aleatrio a percentagem de vezes que se espera que ele acontea, se se repetir a experincia, um grande nmero de vezes, nas mesmas condies.


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Probabilidade Tarefa 3 O que mais provvel?

Com esta tarefa pretende-se que os alunos consolidem a noo frequencista de probabilidade. Tema matemtico: Organizao e tratamento de dados (OTD) Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Probabilidades Subtpico matemtico: Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento Capacidades transversais: Raciocnio matemtico: trabalho com a definio de probabilidade frequencista. Comunicao matemtica: interpretao e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Noo de probabilidade frequencista. Aprendizagens visadas: Consolidao da noo de probabilidade frequencista. Cadeia: 2 tarefa da sequncia Probabilidades 9 ano. Durao prevista: 90 minutos. Notas para o professor: Esta uma tarefa de consolidao. O texto da tarefa foi adaptado de Martins, M. Eugnia Graa; Ponte, Joo Pedro. (Junho 2010). Organizao e tratamento de Dados. Lisboa: DGIDC. Ver pgina 169 e seguintes. Palavras chave: frequncia relativa e probabilidade frequencista.


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Tarefa 3 O que mais provvel?

Numa turma com 24 alunos, 16 so raparigas e 8 so rapazes. Dos 24 alunos, metade tm olhos castanhos e a outra metade, olhos de outra cor. Tambm se sabe que 8 dos alunos (rapazes ou raparigas) so louros. O professor, todos os dias selecciona ao acaso, o nome de um aluno para que v ao quadro resolver um problema. 1. Na prxima ida ao quadro: 1.1. mais provvel que seja seleccionado um rapaz ou uma rapariga? 1.2. mais provvel que o aluno tenha olhos castanhos ou de outra cor? 1.3. mais provvel que o aluno seja louro ou no seja louro? 2. Durante 30 aulas consecutivas o delegado de turma decidiu registar numa folha o tipo de aluno seleccionado (sempre seleccionando ao acaso). Representou por um 1 sempre que se verificava o acontecimento e por 0 quando no se verificava. Por exemplo, sempre que era seleccionada uma rapariga colocava um 1 na coluna Rapariga. Caso contrrio, quando era seleccionado um rapaz, escrevia um 0. Foram obtidos os seguintes registos:Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Total Freq. Rel. Rapariga 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 20 20/30 67% Olhos castanhos 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 16 16/3053% Louro 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 12 12/30=40%

Tendo em conta os registos efectuados, responde s questes seguintes: 2.1. Indica o sexo, a cor dos olhos e a cor do cabelo do aluno que foi ao quadro no 1. dia em que comearam a fazer os registos. 2.2. Qual a estimativa da probabilidade de cada um dos seguintes acontecimentos? 2.2.1. ser seleccionada uma rapariga? 2.2.2. ser seleccionado um rapaz?Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo

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Probabilidade 2.2.3. ser seleccionado um aluno de olhos castanhos? 2.2.4. ser seleccionado um aluno louro? 2.2.5. ser seleccionada uma rapariga de olhos castanhos e loura? 2.3. Indica o que se espera que seja o sexo, a cor dos olhos e a cor do cabelo do prximo aluno a ser chamado ao quadro. 2.4. Qual a estimativa da probabilidade de cada um dos seguintes acontecimentos? 2.4.1. O prximo aluno a ser chamado ser rapaz de olhos castanhos e no louro. 2.4.2. O prximo aluno a ser chamado ser uma rapariga loura. 2.4.3. O prximo aluno a ser chamado ser rapaz de olhos no castanhos e no louro.


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Probabilidade Tarefa 4 - Espao de resultados

Esta tarefa introduz o conceito de acontecimento e de espao de resultados. Analisam-se situaes que envolvem os vrios tipos de acontecimentos. Tema matemtico: Organizao e tratamento de dados (OTD) Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Probabilidades Subtpico matemtico: Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento Capacidades transversais: Resoluo de problemas Comunicao matemtica: interpretao e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Experincia aleatria Aprendizagens visadas: Conceito de acontecimento e de espao de resultados, classificao de acontecimentos (elementares, no elementares, certos, impossveis, possveis mas no certos) Cadeia: 4 tarefa da sequncia Probabilidades 9 ano. Durao prevista: 45 minutos Notas para o professor: Nesta tarefa, os exemplos utilizados contemplam extraces com e sem reposio. importante que os alunos se deparem com formas diferentes de organizao dos dados, neste caso para construir o espao de resultados. Deve chamar-se a ateno dos alunos das vrias formas de apresentar o espao de resultados, nomeadamente da necessidade de terem conscincia se os acontecimentos indicados so ou no equiprovveis. Este um aspecto fundamental quando se trabalha com a regra de Laplace que introduzida na tarefa 5.

Palavras chave: Acontecimento e espao de resultados; acontecimentos elementares, no elementares, certos, impossveis, possveis mas no certos.


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Tarefa 4 - Espao de resultados

1. Numa caixa esto 10 bolas numeradas de zero a nove. Realiza-se uma experincia que consiste na extraco de uma bola da caixa, anota-se o nmero e volta-se a colocar a bola na caixa (extraco com reposio). 1.1. Identifica todos os resultados possveis (espao de resultados ou espao amostral) 1.2. Identifica os acontecimentos associados extraco: 1.2.1. A: de um nmero primo; 1.2.2. B: de um nmero maior do que 8; 1.2.3. C: de um nmero negativo; 1.2.4. D: do nmero 12; 1.2.5. E: de um nmero menor do que 12. 1.3. Classifica os acontecimentos anteriores em elementares, no elementares, certos, impossveis, possveis mas no certos. Acontecimento um resultado ou um conjunto de resultados do espao de resultados. Quando os acontecimentos so constitudos por um nico resultado, dizem-se acontecimentos elementares.

2. Imagina que vais extrair aleatoriamente 2 berlindes de um saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis. 2.1. Se a extraco for feita repondo os berlindes no saco, que espao de resultados se associa a esta experincia? 2.2. Se a extraco for feita sem reposio dos berlindes no saco, que espao de resultados se associa experincia? 3. Imagina que vais extrair aleatoriamente 3 berlindes de um saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis. 3.1. Se a extraco for feita repondo os berlindes no saco, que espao de resultados se associa a esta experincia?

3.2. Se a extraco for feita sem reposio dos berlindes no saco, que espao de resultados se associa experincia?


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Probabilidade Tarefa 5 Regra de Laplace Nesta tarefa introduz-se o clculo de probabilidade segundo Laplace que se aplica em situaes muito particulares, nomeadamente no caso dos jogos de azar. Tema matemtico: Organizao e tratamento de dados (OTD) Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Probabilidades Subtpico matemtico: Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento Capacidades transversais: Resoluo de problemas Comunicao matemtica: interpretao e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Conceito de probabilidade frequencista Aprendizagens visadas: Conceito de acontecimento e espao de resultados Cadeia: 5 tarefa da sequncia Probabilidades 9 ano. Recursos: calculadora Durao prevista: 90 minutos. Notas para o professor: S nesta tarefa se introduz o clculo de probabilidade segundo Laplace. muito importante que os alunos percebam que s podem utilizar esta regra em situaes de simetria (todos os resultados so igualmente possveis). Em todas as outras situaes utiliza-se o conceito frequencista de probabilidade. fundamental a construo do espao de resultados em que todos os acontecimentos tm igual probabilidade.

Palavras chave: Regra de Laplace; casos favorveis e casos possveis; acontecimentos equiprovveis


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Probabilidade

Tarefa 5 Regra de Laplace Regra de Laplace - Se todos os resultados de um espao de resultados so igualmente possveis a probabilidade de um acontecimento associado a esse espao de resultados igual razo entre o nmero de casos favorveis (resultados correspondentes ao acontecimento) e o nmero de casos possveis (elementos do espao de resultados). Probabilidade de um acontecimento = n. de casos favorveis n. de casos possveis A probabilidade pode ser escrita na forma de fraco, na forma decimal ou na forma de percentagem.

1. Lanou-se um dado equilibrado com a forma de um dodecaedro (poliedro regular com doze faces iguais) com as faces numeradas de 1 a 12. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. Calcula a probabilidade de sair: um nmero par; um nmero maior do que 4; um mltiplo de 6; o nmero 13; um nmero menor do que 15.

1.2. Diz, justificando, se so verdadeiras ou falsas as seguintes afirmaes: 1.2.1. Os acontecimentos sair face 3 e sair face 6 so igualmente provveis (equiprovveis); 1.2.2. Sair um nmero primo to provvel como sair um nmero mpar.

2. Calcula a probabilidade de ao extrair, ao acaso, uma carta de um baralho de 40 cartas (10 cartas de cada naipe), sair: 2.1. uma carta de copas; 2.2. um rei; 2.3. uma carta preta.

3. Sobre o lanamento de um dado cbico equilibrado escreve acontecimentos que tenham probabilidade: 3.1. 50% 3.2.

1 3

3.3.

2 3

3.4.

1 6

3.5.

5 6

3.6. 1

3.7. 0%


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Probabilidade 4. Ricky um jovem holands que, sempre que vai a uma cidade com metropolitano, gosta de visitar e fotografar todas as estaes. Normalmente escolhe de modo aleatrio a estao onde comea a sua viagem. Ricky visitou a cidade de Lisboa no ms passado.

Em Lisboa, a rede de metropolitano constituda por quatro linhas, com um total de 44 estaes, como mostra a figura. Ricky procedeu como de costume e escolheu aleatoriamente a primeira estao a visitar. 4.1. Qual a probabilidade de Ricky ter comeado a sua viagem numa estao: 4.1.1. da linha amarela, ou seja, a linha em que Odivelas uma estao terminal? 4.1.2. que permita trocar de linha? 4.1.3. que no seja da linha vermelha, isto , da linha em que o Oriente uma estao terminal? 4.2. De entre as opes que se seguem, escolhe aquela que completa a frase correctamente. muito provvel que o Ricky tenha comeado a viagem ... (A) numa estao da coroa 1. (B) numa estao da linha Alameda/Oriente. (C) numa estao de interface com barcos. (D) numa estao da coroa L.

Justifica a tua opo.

(GAVE, 1001 Itens)


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Probabilidade 5. Num banco trabalham 600 funcionrios, alguns dos quais tm filhos, outros no, distribudos de acordo com a tabela abaixo. Homens 220 90 Mulheres 260 30

Tem filhos No tem filhos

Se escolhermos um funcionrio do banco ao acaso, indica a probabilidade desse funcionrio: 5.1. ser mulher; 5.2. ser homem; 5.3. no ter filhos; 5.4. ser homem e ter filhos.


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Probabilidade Tarefa 6 Acontecimentos complementares, diagrama de Venn

Tema matemtico: Organizao e tratamento de dados (OTD) Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Probabilidades Subtpico matemtico: Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento Capacidades transversais: Resoluo de problemas Comunicao matemtica: interpretao e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Aprendizagens visadas: Identificar acontecimentos complementares e compreender que a soma das suas probabilidades 1. Identificar acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos e compreender que a probabilidade da sua unio igual soma das suas probabilidades. Cadeia: 6 tarefa da sequncia Probabilidades 9 ano. Durao prevista: 90 minutos. Notas para o professor: Com esta tarefa deve introduzir-se a noo de reunio e interseco de conjuntos que at agora no foi trabalhado pelos alunos. O diagrama de Venn deve ser apresentado como uma forma de representar os vrios acontecimentos associados ao espao de resultados de uma experincia aleatria. Palavras chave: Conjuntos disjuntos; acontecimento complementar; acontecimentos contrrios; diagrama de Venn


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Probabilidade

Tarefa 6 Acontecimentos complementares, diagrama de Venn 1. Lanou-se um dado equilibrado com a forma de um icosaedro (poliedro regular com vinte faces iguais) com as faces numeradas de 1 a 20. 1.1. Calcula a probabilidade de sair: 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. um nmero par; um nmero que no seja par; um mltiplo de 3 que seja um nmero par; mltiplos de 10 ou nmeros impares.

1.2. Indica o acontecimento complementar a sair um nmero menor do que 4. Calcula sua probabilidade. 1.3. Indica dois acontecimentos complementares e calcula a sua probabilidade. O diagrama de Venn uma tcnica utilizada para visualizar o espao de resultados (S) e os acontecimentos associados a uma experincia aleatria. O diagrama ao lado representa a experincia aleatria de verificar o sexo dos filhos das famlias com dois filhos e considerar o acontecimento A pelo menos um dos filhos do sexo masculino (M).S

MM FM MF

A

FF

diagrama de Venn

2. Interrogaram-se 210 pessoas acerca da utilizao de dois detergentes: A e B. Oitenta (80) declararam usar o detergente A, sessenta (60) o detergente B e vinte (20) os dois detergentes.90 60 20 40

A

B

2.2. Seleccionou-se, ao acaso, uma das 210 pessoas. Calcula a probabilidade de ela: 2.2.1. usar apenas o detergente A 2.2.2. usar apenas o detergente B 2.2.3. no usar nenhum dos dois detergentes. 2.2.4. usar, pelo menos, um dos dois detergentes.


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Probabilidade 3. Num grupo de 70 estudantes, 42 tm os olhos castanhos, 34 usam culos e 23 tm olhos castanhos e usam culos. Constri um diagrama de Venn e determina a probabilidade de um estudante escolhido ao acaso: 3.1. 3.2. 1.1. 1.2. usar culos e no ter olhos castanhos; usar culos ou ter olhos castanhos; usar culos e ter os olhos castanhos; no ter olhos castanhos nem usar culos.

2. No lanamento de um dado cbico, qual o acontecimento contrrio de: 2.1. sair 5 2.2. sair um nmero menor que 4? 2.3. sair um nmero maior ou igual a 6? 3. Um saco contm bolas azuis, brancas e verdes. Extrai-se ao acaso uma bola do saco. A probabilidade de sair Verde 1 (P(sair Verde) = 1 ) e a probabilidade de sair Azul 1 5 3 3 1 ). (P(sair Azul) = 5 Qual o acontecimento contrrio a sair bola Branca? Qual a probabilidade de sair bola Branca? Qual a probabilidade de no sair bola Verde? Diz, justificando, se verdadeira ou falsa a seguinte afirmao A probabilidade de no sair bola branca igual soma da probabilidade de sair bola verde com a probabilidade de sair bola azul O Matias lana um dado cbico equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6. Diz, justificando se verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaes: P(sair 3 ou sair 4) = P(sair 3) + P(sair 4) P(sair mpar) = 1 P(sair par) P(sair divisor de 3) = P(sair 1) + P(sair 3) P(sair divisor de 4 ou nmero primo) = P( sair 4)+ P (sair primo)

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

4.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.


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Probabilidade

Tarefa 7 Diagrama em rvore, listagem, tabela de dupla entrada

Tema matemtico: Organizao e tratamento de dados (OTD) Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Probabilidades Subtpico matemtico: Noo e clculo da probabilidade de um acontecimento Capacidades transversais: Resoluo de problemas Comunicao matemtica: interpretao, representao e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Regra de Laplace Aprendizagens visadas: Algumas formas de identificao dos resultados possveis: diagrama de rvore e tabela de duas entradas Cadeia: 7 tarefa da sequncia Probabilidades 9 ano. Recursos: papel e lpis. Durao prevista: 90 minutos Notas para o professor: Nesta tarefa, aparecem os diagramas de rvore e as tabelas de duas entradas que so um recurso muito til, em determinadas situaes, para identificar e contar os resultados possveis. Deve discutir-se com os alunos a vantagem e as situaes mais adequadas para utilizar cada um destes processos: listagens, diagramas de rvore e tabelas de duas entradas.

Palavras chave: Diagrama de rvore; tabela de duas entradas.


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Probabilidade Tarefa 7 Diagrama em rvore, listagem, tabela de dupla entrada

1. Lanaram-se dois dados cbicos equilibrados, um vermelho e outro verde e somaram-se os pontos obtidos em cada um dos dado. Com os resultados obtidos completa a tabela e responde s seguintes questes: Dado vermelho 3 4 5

1 1 2 3 4 5 6 Dado verde

2

6

1.1. Quantos somas possveis existem? 1.2 Qual a probabilidade de se obter a soma 6? 1.3 Qual a probabilidade de se obter soma par? 1.4. Qual a probabilidade da soma ser um nmero mltiplo de 3? 1.5. Qual a probabilidade de se obter soma menor do que 4? 1.6. Qual a probabilidade de se obter a soma igual a 1? 1.7. Qual a probabilidade da soma ser um nmero mltiplo de 3 e de 5?

2.

Considera que igualmente provvel nascer um rapaz ou rapariga. Sabendo que um casal tem 2 filhos, completa o esquema (em rvore seguinte) 1. filho Rapaz .............. .............. Rapariga Rapariga (.........., ............) (.........., ............) (.........., ............) 2. filho Rapaz Casos possveis (Rapaz, Rapaz)

Calcula a probabilidade de serem: 2.1. dois rapazes; 2.2. de sexos diferentes.


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Probabilidade 3. Trs moedas equilibradas so lanadas ao ar.(Sugesto: Utiliza um esquema em rvore para determinar os casos possveis)

Qual a probabilidade de sarem: 3.1. trs faces Euro? 3.2. duas faces Euro e uma face Nacional? 3.3. duas faces Nacional e uma face Euro? 3.4 pelo menos uma face Euro

4. PROBABILIDADES NO ALVO Se escolher, ao acaso, trs nmeros diferentes da zona branca do alvo, o que mais provvel: o seu produto ser 24 ou ser 72? Justifica a tua resposta.

2

4

3 8 12

(GAVE, 1001 Itens)


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Mais Problemas 1. De uma caixa com vinte 20 bolas brancas e duas bolas pretas retirou-se sucessivamente, sem olhar, uma bola. 1.1. De que cor so as duas primeiras bolas? 1.2. Qual o nmero mnimo de bolas que preciso de retirar para garantir que duas so da mesma cor? 1.3. Qual o nmero mnimo de bolas que preciso de retirar para garantir que duas so pretas?

2. Numa prateleira esto 4 livros de portugus, 5 livros de matemtica e 1 livro de biologia. Tendo em conta a situao d exemplo de: 2.1. Um acontecimento certo; 2.2. Um acontecimento impossvel; 2.3. Um acontecimento pouco provvel;

3. Numa caixa colocam-se os seguintes cartes, de igual forma e textura:

Em cada uma das situaes que se seguem, retira-se ao acaso, um carto da caixa. 3.1. Completa com as seguintes expresses: to provvel como, mais provvel que, menos provvel que. Sair uma letra A .........................................sair uma letra M; Sair uma letra T ............................................ sair letra M; Sair uma letra E ............................................. sair letra M. 3.2. Assinala com Verdadeiro (V) ou Falso (F): Sair uma letra M um acontecimento possvel; Sair uma letra um acontecimento certo; Sair uma letra F um acontecimento pouco provvel mas no impossvel; Sair uma letra C um acontecimento impossvel.

4. O Raul vai tirar sorte uma carta do baralho de 52 cartas. Calcula a probabilidade de tirar: 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. uma carta vermelha; um 4; o s de copas; uma carta que no seja de espadas; uma dama preta.


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Probabilidade 5. Lanaram-se dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Calcula a probabilidade do produto dos nmeros sados ser: 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. um nmero par; um mltiplo de 5. ser par e mltiplo de 2 ser mpar e mltiplo de 3

6 . PROBABILIDADES FANTSTICAS Num artigo de Novembro de 2001, o Boston Sunday Globe indicava a probabilidade de uma pessoa morrer devido a uma picada de aranha, de abelha ou a uma dentada de co.

6.1. Transcreve a letra que corresponde afirmao verdadeira. (A) A probabilidade de uma pessoas morrer com uma picada de aranha tripla da probabilidade de uma pessoa morrer com uma dentada de co. (B) A probabilidade de uma pessoa morrer com uma dentada de co tripla da probabilidade de uma pessoa morrer com uma picada de aranha. (C) A probabilidade de uma pessoa morrer com uma dentada de co tripla da probabilidade de uma pessoa morrer com uma picada de abelha. (D) A probabilidade de uma pessoa morrer com uma picada de abelha tripla da probabilidade de uma pessoa morrer com uma picada de aranha. 6.2. A probabilidade de uma pessoa ganhar o Euromilhes, fazendo apenas uma aposta, cerca de 1,3 10-8. O que mais provvel: uma pessoa ganhar o Euromilhes, fazendo apenas uma aposta, ou morrer com uma picada de abelha? Justifica a tua resposta.(GAVE, 1001 Itens)

7. A Ana e o Carlos esto a atirar simultaneamente duas moedas ao ar, uma de 1 e outra de 2. A Ana diz: mais provvel que saiam duas faces Nacional ou duas faces Euro do que saia uma face Nacional e uma face Euro. Carlos: Ests enganada, ambas as situaes acontecem com a mesma probabilidade. Quem tem razo?


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8. Naquele dia, mal chegou escola, o Guilherme transmitiu a feliz notcia aos amigos: a sua gata tinha acabado de os presentear com uma ninhada de quatro filhotes. Quatro? Tantos....- disse a Marlene. E logo acrescentou - Quem dera que sejam todos os filhotes machos... gosto muito mais de gatos do que de gatas! Isso no sei - retorquiu o Guilherme. No tive ainda oportunidade de o verificar. Nasceram esta madrugada e s soube quando j vinha para a escola. Pois eu - disse a Francisca - gosto bem mais de gatas. Sero todos fmeas! Penso que no assim to difcil de saber - rematou o Guilherme. 8.1 A afirmao da Francisca estar certa? 8.1. Qual a combinao mais provvel de gatinhos que nasceu? (isto , quantos machos e quantas fmeas?)

9. A Maria e o Manuel esto a jogar. Lanam dois dados equilibrados e somam os pontos de cada dado. Se a soma for 6, 7, 8 ou 9 ganha a Jlia. Se a soma for 2, 3, 4, 5, 10, 11 ou 12 ganha o Andr. Quem tem vantagem? Investiga este problema, sem te esqueceres de escrever todas as concluses a que chegaste. 10. Numa ficha de 4 perguntas, os alunos deviam escolher a resposta Verdadeiro ou Falso em cada uma. A Joana respondeu sorte, pois no tinha estudado. Qual a probabilidade de ter acertado em todas as respostas? ESFERAS PERFUMADAS E PROBABILIDADES 11. Existem diferentes maneiras de perfumar uma casa. Uma delas impregnar com perfume esferas de madeira especial e espalh-las pela casa. Algumas dessas esferas so comercializadas em caixas de forma paralelepipdica e pintadas com duas cores diferentes. As esferas so habitualmente todas iguais e esto arrumadas nas caixas, sem espao entre elas. As esferas tangentes tm cores diferentes. Na imagem, possvel observar uma das vistas laterais de qualquer das caixas.

11.1.

O Pedro comprou uma dessas caixas, com 15 esferas. Ao retirar uma das esferas da caixa, reparou que era branca. Qual a probabilidade de isso acontecer? As caixas tm, no mximo, 30 esferas. Em algumas dessas caixas, a probabilidade de retirar uma esfera preta 1 2

11.2.

. Quantas esferas podem conter as caixas para que isso

acontea? Justifica a tua resposta.(GAVE, 1001 Itens)


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ANEXO Tarefa 2 Probabilidade e frequncia relativa

065 Cadeia Probabilidade Set 11

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