E. E. E. F. M. MIN.

ALCIDES CARNEIRO

Turma: Aluno(a):

PROFESSOR: GILBERTO SANTOS

PROGRESSÃO ARITMÉTICA-PA

1 . DEFINIÇÃO É toda sequência onde um termo qual-

quer (a partir do segundo) é a soma do termo

anterior por um número fixo.

Esse número fixo em Progressão Arit-

mética – PA é chamado de razão r.

Exemplos: a) A sequência (2, 5, 8, 11).

5 = 2 + 3

8 = 5 + 3

11 = 8 + 3

A razão é r = 3.

b) (0, 5, 10, 15, ...), r = 5.

c) (3, 6, 9, 12, ...), r = 3.

d) (12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, ...), r = - 2.

e) (2, 2, 2, 2, ...), r = 0.

f) (0, 1, 2, 3, 4, ...), r = 1.

De um modo geral, seja a PA: (a1, a2,

a3, ...), onde a1 é o primeiro termo da PA, a2 é

o segundo termo, assim por diante e r é a ra-

zão da PA, segue,

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r

a4 = a3 + r

:

:

:

:

an = an-1 + r

Exemplos: Seja a PA (2, 6, 10, ...). Encontre a

razão r e o 4º termo.

Resolução:

a2 = a1 + r r = a2 – a1 r = 6 – 2 = 4

a4 = a3 + r a4 = 10 + 4 a4 = 14

Observações: 1ª) Da definição de PA decorre que, se a1, a2

e a3 estão em PA, então:

a a r r a a

a a r r a a

2323

1212

2 1 3 2a a a a

2 3 12.a a + a

Ou seja, de um modo geral, dado três

termos consecutivos de uma PA, o termo do

meio é media aritmética dos outros dois.

2ª) Em problemas que envolvem progressão

aritmética quando é dito que “três números

quaisquer estão em PA de razão r”, por

eles serem desconhecidos, podem ser repre-

sentados assim:

(x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Verifique se cada sequência é uma PA. Em 1)caso afirmativo, dê o valor da razão r.

a) (1, 5, 8, 11, 14)

b) (6, 15, 24, 33)

c) (15, 10, 5, 0, -5)

d) (2, 3, 5, 7, 80)

e)

3 ,

2

5 2, ,

2

3 ,1 ,

2

1

f) (x, x + 1, x + 2, x + 3)

g) (1, 1 + 3 , 1 + 2 3 , 1 + 3 3 )

Escreva uma PA: 2)a) de cinco termos em que a1 = 7 e r = 4;

b) de quatro termos em que a1 = -12 e r = 3;

c) de quatro termos, na qual a1 = x + 5 e

r = x.

Calcule x na PA (5, 9, x, 17, ...). 3)

Calcule x na PA (300, x, 380, ...). 4)

Numa PA o 8º termo vale 12 e o 10º vale 5)18. Calcule o 9º termo e a razão dessa PA.

Calcule o valor de p, sabendo que a ex-6)pressão p + 3, 2p + 1 e 4p – 6, formam nes-

sa ordem uma PA.

Uma fábrica produziu, em 1986, 6.530 7)unidades de um determinado produto e, em

1988, produziu 23.330 unidades do mesmo

produto. Sabendo que a produção anual desse

produto vem crescendo em progressão aritmé-

tica, pede-se:

a) Quantas unidades do produto essa fábrica

produziu em 1987?

b) Quantas unidades serão produzidas em

1990?

Três números formam uma PA de razão 2. 8)Encontre esses números, sabendo que o tercei-

ro é igual à soma dos dois primeiros menos 4.

Sabe-se que três números inteiros estão 9)em PA. Se esses números têm por soma 24 e

por produto 120, calcule os três números.

2 . CLASSIFICAÇÃO DE PA

Uma PA é crescente quando a razão r > 0:

Itens a), b), c) e f) do Tópico 1.

Uma PA é decrescente quando r < 0:

Itens d) do Tópico 1.

Uma PA é constante quando r = 0:

3 12

a + aa

2

2

Itens e) do Tópico 1.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Identifique cada PA abaixo como crescen-10)te, decrescente ou constante:

a) (20, 40, 60, ...)

b) (3, -9, -21, -30, ...)

c) (-1, -2, -3, -4, ...)

d) (-4, -3, -2, -1, ...)

e) (2, 2, 2, ...)

f)

... ,

2

3 1, ,

2

1 ,0

g)

... ,

4

1 ,

2

1 ,1

3 . TERMO GERAL DE UMA PA Observe: Seja a PA (3, 5, 7, 9, ...)

a) Encontrar o 5º termo:

r = a2 – a1 r = 5 – 3 = 2

a5 = a4 + r a5 = 9 + 2 a5 = 11

b) Encontrar o 6º termo:

a6 = a5 + r a6 = 11 + 2 a6 = 13

c) Encontrar o 10º termo:

Bom, pela definição de PA seria traba-

lhoso encontrar o 10º termo. Vamos tentar encontrar uma expressão matemática, que facilite essa tarefa:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r a3 = a1 + r + r a3 = a1 + 2r

a4 = a3 + r a4 = a1 + 2r + r a4 = a1 + 3r

a5 = a4 + r a5 = a1 + 3r + r a5 = a1 + 4r

: :

an = a1 + (n-1)r

Logo, fórmula do termo geral de uma

PA é:

an = a1 + (n - 1)r

onde,

a1 – é o primeiro termo;

r – é a razão;

an – é um termo qualquer;

n – é a quantidade de termos.

Agora fica mais fácil encontrar o 10º ter-

mo do item c):

an = a1 + (n - 1)r a10 = a1 + (10 – 1).2

a10 = 3 + 9.2

a10 = 3 + 18

a10 = 21

Observações: 1ª) Note que a10 = a3 + 7r, pois ao passar de

a3 para a10 avançamos 7 termos, implica, tam-

bém, que a3 = a10 – 7r, ao passarmos de a10

para a3 retrocedermos 7 termos.

2ª) Na PA finita (a1, a2, a3, a4), os termos a2 e

a3 são equidistantes aos termos a1 e a4. Veja:

a2 + a3 = a1 + r + a3 = a1 + a3 + r = a1 + a4

Isso é válido de um modo geral e dizemos

que, numa PA finita, a soma de dois termos

equidistantes dos extremos é igual a soma dos

extremos.

3ª) Muitas vezes é conveniente colocar o 1º

termo a1 como a0, ficando o termo geral da PA

an = a0 + n.r

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Calcule a fórmula do termo geral de cada 11)PA:

a) (2, 7, ...);

b) (-1, 5, ...).

Numa PA infinita, temos a1 = 12 e r = 5. 12)Calcule o a26?

Calcule: 13)a) o 5º termo da PA (1, 5, ...)

b) o 20º termo da PA (2, 8, ...)

Qual é o 50º número ímpar positivo? 14)

Quantos múltiplos de 5 existem entre 96 15)e 1996?

Os três primeiros termos de uma PA são 16)dados pela expressão x + 1, 2x + 2 e 12x.

Calcule o valor do quinto termo.

As medidas dos lados de um triângulo 17)retângulo formam uma PA de razão 5. Deter-

mine as medidas dos lados desse triângulo.

No primeiro semestre de um dado ano, a 18)produção mensal de uma montadora está em

PA crescente. Em Janeiro, a produção foi de

18.000 carros e, em Junho, foi de 78.000

unidades. Qual foi a produção dessa montado-

ra nos meses de Fevereiro, Março, Abril e

Maio? (interpolação aritmética)

Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 19)184.

Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68. 20)

4 . SOMA DOS TERMOS DE UMA PA

Na tabela abaixo, vemos representada a

produção anual de certo produto de uma em-

presa:

3

Ano Produção

2005 10.000 unidades

2006 12.000 unidades

2007 14.000 unidades

2008 16.000 unidades

2009 18.000 unidades

Quantas unidades desse produto a empresa

produziu de 2005 a 2009? Resolução:

Basta somarmos:

10.000 + 12.000 + 14.000 + 16.000 + 18.000

= 70.000 unidades.

Observamos que:

As parcelas formam a PA finita de razão

r = 2.000: (10.000, 12.000, 14.000,

16.000, 18.000)

O número 70.000 representa a soma dos

termos de PA.

Outra maneira de calcularmos a quanti-

dades de unidades produzidas desse produto

por essa empresa é utilizando a expressão da

soma dos termos de uma PA finita:

Sn =

1 na + a .n

2

onde,

sn – é a soma dos n termos;

a1 – é o primeiro termo;

an – é o último termo;

n – é a quantidade de termos.

Refaça a questão anterior utilizando a expres-

são acima e comprove!!!!

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Calcule a soma: 21)a) dos trinta primeiros termos da PA (4, 10,

...);

b) dos vinte primeiros termos da uma PA em

que o 1° termo é a1 = 17 e r = 4;

c) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100;

Calcule a soma dos 50 números pares. 22)

Calcule a soma dos 50 primeiro números 23)positivos de múltiplos de 5.

Resolva a equação: 24)

2 + 5 + 8 + ... + x = 77

Um ciclista percorre 20 km na primeira 25)hora; 17 km na segunda hora, e assim por

diante, em progressão aritmética. Quantos

quilômetros percorrerá em 5 horas?

Um corpo em queda livre percorre 3 m no 26)primeiro segundo, 12 m no segundo, 21 m no

terceiro segundo e assim por diante. Continu-

ando essa sequência, quantos metros terá per-

corrido após 10 segundos?

Um teatro possui 12 poltronas na primei-27)ra fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as

demais fileiras se compõem na mesma se-

quencia. Quantas fileiras são necessárias para

o teatro ter um total de 620 poltronas?

Numa caixa existem 1.000 bolinhas. São 28)retiradas 15 bolinhas, depois 20 bolinhas, de-

pois 25 bolinhas e assim sucessivamente.

Quantas bolas restam na caixa após a 15ª

retirada?

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

(UEPA-2012) Em 2004, o diabetes 29)atingiu 150 milhões de pessoas no mundo

(Fonte: Revista Isto é gente, 05/07/2004). Se,

a partir de 2004, a cada 4 anos o número de

diabéticos aumentar em 30 milhões de

pessoas, o mundo terá 300 milhões de

pessoas com diabetes no ano de:

(a) 2020 (c) 2024 (e) 2028

(b) 2022 (d) 2026

(UEPA-2011) Leia o Texto IX para 30)responder à questão 31.

Texto IX

“Todo santo dia, 39 mil toneladas de comida,

em condições de alimentar um ser humano,

alimentam uma outra boca, a do lixo. O

desperdício é gerado em restaurantes,

mercados, feiras, fábricas, quitandas,

açougues e até mesmo dentro de nossa própria

casa”. Fonte: http://www.revelacaoonline.uniube.br/geral03/

fome.html

Supondo que um restaurante com um ano de

existência jogue fora no lixo certa quantidade

de comida da seguinte forma: no 1º mês, 2

kg; no 2º mês, 4 kg; no 3º mês, 6 kg e assim

por diante. A quantidade total de comida

jogada no lixo pelo restaurante durante esse

ano foi de:

(a) 90 kg (c) 156 kg (e) 1787 kg

(b) 130 kg (d) 160 kg

(UEPA-2010) A interligação Norte-Sul é 31)um dos mais modernos sistemas de forneci-

mento de energia do mundo. São 3.015 tor-

res, cada uma com 30 metros de altura. Su-

pondo que a empresa que foi contratada para

montagem das torres, utilizou a seguinte es-

tratégia: no 1º dia, foram montadas 2 torres;

no 2º, 2 torres; no 3º, 2 torres; e assim por

diante. O número aproximado de dias para

montar as 3.015 torres foi de:

(a) 1.434,6 (d) 1.734,4

(b) 1.507,5 (e) 1.904,7

4

(c) 1.604,6

(CESUPA-2009) Ao distribuir 2400 litros 32)

de óleo em latas de mesma forma e capacida-

de, verifica-se que, se em cada vasilha coubes-

sem 5 litros a mais seriam utilizadas 40 latas a

menos. O número de latas usado e a capacida-

de de cada uma, são respectivamente,

(a) 15 e 160 (c) 12 e 200

(b) 16 e 150 (d) 20 e 120

(CESUPA-2007) Uma safra de arroz foi 33)

colhida de 6 vezes. Na primeira vez foram co-

lhidos 2500 kg e em cada uma das outras

vezes colheu-se 700 kg a mais em relação à

colheita anterior. O total de toneladas de arroz

colhidas nesta safra foi igual a

(a) 6 (b) 12,5 (c) 20 (d) 25,5

(CESUPA-2007) Para a comemoração de 34)seu aniversário, uma pessoa encomendou 360

salgadinhos diversos, calculando que cada

convidado comeria x salgadinhos. Ao convidar

mais 30 pessoas, depois de já ter feito a en-

comenda, verificou que cada um dos convida-

dos comeria um salgadinho a menos. Quantas

pessoas haviam sido inicialmente convidadas?

(a) 40 (b) 90 (c) 120 (d) 250

(Cefet-2008) Uma loja de variedades 35)colocou à venda, no mês de dezembro, 50 ti-

pos diferentes de produtos, com preços dife-

renciados e fixados em valores inteiros de R$

1,00 a R$ 50,00. Se foram vendidos exata-

mente 28 unidades de cada tipo, qual o valor

total arrecadado, nesse mês, com a venda

desses produtos?

(a) R$ 35.700,00 (d) R$ 32.100,00

(b) R$ 25.000,00 (e) R$ 35.200,00

(c) R$ 40.000,00

MAIS EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

(UFPA) Deseja-se colocar na estrada de 36)Belém-Mosqueiro 13 telefones, iniciando-se do

quilômetro 32 e finalizando no quilômetro 68

dessa estrada, a uma mesma distância X um

do outro. Determine o valor de X em metros?

(UEPA-2001) Considerando a PA repre-37)sentada pelo termo geral an = 7 + 4n

(n N).

a) Determine a sua razão;

b) Qual a soma dos 5 primeiros termos?

(UFPA) Um agricultor que trabalhava 38)durante 8 horas por dia de colhendo mangas,

observou num certo dia que sua produção diá-

ria decrescia de hora em hora segundo uma

P.A. de razão -50. Se nesse dia, na 1ª hora de

trabalho havia colhido 1.200 mangas, ao final

do trabalho teria colhido quantas mangas?

(FACI) A associação de professores de 39)uma escola comprou um sítio dando R$

2.000,00 de entrada e o restante em 24 pres-

tações mensais consecutivas. Ficou acertado

que a 1ª prestação seria de R$ 400,00 e to-

das as demais sofreriam um aumento de R$

100,00 mensalmente em relação à prestação

anterior. Assim, qual o preço total pago pelo

sítio?

(PROSEL-2004) A prefeitura de um mu-40)nicípio, preocupada com o êxodo rural, implan-

tou um projeto de incentivo à agricultura orgâ-

nica, com previsão de 3 anos, para manterás

pessoas no campo. Observou-se após a im-

plantação que 12 famílias haviam sido benefi-

ciadas no primeiro mês; 19 famílias, no se-

gundo mês e 26 famílias, no terceiro mês. Se-

gundo os técnicos, a previsão é que o número

de famílias beneficiadas mensalmente aumen-

tará na mesma razão dos meses anteriores.

Dentro dessas previsões, o número de famílias

que serão beneficiadas no último mês de exe-

cução deste projeto é:

(a) 245 (c) 269 (e) 293

(b) 257 (d) 281

(PRISE-2003) O cupuaçu é a principal 41)produção agrícola de uma região do estado do

Pará. Um agricultor da região comprou uma

área para o plantio de 3.816 mudas de cupua-

çu. Para melhor aproveitamento desta área,

deverá plantá-las em fileiras de tal modo que,

na primeira fileira seja plantada 9 mudas; na

segunda fileiras, 12 mudas; na terceira fileira,

15 mudas e, assim sucessivamente. Nestas

condições, quantas fileiras serão formadas ao

final do plantio das 3.816 mudas de cupuaçu?

(UFRA-2004) Um homem recolheu em 42)16 dias, 3112 latas de refrigerantes para se-

rem recicladas. Cada dia conseguia recolher 25

latas a mais que no dia anterior. Nessas condi-

ções, pode-se afirmar que no 5° dia ele conse-

guiu recolher

(a) 93 latas (d) 124 latas

(b) 107 latas (e) 132 latas

(c) 114 latas

(ENEM-2012) Um maquinista de trem 43)ganha R$ 100,00 por viagem e só pode viajar

a cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a

5

viagem e sabe que estará de férias de 1º a 10

de junho, quando não poderá viajar. Sua

primeira viagem ocorreu no dia primeiro de

janeiro. Considere que o ano tem 365 dias. Se

o maquinista quiser ganhar o máximo possível,

quantas viagens precisará fazer?

(a) 37 (b) 51 (c) 88 (c) 89 (c) 91

“Por que nos torna tão pouco felizes esta ma-

ravilhosa ciência aplicada que economiza tra-

balho e torna a vida mais fácil? A resposta é

simples: porque ainda não aprendemos a nos

servir dela com bom senso”.

Albert Einstein.

Para que serve a Matemática?

-“Para que este sonho se torne realidade”, diz

o arquiteto olhando a planta na sua prancheta

de trabalho.

-“Para interpretar os dados do computador de

bordo e determinar a posição do avião”, obser-

va o piloto.

-“Necessito dela para estabelecer uma relação

entre o mundo físico e sua representação gráfi-

ca quando faço um mapa”, responde o cartó-

grafo.

-“Preciso investigar mediante procedimentos

matemáticos a situação da empresa e do mer-

cado antes de sugerir algum investimento”,

exclama o administrador de empresas.

-“Para interpretar estatisticamente os resulta-

dos de testes sobre o comportamento huma-

no,como aprendizado, memória, motivação”,

relata o psicólogo.

-“Para planejar a comida do paciente cujo mé-

dico prescreveu uma dieta com proteínas e

hidrato de carbono na razão 7 : 4”, conclui o

nutricionista do hospital.

-“Para observar e acompanhar o registro das

atividades do coração do meu paciente” pensa

o médico olhando um eletrocardiograma.

-“Com auxílio de análises matemáticas posso

sugerir modificações que levem harmonia às

populações das grandes cidades, como o estu-

do dos fluxos de trânsito para prevenir aciden-

tes”, afirma o urbanista.

-“Para planejar as vastas e complexas redes de

comunicação modernas”, se orgulha o enge-

nheiro.

-“Para organizar o orçamento doméstico,

acompanhar, interpretar e participar ética e

conscientemente da política do dia-a-dia res-

ponde o cidadão comum.

TODA PROFISSÃO PRECISA DE MATEMÁTICA.

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