1. Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +......

1. Equação linear1. Equação linearEquação linear é toda equação da forma:

aa1111xx11 + a + a1212xx22+ a+ a1313xx33 + ... + a + ... + a1n1nxxnn = b = b11

em que a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que recebem o nome de coeficientescoeficientes das das incógnitasincógnitas; x1, x2,x3, ... , xn, são as incógnitasincógnitas; e b1 é um número real chamado termo termo independenteindependente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).Exemplos:Exemplos:

5543) 4321 xxxxa

02) 321 xxxb

4000) 321 xxxc

00000) 4321 xxxxd

3, 4, -5 e -1 são os coeficientes

x1, x2, x3 e x4 são as incógnitas

5 é o termo independente

1. Equação linear1. Equação linearUma equação linear não apresenta incógnitas em expoentes diferente de 1, isto é, não temos incógnitas na forma, x2, xy, x, 1/x, etc.

As equações 3x + 2x2 = -3 e -4xy + z = 2, por exemplo, não são lineares.

Uma equação linear cujo termo independente é nulo (b = 0) é Uma equação linear cujo termo independente é nulo (b = 0) é chamada chamada equação linear homogêneaequação linear homogênea..

2. Solução de uma Equação linear2. Solução de uma Equação linearUma sequência de números reais (1, 2, 3,..., n) é solução da equação linear

aa1111xx11 + a + a1212xx22+ a+ a

1313xx33 + ... + a + ... + a1n1nxxnn = b = b

11

se trocarmos cada xi por i na equação e este fato implicar que

o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é, se a igualdade for verdadeira:

aa111111 + a + a121222+ a+ a

131333 + ... + a + ... + a1n1nnn = b = b

11Exemplos:Exemplos:a) Verifique se a sequência (1, 2, 3, -2) é solução da equação 2x1 + 3x2 – x3 + x4 = 3.Resolução:

2.1 + 3.2 – 3 + (-2) = 3 2 + 6 – 3 – 2 = 3 3 = 33 = 3 SIMSIM

2. Solução de uma Equação linear2. Solução de uma Equação linearb) A equação 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0, admiteadmite como solução a sequência ordenada (1, 2, 3,..., n), n N.Resolução:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0

0 = 00 = 0

c) A equação 0x + 0y + 0z + 0t = 2, não admitenão admite como solução a quádrupla ordenada (1, 2, 3,..., n), n N.Resolução:

0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 2

0 = 20 = 2Se duas equações têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo, estas são ditas EQUAÇÕES EQUIVALENTESEQUAÇÕES EQUIVALENTES.

Se uma equação linear é homogênea (b = 0) esta sempre admite a solução {0, 0, 0...}, que é dita SOLUÇÃO TRIVIALSOLUÇÃO TRIVIAL ou IMPRÓPRIAIMPRÓPRIA.

3. Sistema de Equações lineares3. Sistema de Equações linearesÉ um conjunto de m (m 1) equações lineares nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn. Assim o sistema abaixo é linearo sistema abaixo é linear::

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

332211

22323222121

11313212111

.........................................................

Lembrando a definição de produto de matrizes, podemos representar o sistema na FORMA MATRICIALFORMA MATRICIAL.

nnmn

n

n

mmm b

b

b

x

x

x

a

a

a

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

2

1

321

232221

131211

3. Sistema de Equações lineares3. Sistema de Equações linearesEQUAÇÃO MATRICIAL EQUIVALENTEEQUAÇÃO MATRICIAL EQUIVALENTE

A. X = B Matriz dos coeficientes

Matriz das variáveis ou incógnitasMatriz dos termos independentes

322

43

82

zyx

zyx

zyx

122

113

121

z

y

x

.

3

4

8

Equação matricialEquação matricial

Exemplos:Exemplos:a) O sistema linear:

2

432

yx

yx

pode ser escrito na forma:

2

4

11

32

y

x

4. Solução de um Sistema Linear4. Solução de um Sistema LinearSe o conjunto ordenado de números reais (1, 2, ..., n) for solução de todas as equações do sistema, então será denominado solução do sistema linearsolução do sistema linear..

Exemplos:Exemplos:a) Verifique se a terna ordenada (1, 2, 3) é solução do sistema linear:

6321

43

12

6

zyx

zyx

zyx

(V) 13212 (V) 43213 (V)

SIM, SIM, é solução do sistemaé solução do sistema

Se fizermos a mesma verificação para a terna ordenada (-5, 11, 0), perceberemos que apesar de ela ser solução das duas primeiras equações, na terceira a sentença se torna falsa.Logo, não é solução do sistemaLogo, não é solução do sistema.

4. Solução de um Sistema Linear4. Solução de um Sistema Lineara) O sistema linear:

6000

14

532

zyx

zyx

zyx

não admite soluçãonão admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla ordenada.

5. Classificação de um Sistema Linear5. Classificação de um Sistema LinearOs sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções, da seguinte forma:

SISTEMA LINEARSISTEMA LINEAR

POSSÍVELPOSSÍVELQuando admite soluçãoQuando admite solução

IMPOSSÍVELIMPOSSÍVELQuando não admite soluçãoQuando não admite solução

DETERMINADO (SPD)DETERMINADO (SPD)Quando admite uma Quando admite uma

única soluçãoúnica solução

INDETERMINADO (SPI)INDETERMINADO (SPI)Quando admite mais de Quando admite mais de uma solução (infinitas uma solução (infinitas

soluções)soluções)

5. Classificação de um Sistema Linear5. Classificação de um Sistema Linear

S = {3, 1} Somente esta solução, portanto SPDSPD.

S1 = {1, 2}, S2 = {2, 4}, etc., são várias soluções, portanto SPISPI.

S = ; não existe solução, portanto SISI.

Exemplos:Exemplos:

5y4x3

7yx2

6y6x4

8y3x2

1034

2068

yx

yx

6. Sistema Linear Homogêneo6. Sistema Linear HomogêneoChamamos de sistema linear homogêneo todo sistema em que o termo independente de todastodas as equações é igual a zero.Exemplos:Exemplos:

02

0

zyx

zyx

É fácil notar que um sistema homogêneo admite sempre como solução a sequência (0, 0, 0, ..., 0), esta solução chama-se solução trivialsolução trivial.Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivialsolução não trivial.

04

032

033

043

tzx

tzyx

zyx

tzyx

7. Matrizes associadas a um sistema7. Matrizes associadas a um sistemaMatriz Incompleta:Matriz Incompleta: matriz A formada pelo coeficientes das incógnitas do sistema.

42

74

032

zyx

zyx

zyx

112

114

132

A

Matriz Completa:Matriz Completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta, uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.

42

74

032

zyx

zyx

zyx

4

7

0

112

114

132

B

8. Sistema Normal8. Sistema NormalUm sistema é dito normal quando:• O número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n).• O determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

112

114

132

det

A

Verifique se o sistema linear é normal:Exemplos:Exemplos:

Resolução:

O sistema possui 3 equações e 3 incógnitas.

Vamos calcular o determinante da matriz incompleta:

1

1

3

2

4

2

462 1222 24

CONCLUSÃO: o sistema é CONCLUSÃO: o sistema é normalnormal

42

74

032

zyx

zyx

zyx

9. Teorema de Cramer9. Teorema de CramerSeja S um sistema linear normal (m = n e detA 0), então S possui solução única, e portanto, será Possível e Determinado (SPD).Esta solução será da forma:

D

Dx ixi ni ,,3,2,1,

Onde, DD é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e DDxxii

é o determinante obtido pela substituição, na

matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Resolver o sistema usando a regra de cramer:

12

4

6

zyx

zyx

zyxExemplos:Exemplos:

Resolução:

Cálculo de D:

112

111

111

D

1

1

1

2

1

1

121 112 4

9. Teorema de Cramer9. Teorema de Cramer


12

4

6

zyx

zyx


Resolução:

Cálculo de DX:

111

114

116

xD

1

1

1

1

4

6

416 461

4

Cálculo de Dy:

112

141

161

yD1

4

6

2

1

1

1124 618 12

Cálculo de Dz:

112

411

611

zD

1

1

1

2

1

1

681 1412

8

9. Teorema de Cramer9. Teorema de Cramer


12

4

6

zyx

zyx


Resolução:

Cálculo de x:D

Dx x

4

4

1x

Cálculo de y:D

Dy y

4

12

3y

Cálculo de z:D

Dz z

4

8

2z

Logo, o conjunto solução do sistema é:

2,3,1S

10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas

Se:

Vamos lembrar que um sistema é classificado de acordo com o número de soluções que ele apresenta.A partir do Teorema de Cramer, podemos classificar um sistema, seguindo o seguinte princípio:

0D SPDúnicaSolução

Se: ,0,0,0,0 zyx DDDD SPISoluçõesInfinitas

Se: 00 zyxzyx DDDDDDeD

SISoluçãopossuiNão

A explicação para esse raciocínio é bem simples, pois, por exemplo, se D = 0 e todos os Dx = Dy = Dz ... = 0, no cálculo de x, y e z teríamos:

D

Dx x

0

0

D

Dy y

0

0 SPI


623

02

3

zyx

zyx

zyxDiscutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer:

Exemplos:Exemplos:

Resolução:

Cálculo de D:

213

112

111

D 232 413 3

1

1

1

3

2

1

Perceba que D 0, e nesse caso, mesmo sem resolver o sistema já sabemos que ele tem uma única soluçãoúnica solução.Portanto: SPD.Portanto: SPD.


134

22

123

zyx

zyx


Exemplos:Exemplos:

Resolução:

Cálculo de D:

341

112

231

D 1633 1842 0

4

1

3

1

2

1

Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema.

341

112

231

xD 0

311

122

211

yD 0

141

212

131

zD 0

Com base nos valores encontrados, concluímos que SPISPI.


0233

432

12

zyx

zyx


Exemplos:Exemplos:

Resolução:

Cálculo de D:

233

312

121

D 6182 893 0

3

1

2

3

2

1

Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema.

230

314

121

xD 23

Nesse caso, já não é mais necessário o cálculo de Dy e Dz, pois sendo Dx 0 e D = 0, concluímos que SISI.

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