Solução Numérica da Equação de Difusão Hidráulica Linear ...
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* Bolsista da PROGRAD/UFU Solução Numérica da Equação de Difusão Hidráulica Linear do Óleo 1D mediante o Método das Diferenças Finitas Santos A. Enriquez-Remigio Ellen Thais A. Cerciliar * Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Matemática 38408-100, Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG E-mail: [email protected] , [email protected] RESUMO A exploração de poços é um processo comum na indústria do petróleo com objetivo de descobertas de novos reservatórios. Esta etapa envolve o conhecimento de parâmetros operacionais, com o intuito de reduzir os custos, pois sob o ponto de vista da perfuração de poços, o maior desafio é o seu alto custo (COSTA, 2009). A fim de viabilizar a exploração do reservatório, faz-se necessário o estudo das propriedades das rochas, propriedades dos fluidos, e das leis físicas que regem o movimento dos fluidos no interior das rochas. Diante da pouca informação experimental e a complexidade dos problemas envolvendo a exploração de poços, torna-se propenso o uso de técnicas computacionais que envolvem métodos numéricos com finalidade de proporcionar o conhecimento da dinâmica do problema. Com isso, a equação da difusividade hidráulica (equação do tipo parabólico) se torna a síntese do problema em questão, pois sua solução nos permite observar como a pressão no reservatório se comporta nas três direções e à medida que o tempo passa, possibilitando um estudo a respeito da produtividade do reservatório em questão (ROSA; CARVALHO; XAVIER, 2006). Neste sentido, Oliveira (2009), Rosa, Carvalho, Xavier (2006), pontuam que a equação de difusividade hidráulica é uma equação diferencial parcial de segunda ordem na variável espacial e de primeira ordem na variável temporal, e sua solução analítica (a depender do tipo de regime do fluido que está sendo considerado), é complexa como a maioria das equações que regem fenômenos de importância prática. Neste contexto, os métodos numéricos se tornam essenciais, especialmente na área de reservatórios de petróleo na qual os problemas são muito complexos para serem analisados por técnicas clássicas. No presente trabalho é resolvida numericamente a equação de difusividade hidráulica unidimensional para a área de reservatório de petróleo, em regimes específicos onde as soluções analíticas são conhecidas, assim, torna-se possível, a partir da comparação dos resultados, verificar se a metodologia numérica empregada consegue prever a física do problema. Para obtermos a solução numérica do problema abordado neste texto, fizemos o uso da metodologia numérica baseada no método das diferenças finitas para discretizar as derivadas espaciais da equação de difusão e de suas respectivas condições de contorno, e usamos o método de Euler explícito e o método de Crank-Nicolson para discretizar a derivada temporal. Dois tipos de condição de contorno foram considerados: Condição de contorno do tipo I é classificada por Neumann no extremo esquerdo e Dirichlet no extremo direito; e condição de contorno do tipo II é classificada por Neumann nos dois extremos do domínio. Tais condições de contorno definem o regime permanente e pseudo-permanente quando a equação de difusão representa a equação de difusão hidráulica do óleo unidimensional. Intuitivamente, percebe-se que, quanto mais refinada for a malha, mais fiel ao modelo será o resultado numérico. Obviamente, maior também será o custo computacional. Devido ao alto custo computacional e à extensão dos reservatórios de óleos na prática, aplica-se um procedimento de uso de malhas não uniformes, a malha deve ser fina perto da fronteira e grossa distante dela. Para a validação numérica do código computacional, foram resolvidas duas equações parabólicas com solução analítica manufaturada. Em ambas as equações, o domínio 301 ISSN 1984-8218
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* Bolsista da PROGRAD/UFU
Solução Numérica da Equação de Difusão Hidráulica Linear do Óleo
1D mediante o Método das Diferenças Finitas
Santos A. Enriquez-Remigio Ellen Thais A. Cerciliar*
Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Matemática
38408-100, Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG E-mail: [email protected] , [email protected]
RESUMO
A exploração de poços é um processo comum na indústria do petróleo com objetivo de descobertas de novos reservatórios. Esta etapa envolve o conhecimento de parâmetros
operacionais, com o intuito de reduzir os custos, pois sob o ponto de vista da perfuração de
poços, o maior desafio é o seu alto custo (COSTA, 2009). A fim de viabilizar a exploração do
reservatório, faz-se necessário o estudo das propriedades das rochas, propriedades dos fluidos, e das leis físicas que regem o movimento dos fluidos no interior das rochas.
Diante da pouca informação experimental e a complexidade dos problemas envolvendo
a exploração de poços, torna-se propenso o uso de técnicas computacionais que envolvem métodos numéricos com finalidade de proporcionar o conhecimento da dinâmica do problema.
Com isso, a equação da difusividade hidráulica (equação do tipo parabólico) se torna a
síntese do problema em questão, pois sua solução nos permite observar como a pressão no reservatório se comporta nas três direções e à medida que o tempo passa, possibilitando um
estudo a respeito da produtividade do reservatório em questão (ROSA; CARVALHO;
XAVIER, 2006).
Neste sentido, Oliveira (2009), Rosa, Carvalho, Xavier (2006), pontuam que a equação de difusividade hidráulica é uma equação diferencial parcial de segunda ordem na variável
espacial e de primeira ordem na variável temporal, e sua solução analítica (a depender do tipo
de regime do fluido que está sendo considerado), é complexa como a maioria das equações que regem fenômenos de importância prática. Neste contexto, os métodos numéricos se tornam
essenciais, especialmente na área de reservatórios de petróleo na qual os problemas são muito
complexos para serem analisados por técnicas clássicas.
No presente trabalho é resolvida numericamente a equação de difusividade hidráulica unidimensional para a área de reservatório de petróleo, em regimes específicos onde as soluções
analíticas são conhecidas, assim, torna-se possível, a partir da comparação dos resultados,
verificar se a metodologia numérica empregada consegue prever a física do problema. Para obtermos a solução numérica do problema abordado neste texto, fizemos o uso da
metodologia numérica baseada no método das diferenças finitas para discretizar as derivadas
espaciais da equação de difusão e de suas respectivas condições de contorno, e usamos o método de Euler explícito e o método de Crank-Nicolson para discretizar a derivada temporal.
Dois tipos de condição de contorno foram considerados: Condição de contorno do tipo I é
classificada por Neumann no extremo esquerdo e Dirichlet no extremo direito; e condição de
contorno do tipo II é classificada por Neumann nos dois extremos do domínio. Tais condições de contorno definem o regime permanente e pseudo-permanente quando a equação de difusão
representa a equação de difusão hidráulica do óleo unidimensional.
Intuitivamente, percebe-se que, quanto mais refinada for a malha, mais fiel ao modelo será o resultado numérico. Obviamente, maior também será o custo computacional. Devido ao
alto custo computacional e à extensão dos reservatórios de óleos na prática, aplica-se um
procedimento de uso de malhas não uniformes, a malha deve ser fina perto da fronteira e grossa distante dela.
Para a validação numérica do código computacional, foram resolvidas duas equações
parabólicas com solução analítica manufaturada. Em ambas as equações, o domínio
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unidimensional espacial foi [0, 1], e usou-se malha homogênea no intervalo [0, 0.5] e no resto
uma malha com espaçamento heterogêneo crescente definido por uma progressão geométrica de razão r=1,2.
A solução numérica forneceu resultados que nos compete afirmar que as duas soluções
manufaturadas são consistentes com o problema abordado, pois apresentaram grau de convergência compatível com os métodos aplicados. Garantindo dessa forma a correta
implementação do código.
Para garantir que os métodos implementados podem ser aplicados à problemas práticos,
resolvemos numericamente a equação de difusividade linear do óleo para o regime permanente e pseudo-permanente para um tempo de 172800s (2 dias), considerando agora um reservatório
de 10000m. A condição inicial, as propriedades físicas do fluido e da rocha são dados
utilizados neste trabalho que foram cedidos por: Santos, Enriquez-Remigio (2010), que também trataram esses dados em outro trabalho. A análise da solução numérica da equação de difusão
linear do óleo, nos dois regimes, foi feita por meio do erro relativo, pois nos garante uma maior
informação quanto a precisão da aproximação que o erro absoluto. Em relação aos resultados obtidos, é importante ressaltar que as simulações foram
realizadas para regimes específicos, com parâmetros físicos também particulares, entretanto,
percebeu-se erros bem pequenos para os dois regimes, tanto no método de Euler quanto para o
método de Crank-Nicolson, o que nos permite concluir que embora a malha toda não seja igualmente espaçada, e nem o método usado seja de alta ordem, os resultados se mostraram
satisfatórios. Também, observou-se que os erros relativos obtidos por ambos os métodos foram
quase iguais, sendo que o método de Crank-Nicolson gastou 10% mais de tempo computacional.
Palavras-chave: Reservatórios de petróleo, Equação de difusão linear do óleo, Métodos
numéricos
Agradecimentos Os autores gostariam de expressar agradecimentos à FAPEMIG e à PROGRAD/UFU,
pelo apoio à execução e acompanhamento do projeto de pesquisa.
Referências
[1] A. P. Costa, “Simulação Numérica da Penetração de Fluido de Perfuração em Reservatórios
de Petróleo”. Rio de Janeiro: UFRJ/EQ, 2009.
[2] A. O. Fortuna, “Técnicas Computacionais para Dinâmicas dos Fluidos. Conceitos Básicos e
Aplicações”. EDUSP, 2000.
[3] B. C. Oliveira, “Simulação de reservatórios de petróleo em ambiente MPSoC”. Dissertação
de mestrado, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2009.
[4] A. J. Rosa, R. S. Carvalho, J. A. D. Xavier, “Engenharia de Reservatórios de Petróleo”. Interciência, Brasil, 2006.
[5] J. B. Santos, S. A. Enriquez-Remigio, “Método das Diferenças Finitas Aplicado na Solução
Numérica da Equação de Difusão Hidraúlica Linear do Óleo unidimensional”. IX Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional X Semana da Matemática, 2010,
Uberlândia. Uberlândia: Universidade Federal de Uberlândia, 2010.
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ISSN 1984-8218
