PROF. GILBERTO SANTOS JR

GEOMETRIA PLANA

POLÍGONOS REGULARES

1 . ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM POLÍGONO REGULAR

• Centro(O): é o centro comum das circunferências inscrita e circunscrita.

• Apótema(a): é o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio do lado, o

qual é perpendicular ao lado.

Veja a figura:

O é o centro;

M é o ponto médio do lado;

OM é o apótema = a;

ac é o ângulo central;

ai é o ângulo interno;

ae é o ângulo externo.

Se o polígono regular tem n lados, valem as seguintes expressões:

1ª) Ângulo central: ac = n

360

2ª) Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2) . 180°

3ª) Ângulo interno: ai = n

Si ou ai =

n

180 . 2) - (n

4ª) Soma dos ângulos externos: Se = 360°

5ª) Ângulo externo: ae = n

Se ou ae =

n

360

6ª) ai + ae = 180°

7ª) O número de diagonais d de um polígono com n lados: d = 2

3) - n(n

2 . ÁREA DO POLÍGONO REGULAR Observe o quadrado abaixo, que é um exemplos de polígono regular.

Se o polígono regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regi-ões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado ( ) e a altu-

ra é o apótema (a) do polígono regular. A área da região limitada por um polígono regular de n lados pode então ser escrita assim:

A = n . 2

a ou A =

2

n.a ou A =

2

p.a

em que: : lado;

a: apótema;

n : perímetro;

p: perímetro.

2

Observação: O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos equilá-

teros. Sendo o lado do triângulo equilátero, então a área do hexágono regular será igual a:

AH = 6 . AT.E. = 6 .

4

32 =

2

33 2

3 . LADO E APÓTEMA DE POLÍGONOS REGULARES

3.1 Triângulo Inscrito Numa Circunferência

O apótema em função do raio:

sen 30° = R

a

2

1 =

R

a 2a = R a =

2

R

O lado em função do raio:

cos 30° = R

2/

2

3 =

2R

= 3R

3.2 Quadrado Inscrito Numa Circunferência

O apótema em função do raio:

sen 45° = R

a

2

2 =

R

a a =

2

2R

O lado em função do raio:

cos 45° = R

2/

2

2 =

2R

= 2R

3

3.3 Hexágono Regular Inscrito Numa Circunferência

O apótema em função do raio:

sen 60° = R

a

2

3 =

R

a a =

2

3R

O lado em função do raio:

cos 60° = R

/2

2

1 =

2R

= R

4 . GENERALIZAÇÃO DE LADO E APÓTEMA PARA QUAISQUER POLÍGONOS

REGULARES INSCRITOS:

= 2Rsen

n

180º a = Rcos

n

180º

; = lado,

R = raio,

n = número de lados.

; a= apótema,

R = raio,

n = número de lados.

5 . POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS

a

Triângulo 2R 3 R

quadrado 2R R

hexágono 3

32R R

EXERCÍCIOS PROPOSTOS E DE VESTIBULARES

01) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito

numa circunferência mede 18 cm. Calcule a

medida do seu apótema.

02) O apótema de um hexágono regular me-

de 7 3 cm. Determine o perímetro desse

hexágono.

03) O apótema de um quadrado inscrito nu-

ma circunferência é 25 cm. Calcule o raio

dessa circunferência.

04) Numa circunferência de raio 4 3 cm fo-

ram inscritos triângulo eqüilátero e um hexá-

gono, calcule a razão entre os apótemas do triângulo e do hexágono.

05) Num polígono regular, cada ângulo inter-no mede 108°. Quantos lados têm esse polí-

gono?

06) Na figura abaixo, o segmento AB corres-

ponde ao lado de um

hexágono regular ins-

crito, enquanto o seg-mento BC corresponde

ao lado de um quadra-

do inscrito. Conside-

rando 2 = 1,41, qual

é a distância que se

percorre indo, em linha reta, de A até C, pas-

sando por B?

07) Um hexágono regular tem lado medindo

8 cm. Calcule a diferença entre o comprimen-

to da circunferência circunscrita e o perímetro

desse hexágono.(use = 3,14)

08) Calcule a razão entre a medida do lado

de um hexágono regular e a do lado de qua-

10 cm

C

B

A

4

drado inscrito na mesma circunferência de raio

r.

09) Calcule a razão entre o apótema do qua-

drado inscrito e o apótema do quadrado cir-

cunscrito numa circunferência de raio 4 2

cm.

10)(Vunesp) o número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por:

d = 2

3x - x2

. Se o polígono possui 9 diago-

nais, seu número de lados:

(a) 10 (b) 9 (c) 8 (d) 7 (e) 6

11)(UFPI) Um polígono de 2n lados tem 18

diagonais a mais que um polígono de n lados.

O número de diagonais desses polígonos são, respectivamente:

(a) 22 e 4 (c) 24 e 6 (e) 26 e 8

(b) 21 e 3 (d) 20 e 2

12)(FUVEST) Dois ângulos internos de um

polígono convexo medem 130° cada um e os

demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é:

(a) 6 (b) 7 (c) 13 (d) 16 (e) 17

13)(Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se dois

pentágonos regular. A medida que, em graus,

do ângulo α assinalado é:

a

14)(UFBA) Cada ângulo externo de um polí-

gono regular mede 5

1 da medida de um ângu-

lo interno. Calcule a medida do ângulo central desse polígono.

15)(Univ. Católica de Salvador) No qua-drado ABCD abai-

xo, tem-se que

AP = AQ. A me-

dida do ângulo α

é:

(a) 30° (c) 10º30’ (e) 31º30’

(b) 28º (d) 22º30’

16) Considere duas circunferências uma de

raio 10 3 cm e outra de raio 8 6 cm. De-

termine a razão, nessa ordem, entre os apó-

temas dos triângulos eqüiláteros inscritos em

cada uma dessas circunferências.

17)(UFPA) Sejam ABC os vértices de um

triângulo eqüilátero inscrito numa circunferên-cia de raio r e AE o diâmetro dessa circunfe-

rência. Determine as medidas dos lados do

triângulo AEB, em função de r.

“Você constrói a sua vitória.”

“A perseverança alimenta a esperança.”

Nunca deixe que lhe digam:

Que não vale a pena

Acreditar no sonho que se tem

Ou que seus planos

Nunca vão dar certo

Ou que você nunca

Vai ser alguém...

Renato Russo

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C

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D

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